典型控制过程及性能指标

b1
a1a2 a0a3 a1
, b2
a1a4
a0a5 a1
, b1
a1a6
a0a7 a1
,...
c1
b1a3
a1b2 b1
, c1
b1a5
b1
a1b3
, c1
b1a7
b1
a1b4
,...
.
.
.
每行系数用前两行系数交叉相乘， 直至计算到该行其余值全为零为止。
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
4.4
系统稳定性分析
4.4.1 稳定的基本概念
图4.15 自动控制系统的相对稳定 （a）相对稳定性好 （b）相对稳定性差
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
系统稳定性分析
4.4.2 线性系统稳定的充分必要条件
稳定是自动控制系统能够正常工作的首要条件。 由上图4.15可见，稳定的系统，其过渡过程是收敛的，也就是说， 其输出量的动态分量必须渐趋于零。用数学的方法来研究控制系统的 稳定性则可以根据闭环极点在平面内的位置予以确定。
4.4
系统稳定性分析
4.4.1 稳定的基本概念
绝对稳定性 系统的稳定性
相对稳定性
系统的绝对稳定性使之系统稳定（或 不稳定）的条件，即形成如图4.15（b） 所示状况的充要条件。
系统的相对稳定性是指稳定系统的稳 定程度。例如，图4.15（a）所示系统 的相对稳定性就明显好于如图（b） 所示的系统。
第四章 控制系统的时域分析法
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
（e）
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.3 阶跃响应的性能指标
控制系统的时间响应，从时间的顺序上，可分为动态和稳态两个过程。
动态 过程
指系统从初始状态到接近最 终状态的响应过程。
通过研究它可评价系 统的快速性和平稳性。
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
1 阶跃信号及其时间响应
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
2 斜坡信号
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
3 抛物线信号
第四章 控制系统的时域分析法
4.2
一阶系统的时域分析
第四章 控制系统的时域分析法
4.2
一阶系统的时域分析
第四章 控制系统的时域分析法
4.2
一阶系统的时域分析
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
1 典型二阶系统
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
1 典型二阶系统
第四章 控制系统的时域分析法
表4-1给出了二阶系统特征根在s平面上的位置及结构参数ξ、ωn与
单位阶跃响应的关系。 表4-1 典型二阶系统的阶跃响应
阻尼系数
特征方程
根在复平面上 的位置
单位阶跃响应
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
2 典型二阶系统的阶跃响应
阻尼系数
特征方程
根在复平面上 的位置
单位阶跃响应
第四章 控制系统的时域分析法
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标 即
由于系统阻尼较小，
对于 0.05，有
对于 0.02 ，有
（4.41）
由式（4.41）可知，调整时间与闭环极点的实部数值成反比，即极点 距虚轴较远，系统的调整时间较短。
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
线性系统稳定的充要条件是闭环系统的极点全部位于左半平面。
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
系统稳定性分析
4.4.3 劳斯稳定判据
劳斯稳定判据实际上是一个代数判据，用于分析在一个多项式方程中， 是否存在不稳定根，而不必实际求解这一方程式。该判据是根据特征方程 的系数，直接判断系统的绝对稳定性。它的应用只能限于有限项多项式中。
稳态 过程
指时间t趋于无穷时系统的 响应状态。
通过研究它可评价系 统的准确性。
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.3 阶跃响应的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。系统
的阶跃响应性能指标如下图所示：
（1）延迟时间tα。指单位阶跃响 应曲线c(t)上升到其稳态值的50% 所需时间。
图4-8 欠阻尼二阶系统 特征根与特征量
由图可知， 衰减系数σ是闭环极点到虚轴的距离； 振荡频率ωd是闭环极点到实轴的距离； 无阻尼系数振荡频率ωn是闭环极点到原
点的距离； 若直线Os1与负实轴的夹角为φ，则阻尼
比等于φ角的余弦，即
cos 此φ角为欠阻尼二阶系统的单位阶跃响 应的初相位。
第四章 控制系统的时域分析法
本章介绍时域分析法，主要包括：典型输出信号及时间响应；系统 稳定性分析；一阶、二阶系统动态性能分析；稳态性能的时域分析。
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.1 典型初始状态
一个系统的时域响应c(t),既取决于系统本身的结构、参数，又与系统的 初始状态以及作用于系统上的外作用有关。
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
1 峰值时间tp 把式（4.22）两边对时间求导，并令其等于零，得：
整理得：
由定义，tp为第一个峰值所需的时间，取n=1，得
（4.33）
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标 2 超调量 σ％ 当t=tp时，系统响应出现最大值，把式（4.33）代入到（4.22），得
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
4 调整时间ts 根据定义，调整时间ts应由下式求得：
（4.38） 但由于上式求解十分困难，我们用衰减正弦振荡的包络线近似的代替正 弦衰减振荡，描述单位阶跃响应c(t)的包络线b(t)为
响应曲线总是在上下包络线之间，故将上式（4.38）近似写成
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
4 脉冲信号 脉冲信号又称冲击信号。在实际物理系统中，冲击信号常用一种平顶
窄脉动信号表示，如图4-1（d）所示。其定义为
（d）
式中，R为常数，等于矩形脉冲的面积，表示冲击作用的强度。这类信 号的函数值与ε、R均有关，但当ε 0时，不论R取何值，其函数值趋 于∞ 。因此用一般函数的概念很难表示这类冲击函数在极限情况下的 强弱，它属于广义函数，只能用其面积大小来衡量。
