高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.6 圆锥曲线的综合问题课件 理 新人教B版
数),再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单 调性法、三角换元法等. 4.存在性问题 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元 素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实 数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 5.求定值、最值、范围等圆锥曲线综合问题的四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.
由 x2
⇒y(23+14,k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
4 3
y kx m
所以x1+x2=- 38k,4xmk1x22= , 43(m*2)4k122
由∠AFP=∠BFQ,得kPF=-kQF⇒ y1+ =y02 ⇒y1(x2-1)+y2(x1-1)=0, x1 1 x2 1
∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
Hale Waihona Puke 整理得2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, ③
将①②代入③并化简得8(b+k)=0,
∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l的方程为y=k(x-1),
即直线l过定点(1,0).
1-1 (2015甘肃二模,20,12分)椭圆C: x2 + y2 =1(a>b>0)的离心率e= 1 ,过椭圆右焦点F且斜率为1
a2 b2
2
的直线l截椭圆所得弦长为 24 .
7
(1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆长轴的两个端点,作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的直线PQ,与椭圆交 于P、Q两点,若满足∠AFP=∠BFQ,求证:直线PQ恒经过一定点. 解析 依题意知l:y=x-c, ①
又e= 1 ,所以椭圆C:x 2 + y2 =1, ②
突破方法
方法1 圆锥曲线中的定点、定值问题
“定点”“定值”问题是圆锥曲线中常考题型,难度较大,注重知识点之间的联系与综合, 更加注重对数学思想方法,尤其是函数思想,数形结合思想及分类讨论思想的考查. 1.圆锥曲线中的定点、定值问题常用的解题方法 (1)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值; (2)从特殊情况入手,求出定点或定值,再证明定点或定值与变量无关. 2.求解定点问题的基本思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把常量当作未知数,将方程一端化为0,即化为 kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把常量k当作未知数). (2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就
得到一个关于x,y的方程组,即
f g
(x, (x,
y) y)
0, 0,
(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足
f g
(x, (x,
y) y)
0, 0
的点(x0,y0)为直线
或曲线所过的定点. 3.求解定值问题的基本思路 (1)首先求出这个几何量或代数表达式; (2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式; (3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列 出方程k=g(m,n),代入y=f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常数)的形式. 例1 (2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的平分线, 证明直线l过定点. 解析 (1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交 MN于H,则H是MN的中点,∴|O1M|= x2 42 ,
又|O1A|= (x 4)2 y2 ,∴ (x 4)2 y2 = x2 42 , 化简得y2=8x(x≠0). 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2 =8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
高考理数
§10.6 圆锥曲线的综合问题
知识清单
1.定点问题 定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过取参数的不同特殊值, 及对应的方程组的根的求解完成),即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关. 2.定值问题 (1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到一般结论. (2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:①选择适当的变量;②把要证 明的定值的量表示成上述变量的函数;③把定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值. 3.最值问题 求最值问题常见的方法有两种: (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象性质来解决,特别要关注是用圆锥 曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数(通常为二次函
2
4c2 3c2
联立①②得7x2-8cx-8c2=0,
所以 24 = 2 7
,解87c 得2 c=41,所以87c2a=2,
b= 3,
于是椭圆C的方程为 x2 + y2 =1. (5分)
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且4直线3 PQ的方程为y=kx+m(k≠0),
将y=kx+b代入y2=8x,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
其中Δ=-32kb+64>0.
由根与系数的关系得,x1+x2= 8 k22bk , ①
x1x2=
b2 k2
.
②
因为x轴是∠PBQ的平分线,所以 y1 =- y2 , x1 1 x2 1
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
合集下载
2019届高考数学(文科,新课标B)一轮复习优秀课件：§10.5 圆锥曲线的综合问题 (共79张PPT)
想方法,属难题.
