二元函数的等值线
高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
BUCT
谢 谢！
BUCT
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
BUCT
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
f, y
f z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值Biblioteka BUCT1. 定义
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
BUCT
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad
f
f x
,f y
,f z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
第三章 无约束最优化--梯度方法(1)
2 做直线搜索 zk 1 LS( zk , - gk ), 计算f k 1 f ( zk 1 ), gk 1 g ( zk 1 ); 3 判定终止准则H是否满足，若满足则打印最优解 z k+1 , f k+1， 终止。否则转2。 将最速下降法用于具有对称正定矩阵Q的二次函数： 1 T f ( z ) z Qz bT z c，可以推出步长公式来 : 2 设第 k 次迭代点为zk 。下面求zk 1的表达式:
f z k f z k 1 f z k f z k f zk
但λ到底取多大，没有统一的标准， λ取小了，收敛太慢，而λ取大 了，又会漏掉极小点。
1 T f ( z ) z Qz , 定理：对于二次函数 2
四 用于二次函数时的收敛速度
为了清除最优步长最速下降法中两个搜索方向正交的不良 后果，人们发明了不少方法，如： （1）选择不同初始点。
例如：对问题： min
取初点
为求 z1 ，沿 f z0 方向从 z0 出发求 f z 的极点，即在线 搜索 min f ( z0 tf z0 )
f ( z) x 25x T z0 2,2 f z0 104 , f z0 4,100T
2 T
* T z ( 0 , 0 ) z 然后再从 1开始迭代，经过10次迭代，近似得最优解
f ( z1 ) 3.686164 .
计算中可以发现，开始几次迭代，步长比较大，函数值下将降 较快但当接近最优点时，步长很小，目标函数值下降很慢。如 T ,0)T虽然后一初点较前一 果不取初点为 z0 (2,2) 而取 z0 (100 初点离最优点 z * (0,0)T 远，但迭代中不出现锯齿现象。这时：
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
函数的方向导数或梯度
多元微积分
定义 (梯度向量)
假设二元函数 f (x, y) 在点 M (x0 , y0 ) 可微 . 由两个偏导数组成的向量
( ∂f
(x, ∂x
y)
,
∂f
( x, ∂y
y))
( x0 , y0
)
称为 f (x, y) 在点 M (x0 , y0 )的梯度 . 记作
grad f ( x0 , y0 ) . ∇f (x0 , y0 ) .
∂f ∂vr
M0
= grad
r f (x0 , y0 ) ⋅ v =|grad
f (x0, y0 ) | .
此时
∂f r
∂v
M0 是所有方向导数中的最大值．
梯度方向是函数增加最快的方向，
梯度的模长是方向导数最大值．
多元微积分
减少区域 f (x, y) = C P0
−∇f (P0 )
∇f (P0 ) 增加区域
r
−grad f 在点 P
(P0 ) (x0 ,
y0
)
的法向量
L :
:
f
(x,
y)
=
0
P0
n
切线
指向 f (x, y) 减少的方向.
