北京市昌平区2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
昌平区2020－2020学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷2020.7第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.经过点()1,1且斜率为1的直线方程为( ) A. 0x y -=B. 0x y +=C. 20x y -+=D.20x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求解．【详解】解：经过点()1,1且斜率为1的直线方程为：y ﹣1＝1×（x ﹣1），整理，得0x y -=． 故选：A ．【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意点斜式方程的合理运用．2.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( ) A. 68 B. 38C. 32D. 30【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1001100010=， 则高二年级抽取的人数是300110⨯=30人， 故选：D ．【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．3.10y ++=的倾斜角是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】试题分析：由直线方程可知斜率为5tan 6k θθπ=== 考点：直线斜率和倾斜角4.已知圆221:(1)1,C x y ++=圆222:(2)(1)1,C x y -++=那么这两个圆的位置关系是( ) A. 内含 B. 外离 C. 外切 D. 相交【答案】C 【解析】 【分析】分别找出两圆的圆心坐标和半径R 与r ，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d ，由d ＝R +r 得到两圆的位置关系为外切．【详解】解：由圆221:(1)1,C x y ++=圆222:(2)(1)1,C x y -++=得到圆心C 1（0，﹣1），圆心C 2（2，﹣1），且R ＝1，r 1=，∴两圆心间的距离d ==2，故d =R +r ，∴圆C 1和圆C 2的位置关系是外切． 故选：C ．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d ＜R ﹣r ，两圆内含；d ＝R ﹣r ，两圆内切；R ﹣r ＜d ＜R +r 时，两圆相交；d ＝R +r 时，两圆外切；d ＞R +r 时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）．5.已知ABC ∆中，222c a b =+，那么角C 的大小是( ) A.6πB.3πC.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据余弦定理求出cosC 的值，再写出C 的大小． 【详解】∵222c a b =+，∴cos C 222222a b c ab ac +-===， 又A ∈(0,)π， ∴A ＝6π． 故选：A ．【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，考查了转化思想，属于基础题．6.已知直线y x b =+与圆222x y +=相切，那么实数b 的值是( )A. 0B. 2C. ±1D. 2±【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r ，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：由圆x 2+y 2＝2，得到圆心（0，0），半径r ＝2，∵圆222x y +=与直线y x b =+＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，即22b =，整理得：b ＝±2， 则实数b 的值为±2， 故选：D ．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．7.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )A. 2B.43C.23D. 1【答案】C 【解析】 【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长分别为1，2的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【详解】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2， 底面是直角边长分别为1，2的直角三角形， ∴三棱柱的体积V 1112232=⨯⨯⨯⨯=23． 故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8.设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果//m α，//n α，那么//m n ；② 如果m α∥，m β⊂，n αβ=I ，那么m n ∥； ③ 如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ④如果αβ∥，m α⊂，//n β，那么m n ∥. 其中正确的是( ) A. ① ② B. ② ③C. ② ④D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】①如果//m α，//n α，那么m ，n 相交、平行或异面直线，故①错误； ②根据线面平行性质定理可知正确； ③根据线面垂直判定定理可知正确；④如果αβ∥，m α⊂，//n β，那么m ，n 相交、平行或异面直线，故④错误； 故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．9.为迎接2022年北京冬季奥运会, 某校开设了冰球选修课，12名学生被分成甲、乙两组进行训练.他们的身高（单位：cm ）如下图所示：设两组队员身高平均数依次为x 甲，x 乙，方差依次为2s 甲，2s 乙，则下列关系式中完全正确的是( )A. x 甲=x 乙, 2s 甲=2s 乙 B. x 甲<x 乙,2s 甲>2s 乙 C. x 甲<x 乙,2s 甲=2s 乙 D. x 甲<x 乙,2s 甲<2s 乙【答案】C 【解析】 【分析】由茎叶图，分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果． 【详解】解：由茎叶图，得：16x =甲（174+175+176+177+178+179）＝176.5， 216S =甲[（174﹣176.5）2+（175﹣176.5）2+（176﹣176.5）2+（177﹣176.5）2+（178﹣176.5）2+（179﹣176.5）2]＝3512，16x =乙（176+177+178+179+180+181）＝178.5，216S =乙[（176﹣178.5）2+（177﹣178.5）2+（178﹣178.5）2+（179﹣178.5）2+（180﹣178.5）2+（181﹣178.5）2]＝3512，∴x 甲<x 乙,2s 甲=2s 乙． 故选：C ．【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上, F ，M 分别是AD ，CD 的中点, 则下列结论中错误的是( )A. 11//FM ACB. BM ⊥平面1CC FC. 三棱锥B CEF -的体积为定值D. 存在点E ，使得平面BEF //平面11CC D D 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的平行与垂直关系，和三棱锥的体积公式，对选项中的命题判断其真假性即可． 【详解】对于A ，连接AC ，易知：11//,//,FM AC AC AC 故11//FM AC ，正确； 对于B ，易知：,,90CDF BCM CFD BMC DCF BMC ≅∴∠=∠∴∠+∠=oV V ，1,BM CF BM CC ∴⊥⊥,故BM ⊥平面1CC F ，正确；对于C ，三棱锥B CEF -的体积等于三棱锥E BCF -的体积,此时E 点到平面BCF 的距离为1，底面积为12，故体积为定值，正确； 对于D,BF 与CD 相交，即平面BEF 与平面11CC D D 始终有公共点，故二者相交，错误； 故选：D【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系的判断和棱锥的体积计算问题，涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值，考查学生的空间想象能力，是综合题．第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11.(1,1,1,),(2,0,3)A B -两点的距离等于___________.【答案】【解析】 【分析】利用空间两点间的距离公式即可得到结果. 【详解】∵(1,1,1,),(2,0,3)A B -，∴AB ==故答案为：【点睛】本题考查空间两点间的距离公式，考查计算能力，属于基础题.12.已知直线1:2310l x y -+=和直线2:610l kx y -+=平行，那么实数k =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出． 【详解】直线1:2310l x y -+=,即21y 33x =+， 直线2:610l kx y -+=，即1y 66k x =+， 又直线1:2310l x y -+=和直线2:610l kx y -+=平行， ∴236k=，即k =4 故答案为：4【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.某校4名学生参加“丝绸之路”夏令营活动，其中有2名学生去过敦煌. 从这4名学生中任选2名学生担任讲解员，则这2名学生都去过敦煌的概率是___________. 【答案】16【解析】 【分析】利用古典概型公式即可得到结果.【详解】从这4名学生中任选2名学生担任讲解员，共有246C =种，其中这2名学生都去过敦煌有1种， ∴这2名学生都去过敦煌的概率16， 故答案为：16【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.14.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 进行翻折，点D 旋转到'D ,使得平面'D AC ⊥平面ABC ，则'D 到平面ABC 的距离是___________;三棱锥'D ABC -的体积是 ___________.【答案】 (1). 2(2). 12【解析】 【分析】利用面面垂直的性质定理可得点到平面的距离，结合三棱锥的体积公式可得结果. 【详解】(1)取AC 中点为O ，连接'D O ，由面面垂直性质可知：'D O ⊥平面ABC ，故'D O 的长即为'D 到平面ABC 的距离，即'D O=2；(2) 三棱锥'D ABC -的体积11111332ABC S D O =⋅=⋅⋅⋅='V 【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.15.某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.下面是关于公司每天生产量的叙述:①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.上面叙述正确的是___________. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据题意逐一判断各选项即可. 【详解】①每天生产的播放器有30001900030004=+是影片播放器，故①错误；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；③因为音乐播放器的每天平均故障率3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确. 故答案为：③【点睛】本题考查概率概念的理解，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.16.设m R ∈，过定点A 的直线1:0l x my +=和过定点B 的直线2:420l mx y m --+=，两条直线相交于点P ，点P 的轨迹为曲线C . 则 （1）定点B 的坐标是___________；（2）设点(,)x y 是曲线C 上的任意一点，那么x y +的取值范围是___________.【答案】 (1). (4,2) (2). [3【解析】【分析】(1)利用过定点的直线系方程可得结果，（2）明确曲线C 的方程，利用圆的参数方程表示x y +，进而结合三角函数的图像与性质可得结果.【详解】(1)直线2:420l mx y m --+=可化为m （x ﹣4）+2﹣y ＝0，令4020x y -=⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩， 所以直线l 过定点B （4，2）；(2) 由题意可知：()1m m 10⨯+⨯-=，故直线1:0l x my +=与直线2:420l mx y m --+=互相垂直，∴P 点在以AB 为直径的圆上运动，即P 点的轨迹方程为：()()22215x y -+-=，设x 2y 1θθ=+=+，，∴x y 334πθθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，∴x y +的取值范围是[3+故答案为：[3-+【点睛】本题考查过定点的直线系方程，考查动点的轨迹方程，及直线与圆的位置关系，属于中档题.三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.在ABC ∆中，75a b ==，,1cos 2A =-. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求c 边的长及ABC ∆面积的大小.【答案】（Ⅰ）sin B =（Ⅱ）c =【解析】【分析】 （Ⅰ）利用同角关系得到sin A ，结合正弦定理可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得25240c c +-=，从而得到c 值，进而结合三角形面积公式得到结果.【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中,由1cos 2A =-，得sin 2A =. 因为sin sin a b A B=，得sin B =(II ) 在ABC ∆中,由2222241cos 2102b c a c A bc c +--===-. 整理，得25240c c +-=，解得3,8c c ==-（舍）所以11sin 5322ABC S b c A =⨯⨯⨯=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形面积公式，考查计算能力．18.已知表1是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表将表1中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如：7:36可化为36377605）．（Ⅰ）请补充完成下面的频率分布表及频率分布直方图；分组频数频率4:00—4:59 35:00—5:59 0.256:00—6:597:00—7:59 5合计20（Ⅱ）若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗．试估计甲学校观看升旗的时刻早于6:00的概率；（Ⅲ）若甲，乙两个学校各自从表1中五月、六月的日期中随机选择一天观看升旗, 求两校观看升旗的时刻均不早于5:00的概率．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25；（Ⅲ）425.【解析】【分析】（Ⅰ）由天安门广场升旗时刻表即可得到频率分布表及频率分布直方图；（Ⅱ）利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）利用古典概型概率公式可得结果.【详解】解：（Ⅰ）频率分布表及频率分布直方图如下：分组 频数 频率4:00—4:59 3 0.155:00—5:59 5 0.256:00—6:59 7 0.357:00—7:59 5 0.25合计201(II ) 由表知，甲学校从上表20次日期中随机选择一天观看升旗，观看升旗的时刻早于6:00的日期为8次，所以，估计甲学校观看升旗的时刻早于6:00的概率为82205P ==． (III ) 由表知，五月、六月的日期中不早于5:00的时间为2次，共5次.设按表1中五月、六月的日期先后顺序，甲选择一天观看升旗分别为12345,,,,a a a a a ，乙选择一天观看升旗分别为12345,,,,b b b b b ，则甲，乙两个学校观看升旗时刻的基本事件空间Ω为：1121314151(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b 1222324252(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b 1323334353(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b 1424344454(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b 1525354555(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b 其中基本事件为25个.设两校观看升旗的时刻均不早于5:00为事件A ，包含基本事件为:11211222(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b ，共4个， 所以4()25P A =，即两校观看升旗的时刻均不早于5:00的概率为425. 【点睛】本小题主要考查了频率分布直方图、古典概型概率公式的应用，属于中档题．利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ，()12,A B …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B …..()2,n A B 依次()31,A B()32,A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2)B ．（Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）求圆C 的标准方程；（Ⅲ）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且||MN =求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）1y x =-+；（Ⅱ）22(1)4x y -+=；（Ⅲ）0x =或3480x y +-=.【解析】【分析】（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；（Ⅱ）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，结合第一问可得结果； （Ⅲ）由题意可知：圆心C 到直线的距离为1，分类讨论可得结果.【详解】解：（Ⅰ） 设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-.所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+.(II ) 设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为r （0r >）. 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =．所以 圆心(1,0)C ，||2r CA ==，所以 圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．(III ) 由(I )设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||3FM FN ==．圆心C 到直线的距离2||4(3)1d CF ==-=.(1) 当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1CF =，符合题意.(2) 当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，即20kx y -+=，由题意得211d k ==+，解得：34k =-． 故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=． 综上直线l 的方程0x =或3480x y +-=．【点睛】圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系。
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
北京市昌平区19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
北京市昌平区19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则()A. U=A∪BB. U=(C U A)∪BC. U=A∪(C U B)D. U=(C U A)∪(C U B)2.不等式x2+2x−3<0的解集为()A. {x｜x<−3或x>1}B. {x｜−3<x<1}C. {x｜x<−1或x>3}D. {x｜−1<x<3}3.下列运算中正确的有_______个①√(3−π)2=π−3；②(m14n−38)8=m2n3；③log981=9；④lg xyz=lgxylgz．A. 1B. 2C. 3D. 44.若向量a⃗=(2,3),b⃗ =(−1,2)，则a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=()A. 8B. 7C. 6D. 55.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A. a+1b >b+1aB. a−1b>b−1aC. ba>b+1a+1D. 2a+ba+2b<ba6.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是()A. 310B. 25C. 35D. 7107.函数f(x)=x2+ax+1有两个不同的零点，则a的取值范围为()A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)8.已知函数f(x)是定义在(−6,6)上的偶函数，f(x)在[0,6)上是单调函数，且f(−2)<f(1)则下列不等式成立的是()A. f(−1)<f(1)<f(3)B. f(2)<f(3)<f(−4)C. f(−2)<f(0)<f(1)D. f(5)<f(−3)<f(−1)9.已知向量a⃗=(1,2−x)，b⃗ =(2+x,3)，则“|a⃗|=√2”是“向量a⃗与b⃗ 共线”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知) A. 2019年 B. 2020年 C. 2021年 D. 2022年二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：______．12. 已知幂函数f(x)=x α(α为常数)的图象经过点(2,18)，则f(x)= ______ ．13. 右面的茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x +y =______．14. 在正方形ABCD 中，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=________．15. 已知函数f (x )={e x ,x <3,f (x −1),x ≥3,则f (4)=______． 16. 已知函数y =f(x)在R 上为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)的解析式是______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 从某校高一年级随机抽取n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组 频数 频率 1[5,6) 2 0.04 2[6,7) 0.20 3[7,8) a 4[8,9) b 5 [9,10)0.16 (I)求n 的值；(Ⅱ)若a =10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a ，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．18. 如图，△ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG⃗⃗⃗⃗⃗ ．19.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩，在13秒内(称为合格)的概率分别为25,34,13，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则：①三人都合格的概率；②有2人合格的概率；③至少有一个合格的概率．20.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=k20x+100(x≥0,k为常数).记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？21.已知集合A={x|(x−1)(x−2)(x−a)=0}，B={1,2，3}．(1)若A∩B=A，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交、并、补运算，属基础题目．首先计算C U B={1,2,4,6,7}，再由交集定义可得答案．解：因为全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合B={3,5}，所以C U B={1,2,4,6,7}，又集合A={1,3,5}，所以U=A∪C U B．故选C．2.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解集，分解因式是解决问题的关键，属于基础题．解：不等式x2+2x−3<0可化为(x−1)(x+3)<0，故可得解集为{x｜−3<x<1}．故选B．3.答案：B解析：本题考查分数指数幂以及对数的运算，属于基础题．根据分数指数幂以及对数的运算律，对各项逐一计算，即可得到答案．解：①√(3−π)2=π−3，故①正确；②(m14n−38)8=m2，故②正确；n3③log981=2，故③错误；，故④错误；故运算正确的有2个．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．先计算a⃗−2b⃗ ，再求a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )．解：∵a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，∴a⃗−2b⃗ =(2,3)−2(−1,2)=(4,−1)，∴a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=2×4+3×(−1)=5．故选D．5.答案：A解析：，由同向不等式的加法性质可知正确．6.答案：A解析：基本事件总数n=C53=10，春节和中秋节都被选中包含的基本事件个数m=C22C31=3，由此能求出春节和中秋节都被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，基本事件总数n=C53=10，春节和中秋节都被选中包含的基本事件个数m=C22C31=3，∴春节和中秋节都被选中的概率是p=mn =310．故选：A．7.答案：D解析：本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x2+ax+1有两个不同的零点，则△>0，解得答案．解：若二次函数f(x)=x2+ax+1有两个不同的零点，则方程x2+ax+1=0有两个不同的根，则△=a2−4>0，解得：a>2或a<−2．故选D．8.答案：D解析：解：由题意可得，函数f(x)在[−6,0]上也是单调函数，再根据f(−2)<f(1)=f(−1)，可得函数f(x)在[−6,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,6]上是单调减函数，故f(−1)=f(1)>f(−3)=f(3)>f(5)，故选：D．由条件判断函数在[0,6]上是单调减函数，可得f(1)>f(3)>f(5)，从而得出结论．本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．9.答案：D解析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线和向量的长度是解决本题的关键，比较基础．解：若|a⃗|=√2，则√1+(2−x)2=√2，即(2−x)2=1，则x−2=±1，解得x=3或1，若向量a⃗与b⃗ 共线，则(2−x)(2+x)−3=0，即4−3−x2=0，即x2=1，解得x=1或x=−1，故“|a⃗|=√2”是“向量a⃗与b⃗ 共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．10.答案：D解析：本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了对数的运算性质，解答的关键是对题意的理解，是基础题．此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过6万件，其实就是求在2015年的基础上再过多少年的年产量大于6万件，即求经过多少年．解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，根据题意，得2(1+20%)n>6，即1.2n>3，两边取对数，得nlg1.2>lg3，∴n>lg3≈6.03．lg1.2∴n=7，即2015+7=2022．∴从2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件．故选D．11.答案：∃x∈R，x2<0解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2<0．故答案为：∃x∈R，x2<0．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．12.答案：x−3解析：本题考查了根据函数图象上的点的坐标求函数解析式的应用问题，是基础题目．)，求出f(x)的解析式即可．根据幂函数f(x)的图象过点(2,18)，解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,18∴2α=1，8解得α=−3；∴f(x)=x−3．故答案为：x−3．13.