x2 y 2 2 2 3.(2015课标Ⅱ,20,12分,0.247)已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,点(2, )在C上. a b 2
(1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的 斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
2
12k 1 k 2 故同理可得|AN|= . (7分) 3k 2 4 2 k 由2|AM|=|AN|得 2 = ,即4k3-6k2+3k-8=0. (9分) 2 3 4k 3k 4
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增. 又f( 3 )=15 3 -26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在( 3,2)内,所以 3<k< 2. (12分) 思路分析 (1)因为A是椭圆的左顶点,由椭圆的对称性及|AM|=|AN|可知点M和N关于x轴对称,所 以直线MN⊥x轴,加上AM⊥AN,可得直线AM的斜率为1,求出直线AM的方程,与椭圆方程联立,即 可求出点M的坐标.(2)直线AM,AN互相垂直,斜率互为负倒数,设其中之一为k,并将两直线方程分 别与椭圆联立,可用k表示出|AM|,|AN|,代入 2|AM|=|AN|,得到一个关于k的方程,再利用导数工具及 函数零点的知识,可求得k的范围. 评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系,考查了设而不求,整体运算的技巧,考查了函数的思
1 代入椭圆方程,并将两式相减,整理得
y y2 1 4 x1 x2 1 2 x0 1 =- · =- · ,也就是 k=,于是k· kOM=- 为 x1 x2 2kOM 8 y1 y2 2 2 y0 2
2023版高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆课件理
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ✕ )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.
(
)
✕
(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆
的长半轴长,c为椭圆的半焦距).
( √ )
(4)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. (
第十章
圆锥曲线与方程
第一讲
椭 圆
要点提炼
椭圆的定义和标准方程
考点1
1. 定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作
椭圆 .这两个定点叫作椭圆的________,两焦点间的距离叫作椭圆的______
焦点
焦距 .
______
集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且
9 4
则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )
A.13 B.12 C.9
D.6
椭圆的定义及其应用
考向1
解析
(1)由题意得a=3,b= 7,c= 2,∴|F1F2|=2 2,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2+8-4|AF1|,
(i) 2 + 2 =1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
2 2
(ii) 2 + 2 =1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质理新人教B版
求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定型,再定量,即首先确定焦点所 在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有 时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.解题步骤如下:
例2
(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆E:
mn
若焦点位置不确定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B).
3.点P(x0,y0)和椭圆
x a
2 2
+y
b
2 2
=1的关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x a
Hale Waihona Puke 2 0 2+y
2 0
b2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
x a
2 0 2
+y
2 0
b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
高考理数
§10.1 椭圆及其性质
知识清单
1.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0).
b2 a2
(2)统一方程: x 2 + y 2 =1(m>0,n>0),由m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上.
(1)求a,b,c的值,由e2= c 2 = a 2 =b12-
x a
2 2
+y
b
2 2
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E
例2
(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知椭圆E:
mn
若焦点位置不确定,则可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B).
3.点P(x0,y0)和椭圆
x a
2 2
+y
b
2 2
=1的关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x a
Hale Waihona Puke 2 0 2+y
2 0
b2
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
x a
2 0 2
+y
2 0
b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
高考理数
§10.1 椭圆及其性质
知识清单
1.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: x 2 + y 2 =1(a>b>0).
b2 a2
(2)统一方程: x 2 + y 2 =1(m>0,n>0),由m,n的大小来判断焦点在哪个坐标轴上.
(1)求a,b,c的值,由e2= c 2 = a 2 =b12-
x a
2 2
+y
b
2 2
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E
高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.3抛物线及其性质课件理新人教B版
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)x1x2= p 2 ,y1y2=-p2;
4
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
(4) 1 + =1 . 2
|AF | |BF | p
证明 (1)由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p.
(2)设直线AB的方程为y=k x ,
(1)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切;以CD为直径的圆切AB于点F;以AF(或BF)为直
径的圆与y轴相切;∠AEB=90°;∠CFD=90°等.
(2)|AB|=x1+x2+p.
(3)若直线AB的倾斜角为α,则|AF|= 1 ,c|pBo sFα|= ,|A1B|=cp o s α,S△AOB= s i2n p2.α (4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= p 2 ,y1y2=-p2.
∴ p -0-m=0,解得m=p .
2
2
又|AB|= x 1 + 2p =x 1x+2x2+2pp= 2m+3p=4p=6,
∴p= 3 ,故选B.