多元微积分
P0
z = f (x, y)
横看成岭侧成峰，东西南北各不同。 神仙不识山中路，梯度轻点指迷津。
多元微积分
z
=
1−
(
x2 a2
+
y2 b2
)
P0 (
a, 2
b) 2
z = (x2 − y )e 2 −( x2− y2 ) 函数图形
3
2
1
0
共轭梯度法
3. 算法的 MATLAB 实现
在 MATLAB 中编程实现的共轭梯度法函数为： min GETD 功能：用共轭梯度法求解多维函数的极值。
调用格式： [ x, min f ] min GETD( f , x0, var, eps) 其中， f ：目标函数；
x0 ：初始点； ：自变量向量； var x ：目标函数取最小值时的自变量值；
（6） 若 k 1 n ，令 x(0) x( n ) ，转步骤（3） ，否则转步骤（7） ；
（7） 令 p
( k 1)
f ( x
( k 1)
) k p
(k )
， k
f ( x ( k 1) ) f ( x )
(k )
2 2
， 置 k k 1， 转步骤 （4） 。
t 0
(k ) ( k ) （4） 用 一 维 搜 索 法 求 t k ， 使 得 f ( x kt p ) m i n f
( ) 5； x( k 1 ) x k( ) kt p k，转步骤
k( ) x
) 令， tk p( ，
（5） 若 f ( x
( k 1)
) ，停止，极小值点为 x ( k 1) ，否则转步骤（6） ；
1 f ( X ) d1 + x1 -x1* 2 1 =d1 + x1 -x1* 2
2
*
2
1 d1 a x1 -x1* 2
2b x1 -x1*
x -x c x -x
2
2b x1 -x1*
沈阳工业大学机械优化设计习题集
机械优化设计复习题一、单项选择题1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ）（P19-21）A ． 设计变量B ．目标函数C ．设计常量D ．约束条件2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21）A ．设计变量B .约束条件C .目标函数D .最佳步长3.凡在可行域的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ）（P19-21）A .边界设计点B .极限设计点C .外点D .可行点4.当设计变量的数量n 在下列哪个围时，该设计问题称为中型优化问题（P19-21）A .n<10B .n=10~50C .n<50D .n>505. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24）A .约束线性B .无约束线性C .约束非线性D .无约束非线性6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24）A .多变量无约束的非线性B .多变量无约束的线性C .多变量有约束的非线性D .多变量有约束的线性7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（ ）（P25-28）A .变化最大B .变化最小C .近似恒定D .变化不确定8.()f x ∇方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28）A . 最小变化率B .最速下降C . 最速上升D .极值9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28）A ．最速下降B ．最速上升C ．最小变化D ．最小变化率10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28）A .最速上升方向B .上升方向C .最速下降方向D .下降方向11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（ ）（P25-28）A.f ∇= B .12...nf f f f x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂ C .22212()()...()n f f f f x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂ D.f ∇=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31）A ．曲面或曲线B ．曲线或等值面C ．曲面或等值线D ．等值线或等值面13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件（ ）（P29-31）A.*()0f x ∇=B. *()0G x =C. 海赛矩阵*()G x 正定D. **()0G()f x x ∇=，负定14.12(,)f x x 在点*x 处存在极小值的充分条件是：要求函数在*x 处的Hessian 矩阵*()G x 为（ ）（P29-31）A .负定B .正定C .各阶主子式小于零D .各阶主子式等于零15.在设计空间，目标函数值相等点的连线，对于四维以上问题，构成了（ ）（P29-33）A.等值域B.等值面C.同心椭圆族D.等值超曲面16.下列有关二维目标函数的无约束极小点说法错误的是（ ）（P31-32）A .等值线族的一个共同中心点B .梯度为零的点C .驻点D .海赛矩阵不定的点17.设()f x 为定义在凸集D 上且具有连续二阶导数的函数，则()f x 在D 上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵()G x 在D 上处处（ ）（P33-35）A .正定B .半正定C .负定D .半负定18.下列哪一个不属于凸规划的性质（ ）（P33-35）A.凸规划问题的目标函数和约束函数均为凸函数B.凸规划问题中，当目标函数()f x 为二元函数时，其等值线呈现为大圈套小圈形式C.凸规划问题中，可行域{|()01,2,...,}i D x g x j m =≤=为凸集D.凸规划的任何局部最优解不一定是全局最优解19.拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种（ ）（P36-38）A ．降维法B .消元法C .数学规划法D .升维法20.