答案：10解析：解：根据茎叶图，知甲组数据的平均数为15(9+12+10+x +24+27)=17，∴x =3；乙组数据的中位数为17，∴y =7；∴x +y =10，故答案为：10．根据茎叶图，由甲组数据的平均数求出x 的值，乙组数据的中位数求出y 的值，从而求出x +y 即可． 本题考查了茎叶图的应用问题，根据茎叶图提供的数据应会求平均数与中位数，是基础题． 14.答案：76解析：本题考查了平面向量基本定理的运用，利用坐标法使得计算简便，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．以A 为坐标原点建立坐标系，设正方形的边长为6，得到A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，利用向量相等得到关于λ，μ的方程组解之．解：以A 为坐标原点建立坐标系，AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，E(4,6)，F(6,3)，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,6),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得(6,3)=λ(4,6)+μ(6,0)，{4λ+6μ=66λ=3， 解得{λ=12μ=23， 所以λ+μ=76．故答案为76．15.答案：e 2解析：本题主要考查分段函数的解析式，属于基础题．由函数解析式可得f (4)=f (3)=f (2),再求出f (2)即可．因为函数f (x )={e x ,x <3,f (x −1),x ≥3,∴f (4)=f (3)=f (2),因为2<3，∴f (2)=e 2，即f (4)=e 2，故答案为e 2．16.答案：f(x)=x 2+2x解析：解：当x <0时，−x >0，∴f(−x)=x 2+2x ，又f(x)是偶函数，∴当x <0时，f(x)=f(−x)=x 2+2x ．故答案为：f(x)=x 2+2x ．根据偶函数的性质f(x)=f(−x)即可得出答案．本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．17.答案：解：(I)∵小组[5,6)内的频数是2，对应的频率是0.04，∴样本容量为n =20.04=50；(1分)(II)小组[6,7)内的频数为50×0.20=10，小组[7,8)内的频率为1050=0.20，小组[8,9)内的频数为50−2−10−10−8=20，频率为2050=0.40，小组[9,10)内的频数为50×0.16=8，由此补全数据见下表(3分)；组号分组 频数 频率 1[5,6) 2 0.04 2[6,7) 10 0.20 3[7,8) 10 0.20 4[8,9) 20 0.40 5 [9,10) 8 0.16 绘制频率分布直方图见下图：(5分)(III)根据题意，得{150(2×5.5+10×6.5+a ×7.5+b ×8.5+8×9.5)=7.842+10+a +b +8=50，(7分) 解得{a =15b =15；(8分) 设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A ，则P(A)=15+850=2350=0.46.(9分)解析：(I)根据频率=频数样本容量，求出n 的值；(II)根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图； (III)根据平均数的定义，列出方程组，求出a 、b 的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．18.答案：解：根据图形得：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ⃗ ； BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ， CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在实数x 使DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(a ⃗ −12b ⃗ )； ∴−a ⃗ +x(a ⃗ −12b ⃗ )=(x −1)a ⃗ −x 2b ⃗ ；又CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴同样CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 2a ⃗ +(y −1)b ⃗ ； ∴{−x 2=y −1x −1=−y 2，解得x =23，y =23． ∴CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −13b ⃗ ．解析：根据向量的加法运算及图形很容易表示出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对于CG ⃗⃗⃗⃗⃗ 用两种方式表示：一种是，CG⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以存在x 使DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=x(b ⃗ −12a ⃗ )，这样便可表示CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2a ⃗ +(x −1)b ⃗ ；另一种是CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用同样的办法表示CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y −1)a ⃗ −y 2b ⃗ ，这样便可求得x ，y ，从而表示出CG⃗⃗⃗⃗⃗ ． 考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．19.答案：解：①∵甲、乙、丙三人100m 跑(互不影响)的成绩，在13秒内(称为合格)的概率分别为25,34,13，对这三名短跑运动员的100m 跑的成绩进行一次检测，∴三人都合格的概率为P 1=25×34×13=110．②有2人合格的概率：p 2=25×34×(1−13)+25×(1−34)×13+(1−25)×34×13=2360．③至少有一个合格的概率：p =1−(1−25)(1−34)(1−13)=910．解析：①利用相互独立事件乘法公式能求出三人都合格的概率．②利用互斥事件加法公式能求出有2人合格的概率．③利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个合格的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式互斥事件加法公式对立事件概率计算公式的合理运用．20.答案：解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由C(0)=k100=24，得k=2400，所以F=15×240020x+100+0.5x=1800x+5+0.5x，x≥0；(2)因为1800x+5+0.5(x+5)−2.5≥2√1800×0.5−2.5=57.5，当且仅当1800x+5=0.5(x+5)，即x=55时取等号，所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C(0)=k100=24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；(2)利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．21.答案：解：(1)若A∩B=A，则A⊆B，即{x|(x−1)(x−2)(x−a)=0}={1,2，3}，所以a=1，或a=2或a=3．(2)若A∪B=A，则B⊆A，即{1,2，3}⊆{x|(x−1)(x−2)(x−a)=0}，所以3∈{x|(x−1)(x−2)(x−a)=0}，所以a=3．解析：本题考查了交集或并集的运算与集合之间的关系，是基础题．对于(1)若A∩B=A，则A⊂B求出a的取值范围．对于(2)若A∪B=A，则B⊂A，求a的取值范围．。
8.2020.1昌平高一期末数学试题
2020北京昌平高一（上）期末数学 2020.1本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后将答题卡收回。
第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，，，，，，，，，，，，则（）（A）（B），（C），，（D），，（2）已知二次不等式的解集在数轴上表示正确的是（）（A）（B）（C）（D）（3）下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，，，，则=（）（A） 1 （B）（C）（D） 5（5）若，则下列不等式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）（6）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土国》和《巴黎圣母院》4 部名著。
小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）（A）（B）（C）（D）（7）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）（A），（B），，（C），（D），（8）已知是定义在上的偶函数，当时，的图像如图所示，则下列关系正确的是（）（A）（B）（C）（D）（9）设，是非零向量，则“与共线”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量。
里氏震级地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级.若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为，，则的值为（）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）已知命题，，为 .（12）已知幂函数为常数)的图像经过点，，则= .（13）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为甲，乙，那么甲乙.（填“>”或“<”或“=”）甲乙5 7 96 91 5 7 7 5 4 32 10 3 5 9 8 7 6 5 4 33 5 9 1 0（14）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，，则= .（15）已知函数，，，，则= ；能说明“方程有两个实根”为真命题的实数的一个值为 .（16）若函数满足下面三个条件：①在其定义域上图像不间断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个满足上述条件的函数= .三、解答题（本大题共5小题，共70分。
北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案
北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷考生注意事项：1.本试卷共4页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{0,2,4}B =,那么()U AB ð等于A ．{}1B ．{}0,1C ．{1,3}D ．{0,1,2,3}2. 已知向量(1,2),(2,3)m ==-a b , 且//a b ，那么实数m 的值是 A ．1-B ．1C ．4D ．7 3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A .若点A 的纵坐标是45，那么sin α的值是A.35 B. 45 C. 34 D. 434. 已知函数()226=+-xf x x 的零点为0x ，那么0x 所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5.已知函数f (x ) 是定义在[4,0)(0,4]-上的奇函数，当0x >时，f (x ) 的图象如图所示，那么f (x ) 的值域是A ．(4,6]-B ．[6,6]-C ．(4,4)(4,6]- D ．[6,4)(4,6]--6. 已知函数sin 2=y x 的图象为C ，为了得到函数2sin(2)3π=+y x 的图象，只要把C 上所有的点 A ．向左平行移动23π个单位长度 B. 向右平行移动23π个单位长度C. 向左平行移动3π个单位长度D. 向右平行移动3π个单位长度7. 已知132a =，133-=b ，21log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<8. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足()(4)f x f x =- ，且在区间[0,2]上是增函数，那么 A ．(6)(4)(1)<<f f f B ．(4)(6)(1)<<f f fC ．(1)(6)(4)<<f f fD ． (6)(1)(4)<<f f f 9. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A. 40万元B. 60万元C.120万元D. 140万元10. 已知定义在R 上的函数()f x ，若对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，那么函数()f x 称为“Ω函数”. 给出下列函数：①()cos f x x =；②()2xf x =；③()||f x x x =；④2()ln(1)f x x =+.其中“Ω函数”的个数是A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 已知函数()af x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于____________. 12. 已知3sin()5απ-=，且(0,)2πα∈，那么tan α=________.13. 已知函数 4, 3,()8, 3.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 如果0()16f x =，那么实数0x 的值是 .14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||2πω><ϕ)的部分图象 如图所示，那么ω=________，ϕ= .15.如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c 的起点和终点均在 格点，且满足向量(,)x y x y =+∈R c a b ，那么x y +=_______.16.已知函数()f x 的定义域为D ，若同时满足以下两个条件： ① 函数()f x 在D 内是单调递减函数；② 存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在[,]a b 内的值域是[,]--b a . 那么称函数()f x 为“W 函数”.已知函数()=f x k 为“W 函数”.（1）当0=k 时，-b a 的值是 ； （2）实数k 的取值范围是 .三、解答题（共5个小题，共70分） 17. (本小题满分13分)已知向量(2,1),(1,)x =-=a b . （Ⅰ）若⊥()a a +b ，求b 的值；（II ）若2(4,7)+=-a b ，求向量a 与b 夹角的大小.a已知函数()sin(2)6π=-f x x . （I ）求函数()f x 的最小正周期；(II) 求函数()f x 的单调递增区间；（III ）当20,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()f x 的最小值，并求出使()y f x =取得最小值时相应的x 值．