2
答案 B
3-1 如图,AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,点A,B在抛物线准线上的射影为A1, B1,且A(x1,y1),B(x2,y2).求证:
2
2
点坐标为 1 ,, 故14 切线MA的方程为y=- (x12 +1)+ 14.
因为点M(1- 2,y0)在切线MA及抛物线C2上,
所以y0=- 1 (2- 2 )+ 1 =-3 2, ①2
(2)x1x2= p 2 ,y1y2=-p2;
4
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
(4) 1 + =1 . 2
|AF | |BF | p
证明 (1)由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p.
(2)设直线AB的方程为y=k x ,
(1)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切;以CD为直径的圆切AB于点F;以AF(或BF)为直
径的圆与y轴相切;∠AEB=90°;∠CFD=90°等.
(2)|AB|=x1+x2+p.
(3)若直线AB的倾斜角为α,则|AF|= 1 ,c|pBo sFα|= ,|A1B|=cp o s α,S△AOB= s i2n p2.α (4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= p 2 ,y1y2=-p2.
∴ p -0-m=0,解得m=p .
2
2
又|AB|= x 1 + 2p =x 1x+2x2+2pp= 2m+3p=4p=6,
∴p= 3 ,故选B.
2
答案 B
3-1 如图,AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,点A,B在抛物线准线上的射影为A1, B1,且A(x1,y1),B(x2,y2).求证:
2
2
点坐标为 1 ,, 故14 切线MA的方程为y=- (x12 +1)+ 14.
因为点M(1- 2,y0)在切线MA及抛物线C2上,
所以y0=- 1 (2- 2 )+ 1 =-3 2, ①2
高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)课件 新人教B版
2 12 － 4× 6× 5 30 2 |AB|＝ 1＋－ 2 · ＝ . 6 3
点评： 1.点差法的一个基本步骤是：点 A(x1， y1)， B(x2，y2)都在圆锥曲线 f(x· y)＝0 上， ∴f(x1，y1)＝0， f(x2， y2)＝ 0，两式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝ 0，然后变形构造 y2－ y1 出 及 x1＋ x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解． x2－ x1
1 y＝ 3x－3 x＝6， (2)解方程组 1 22 ，得 5 y＝－ x－ y＝－ . 3 9 2 所以直线 l1 和 l1、 l2 与
Ax＋ By＋ C＝ 0 2．解方程组 fx， y＝ 0
时，若消去 y，得到
关于 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0，这时要考虑 a＝0 和 a≠ 0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况 要考虑全面，除 a≠ 0，Δ＝ 0 外，当直线与双曲线的渐近 线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平 行时，只有一个交点． 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0， 即只能得到一个一次方程．
x2 y2 [例 1] P(1,1)为椭圆 ＋ ＝ 1 内的一定点，过 P 点 4 2 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的 长度．
解析： 设弦 AB 所在的直线方程为 y－ 1＝ k(x－ 1)， A、B 两点坐标分别为 (x1， y1)， (x2，y2)，则
2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是 → → 否过焦点，遇到 AO⊥BO 的情况，常用AO· BO＝ x1x2＋ y1y2＝ 0 解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法 解决．
点评： 1.点差法的一个基本步骤是：点 A(x1， y1)， B(x2，y2)都在圆锥曲线 f(x· y)＝0 上， ∴f(x1，y1)＝0， f(x2， y2)＝ 0，两式相减 f(x1，y1)－f(x2，y2)＝ 0，然后变形构造 y2－ y1 出 及 x1＋ x2 和 y1＋y2，再结合已知条件求解． x2－ x1
1 y＝ 3x－3 x＝6， (2)解方程组 1 22 ，得 5 y＝－ x－ y＝－ . 3 9 2 所以直线 l1 和 l1、 l2 与
Ax＋ By＋ C＝ 0 2．解方程组 fx， y＝ 0
时，若消去 y，得到
关于 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0，这时要考虑 a＝0 和 a≠ 0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况 要考虑全面，除 a≠ 0，Δ＝ 0 外，当直线与双曲线的渐近 线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平 行时，只有一个交点． 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为 0， 即只能得到一个一次方程．
x2 y2 [例 1] P(1,1)为椭圆 ＋ ＝ 1 内的一定点，过 P 点 4 2 引一弦，与椭圆相交于 A、B 两点，且 P 恰好为弦 AB 的中点，如图所示，求弦 AB 所在的直线方程及弦 AB 的 长度．
解析： 设弦 AB 所在的直线方程为 y－ 1＝ k(x－ 1)， A、B 两点坐标分别为 (x1， y1)， (x2，y2)，则
2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是 → → 否过焦点，遇到 AO⊥BO 的情况，常用AO· BO＝ x1x2＋ y1y2＝ 0 解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法 解决．
全国版2022高考数学一轮复习第10章圆锥曲线与方程第4讲圆锥曲线的综合问题课件理202103171
故点P到定点F的距离与它到定直线x=-1的距离相等,
所以点P的轨迹是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线. 设P(x,y),则点P的轨迹方程为y2=4x(x≠0).