若矩阵A 的各阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为（ ）矩阵（P36-45）A .正定B .正定二次型C .负定D .负定二次型21.约束极值点的库恩-塔克条件为1()()qi i i f x g x λ=∇=-∇∑，当约束条件()0(1,2,...)i g x i m ≤=和0i λ≥时，则q 应为（ ）（P39-47）A .等式约束数目B .起作用的等式约束数目C .不等式约束项目D .起作用的不等式约束数目22.一维优化方法可用于多维优化问题在既定方向上寻求下述哪个目的的一维搜索（ ）（P48-49）A ．最优方向B .最优变量C ．最优步长D ．最优目标23.在任何一次迭代计算过程中，当起始点和搜索方向确定后，求系统目标函数的极小值就是求（ ）的最优值问题（P48-49）A .约束B .等值线C .步长D .可行域24.求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点()k x 出发，沿使目标函数满足下列哪个要求所规定方向()k d 搜索，以找出此方向的极小值(1)k x +（ ）（P48-49）A .正定B .负定C .上升D .下降25.对于一维搜索，搜索区间为[a,b],中间插入两个点1111a b a b <、，，计算出11()()f a f b <，则缩短后的搜索区间为（ ）（P49-51）A . [a 1,b 1]B . [b 1,b]C . [a 1,b]D . [a,b 1]26.函数()f x 为在区间[10,20]有极小值的单峰函数，进行一搜索时，取两点13和16，若f （13）<f(16),则缩小后的区间为（ ）（P49-51）A.[10,16]B.[10,13]C. [13,16]D. [16,20]27.为了确定函数单峰区间的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按（）变化的单峰区间为止 （P49-52）A ．高-低-高B ．高-低-低C ．低-高-低D ．低-低-高28.0.618法是下列哪一种缩短区间方法的直接搜索方法（ ）（P51-53）A .等和B .等差C .等比D .等积29.假设要求在区间[a,b]插入两点12αα、，且12αα< ，下列关于一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是（ ）（P51-53）A.其缩短率为0.618B.1()b b a αλ=--C.1()a b a αλ=+-D.在该方法中缩短搜索区间采用的是区间消去法。
高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
ky − 2 2 32 (x + y )
等值线方程为 x2 + y2 = (k / c)2. BUCT
结论: 结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点 蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
4 3.5 3 2.5 -grad f 2 1.5 1 0.5 0 grad f y
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
BUCT
一、问题的提出
一块长方形的金属板， 实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1) (5,1)，(1,3)，(5,3)． (1,1)， 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热． 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意 一点处的温度与该点到原点的距离成反比． 一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一只蚂蚁 处有一只蚂蚁， (3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬 行才能最快到达较凉快的地点？ 行才能最快到达较凉快的地点？
BUCT
示意图
3 2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质： 实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ BUCT
实例二
观 察 支 流 的 流 动 方 向
西点军校地形图
BUCT
一、方向导数 定义: 定义 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处 沿方向 l (方向角为 α , β , γ ) 存在下列极限:
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
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二元函数的等值线
【最新版】
目录
1.二元函数等值线的概念
2.二元函数等值线的分类
3.二元函数等值线的绘制方法
4.二元函数等值线的应用
正文
【1.二元函数等值线的概念】
二元函数等值线，是指在平面直角坐标系中，满足二元函数 y=f(x,y)
的点 (x,y) 组成的曲线。在这些曲线上，二元函数的取值都相等。研究
二元函数等值线有助于我们更好地理解函数的性质和规律。
【2.二元函数等值线的分类】
二元函数等值线可以按照等值线的形状进行分类，常见的有以下几种：
- 直线型：等值线为直线，表示函数的取值在直线上均匀分布。
- 圆型：等值线为圆，表示函数的取值在圆上均匀分布。
- 椭圆型：等值线为椭圆，表示函数的取值在椭圆上均匀分布。
- 双曲线型：等值线为双曲线，表示函数的取值在双曲线上均匀分布。
【3.二元函数等值线的绘制方法】
要绘制二元函数等值线，一般可以采用以下步骤：
- 确定函数的取值范围，选择适当的等值线间隔。
- 在平面直角坐标系中，画出函数的等值线。
- 按照等值线的形状，判断函数的性质和规律。
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【4.二元函数等值线的应用】
二元函数等值线在实际应用中具有重要意义，例如在物理、化学、生
物、地理等领域。