19. (本小题满分14分)已知函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x .(Ⅰ) 求(1)f 的值；(Ⅱ) 判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； (Ⅲ)若(2)0>f x ，求实数x 的取值范围.20.（本小题满分14分）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t (∈t N )（天）的关系如图所示.（I ） 求销售价格P （元）和时间t （天）的函数关系式； （II ）若日销售量Q (件)与时间t （天）的函数关系式是40(030,=-+≤≤Q t t ∈t N )，问该产品投放市场第几天时，日销售额y （元）最高，且最高为多少元？已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0>x 时，()0f x <，且1(1)2f =-.( I ) 求(0),(3)f f 的值；(II) 当810x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；(III) 设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 3- 12.3413. 2-14. 2,6π 15. 3 16. 1，1(,0]4-（注：第14、16题第一问2分，第二问3分）.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分13分)（I ）依题意(3,1)x +=-+a b ，由()⊥+a a b 可得，610x +-=, 解得7x =,即(1,7)=b ,所以 =b …………6分 (II) 依题意2(4,7)x +(4,2-1)-a b ==，可得3x=-，所以 cos ,⋅<>=a ba b a b = 因为 [],0<>∈π，a b ，所以 a 与b 的夹角大小是4π. …………13分18.（本小题满分14分）解：（I ）22π==πT . ……………………………3分 （II ）222.262k x k k Z πππ-+π≤-≤+π,∈ 222.33k x k k Z π2π-+π≤≤+π,∈ 63k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以 函数()f x 的单调递增区间是[,63ππ-+π+π]k k （∈k Z ）.……………………………8分（III ）203π≤≤x ,4023π≤≤x , 72666πππ-≤-≤x .……………………………10分所以函数()f x 的最小值是12-， ……………………………12分此时20,3x x π==或. ……………………………14分19. (本小题满分14分)解: ( Ⅰ ) 1212(1)log 2log 43=+=-f……………………………3分 ( Ⅱ ) 函数()f x 是偶函数. ……………………………4分证明：由30,30,+>⎧⎨->⎩x x 解得3,3.>-⎧⎨<⎩x x所以 33-<<x ,所以 函数()f x 的定义域为{|33}-<<x x . ………………………………6分 因为 1212()log (3())log (3())-=+-+--f x x x ………………………………7分1122log (3)log (3)=-++x x ()f x =，所以 函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x 是偶函数. …………………………9分( Ⅲ ) 由(2)0>f x 可得 21122log (9(2))log 1->x …………………………10分得 23239(2)1-<<⎧⎨-<⎩x x ， …………………………12分解得，32-<<x ，或32<<x . …………………………14分 20.（本小题满分14分）解：（I ）①当020,t t ≤<∈N 时，设,P at b =+ 将(0,20),(20,40) 代入，得20,4020,b a b =⎧⎨=+⎩ 解得1,20.a b =⎧⎨=⎩所以20(020,).P t t t =+≤<∈N ………………….3分 ②当2030,t t ≤≤∈N 时，设,P at b =+ 将(20,40),(30,30) 代入，解得1,60.a b =-⎧⎨=⎩所以 60(2030,),P t t t =-+≤≤∈N ………………….6分综上所述20(020,),60(2030,).t t t P t t t +≤<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ………………….7分（II ）依题意，有,y P Q =⋅得(20)(40)(020,),(60)(40)(2030,).t t t t y t t t t +-+≤<∈⎧=⎨-+-+≤≤∈⎩N N ………………….9分化简得2220800(020,),1002400(2030,).t t t t y t t t t ⎧-++≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N整理得 22(10)900(020,),(50)100(2030,).t t t y t t t ⎧--+≤<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N ………………….11分① 当020,t t ≤<∈N 时，由2(10)900y t =--+可得，当10t =时，y 有最大值900元. ………12分 ② 当2030,t t ≤≤∈N 时，由2(50)100y t =--可得，当20t =时，y 有最大值800元. …….13分 因为 900800>，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元. ………………….14分21. (本小题满分15分）解：（I ）令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =. ………………….1分 令1,x y ==得(2)2(1)1f f ==-， ………………….2分令2,1x y ==得3(3)(2)(1).2f f f =+=- …………………3分(II)任取12,,x x ∈R 且12x x <，210x x ->，因为()()()f x y f x f y +-=，即()()[()]()f x y f x f x y x f y +-=+-=， 则2121()()()f x f x f x x -=-. …………………4分 由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则21()0f x x -<， 所以 21()()0f x f x -<，21()()f x f x <，所以 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….6分 故 ()f x 在[8,10]-单调递减.所以max min ()(8),()(10)f x f f x f =-=，又3(10)2(5)2[(2)(3)]2(1)52f f f f ==+=--=-， ………………….7分 由(0)(11)(1)(1)0f f f f =-=+-=，得1(1)2f -= ， 1(8)2(4)4(2)8(1)842f f f f -=-=-=-=⨯=， 故max min ()4,()5f x f x ==-. ………………….9分 (III) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()(0)0f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………………….10分2()()2()g x f x m f x =--2()2()f x m f x =-+-2()()()f x m f x f x =-+-+-2(2)f x x m =-- ………………….11分令()0g x =即2(2)00f x x m f --==（）， 因为 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….12分 所以 220x x m --=，即22m x x =-， ………………….13分 所以 当()1,0m ∈- 时，函数()g x 最多有4个零点. ………………….15分【其它正确解法相应给分】。
2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}，则集合(∁U A)∩B=()A. {4,6}B. {2,4}C. {2}D. {4}2.不等式的解集为()A. B.C. D.3.若x<3，则√9−6x+x2−|x−6|的值是()A. −3B. 3C. −9D. 94.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,m+3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −2B. 2C. −7D. 75.若b<0<a，d<c<0，则()A. ac>bdB. ac >bdC. a−c>b−dD. a−d>b−c6.袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是()A. 35B. 12C. 25D. 1107.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，若函数g(x)=log5x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x){2|x−1|−1,0<x≤212f(x−2),x>2则函数g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为()A. 7B. 8C. 9D. 109.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要10.方程的解为等于()A. 1B. eC. 10D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若命题“∃x 0∈R ，2x 02−3mx 0+9<0”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．12. 幂函数y =f(x)的图象经过点(−2, −18)，则满足f(x)=64的x 的值是______ ．13. 在△ABC 所在平面内一点P ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，延长BP 交AC 于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=_______．14. 已知函数f(x)=x 3+sinx +m −3是定义在[n,n +6]上的奇函数，则m +n = ______ ． 三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 (1) ；乙组数据的平均数是 (2) ．16. 设函数f(x)={log 2x,x >0x 2+x,x ≤0，则f[f(−2)]= ，方程f(x)=2的解为 ．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…[90,100]，整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；(Ⅱ)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；(Ⅲ)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ (1)试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若AD =2，AB =3，∠DAB =60°，求BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗19. 孝感为中国生活用纸之乡．为庆祝“2021年中国孝感纸都节”，在开幕式现场进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“孝感纸都”和“纸都孝感”两种标志，摇匀后抽奖，规定：参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“孝感纸都“即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“纸都孝感”标志的概率为35． (1)求盒中印有“纸都孝感”标志的小球个数； (2)求某位嘉宾抽奖两次的概率．20. 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别 年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 10 m 5 100B 产品204960其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4].另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．21. 已知集合A=，其中}，B=}，且A B=R，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查补集、交集的求法，属于基础题．先求出集合B和∁U A，由此能求出集合(∁U A)∩B．解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∴∁U A={1,4,5,6}，则集合(∁U A)∩B={4}．故选：D．2.答案：A解析：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，解答此类题的关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负的取符号法则．解：故不等式的解集为。
北京市昌平区第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线 化成斜截式为 ，
因为 ，所以 .
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
3.已知 ， ，则 的值为（）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 ，再利用空间向量模的公式计算.
【详解】∵ ， ， , ,
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出 以及平面 的法向量后可证明 平面 .
（2）求出平面 的法向量后可求二面角 的余弦值.
（3）可证明 始终不为零，从而可证 与 都不垂直.
【详解】因为 底面 ，而 底面 ， 底面 ，
故 ， ，
又底面 是矩形，故 .
依题意满足条件的最小正方形是各边以 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为 的正方形，使得曲线 在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.
三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】解：直线 的一般方程为 ,
圆 的圆心为 ，半径为 .
直线与圆相切， , .
故选:D.
