东北师范大学物理系

量子力学 练习题1答案

一。基本概念及简要回答

1. p 和 p

是否相等？为什么？

答：不相等。因为p

是动量 p r

的本证态，而p

是动量p r

的本证态，实际上p

与p r

代表同一个态。 2． 判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？

； )()(t t ； w v u ； w F

u ?。 答：

是算符，)()(t t ，w F

?是数， w v u 是矢量。

3. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在0

和a 点不连续。

4．为什么既不能把 波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把 波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？

答：自由粒子的物质波包必然要扩散，与实验矛盾。所以不能‘把波包看作粒子’；另一方面，戴维逊-戈末实验表明电子的波动性不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象，单个电子就具有波动性，否则每次只有一个粒子，但长时间的衍射干涉就不会有干涉花样. 所以不能‘把波看作由粒子构成的’。

5. 设

??A A ，??B B ，??0A B ，。试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。

(1)1?????()2F AB BA i

; (2)???G AB ; (3)???C A iB ; (4)???D

A B 。 解：

（1）1?????()2F AB BA i

，11?????????()()22F B A A B AB BA i i

??F

F ，即?F 为厄米算符。

（2）???G AB ， ??????????G AB B A BA AB G

。

?G

不是厄米算符。

（3）???C A

iB ，???C A iB

??C C ，即?C 不是厄米算符。

（4）???D A

B ，?????D A B A B

??D

D ，即?D 为厄米算符。 6． (9’) 指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。为什么？

A.

)(t ; B. )(x ; C.)(t ; D. ()r r r

v

; E.

10

; F. )'('x x x . 答：B ，E ，F 不正确。B 中x 是力学量， x 是态 在x 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E ，F 不正确是因为左边是态与具体表

象无关的Dirac 符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。

7．(5’)简述态迭加原理。 若 n

n

n c

， 且n n n f F ?， 那么n

n c c

的物理意义是什么？ 答：迭加原理：如果1

，2

是体系的可能状态，那么它们的线性迭加

1

2

1

2

c c

（

1

2

,c c

是复数）也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学的态迭加原理。

n

c 的物理意义：在 态中包含n

态的振幅，

2

||

n c 是包含

n

态的几率。当

n

是某一个算符本征值时，

2

||

n c 就是这个本征值

在这个态中出现的概率。

8．(5’)在一维谐振子基态得经典区域之外，粒子出现的几率也不为零，这是否意味粒子的动能可为负值？怎样解释这一结果？ 答：不能。因为p k E E E

9. (3’)确定dx d

i ，22dx d ，22dx d i 哪些是厄米算符哪些不是厄米算符。

答：dx d

i ，22dx d 是厄米算符，22dx

d i

10．指出下列使用的Dirac 符号那些是不正确的。为什么？

A.

)(t ; B. )(x ; C.)(t ; D. ()r r r

v ; E.

10

; F. )'('x x x .

答：B ，E ，F 不正确。B 中x 是力学量， x 是态 在x 的振幅，不能用一个点的振幅代表态。E ，F 不正确是因为左边是态与具体表

象无关的Dirac 符号态矢量，右边是有具体表象决定的波函数。 11. (5’) p 和 p

是否相等？为什么？

答：不相等。因为p

是动量 p r

的本证态，而p

是动量p r

的本证态，实际上p

与p r

代表同一个态。 12. (5’)波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

答：不一定。例如，对于无限深势阱波函数中粒子波函数在全空间连续，但微商在0

和a 点不连续。

13. (6’) 如果??A A ，??B B 且????,C i A B C

，??,,A a a a B b b b a b 和都是

束缚态，则

??0.a C

a b C b 证明：

??????0.

i a AB

BA a ia a B a a B a

这里考虑了a 是束缚态，因而?a B

a 是有限的，及?a A a a 。同理可证?0.

b C b 如令????,,z x A L B L 则??y C L h ，由此得?0y

L lm 。

二．1、质量为

m

的粒子处于一维谐振子势场 0,2

12

1 k kx x V 的基态，

若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成 2

2kx x V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 x V 2基态的几率；(只

列出详细的计算公式即可)

