高等数学第三章微分中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、选择题

1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）

是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (

2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）

0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 xe y x -=（ ）

) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞

4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）

(A)x

x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2

x )x (f = (D)1x )x (f 2+=

5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值

6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）

(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]

5 4

, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）

(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+，

(D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3

x 3sin3x asinx f (x)π=+

=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)

3 π

(D) 0

10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）

]

5 4

, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (-

-- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）

的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点

，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000

二、填空题 1、__________________e y

82

x

的凸区间是曲线-=．

2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

3、的凸区间为曲线

x 3 e y x

+= _____________________ ．

4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．

5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．

6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．

7、函数 x sin ln y =在 [

6

5 ,

6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。 11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为 ． 12、x x y -= 的单调减区间是 ． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,

2 π

] 上的最大值为 ． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是 ．

16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题

1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。

2、求极限 )

1x x

x ln 1(

lim 1

x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点．

4、设常数0k >，试判别函数()ln x

f x x k e

=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 2

3x y 2

3+--= 的单调区间和极值．。 6．)

1 - e 1 x 1

(lim x 0

x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线x

x

y ln =

的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x xe y -= 图形的凹凸区间及拐点．

11、的拐点求曲线 3

{ 3

2t

t y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 13、[]上的最大值、最小值，在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x) 2+= 15、讨论函数x

x ln )x (f =

的单调性和凹凸性． 16、 求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．

17. 求函数282

4

+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x x

y 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．

19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．

四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)

1．证明：当x )2

,0(π

∈时，(sin )(cos )x x x > ．

2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，

当． 3、证明： 2

cot arctan π

=

+x arc x ．

4、设 )x ( ϕ 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ϕ，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0ϕ=’．

5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，

b

b

a b a ln a b a -<<- ．