特殊平行四边形-证明题

基础篇

题型一：菱形的证明

1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻

折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；

（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．

3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．

（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；

（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．

4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、

CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是

5如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE .

（1）求证：△ABE ≌△ACE

（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.

D

A

E

N

M

O

A

B

C

D

E

F D ′

A

D

G

C

B F E

6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD

△沿CA方向平移得到A C D

'''

△．（1）证明A AD CC B

'''

△≌△；

（2）若30

ACB

∠=°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D''是菱形，并请说明理由．

7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56

AB AC

==

，．点D作DE AC

∥交BC的延长线于点E．

（1）求BDE

△的周长；

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP DQ

=．

8．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的________心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

9、如图,已知:在四边形ABFC中，ACB

∠=90BC

,?的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;

(2)当A

∠的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

(特别提醒:表示角最好用数字)

10、如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB CD

，的延长线分别交于E F

，．（1）求证：BOE DOF

△≌△；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A E C F

，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

A Q D

E

B P C

O

C

B

A

D

A'C'

（第19

D'

型二：正方形的证明题

1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想

2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC

交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜

想．

4、如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方

形.连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，

请说明理由.

图12

G F

E

D

C

B

A

5．如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间

的数量关系（不需要证明）．

F

D

O

C

B

E

A

D C

A B

G

H

F

E

（2）

7、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE 于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由．9．如图：已知在ABC

△中，AB AC

=，D为BC边的中点，过点D作DE AB DF AC

⊥，⊥，垂足分别为E F

，.

（1）求证：BED CFD

△≌△；

（2）若90

A

∠=°，求证：四边形DFAE是正方形.

题型五：矩形的证明题

1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，在梯形ABCD中，AD BC AB DE AF DC E F

∥，∥，∥，、两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．

（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；

（2）当AB DC

=时，求证：ABCD是矩形．

A

B C

D

E

F

E'

G

D

C

B

E

A

F

A D

C

F

E

B

3.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内． 求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．

4.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与

DE 是否相等？并证明你的结论．

5、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．

（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．

A

B

C

E

F M N

O (第19题图）

6、如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的

延长线于F ，且

AF DC =，连接CF ．

（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

A

C

B

D P

Q

A

B C

D E F

题型六：综合证明题

2.如图所示，在Rt ABC △中，90ABC

=?∠．

将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60?得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180?得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？

3．如图，ABC △中，点O 是边

AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．

（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；

（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； （3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

B

A F

C

E

D

A

F

N

D C B

M E

O

A

D

F

C

E

G

B

5、如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =

，BC =AC BD ，相交

于点O ，将直线

AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．

（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段

AF 与EC 总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．

选讲四边形证明经典题

1. 在□ ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.

A

B

C

O F E

H

G F E O D

C

B A

图①

H G

F E O D

C

B

A

图②

A B

C

D

O

E F G H 图③

A

B

C D O E

F G H

图④ （第1题图）

2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．

（1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断

四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

3.如图，ABM ∠为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点

B 重合），连结AD ，作BE AD ⊥，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF CE ⊥，交BD

于F ．（1）求证：BF FD =；

A

D

B

E F

O

C

（2）A

∠在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

（3）A

∠在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件1

4

DG DA

=，并说明理由．

4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，

G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

5.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；

(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

A

B

C

D

F

E

M

③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不

存在．

6.如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

问题一图1 O F G E

D

C B

A

7、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且

BE AE ＝BF

FC

＝DG GC ＝HD

AH

＝k （k ＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结BD ∵BE AE ＝HD AH ，BF FC ＝DG

GC

∴EH ∥BD ，FG ∥BD

①连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答： ； ②当k 值为 时，四边形EFGH 是平行四边形；

③在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为矩形；

(第29题图)

C

B

A

D

F E

④在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为菱形；

第2题图

H

G

F E

D

C

B

A

8.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且EF ∥AC ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG ＝AD ，EG 与DF 相交于点H 。求证：AH ＝AD 。

例1图

9、如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACD ＝600，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。

（1）求证：△PQS 是等边三角形； （2）若AB ＝8，CD ＝6，求PQS S ?的值。 （3）若PQS S ?∶AOD S ?＝4∶5，求CD ∶AB 的值。

第4题图

S Q

P

O

D C

B

A

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑

行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

探究：设A 、P 两点间的距离为x 。

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；

（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当点P 在线段AC 上滑行时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

D

C

B A

D

C

B A

D

C

B A

11、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．

12、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF.

E