解：粒子的波函数(,)x t 随时间的变化满足方程

2222i V t m x

h h

对时间区间t t 积分得

22

21110

120t t t t t t i dt t t t dt V dt m x

t V t t t t

h h ，

。

可见，当

V

发生突变（由12V V ）、但变化量有限时，

不变。以0()x 和0()x 分别表示1

V 场和2V

场的基态波函数，当势场突

然由1V 变成2V 后，粒子的波函数仍为0()x 。由于1V 已变为2V ，新势场2V 中的基态是00 。于是随即测量粒子的能量，则测

得粒子处于0 态的概率为2

00

，即粒子能量为新基态能量0E ’的概率为

2

00

。

将1V 和2V 写成标准形式：

222

112222211

()22

1()2

V x kx m x V x kx m x

可得

21 ，又有：

222212

/22

0112

/22

02(),/(),/x x x e

m x e

m h h

其中

2221//

因此

2221

1

2

()2

002

22x e dx

所求概率为2

00

2

2

2

2、质量为m 的粒子，在阱宽为a 的一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处于

)()()()0,(332211x c x c x c x

态，式中21()2n n n H m a

)h ，n=1，2，3 (12)

3

2

221 c c c

求：（1）（5’）t=0时，E 及2

2

222ma E 的几率

（2）(5’)t>0时的波函数),(t x ，能量的可能取值及相应几率。 （3）若粒子处于基态a

x

a sin 21

，求 A ．（5’） 粒子的动量分布（只列公式，不必计算）

B ． (7’)当阱宽突然变为2a 时，求粒子处于新的基态的几率（只列公式，不必计算）。 解：（1）

2

2

2

222222

2

2

2

1

2

3

/()/()/()2922E C C C m a m a m a h

h

h

2

2222ma E 的几率是22C

(2）三个可能值分别为

22

2

/()2m a

h

，2

22

/()42m a

h

和2

2

2

/()92m a

h

，它们相应的取值几率分别为21||c ，22||c 和2

3||c

（3） A

．将

1

()x x a

向动量本征态展开，即

2

*2

/1

()a

ipx p

x w p c p x dx dx a

e

B ．因为阱宽度突然变为2a ，粒子状态还来不及变化，

2

2

2

2

21

1

1

2

1

202.

t t

t t t

t

i dt i t t t

dt V dt

m x t V t t m x t t t t

h h h h ，

。 所以粒子仍处于

1

()x 态，而由于阱宽度变为2a ，新的H 的本征态已变，设为'

1

()x

，'1

1

()(2)x a a ，则此时处于此态几率为

2

2

1''

11110|()()||

()()|a

x x dx x x dx W

3、 计算对易关系

p L

?,?，其中，

z y x ,,, 。

解：

0?,???,? x y z

x

x

p p

z p y p L

（1）

y y x x x y

x

z

p p p x p p

y p x p L

?i ??,?,???,? （2） 同理可得

0?,? y

y

p L

;

0?,? z

z p L （3）

z y

x p p L

?i ?,? ;

x z

y p p L ?i ?,? （4）

三．1、已知二维谐振子的哈密顿算符为

2

222

2

12??y x p H ，在对其施加微扰

xy W

? 后，利用微扰论求

W H H ???0

第一激发态能量至一级修正。

提示：

1,1,21

21n m n m n m n n x ，其中，

，而

n

为线谐振子的第

n 个本征矢。

解：若选

22222011???22

?x y H p p x y W

xy （1）

则

W H H ???0

（2） 已知0?

H 的本征解为

,2,1,0, ),()(),(10,0, y x n n n n y x n n n n y x y x n n E y

x

y

x

y x

（3）

令

,2,1,0 , n n n n y x （4）

则零级近似能量本征值可写成

10

n E n （5）

第一激发态1 n

，简并度为21 f 。在简并子空间中，相应的零级近似解为

010********,()()

,()()