6.圆 和圆 的位置关系是（）
A.相交B.内切C.外切D.相离
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系
2022-2023学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={−2,−1,0,2}，B ={x||x|<2}，则A ∩B =( ) A. {−1}B. {−1,0}C. {−2,−1,0}D. {−2,−1,0,2}2. 命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定为( )A. ∃x ∈R ，e x ≤0B. ∃x ∈R ，e x <0C. ∀x ∈R ，e x ≤0D. ∀x ∈R ，e x <03. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，则下列各式一定成立的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 4. 为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲、乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示．下列结论正确的是( )A. 甲得分的极差比乙得分的极差小B. 甲得分的平均数比乙得分的平均数小C. 甲得分的方差比乙得分的方差大D. 甲得分的25%分位数比乙得分的25%分位数大5. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a6. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.8，射击运动员乙击中靶心的概率为0.9，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响．若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为( )A. 0.98B. 0.8C. 0.72D. 0.267. “0<x <1”是“lnx <0”成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设函数f(x)=xx+1，则下列函数中为奇函数的是( ) A. f(x +1)+1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x −1)−19. 某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度(x)(单位：米/分钟)与飞行时间x(单位：分钟)的关系如图所示．若定义“速度差函数”u(x)(单位：米/分钟)为无人机在[0,x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为( )A.B.C.D.10. 已知集合A ，B 都是N ∗的子集，A ，B 中都至少含有两个元素，且A ，B 满足：①对于任意x ，y ∈A ，若x ≠y ，则xy ∈B ； ②对于任意x ，y ∈B ，若x <y ，则y x∈A.若A 中含有4个元素，则A ∪B 中含有元素的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 811. 某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人．现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为______.12. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|4a ⃗ −3b ⃗ |=______.13. 已知函数f(x)={(12)x ,x <12,log 2x,x ≥12，则f(−2)=______；f(x)的最小值为______.14. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量(单位：本)，将数据按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中a 的值为______；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为______.15. 已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是f(x)=______.(写出一个即可)16. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=|x +4x −5|，则f(x)的零点是______；若关于x 的方程f(x)=m(m >0)有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4=______.17. 如图，在△ABC 中，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . (Ⅰ)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (Ⅰ)若P 为△ABC 内部一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =512a ⃗ +14b ⃗ .求证：M ，P ，N 三点共线．18. 已知集合A ={x|x 2−5x +6>0}.(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅰ)若集合B ={x|a <x <2a}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．19. 为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度．经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y(单位：吨)与每月投入的研发费用x(单位：万元)之间的函数关系式为y =6000xx 2+10x+400.(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？(Ⅰ)当每月投入的研发费用x 为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？20. 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”．如表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长．据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”．(Ⅰ)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；(Ⅰ)海报组成员从飞行时长(包括预计飞行时长)大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月的概率；(Ⅰ)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为μ0.2022年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为μ1.试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)21. 设有限集合E={1,2,3,⋯,N}，对于集合A⊆E，A={x1,x2,x3,⋯,x m}，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k= x i+x j，则称A为E的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素x i，x j(i≠j)，都有x i+x j∉A，则称A为E的开放子集．(Ⅰ)若N=20，集合A={1,2,4,6,8,10}，B={x|x=3k+1,k≤6,k∈N∗}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；(直接写出结论)(Ⅰ)若N=100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；(Ⅰ)若N∈N∗，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0,2}，B ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， ∴A ∩B ={−1,0}， 故选：B.根据交集的定义直接写出A ∩B 即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：命题的否定，将量词与结论同时否定， 所以命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x ≤0”． 故选：A.命题的否定，将量词与结论同时否定，按照此规则，我们可以得出结论．命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性命题，特称性命题变为全称命题．3.【答案】D【解析】解：A ，∵矩形ABCD ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵A 错误， B ，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不相同，∴B 错误， C ，∵O 为对角线AC ，BD 的交点，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴C 错误，D ，∵O 为对角线AC ，BD 的交点，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴D 正确，故选：D.利用平行四边形的性质，平面向量的线性运算求解即可． 本题考查平行四边形的性质，平面向量的线性运算，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由茎叶图可知，甲同学所得分数为14、16、23、27、32、38； 乙同学所得分数为13、22、24、26、28、37； 甲同学所得分数的极差为38−14=24， 乙同学所得分数的极差为37−13=24， 故选项A 不符合题意；甲同学所得分数的平均数为16×(14+16+23+27+32+38)=25，乙同学所得分数的平均数为16×(13+22+24+26+28+37)=25，故选项B不符合题意；甲同学所得分数的方差为16×[(14−25)2+(16−25)2+(23−25)2+(27−25)2+(32−25)2+(38−25)2]=16×(112+92+22+22+72+132)=2143，乙同学所得分数的平均数为16×[(13−25)2+(22−25)2+(24−25)2+(26−25)2+(28−25)2+(37−25)2]=16×(122+32+12+12+32+122)=1043，故选项C符合题意；，∵6×25%=1.5，∴甲同学得分的25%分位数为16，乙同学得分的25%分位数为22；故选项D不符合题意；故选：C.由茎叶图可知，甲同学所得分数为14、16、23、27、32、38；乙同学所得分数为13、22、24、26、28、37；分别求甲、乙同学所得分数的极差、平均数、方差、百分位数，从而依次判断即可．本题考查了茎叶图及样本数字特征的应用，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：∵a=log23>1，b=log123<0，0<3−12<1，即0<c<1，故a>c>b，故选：B.利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设甲击中靶心为事件A ，射击运动员乙击中靶心为事件B ， 则P(A)=0.8，P(B)=0.9，且A ，B 相互独立，若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率P =1−P(A −⋅B −)=1−P(A −)P(B −)=1−0.1×0.2=0.98. 故选：A.由已知结合相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率公式可求． 本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵lnx <0，∴0<x <1， ∴0<x <1是lnx <0成立的充要条件， 故选：C.先解对数不等式，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了对数不等式的解法，充要条件的判定，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，f(x +1)+1=x+1x+2+1，其定义域为{x|x ≠−2}，不是奇函数；对于B ，f(x −1)+1=x−1x +1=2−1x ，不满足f(−x)=−f(x)，不是奇函数； 对于C ，f(x +1)−1=x+1x+2−1，其定义域为{x|x ≠−2}，不是奇函数；对于D ，f(x −1)−1=x−1x−1=−1x，其定义域为{x|x ≠0}，满足f(−x)=−f(x)，是奇函数；故选：D.根据题意，依次分析选项，先求出其解析式，再分析是不是奇函数，即可得答案． 本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的解析式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，当x ∈[0,6]时，无人机做匀加速运动，速度V(x)从80增加到160， 对应的x ∈[0,6]时，u(x)递增，且从0增大到80，当x ∈[6,10]时，无人机做匀减速运动，速度V(x)从160下降到80， 对应的x ∈[6,10]时，u(x)=160−80=80，保持水平，当x ∈[10,12]时，无人机做匀减速运动，V(x)从80下降，V(x)=180−10x ，对应的x ∈[10,12]时，u(x)=160−(180−10x)=10x −20，则u(x)递增，且从80增大到100， 当x ∈[12,15]时，无人机做匀加速运动，对应的x ∈[0,15]时，“速度差函数”u(x)=160−60=100，保持水平，结合所给的图象，可知C正确；故选：C.根据题意，由“速度差函数”u(x)的定义，分x∈[0,6]、x∈[0,10]、x∈[0,12]、x∈[0,15]四种情况，分别求得函数的图象，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，注意“速度差函数”的定义，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：若取A={2,4,8,16}，则B={8,16,32,64,128}，此时A∪B={2,4,8,16,32,64,128}，包含7个元素．下面推导其正确性：设A={a,b,c,d}且a<b<c，d，a，b，c，d∈N∗，集合B的元素如下：此时要满足x<y，有yx∈A，如下表：当bc>ad，上表第一列有ab >a>a>b>b且均属于集合A，而A={a,b,c,d}，矛盾；当bc<ad，上表第一列有cdab >da>ca>cb，且均属于集合A，而S={a,b,c,d}，矛盾；当bc=ad时，则cdab >da>max{bdac,db,ca}>min{bdac,bd}>dc=ba，且均属于集合A，而A ={a,b,c,d}，此时只需满足bd ac =d b =c a ， 则bd ac =d b =c a =b ，d b =c ，cd ab =d ，可得S ={a,a 2,a 3,a 4}，且T ={a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}，注意a =1，所以A ∪B ={a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}，故共有7个元素．故选：C.分别给出具体的集合A 和集合B ，然后证明正确性即可．本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．11.【答案】8【解析】解：由题意可得应从初中部抽出的人数为3224+32+24×20=8.故答案为：8.直接根据分层抽样的方法即可求出．本题考查了分层抽样的方法，属于基础题．12.【答案】√10【解析】解：∵网格纸上小正方形的边长为1，∴|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，<a ⃗ ，b ⃗ >=π4， ∴|4a ⃗ −3b ⃗ |=√16a ⃗ 2−24a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=16−24×1×√2×√22+9×2=√10， 故答案为：√10. 利用平面向量的求模公式求解即可．本题考查平面向量的求模公式，属于基础题．13.【答案】4−1【解析】解：函数f(x)={(12)x ,x <12log 2x,x ≥12，则f(−2)=(12)−2=4； x <12，f(x)=(12)x 为减函数，故f(x)>(12)12=√22， x ≥12，f(x)=log 2x 为增函数，故f(x)≥f(12)=−1，∵−1<√22，∴f(x)的最小值为−1.故答案为：4；−1.根据函数解析式，将x=−2，代入即可求解第一空，分x<12和x≥12两种情况，求出最小值，最后比较，即可求得第二空．本题考查分段函数的应用，属于中档题．14.