复数的乘法及其几何意义

复数的乘法及其几何意义教案1

教学目标

1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．

2．掌握复数乘法的几何意义．

3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．

4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．

难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．

教学过程设计

师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．

(利用投影仪出示)

1．(1－2i)(2＋i)(4＋3i)；

(5分钟后)

师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概

请同学们再考虑下面一个问题：

如果把复数z

1，z

2

分别写成

想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．

(教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程)

学生板演：

师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？

生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．

在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．

师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？

生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．

师：利用这个结论，请同学们计算：

大家把计算过程写在笔记本上．

(教师请一位同学在黑板上板演)

教师提示：由于复数定义是形如a＋bi(a，b∈R)的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即

师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用

r

1(cosθ

1

＋isinθ

1

)·r

2

(cosθ

2

＋isinθ

2

)=r

1

r

2

[cos(θ

1

＋θ

2

)＋isin(θ

1

＋θ

2

)]

计算，简便得多．

这就是复数的三角形式乘法运算公式．

三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？

使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．

同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？

(同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转)

生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针

方向旋转一个角θ

2(θ

2

＞0，如果θ

2

＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ

2

|，再把

其模变为原来的r

2倍(r

2

＞1，应伸长；0＜r

2

＜1，应缩短；r

2

=1，模长不变)，所

得的向量就表示积z

1·z

2

．这是复数乘法的几何意义．

图形演示(如图8－7)： =·．

师：现在我们研究问题．如图8－8，向量OZ与复数－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求与向量对应的复数．请同学们想一想．生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是

对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)．

师：解此题复数是否一定化成三角形式？

生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．

师：说得好，请同学们写一下解题过程．

(找一名同学到黑板板演)

解：所求的复数就是－1＋i乘以一个复数z

0的积，这个复数z

的模是1，

辐角的主值是120°．所求的复数是：

(－1＋i)·1·(cos120°＋isin120°)

师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习．

(使用投影仪，映出练习题)

2．已知复数z

0所对应的向量

，通过作图，画出下列复数z所对应的向

量．

(教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演．)

师：这三位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？

师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算．

哪位同学改正一下：

师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代数形式才得以进行．

接下来看第2题的第(1)小题．

生丙：第(1)题画错了，应当把向量按逆时针方向旋转60°，可板演图只转30°．

师：为什么？

生丙：乘数sin30°＋icos30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos60°＋isin60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．

师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．

现在看第2题的第(2)小题，将逆时针旋转120°正确吗？为什么？

说明模没有变化，只是把向量绕原点O按逆时针旋转120°．

师：向量画的正确吗？若不正确，应当怎么画？

生戊：不正确，旋转120°后，取其反方向的向量，模不变，得到．也

可以先取的反方向的向量，再逆时针旋转120°．

师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：

已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为1＋2i，3－5i，求与另外两个顶点对应的复数．

为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1＋2i，点B对应复数是3－5i，求点C、D对应的复数．如图8－11．

同学们开始讨论解法．