E x y x y x y x y

h （8）

能量一级修正满足的本征方程为

0 12

1

11

c E W

（9）

相应的久期方程为

11222112

1111 E W W W E W （10）由

1,1,21

21n m n m mn

n n n x m x

（11）

可以求出微扰矩阵元

02211 W W （12）

而

12*

*0

11

02112d d 2W xy x x x x y y y y W

h ，

（13） 将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到

2 2112111

E E （14）

显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。

为了求出近似本征矢，将 111E 代回本征方程

b a b a 20 1 1 0 2 （15） 得到

b a （16）

由归一化条件可知

2

1

a （17）

于是，得到相应的零级本征矢为

00011

121

(,),x y （18）

同理可得，

112E 相应的零级本征矢为

00012

121

(,).x y （19）

2、对于一维运动，求算符?P

x 的本征值和本征函数，

。 解：在

?x

表象中， (

)()()x x x i x

h

()()()i

x x x x h

，

()()()d i x x dx x h ， ()()()d i

x x dx x

h ， 21

()2

i x x Ce

h ,

因为

???,P

x P

x P x

本征值 为任意实数。 3、质量为m 的粒子处于能量为E 的本征态，波函数为222

1

)(x Axe

x ，问粒子在什么样的位势中运动？

解：由 2

22

2E V x m x

h ，得

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

111exp exp exp 2222323322231

22x x Ex x Vx x m x x x Ex Vx m

V x E E x m m m E m x

m

h h

h h h

h h

这是谐振子势。

四. 1、已知??[,]1

，求证 1?????n n n n 证明：用数学归纳法证明。

当n=1时， ??????[,]1

假设当指数为

n=k

时，也成立。即： 1???????[,]k k k k n

，则当指数为n+1时，

111?????????[,][,]?????????[,][,](1)k k k k k k k k k n n

成立，所以 1?????n n n n

2、用狄拉客符号导出由F 表象到G 表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。 解：

?n n n

F

f f f

?n n n

G g g g

在F

表象中，

()f n f

g n n n f f g g S

n n S f g

，()()f g n n S

()()

??()f nm n m

g n m n m A f A f f g g A g g f S A S

。

n S 是么正变换矩阵元。

3、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

提示：偶极近似的情况下，H e x

。111()()()n n n x x x x

。

解：在只考虑电场作用，即，偶极近似的情况下，

H e x 。跃迁几率k m P 与矩阵元2

mk

x 成正比。

()()nn n n x x x x dx

在线性谐振子的情况下，利用

111()()()n n n x x x x

得

111

1()()()()nn n n n n x x x dx x x dx

,1,11n n n n 可见，要使

0mk x ，必须

1 n n 或 1 n n

由此得

1n n n

此即线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

五．1、一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。 解：定态波函数的一般形式为

iEt e r t r )(),(

E 为能量。由题可知)()(*r r 。由于是束缚态，必定有0)( r

（当 r ）

。于是可按下式计算动量平均值，如 *

2

2

?(,)(,)()()

1()

21()0.2

x

x

x x p d r t p

r t dxdydz r r i x

i dydz dx r x

i dydz r

v v

h v v

v

h v

h 对z y p p 、也有同样结果。

2、在能量表象中，一维谐振子在t ＝0时的状态为

...2010)0( 求

（1）(6’)能量的可能值及相应几率; （2）(4’)能量平均值;

（3）(8’)t 时刻粒子的波函数.

解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由2

2

125

可得，

130********(0),201......... 由1?2n H n h

，可得能量可能测值为37,22

h h 对应的几率分别为14,55 （2）用^

?H

H

来求得平均值为

31

10

h ，或 134731.525210

E

h h h （3）而t

时刻波函数3237

22137

20

()0i t i t i t

i t t e e

M 。 3、在能量表象中，一维谐振子在t ＝0时的状态为

...2010)0( 求

（1）能量的可能值及相应几率 （2）能量平均值

（3）t 时刻粒子的波函数

解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由2

2

125

可得，

130********(0),202.........

由1?2n H n h

，可得能量可能测值为37,22

h h 对应的几率分别为14,55 （2）用^

?H

H

来求得平均值为

31

10

h ，或 134731.525210

E

h h h

（3）而t

时刻波函数3237

22137

20

()0i t i t i t

i t t e e

M 六．1、质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于

kx A x 2

sin 的状态 上，求其动量p ?与动能T ?的几率分布及平

均值。

解：做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为

2???;2d p

p i T dx m

h

显然两者相互对易，有共同完备本征函数

())p i

x px

h 分别满足

2

?()()?()()2p p p p p

x p x p T x x m

将()x 向

()p x 展开，即

()()p

p

x c x dp

展开系数

2

202()()exp()exp()()[]2()[exp(2)2exp(2)]4(()2()()]4(2)2(0)(2)]p p p p p k k c x x dx

ikx ikx A x dx

i A x ikx ikx dx A x x x x dx p k p p k

h h h h

只有当

0,2p k h 时，0p c ，利用归一化条件

21p

p

c

可知归一化常数为

A

于是归一化后的展开系数为

202k k c c c

h

h

动量的取值概率为

121

(2);(0);(2)636

W p k W p W p k h h

平均值为

()0p

p pW p

动能的取值概率与动量相同，而平均值为

2222()23p p k T W p m

m h

2、

23303220

21

H ，ε=ε*<<1，求： ①. (10’)H 的近似到2 的能量本征值；

②. (8’)和近似到ε的波函数（用微扰法）

解：将矩阵改写成 010002002023003032H H H

能量的零级近似为000

1231;2;3E E E 能量的一修正为(1)(1)(1)