图10-4-2
考法1 求轨迹方程
考法1 求轨迹方程
考法1 求轨迹方程
考法1 求轨迹方程
方法技巧
求轨迹方程的常用方法与答题步骤
考法1 求轨迹方程
考法1 求轨迹方程
考法1 求轨迹方程
图 10-4-1
考法1 求轨迹方程
解法二(定义法) 如图10-4-2所示,过点P作y轴的垂线,与直线l交于点S,与
y轴交于点R,连接ST,PF.由题意知SF垂直平分线段TP,所以四边形STFP为菱
形,
所以|PS|=|PF|,且G为线段SF的中点,
所以|RS|=|OF|=1,
高分帮 ·“双一流”名校冲刺 提能力· 数学探索
数学探索1 圆锥曲线与数列的综合问题 数学探索2 圆锥曲线与平面向量的综合问题
考情解读
考情解读
考点帮·必备知识通关 考点 曲线方程的求法
考点 曲线方程的求法
1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0
一选 (设参)
选择变量,定点问题中的定点,随某一个量的变化而固定,可选择这个量为变 量(有时可选择两个变量,如点的坐标、斜率、截距等,然后利用其他辅助条 件消去其中之一
二求 (用参)
求出定点所满足的方程,即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量 的方程
三定点 (消参)
对上述方程进行必要的化简,即可得到定点
元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直
线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不
(浙江专用)高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 曲线与方程课件.pptx
4.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存 在,说明理由.
= PQ
思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 NP= 2 得NM到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2)
利用向量的坐标运算得 OQ· P=F0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.
3
方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接 法有相关点法、交轨法和参数法. 2.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆 A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边 形MPNQ面积的取值范围.
3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于 A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
6
解析
由题设知F
1 2
,.0设 l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A
a2 2
,,Ba
,Pb22
, b,Q
,R1
2
= PQ
思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 NP= 2 得NM到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2)
利用向量的坐标运算得 OQ· P=F0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.
3
方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接 法有相关点法、交轨法和参数法. 2.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆 A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边 形MPNQ面积的取值范围.
3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于 A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
6
解析
由题设知F
1 2
,.0设 l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A
a2 2
,,Ba
,Pb22
, b,Q
,R1
2
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题
1234
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴 于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状， 并说明理由.
1234
设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)， 即 x＝y－k y0＋x0， 代入 y2＝4x，整理得 ky2－4y＋4y0－ky20＝0， 因为此直线与抛物线相切，所以 Δ＝4(4－4ky0＋k2y20)＝0， 即(ky0－2)2＝0，解得 k＝y20， 所以过 A 的切线为 y－y0＝y20(x－x0)，
＝kx－p2， 联立抛物线方程得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k24p2＝0，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝k2pk＋2 2p＝2kp2 ＋p， 此时|AB|＝x1＋x2＋p＝2kp2 ＋2p>2p，
显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小， 即2p＝4，解得p＝2， ∴抛物线E：y2＝4x.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.13 圆锥曲线中探索性 与综合性问题
题型一 探索性问题
例 1 (2023·南通模拟)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，
且过点
315，
2.
(1)求双曲线C的标准方程；
依题意ac＝2， 35a2－b22＝1，
结合 c2＝a2＋b2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴 于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状， 并说明理由.