【答案】0.030150【解析】解：由题意得，a=15−0.006−0.014−0.080−0.070=0.030，估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为600×(0.014+0.006+0.030)×5= 150人；故答案为：0.030，150.利用频率分布直方图的面积和为1求a，再利用样本估计总体即可．本题考查了频数分布直方图的应用，同时考查了样本估计总体的应用，属于基础题．15.【答案】1x2【解析】解：因为函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是f(x)=1x2(答案不唯一).故答案为：f(x)=1x2(答案不唯一).由已知结合基本初等函数的奇偶性及单调性即可求解．本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性，属于基础题．16.【答案】1或4 16【解析】解：(1)令f(x)=0，x>0，解得x=1或x=4，(2)证明：如图，要使f(x)=m有四个根，则0<m<1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，则x 2−(5+m)x +4=0，∴x 1x 4=4，当g(x)=−m ，则x 2−(5−m)x +4=0，∴x 2x 3=4，∴x 1x 2x 3x 4=16.故答案为：1或4；16.令f(x)=0，求x 的值，即可求出第一空，画出函数y =f(x)的图象，f(x)=m 有四个根，则0<m <1，设g(区)=x +4x −5，由g(x)=m 或g(x)=−m ，化简后，分别求两根之积，相乘即可求出第二空．本题考查函数零点和取值范围问题，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ ；MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −12a ⃗ +23a ⃗ =12b ⃗ +16a ⃗ ； 证明：(Ⅰ)因为P 为△ABC 内部一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =512a ⃗ +14b ⃗ . 则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +512a ⃗ +14b ⃗ =112(a ⃗ +3b ⃗ )=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且有公共点M ， 所以M ，P ，N 三点共线．【解析】(I)由已知结合向量的线性表示即可求解；(Ⅰ)由已知只要证明MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明． 本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为集合A ={x|x 2−5x +6>0}={x|x <2或x >3}，则∁R A ={x|2≤x ≤3}，(Ⅰ)因为集合B ={x|a <x <2a}，且B ⊆A ，当B =⌀时，则a ≤0.符合题意，当B ≠⌀时，则a >0，若B ⊆A ，则a ≥3或2a ≤2，得0<a ≤1或a ≥3，综上，a 的取值范围为：(−∞,1]∪[3,+∞).【解析】(Ⅰ)根据集合的运算可解；(Ⅰ)分B 是否为⌀两种情况进行讨论；本题考查集合的运算以及集合间的包含关系，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则y =6000xx 2+10x+400≥100，整理得 2−50x +400≤0，解得10≤x ≤40，故每月投入的研发费用应该在10万元到40万元之间；(Ⅰ)y =6000xx 2+10x+400=6000x+400x +10⩽2√x⋅400x +10=120， 当且仅当x =400x ，即x =20时，等号成立，故当每月投入的研发费用x 为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨．【解析】(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则y =6000x x 2+10x+400≥100，整理求解即可；(Ⅰ)整理y =6000x x 2+10x+400=6000x+400x +10，利用基本不等式求解即可．本题考查函数模型的实际应用和基本不等式，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，共有15艘神舟飞船，其中发射时间恰好是在10月份的有4艘， 所以选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率为415.(Ⅰ)由表可知，飞行时长(包括预计飞行时长)大于30天的神舟飞船共有5艘，其中飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月的有3艘， 故所求的概率为P =C 32C 52=310. (Ⅰ)结论：μ0<μ1.理由如下：2022年6月5日和2022年11月29日的神舟飞船的飞行时长等于或远大于2022年5月之前的，所以2022年12月30日计算的已经完成飞行任务的神舟飞船的总时长远大于2022年5月计算的总时长，故μ0<μ1.【解析】(Ⅰ)直接根据古典概型，得解；(Ⅰ)结合组合数与古典概型，即可得解；(Ⅰ)根据平均数的计算方法，进行估计即可．本题考查统计与概率，熟练掌握古典概型，平均数的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)对于A，∵2=1+1，4=2+2，6=2+4，8=2+6，10=2+8，且A⊆E，则A为E的封闭子集．对于B，由题可得B={4,7,10,13,16,19}，其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，∴B是E的开放子集．(Ⅰ)由题意，A={1,x2,x3,⋅⋅⋅,x m−1,100}，设1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，∵集合A中任意一个元素中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k=x i+x j，则x n−1+1≤x n≤2x n−1，其中n∈[2,m]，n，x n∈N∗，得x2=2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，∵7≤x7≤64<100，则m>7，若m=8，则x8=100，则在A中存在元素x i，x j(i≤j)，使它们的和为100，又1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，则当i<j时，x i+x j≤x6+x7≤96<100，得x8=2x7，解得x7=50，∴在A中存在元素x i，x j(i≤j)，使它们的和为50，又当i<j时，x i+x j≤x4+x5≤24<25，∴不存在元素x i，x j(i≤j)，使x6=x i+x j，这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，当m=9，取A={1,2,4,8,16,32,64,96,100}，∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9.(Ⅰ)∵N∈N∗，且N为奇数，当N=1时，得m=1，当N≥3时，将E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}里面的奇数组成集合A，则A={1,3,5,7,⋅⋅⋅,N}，∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为N+12为m最大值，下面说明N+12N=1，成立；当N≥3时，若m>N+1，则A中至少有一个属于E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}的偶数，2设为a t，则2≤a t≤N−1，得a t+1为属于集合{1,3,5,7,⋅⋅⋅,N,a t}中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故m≤N+1，2.综上，m的最大值为N+12【解析】(Ⅰ)利用封闭子集，开放子集定义可得答案；(Ⅰ)A={1,x2,x3,⋅⋅⋅,x m−1,100}，设1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，因集合A中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k=x i+x j，则x n−1+1≤x n≤2x n−1，其中2≤n≤m，n∈N∗，据此可得7≤x7≤64<100，得m>7，后排除m=8，再说明m=9符合题意即可；(Ⅰ)因为N∈N∗，且N为奇数，当N=1时，得m=1，当N≥3，将E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m=N+1为最大值即可．2本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：函数选择题 (答案详解)
2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题一．选择题（共23小题）1．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是 A ．B ．C ．D ．2．（2020秋•通州区期末）函数且在上单调递减，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．（2020秋•西城区校级期末）函数的图象是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“函数”．若函数是“函数”，则实数的取值范围是 A ．，，B ．，，C ．，D ．，5．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是 A ．B ．C ．，，D ．，，7．（2020秋•石景山区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是 A ．B ．C ．D ．(0,)+∞()()2xf x -=3()f x x =()f x lgx=1()f x x=,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩…1)a ≠R a ()(1,)+∞(0,1)1[,1)31(0,]3|(1)|y lg x =-()()f x R x R ∈()()f x f x -≠-()y f x =X -sin cos y x x a =++X -a ()(-∞1)(1-⋃)+∞(-∞2)(2-⋃)+∞[1-1][2-2](0,1)()sin y x=y =3y x =-y lgx=11y lgx x =+-()(0,)+∞(1,)+∞(01)(1⋃)+∞[01)(1⋃)+∞(1,1)-()11y x=-2x y =(1)y ln x =+2xy -=8．（2020秋•朝阳区期末）已知函数可表示为 1234则下列结论正确的是 A ．（4）B ．的值域是，2，3，C ．的值域是，D ．在区间，上单调递增9．（2020秋•东城区期末）已知为奇函数，且当时，，则的值为 A ．B ．C ．D ．10．（2020秋•海淀区期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•丰台区期末）下列函数是奇函数的是 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•西城区校级期末）以下函数既是偶函数又在上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）已知函数是奇函数，且当时，，则 A ．B ．0C ．1D ．214．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ()y f x =()x02x <<24x < (46)x < (68)x ……y()(f f )3=()f x {14}()f x [14]()f x [48]()f x 0x >()2f x x =-1()2f -()52-32-3252(0,)+∞()2y x=-12y x=1y x -=3y x =()()2xf x =2()log f x x=2()f x x =3()f x x =(0,)+∞()4()f x x =()f x =1()(2xf x =12()log ||f x x =()f x 0x >21()f x x x=+(1)(f -=)2-y x y x ()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④15．（2020秋•石景山区期末）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是 A ．B ．C ．D ．16．（2020秋•海淀区校级期末）如图是函数的图象，是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点，可重合）．设线段的长为，则函数的图象是 A ．B．H H t ()sin (0)y x x π=……(,)A x y A x (B A B AB ()f x ()f x ()C ．D ．17．（2020秋•昌平区期末）已知函数．若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 A ．，B ．C ．，D ．18．（2020秋•西城区校级期末）已知函数的定义域是，满足（2）且对于定义域内任意，都有成立，那么（2）（4）的值为 A ．1B ．2C ．3D ．419．（2020秋•通州区期末）已知函数，则 A ．是奇函数，且在上单调递增B ．是奇函数，且在上单调递减C ．是偶函数，且在上单调递增D ．是偶函数，且在上单调递减20．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，值域为区间，的是 A ．B ．C ．D ．21．（2020秋•大兴区期末）已知函数是上的减函数，则的范围是 A ．B ．，C ．D ．，22．（2020秋•海淀区校级期末）已知偶函数在上单调递减，若（1），（2），，则，，的大小关系为 A ．B ．C ．D ．23．（2020秋•东城区期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是 A ．（a ）B ．C ．（a ）D ．2()f x x k =-m n ()fxk ()(1-0](1,)-+∞(2-0](2,)-+∞()f x (0,)+∞f 1=x y ()()()f xy f x f y =+f f +()()(1)(1)f x ln x ln x =++-()(f x )(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)[2)+∞()2()2f x x =()21x f x =+()||2f x x =+1()f x x x=+5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R a ()(,0)-∞[4-)+∞(,4)-∞-[4-0)()f x (,0)-∞a f =b f =1()2c f =-a b c ()a b c >>a c b >>b a c >>c a b>>()f x R 0a >()2()f a f <1()()f a f a<f (2)f a <2()(1)f a f a <-2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，在上是减函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．2．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：若函数在上为减函数，则满足，即，得，故选：．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由得，即函数的定义域为，排除，，，故选：．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】根据题意，设，则有，结合“函数”的定义可得方程无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则，若函数是“函数”，即无解，A ()2x f x -=B 3()f x x =RC ()f x lgx =D 1()f x x=(0,)+∞B R 00130a a a <<⎧⎨-⎩ (01)13a a <<⎧⎪⎨⎪⎩ (103)a <…D 10x ->1x >(1,)+∞A B D C ()sin cos f x x x a =++()()2cos 2f x f x x a +-=+X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=()sin cos f x x x a =++()sin()cos()sin cos f x x x a x x a -=-+-+=-++()()2cos 2f x f x x a +-=+()y f x =X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=又由，，必有或，即的取值范围为，，，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“函数”的含义，属于基础题．5．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．．当时，函数为减函数，不满足条件．．