1230;;2E E E

利用能量二级修正公式2'(2)

(0)

(0),nk

k

n

k

n

H E n k E

E

求出能量二级修正的具体结果是(2)

2(2)2(3)

21

234;5;9E E E

近似到二级的能量为22(1)2

1314;25;329E E E

利用波函数一级修正的公式'(1)(0)(0)(0),nk k

n n

k n

H n k E E

可以求出波函数的一级修正为

(1)

(1)(1)12302021;0;31030

近似到一级波函数为1231202;1;3031

3、设

(0)

1(0)2

*(0)

30

000

c

E H

E

c E

①．求H 的准确本征值。 ②．若 (0)

||ij

c E ，,

1,2,3i j ，求H 的近似到二级的本征值，并与准确解的结果进行比较。

解：设本征值为 ，求解久期方程

(0)1

(0)2

*

(0)3

00

c

E

E

c

E

得到

1

2

(0)(0)(0)

1

1

3

,

||c E

E

E

(0)2

2

E

3

2

(0)(0)(0)

3

3

1

.

||c E

E

E

将哈密顿分解

(0)

(0)

11(0)(0)'

2

2

0*(0)*

(0)

330

000

000000000

00c E E c H

E

E

H H

c E c

E

根据微扰论，第一级本征值近似为

(1)'

n

nn E

H ，所以均为零，而第二级近似为

2

(2)(0)(0)'

||n m

n n

m mn H E E E 所以近似到二级为2

(0)

(0)(0)

111

3

||c E E E

E

，(0)22E E ，2

(0)

(0)(0)

331

3

||c E E E

E

量子力学 练习题2答案

一 基本概念基本解题方法

1 什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？

答：若???[,]0.A A H t

，则A 为量子体系的一个守恒量。其主要特征：无论体系处于什么状态（定态或非定态），守恒量的平均值及其可测值的概率分布不随时间改变。

若哈密顿?H

不含t ，则?H 的本证态，即能量有为以唯一确定之值的状态为定态。其特征是，定态中任何一个物理量，无论是否守恒量，其平均值及可测值的出现概率都不随时间变化。 2

已知??[,]1

，求证 1?????n n n n 证明：用数学归纳法证明。

当n=1时， ??????[,]1

假设当指数为

n=k

时，也成立。即： 1???????[,]k k k k n

，则当指数为n+1时，

111?????????[,][,]?????????[,][,](1)k k k k k k k k k n n

成立，所以 1?????n n n n

3 已知 ，?

?,B C 为厄米算符，则

???A iBC 也为厄米算符的条件是什么？ 答：???????()A iBC iC B iCB ，若?A 为厄米算符，则??A A ，即????iBC iCB ??{,}0B C ，即??,B C

反对易。

4. 若一个算符与角动量算符J ?

的两个分量对易，则其必与J ? 的另一个分量对易；

解：（1）设????,,0,i j F J F J

由角动量对易关系???,i j ijk k J J i J

h 可得

?????,,,0.ijk k ijk i j i F J i F J J h h

5.设 22

,0,1,0,2

x V m x x

当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数 n x ，及 n x 的宇称为

1n

。试写出能量本征值及本征函数。

解：在0x 区间，V 与谐振子的势相同。而在0x 区间，由于V ，应有 0x 。因为 n x 的宇称为

1n

，n 为奇数时，

必有 2121000,0,1,2k k k L 。而n 为偶数时， 200k 。由此可得满足波函数标准条件的解为

21

2121,0,0,0.121,0,1,22k k k x x x x E k k

h L

6．,x y J J ))在j jm

上的平均值为零，即0j x j j y j jm J jm jm J jm ))

证明：利用（7.3.2）式、（7.3.11）式及本征函数的正交条件可得

1

211

11220

x j j j j jm J jm

jm J J jm N jm m N jm jm )

)) 同理可证y J )

的平均值为零。

7.(1).全同粒子交换算符,ij kl P P 是否对易?有无共同本征函数?