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.3 阶跃响应的性能指标
上述六项性能指标中， 延迟时间tα、 上升时间tr、 峰值时间tp 调节时间ts
反映 反映
超调量σ%
反映
稳态误差ess 反映
系统响应初始 速度
系统的快速性
系统响应过程 的平稳性
系统的准确性
第四章 控制系统的时域分析法
（4.35）
由式（4.35）可见，σ％仅与阻尼比 有关， 越小，σ％ 越大。
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
σ％与 关系如图4-9所示。
图4-9 二阶系统最大超调量σ％和 间的关系
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
第1四章自动控控制制系的基统本的概时念域分析法
系统框图
4.1 典型控制过程及性能指标
4.2 一阶系统的时域分析 4.3 二阶系统的时域分析 4.4 系统稳定性分析 4.5 稳定性能的时域分析
4 控制系统的时域分析法
时域分析法是对于线性定常系统，基于系统的微分方程，利用拉普 拉斯变换直接求解控制系统的时域响应，并利用响应表达式及响应曲线 分析系统的控制性能，如稳定性、平稳性、快速性、准确性等。
（2）上升时间tr。指单位阶跃响应 曲线c(t)从稳态值的10%上升到90% 所需时间（对欠阻尼系统，指从零
上升到稳态值所需时间）。
（3）峰值时间tp。指单位阶跃响 应曲线c(t)超过其稳态值而达到第 一个峰值所需时间。
第四章 控制系统的时域分析法
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.3 阶跃响应的性能指标
4.1 典型控制工程及性能指标
4.1.2 典型输入信号
典型输入信号作用是对众多复杂的实际信号的一种近似和抽象，它的选 择应使数学运算简便且便于实验验证。常用的典型输入信号如下：
（a）
（b）
（c）
（d）
图4-1 典型输入信号
(a)阶跃信号(b)斜坡信号(c)抛物线信号(d)(e)脉冲信号
（e）
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
2 典型二阶系统的阶跃响应
阻尼系数
特征方程
根在复平面上 的位置
单位阶跃响应
由上表可以看出，ξ越小，系统响应的振荡越激烈。当ξ≥1时， c(t)变成单调上升，成为非振荡过程。
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
下面以欠阻尼二阶系统为例，讨论其性能指标。欠阻尼二阶系统的 特征根和特征量的关系如下图4-8所示。
3 上升时间tr 根据定义，当t=tr时，c(tr)=1，由欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
式（4.22）得：
即
第四章 控制系统的时域分析法
Байду номын сангаас.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
即 由定义可知，上升时间为第一次达到稳态值所需的时间，取 n=1，则
或
增大自然振荡频率ωd或减小阻尼比ξ，均能减小tr，从而加快 系统的初始响应速度。
sn a0 a2 a4 a6 ... sn1 a1 a3 a5 a7 ... sn2 b1 b2 b3 b4 ... sn3 c1 c2 c3 c4 ...
. . . . . ...
. . . . . ...
. . . . . ..
s1 d1 s0 e1
劳斯行列表中从第三行开始的系 数根据下列公式求得：
4.4.4 两种特殊情况
1 如果某一行中的第一列项等于零，但其余各项不全等于零或没有其余 项，这时下一行元来素则变成无穷大，无法进行劳斯检验。如要继续
4.3
二阶系统的时域分析
2 典型二阶系统的阶跃响应
二阶系统的时域分析主要研究二阶系统的阶跃响应。由于闭环系统特 征根与阻尼比有密切的关系，阻尼比不同，单位阶跃响应的响应曲线也不同， 如图4-7所示。
图 4-7 响应曲线
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
2 典型二阶系统的阶跃响应
3 典型二阶系统的性能指标
5 振荡次数N 由c(t)可知阻尼振荡的周期Td，则振荡次数为： 由式（4.24）可知阻尼振荡的周期
所以振荡次数见下式（4.42），二阶系统的 振荡次数N与ξ的关系如图4-10所示。
（4.42）
图4-10 二阶系统的振荡 次数N与ξ之间的关系
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
劳斯判据的应用过程：
1 列多项式方程
a0sn a1sn1 gggan1s an 0
（4.43）
式中的系数为实数。假设 an 0 ，即排除掉任何零根的情况。
2 所有系数均为正是系统稳定的必要条件。
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
系统稳定性分析
4.4.3 劳斯稳定判据
3 列劳斯行列表并计算
如果所有的系数都为正，则多项式 的系数排列成为如下的劳斯行列表：
系统稳定性分析
4.4.3 劳斯稳定判据
4 判断稳定性
按行列表第一列系数符号确定根的分布。 （1）若符号全为正，则特征根均在左半平面，系统稳定。这也是系 统稳定的充要条件。 （2）若符号不全为正，则特征根存在正实部根，其正根数等于符号 改变的次数，系统是不稳定的。
第四章 控制系统的时域分析法
4.4
系统稳定性分析
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标
欠阻尼的二阶系统的闭环传递函数为： 闭环特征根为 其单位阶跃响应象函数为
第四章 控制系统的时域分析法
4.3
二阶系统的时域分析
3 典型二阶系统的性能指标 由拉氏变换求得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应：
化简成： 式中：
（4.23） （4.24）
第四章 控制系统的时域分析法
系统稳定性分析
4.4.1 稳定的基本概念
设系统处于某种平衡状态，由于 扰动的作用，系统偏离了原来的平衡 状态，但当扰动消失后，经过足够长 的时间，系统恢复到原来的平衡状态， 则这样的系统是稳定的，或具有稳定 性，否则，系统是不稳定的。
稳定性是系统本身固有的特性， 与初始条件及输入信号无关。
第四章 控制系统的时域分析法
为了在同一条件下分析和评价系统性能，规定对以下典型初始状态、典 型输入信号作用所产生的典型响应过程，进行分析和评价。
-
规定控制系统初始状态均为零状态，即在t=0 时有
-
表示在输入信号驾驭系统的瞬时（t=0 ）之前，系统相对静止， 被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
第四章 控制系统的时域分析法