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．6．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】可看出前三个选项的函数在上都是增函数，从而只能选．【解答】解：，和在上都为增函数，在上是减函数．故选：．【点评】本题考查了反比例函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误，函数的值域为，2，3，，故正确，错误，在定义域上不单调，故错误，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题．cos [1x ∈-1]1a <-1a >a (-∞1)(1-⋃)+∞A X -A sin y x =01x <<B [0)+∞C 01x <<D (0,)+∞A 010x x >⎧⎨-≠⎩01x x >⎧⎨≠⎩(01)(1⋃)+∞C (1,1)-D 11y x=-2x y =(1)y ln x =+(1,1)-2x y -=(1,1)-D f 3=(f f )f =2=A {14}B C ()f x D B9．【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质是否满足进行判断即可．【解答】解：．函数为偶函数，不满足条件．．函数的定义域为，，为非奇非偶函数，不满足条件．．函数为奇函数，且当时，为减函数，满足条件．．函数为奇函数，当时为增函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数的性质是解决本题的关键，是基础题．11．【分析】根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是奇函数，符合题意，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．12．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于，函数在递增，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数既是偶函数又在上单调递减，符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．1(2f 0x >()2f x x =-113(2222f =-=-()f x 113()()222f f -=-=C A B [0)+∞C 0x >1y x=D 0x >C A ()2x f x =B 2()log f x x =C 2()f x x =D 3()f x x =D A (0,)+∞B C D (0,)+∞D13．【分析】由奇函数定义得，（1），根据的解析式，求出（1），从而得到．【解答】解：是定义在上的奇函数，，（1），又当时，，（1），，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．14．【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．15．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则（这里的是漏斗中剩下液体的体积）与成正比（一次项），根据圆锥体积公式兀，可以得出中，为正数，另外，与成反比，可以得出^中，为正数．所以选择第二个答案．16．【分析】根据线段的长和之间的关系，通过取特殊点及某一段上的的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可．【解答】解：当时，，两点重合，此时，故排除，；当时，是关于的一次函数，其图象是一条线段，故选：．【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．(1)f f -=-0x >f (1)f -()f x R ()()f x f x ∴-=-(1)f f -=-0x >21()f x x x=+f ∴2112=+=(1)2f ∴-=-A A C 1212t 12B V V t 13V =2r h 2H at bt =+a t r H at =2bt +b AB x x 2x π=A B ()0f x =C D (0,2x π∈()2f x x π=-x A17．【分析】求出函数在定义域上单调递增，由此建立方程的两个不相等的非负实数根，再由，求出的范围．【解答】解：由函数，可知函数在区间上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，只需，即，的两个不相等的非负实数根，所以，解得，即实数的取值范围为，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及到一元二次方程的实数根的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），从而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故选：．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出（4），是解题的关键，是基础题．19．【分析】由已知结合函数奇偶性定义及复合函数的单调性进行检验即可判断．【解答】解：，则，故为偶函数，当时，单调递减，故选：．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …k 2()f x x k =-()f x ()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …10k -<…k (1-0]A f (22)f f =⨯=f +2f =f 2=f (22)f f =⨯=f +2f =f ∴2=f ∴f +123=+=C f 2=2()(1)(1)(1)f x ln x ln x ln x =++-=-()()f x f x -=()f x 01x <<2()(1)f x ln x =-D20．【分析】由题意，求出各个函数的值域，可得结论．【解答】解：由与，故它的值域为，，故错误；由于，故它的值域为，故错误；由于，故它的值域为，，故正确；由于，当时，，当 时，，故它的值域为，，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．21．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得，解之即可得答案．【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，解得，即的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．22．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，因为（1），（2），，又，则．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题．23．【分析】可取，从而可判断出选项，都错误；可得出，根据是上的减函数可得出（a ），从而判断错误，这样只能选．【解答】解：时，，，，都错误；2()20f x x =…[0)+∞A ()21011x f x =+>+=(1,)+∞B ()||22f x x =+…[2)+∞C 1()f x x x=+0x >()2f x …0x <()2f x -…[2)(+∞-∞⋃2]D C 051a a <⎧⎨+⎩…5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R 051a a <⎧⎨+⎩…40a -<…a [4-0)D ()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞a f =b f =11()(22c f f =-=12102>>>b a c >>C 1a =A B 2a a <()f x R f (2)f a >C D 1a =21,a a a a==∴21()(),()()f a f a f a f a==A ∴B，，是上的减函数，（a ），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．【点评】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．0a > 2a a <()f x R f ∴(2)f a >C 22213(1)1()024a a a a a --=-+=-+>21a a ∴>-()f x R 2()(1)f a f a ∴<-D D。
北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A ∩（∁U B ）等于（ ）A ．{1}B ．{0，1}C ．{1，3}D ．{0，1，2，3}2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m ），且∥，那么实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．4D ．73．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ．若点A 的纵坐标是，那么sin α的值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]6．已知函数y=sin2x 的图象为C ，为了得到函数的图象，只要把C 上所有的点（ ） A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度7．已知，，，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （4﹣x ），且在区间[0，2]上是增函数，那么（ ）A ．f （6）＜f （4）＜f （1）B ．f （4）＜f （6）＜f （1）C ．f （1）＜f （6）＜f （4）D ．f （6）＜f （1）＜f （4）9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于 ．12．已知，且，那么tan α= ．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是 ．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= ，φ= ．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x +y （x ，y ∈R ），那么x+y= ．16．已知函数f （x ）的定义域为D ，若同时满足以下两个条件：①函数f （x ）在D 内是单调递减函数；②存在区间[a ，b]⊆D ，使函数f （x ）在[a ，b]内的值域是[﹣b ，﹣a]．那么称函数f （x ）为“W 函数”．已知函数为“W 函数”．（1）当k=0时，b ﹣a 的值是 ；（2）实数k 的取值范围是 ．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x ）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．18．已知函数．（I ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？21．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且．（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；（Ⅱ）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x2﹣m）﹣2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（∁B）等于（）UA．{1} B．{0，1} C．{1，3} D．{0，1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．B），再根据交集的运算法则计算即可【分析】先求出（∁U【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（∁B）={1，3}UB）={1，3}∴A∩（∁U故选：C．【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，那么实数m的值是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．7【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．【解答】解：向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，∴1×（3﹣m）=2×2，∴m=﹣1，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A．若点A的纵坐标是，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：由题意可得，点A 的纵坐标是，那么sin α的值是，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在条件进行判断即可．【解答】解：∵函数f （x ）=2x +2x ﹣6为增函数，∴f （1）=2+2﹣6=﹣2＜0，f （2）=22+2×2﹣6=2＞0，则函数在（1，2）内存在零点，x 0所在的区间是（1，2），故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的判断，判断函数的单调性以及函数函数在区间端点处的符号关系是解决本题的关键．5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可．【解答】解：∵当0＜x ≤4时，函数单调递增，由图象知4＜f （x ）≤6，当﹣4≤x ＜0时，在0＜﹣x ≤4，即此时函数也单调递增，且4＜f （﹣x ）≤6，∵函数是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴4＜﹣f （x ）≤6，即﹣6≤f （x ）＜﹣4，∴f （x ）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．6．已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象关系进行判断即可．【解答】解：=sin2（x+），即为了得到函数的图象，只要把C上所有的点向左平行移动个单位长度即可，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵＞20=1，0＜=，1=0，＜log2∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．8．已知定义在R上的奇函数f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（）A．f（6）＜f（4）＜f（1）B．f（4）＜f（6）＜f（1）C．f（1）＜f（6）＜f（4）D．f（6）＜f（1）＜f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可．【解答】解：∵f（x）=f（4﹣x），∴函数f （x ）关于x=2对称，则∵奇函数f （x ）在区间[0，2]上是增函数，∴函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是增函数，则函数f （x ）在在区间[2，6]上是减函数，则f （1）=f （3），∵f （6）＜f （4）＜f （3），∴f （6）＜f （4）＜f （1），故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和对称性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．【解答】解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t 2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t 4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万， 共获利40+80=120万，故选：C【点评】本题主要考查函数的应用问题，读懂题意，建立数学模型是解决本题的关键．10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到，对于任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，从而得出f （x ）在R 上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在R 上的单调性，从而便可得出“Ω函数”的个数．【解答】解：对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1）恒成立； ∴（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0恒成立；∴f （x ）在R 上为增函数；①f （x ）=cosx 在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；②f （x ）=2x 在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；③；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f （x ）在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；④令x 2+1=t ，t ≥1，则y=lnt 在[1，+∞）上单调递增，而t=x 2+1在R 上没有单调性；∴f （x ）在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；∴“Ω函数”的个数是2．