(2) .不考虑粒子间的相互作用。有5个单粒子态，4个全同粒子。下列情况下，体系有多少可能的状态？ A.粒子是全同玻色子; B. 粒子是全同费米子; C. 不考虑粒子的全同性.

解: (1).,ij kl P P 不对易,但有共同本征函数,对于全同费米子,是全反对称波函数; 对于全同玻色子,是全对称波函数.

(2). A.

(514)!

70(51)!4!

；B. 455C ； C.45625 。

二．1、线谐振子受到一个

x 方向均匀电场x E 0 的作用，求其能级。设该线谐振子的质量为m 、电荷为q 、角频率为

。

解：在均匀电场作用之下，线谐振子的哈密顿算符为

x q x m x m H 0222

222

1d d 2? （1）

利用配方的方法改写其势能项为

22

022

20

22202220

202202222122212

1

)(

m q m q x m m q m q x m q x m x q x m x V

（2） 若令

2

m q x y

（3）

2

202'

2 m q E E

（4）

则定态薛定谔方程可以写为

)()(21d d 2222

22y E y y m y m

（5）

此即正常的线谐振子的能量本征方程，它的解为

21n E n

（6） 利用（3）、（4）式可以得到电场中线谐振子的本征解为

22

02'

221 m q n E n

（7）

20

2

202H 21ex p m q x m q x N x n n n

（8） 2、对于一维运动，求算符?x p

x 的本征值和本征函数。 解：在

?x

表象中， (

)()()x x x i x

h

()()()i

x x x x h

，

()()()d i x x dx x h ， ()()()d i

x x dx x

h ， 21

()2

i x x Ce

h ,

因为

???,P

x P

x P x

本征值 为任意实数。

三．1、求算符

x

L ?在动量表象中的矩阵表示。 解：本题既可以在坐标表象下进行，也可以在动量表象下完成，得到的结果是完全相同的，只要一种解法即可。 解法1，在坐标表象中计算。 这时，有

y z x

p z p y L ??? （1）

r p r p

i exp 21

)(23

（2）

在动量表象中x L ?的矩阵元为 122222213222222222132221322213213213*,i i exp i exp d 21i i exp i i exp d 21i exp i exp d 21i exp i i i exp d 21i exp i i exp d 21i exp ??i exp d 21?)(d 2

1

2

1

p p p p p p r p r p p p p p r p p p p p r p r p zp yp r p r p zp yp r p r p y z z y r p r p p z p y r p r L r L y z z y z y y z z y

y z y z y z y z p x p p p x

（3） 解法2。在动量表象中计算。

这时，有

y z z y y z x p p p p p z p y L i ??? （4） 1)(1

p p p p

（5） x

L ?在动量表象中的矩阵元为

12222221111121*,i i i d 2

1p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p L y z z y z y

y z z y

y z p p x

（6）

上式的最后一步用到

)()(''

y y

（7）

或者，利用x L ?