1234
设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)， 即 x＝y－k y0＋x0， 代入 y2＝4x，整理得 ky2－4y＋4y0－ky20＝0， 因为此直线与抛物线相切，所以 Δ＝4(4－4ky0＋k2y20)＝0， 即(ky0－2)2＝0，解得 k＝y20， 所以过 A 的切线为 y－y0＝y20(x－x0)，
＝kx－p2， 联立抛物线方程得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k24p2＝0，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝k2pk＋2 2p＝2kp2 ＋p， 此时|AB|＝x1＋x2＋p＝2kp2 ＋2p>2p，
显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小， 即2p＝4，解得p＝2， ∴抛物线E：y2＝4x.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.13 圆锥曲线中探索性 与综合性问题
题型一 探索性问题
例 1 (2023·南通模拟)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，
且过点
315，
2.
(1)求双曲线C的标准方程；
依题意ac＝2， 35a2－b22＝1，
结合 c2＝a2＋b2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程课件
所以 OQ · PF =0,即O Q ⊥ PF .
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 NP = 2 NM 得到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2)
利用向量的坐标运算得 OQ · PF =0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.
高考数学 (浙江专用)
第十章 圆锥曲线与方程
§10.5 曲线与方程
五年高考
考点 曲线与方程
1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2 2 +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂
足为N,点P满足N P = 2 N M .
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且O P P· Q =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.
(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), NP
=(x-x0,y), NM
=(0,y0).
由 NP = 2 NM 得x0=x,y0=
2
y.
2
因为M(x0,y0)在C上,所以 x22 + y22 =1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
y k(x 1),
由
x
2
4
y2 3
1
得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
2023版高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线与方程第三讲抛物线课件理
4
1
x=-4的距离相等,
1
1
1
则圆心P的轨迹是以( ,0)为焦点,直线x=- 为准线的抛物线,故p= ,所以
4
4
2
动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.
考向2
抛物线的标准方程及几何性质
3.典例 (1)[2021合肥市三检]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直
线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|,则抛物线C
.
考向1
抛物线定义的应用
解析 （1）根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=- 的距离为12,
2
因为点A到y轴的距离为9,所以 =12-9,解得p=6.故选C.
2
(2)由题意可知,点A在抛物线的内部,抛物线的焦点F(2,0),抛物线的准
线方程为x=-2,△PAF的周长为
|PA|+|PF|+|AF|,|AF|= (6−2) 2 + (3−0) 2 =5.过点P作准线的垂线,交准
2
2
又|OF|= (O为坐标原点),直线y=4与x轴平行,∠POF=90°,所以四边形OFQP
2
为矩形,则QF⊥x轴,可得|QF|=p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)解法一
由题易得|OF|= ,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以
2
2
|| ||
tan∠OPF=tan∠PQF,所以
.
1
1
(2)已知动圆P恒过定点( ,0),且与直线x=- 相切,则动圆P的圆心轨迹M的
4
4
方程为
y2=x
.
1
x=-4的距离相等,
1
1
1
则圆心P的轨迹是以( ,0)为焦点,直线x=- 为准线的抛物线,故p= ,所以
4
4
2
动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.
考向2
抛物线的标准方程及几何性质
3.典例 (1)[2021合肥市三检]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直
线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|,则抛物线C
.
考向1
抛物线定义的应用
解析 （1）根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=- 的距离为12,
2
因为点A到y轴的距离为9,所以 =12-9,解得p=6.故选C.
2
(2)由题意可知,点A在抛物线的内部,抛物线的焦点F(2,0),抛物线的准
线方程为x=-2,△PAF的周长为
|PA|+|PF|+|AF|,|AF|= (6−2) 2 + (3−0) 2 =5.过点P作准线的垂线,交准
2
2
又|OF|= (O为坐标原点),直线y=4与x轴平行,∠POF=90°,所以四边形OFQP
2
为矩形,则QF⊥x轴,可得|QF|=p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)解法一
由题易得|OF|= ,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以
2
2
|| ||
tan∠OPF=tan∠PQF,所以
.
1
1
(2)已知动圆P恒过定点( ,0),且与直线x=- 相切,则动圆P的圆心轨迹M的
4
4
方程为
y2=x
.