故选：B ．【点评】考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于 ﹣3 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】据幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3，），结合指数的运算性质，可得答案． 【解答】解：：∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点，∴3a ==3﹣3， 解得：a=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．12．已知，且，那么tan α= ． 【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=sin α，且，∴cos α==，那么tan α==，故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是 ﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】对x 分类讨论，利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：当x ＜3时，﹣8x 0=16，解得x 0=﹣2，满足条件．当x ≥3时，=16，解得x 0=2，不满足条件．综上可得：x 0=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= 2 ，φ= ．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可． 【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即， 则ω=2，x=时，f （）=sin （2×+φ）=， 即sin （+φ）=， ∵|φ|＜， ∴﹣＜φ＜， 则﹣＜+φ＜， 则+φ=，即φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象确定函数的周期是解决本题的关键．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x+y（x，y∈R），那么x+y= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】取互相垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，属于平面向量的基本定理列出方程组解出x，y．【解答】解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为，则=2﹣，=，=4+3．又∵=x+y=（2x+y）+（2y﹣x），∴，解得．∴x+y=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．16．已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：①函数f（x）在D内是单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]．那么称函数f（x）为“W函数”．已知函数为“W函数”．（1）当k=0时，b﹣a的值是 1 ；（2）实数k的取值范围是（] ．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可看出，对于“W函数”有，方程f（x）=﹣x在定义域D上至少有两个不同实数根，并且a，b便为方程f（x）=﹣x的实数根，k=0时，解方程便可得出a，b的值，从而求出b﹣a 的值；（2）可令，（t≥0），从而得到方程﹣t﹣k=﹣t2，即一元二次方程t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根，从而可得到，解该不等式组即可得出实数k的取值范围．【解答】解：根据题意知，“W函数”在定义域D上需满足：方程f（x）=﹣x至少有两个不同的实数根；（1）k=0时，解得，x=0，或1；∴a=0，b=1；∴b﹣a=1；（2）令，由方程得，﹣t﹣k=﹣t2；∴t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根；设g（t）=t2﹣t﹣k，则：；解得；∴实数k的取值范围为．故答案为：1，（，0]．【点评】考查对“W函数”定义的理解，减函数的定义，清楚y=﹣x在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，换元法将无理方程变成有理方程的方法，一元二次方程实数根的个数和判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（I）由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求；（II）运用向量的加法运算，可得x=﹣3，再由向量的夹角公式cos＜，＞=，计算即可得到所求夹角．【解答】解：（I）依题意可得，+=（3，﹣1+x），由⊥（+），可得，•（+）=0，即6+1﹣x=0，解得x=7，即=（1，7），所以；（II）依题意+2=（4，2x﹣1）=（4，﹣7），可得x=﹣3，即=（1，﹣3），所以cos＜，＞===，因为＜，＞∈[0，π]，所以与的夹角大小是．【点评】本题考查向量的数量积的运算，主要考查向量的模的求法和夹角的求法，考查运算能力，属于中档题．18．已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值．【解答】解：（I）对于函数，它的最小正周期为．（II）令，求得，即．所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（III）∵，∴，即．所以函数f（x）的最小值是，此时，．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）将x=1代入f（x）计算；（II）先判断定义域是否关于原点对称，再化简f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系；（III）利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出．【解答】解：（Ⅰ）f（1）=log4+log2=﹣2﹣1=﹣3．（Ⅱ）函数f（x）是偶函数．证明：由函数有意义得，解得﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为{x|﹣3＜x＜3}．∵f（﹣x）==f（x），∴函数是偶函数．（Ⅲ）由f（2x）＞0可得．∴，解得，或．∴x的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【点评】问题考查了对数运算，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论t的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（I）①当0≤t＜20，t∈N时，设P=at+b，将（0，20），代入，得解得所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．②当20≤t≤30，t∈N时，设P=at+b，将，（30，30）代入，解得所以 P=﹣t+60，…．综上所述…． （II ）依题意，有y=P •Q ，得…．化简得整理得 …．①当0≤t ＜20，t ∈N 时，由y=﹣（t ﹣10）2+900可得，当t=10时，y 有最大值900元．…②当20≤t ≤30，t ∈N 时，由y=（t ﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y 有最大值800元．…．因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题．21．已知函数f （x ），对于任意的x ，y ∈R ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且． （Ⅰ） 求f （0），f （3）的值；（Ⅱ） 当﹣8≤x ≤10时，求函数f （x ）的最大值和最小值；（Ⅲ） 设函数g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|），判断函数g （x ）最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g （x ）=f （x 2﹣2|x|﹣m ），令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），根据单调性可得x 2﹣2|x|﹣m=0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m ∈（﹣1，0）．【解答】解：（I ）令x=y=0得f （0）=f （0）+f （0），得f （0）=0．…．令x=y=1，得f （2）=2f （1）=﹣1，…．令x=2，y=1得．…（II ）任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0，因为f （x+y ）﹣f （x ）=f （y ），即f （x+y ）﹣f （x ）=f[（x+y ）﹣x]=f （y ），则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）．…由已知x ＞0时，f （x ）＜0且x 2﹣x 1＞0，则f （x 2﹣x 1）＜0，所以 f （x 2）﹣f （x 1）＜0，f （x 2）＜f （x 1），所以 函数f （x ）在R 上是减函数，…．故 f （x ）在[﹣8，10]单调递减．所以f （x ）max =f （﹣8），f （x ）min =f （10），又，…．由f （0）=f （1﹣1）=f （1）+f （﹣1）=0，得，， 故f （x ）max =4，f （x ）min =﹣5．…．（III ） 令y=﹣x ，代入f （x+y ）=f （x ）+f （y ），得f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．…．，∴g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|）=f （x 2﹣m ）+2f （﹣|x|）=f （x 2﹣m ）+f （﹣|x|）+f （﹣|x|）=f （x 2﹣2|x|﹣m ）…．令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），因为 函数f （x ）在R 上是减函数，…．所以 x 2﹣2|x|﹣m=0，即m=x 2﹣2|x|，…．所以 当m ∈（﹣1，0）时，函数g （x ）最多有4个零点．…．【点评】考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力．。
北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案 (2)
北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1) 设全集U={1,2,3,4,5,6}，{3,4}A =，{2,4,5}B =，则U A B =ðI (A) {1,2,4,5,6} (B) {2,3,4,5} (C) {2,5} (D) {1,6} (2) 已知角θ的终边经过点(4,3)-，则cos θ的值是（A ）45 （B ）35- （C ）45- （D ）35(3) 已知向量(,1)m =-a ，(24)=，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 （A ）12 （B ）2 （C ）12- （D ）2- (4) 设函数()(0,1)xf x a a a =>≠，且(2)4f =.则下列结论正确的是（A ）(1)(2)f f ->- （B ） (1)(2)f f > （C ） (2)(2)f f <- （D ） (3)(2)f f ->- (5) 如图所示，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD =DCB A（A ）21+- （B ）21--（C ）21- （D ）21+(6) 已知,αβ都是锐角，若sin cos αβ>，则下列结论正确的是（A ）2παβ+>（B ）2παβ+<（C ）2παβ->（D ）αβ-与2π大小关系不确定 (7) 中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加.”『腊』指十二月，『冬』指十一月. 2017年3月15日为星期三，记作：(170315)f =三.已知(171111)f =六，则(171212)f =（A ）六 （B ）日 （C ）一 （D ）二 (8) 对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称；②函数图象关于点5(,0)12π对称； ③函数图象可看作是把()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位而得到； ④函数图象可看作是把()sin()6f x x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到.其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3(9) 函数()2lg 1xf x x =-的零点的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (10) 如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，1()2x g x -=.令函数{}()min (),()H x f x g x =，其中{}12min ,x x 表示12,x x 这两个数中最小的数.则()H x 取最大值时对应的x 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2第二卷（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. (11) 已知(4,3),(2,1)A B --，则12AB = . (12) 已知tan 2α=，则5cos sin sin 2cos αααα-=+______________ .(13) 20.9232log 5-，，三个数中最大的数是______________ . (14) 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若2cos 3α=-，则cos β=_____________ .(15)如图，在直角梯形ABCD 中，//,1,2,AD BC AB AD BC ===点P 是梯形ABCD 边上的动点，沿着A B C D A →→→→方向运动.则BD BA ⋅=_________ ；BD BP ⋅的取值范围是_________.PCB(16)已知函数6, 2()(0,1)3log , 2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩.若(9)5f =，则a =_____ ；若()f x 的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (17) (本小题满分13分)已知全集U =R ，集合A={}42x x -≤≤，{}13B x x =-<<，{},C x x a a =≥∈R . （I ） 求A B ,U A B ð；（II ） 若()A B C φ=，求a 的取值范围.(18) (本小题满分14分)已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+- (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （III ）求函数()f x 在46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．(19)(本小题满分13分)已知函数2()(2)1()f x ax a x a =-++∈R ，且(1)(3)f f -=. (Ⅰ) 求函数()f x 的最值； (Ⅱ) 设()()4f x g x x=+.判断函数()g x 的奇偶性，并证明.(20)(本小题满分15分)如图，已知(1,1),A -(5,3),B (4,0)C . (Ⅰ) 求cos ,AB BC 〈〉；(Ⅱ) 若(,)OA AB BC λμλμ=+∈R ,求λμ的值； （III ）设点(,)P m m -，若,,P B C 三点共线，求m 的值.(21)(本小题满分15分)如图，ABCD 是一块边长为1的正方形地皮，其中AST 是一占地半径为(01)r r <≤的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点P 落在ST 上，相邻两边,CQ CR 落在正方形ABCD 的边,BC CD 上.设(0)2SAP πθθ∠=≤≤，记停车场PQCR 的面积为()f θ.（I ）求()f θ；（II ）记()f θ的最大值为()g r ，求()g r 。