矩阵元的厄米性质

*

,,122

1??p p x

p p x

L L

（8）

亦可得到同样的结果。

2、设氢原子在

0 t 时处于状态

),(Y )(2

1

),(Y )(21),(Y )(21)0,(112110311021 r R r R r R r 求其能量、角动量平方及角动量z 分量的取值几

率和平均值；写出在

0 t 时体系的波函数，并给出此时能量、角动量平方及角动量z 分量的取值几率与平均值。

已知氢原子的本征解为

,3,2,1 ,12202 n n

a e E n

(,,)()Y (,)nlm n lm r R r

解：

将)0,(r

向氢原子的本征态作展开，

,, 0)0,(r c r nlm

nlm nlm

（1） 不为零的展开系数只有三个，即

210210 c ； 210310 c ； 2

1

0121 c （2）

显然，题中所给出的状态并未归一化，容易求出归一化常数为

5

4

，于是归一化后的展开系数为

5

2542

1052542105

154

210121310210

c c c （3）

能量的取值几率为

5

2

)0,(5

3

5251)0,(32

E W E W （4） 平均值为

325

2

53E E E （5） 不为零的角动量平方的取值几率只有

1)0,2(2

W （6）

平均值为

222? L

（7） 角动量

z 分量的取值几率为

5

2

)0,(5

35251)0,0(

W W （8） 平均值为

5

2? z L （9） 在

0 t 时刻，体系的波函数为

t E r t E r r t E r c t E r c r c t E r c t r n nlm nlm

nlm 3310212121033103102121121210210i exp ,,52i exp ,,52,,51

i exp ,,0i exp ,,0,,0i exp ,,0,

（10）

由于能量、角动量与角动量z 分量算符皆为守恒量，所以，它们的取值几率及平均值均不随时间改变，与0 t 时的结果是一样的。

四．1、设粒子在宽为

a 的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态

x a x a a x 2cos sin 4)( 求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。

解：已知在无限深势阱中运动的粒子的能量本征解为

,3,2,1 ,22

2

22 n n a

E n （1）

x a

n a x n

sin 2)( （2） 由展开假设可知

n

n n x c x )()( （3）

其中，展开系数为

a

n n n a

a

n n x a x a x a x a x a x a x a n x a x a

x a a x a n a x x x x c 01,3,13*020

*

2121222d 2sin 3sin 41sin d 24cos sin 4sin 2d )()(d

（4）

其中，用到下列三角函数公式

x x x x sin sin 2

1

cos sin （5） 由（4）式知，波函数

)(x 是归一化的。于是，能量的可能取值为1

3

,E E ，其相应的几率为

2

1

1 E W ； 213 E W （6）

取其它值的几率为零。

2、已知算符

B A

?,?满足 A A B A A A A A

??? ,1???? ,0?2 ， 证明B

B

??2

，并在B 表象中写出?B 的矩阵表示。

解：由题中所给条件可知

B

A A A A A A A A A A A A A A A A

A A

B ????????????1????????22 （1）

设算符

B

?满足的本征方程为

B B

? （2）

则有

22?B B （3）

由（1）式可知

B B 2 （4）

显然，有

1,0 B （5）

在自身表象中，算符

B

?的矩阵形式为

1 00 0?B （6）

五．1、耦合谐振子的哈密顿算符为

xy y x p p H y x 222222

1??21? 1 .

（1）（5’）求其零级定态波函数的简并度。

（2） (20’)试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知

,1,11,mn m n m n x m x n

。

解：若选

xy W

y x p p H y x ?21??21?222220 （1）

则

W H H ???0

（2） 已知0?

H 的本征解为

,2,1,0, ),()(),(10,0, y x n n n n y x n n n n y x y x n n E y

x

y

x

y x

（3）

令

,2,1,0 , n n n n y x （4）

则零级近似能量本征值可写成

10

n E n （5）

为了看清能级的简并情况，将

n 与y x n n ,的关系列在下面：

3 0, 2, ,1 ,1,

2 ,0 ,22 ,0 ,1,1

,0 ,11 ,0 ,0

,0210f n n n n f n n n f n n n y y y x y y x y x （6） 显然，第

n 能级的简并度

1 n f n （7）

第一激发态是1 n

，简并度为21 f 。在简并子空间中，相应的零级近似解为

010********,()()

,()()

E x y x y x y x y

h （8）

能量一级修正满足的本征方程为

0 12

1

11

c E W

（9）

相应的久期方程为

11222112

1111 E W W W E W （10）由

1,1,21

21n m n m mn

n n n x m x

（11）

可以求出微扰矩阵元

02211 W W （12）

而

210*1

1*

122d d 21W y y y y x x x x xy W

（13）

将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到

2 2112111

E E （14）

显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。

为了求出近似本征矢，将

111E 代回本征方程

b a b a 20 1 1 0 2 （15） 得到

b a （16）

由归一化条件可知

2

1

a （17）

于是，得到相应的零级本征矢为

000111

2

1

(,),

x y

（18）

同理可得，

112E 相应的零级本征矢为

000121

2

1

(,).

x y

（19）

2、类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为 Ze r V

)( ，当核电荷由e Z Ze )1( 时（ 衰变），相互作用能增加了r e H

。

(a )试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正； (b )计算结果与严格解比较。

解：

r e H r Ze p H ,

（1）

H 的基态解为

a

e

Z E

)(，a r Z e a Z

（2）

能级的一级修正

dr r r e e a Z H E

a r Z

/)

( a Ze Z

a a e Z

（3） 严格解： a

e Z E a e Z E

)

(

Z a e Z

Z a

e E E E E

)()

(

当Z 较大时，微扰论可得到较好的近似。