质点动力学基本方程

①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
§9-2 质点运动微分方程
1、质点运动微分方程
质点动力学基本方程: ma Fi
或写为
m
d2r dt2
Fi
（1）矢量形式的质点运动微分方程
m
d2r dt2
Fi
（2 ）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
d2x m
dt2
Fx,
d2 y m
dt2
Fy ,
d2z m
dt2
Fz
（3）质点运动微分方程在自然轴上的投影
第一定律 (惯性定律) 任何质点如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀
速直线运动的状态。
不受外力作用时，物体将保持静止的或匀速直线运动的 状态，这是物体的属性，这种属性称为惯性。
第一定律也称为惯性定律。
匀速直线运动也称为惯性运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力大小成 正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。
将质点运动微分方程
m
d2x dt 2
Fx
积分：
m
d2x dt 2
m dvx dt
Fx
mdvx Fxdt
vx dvx
vx0
t Fx dt 0m
vx vx0
t Fx dt dx
0m
dt
再积分一次，得运动方程
x x0 vx0t
t
(
0
t Fx dt)dt 0m
当作用于质点上的力Fx是位置坐标x的函数时，求质点的运动。
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
t
dt
vx0
Fx
0
力的单位是：kg·m／s2 。 令1kg·m／s2 = 1N（称为1牛）
（2）量纲 表示某一物理量由哪几个基本量按什么规律组成的式
子，称为该物理量的量纲或因次。
在国际单位制中，基本量为长度、时间和质量，它们 的量纲分别用L、T、M表示，其它量的量纲都可表示为这 三个量纲的函数。
例如：加速度的量纲是LT－2，而力的量纲是MLT－2。
将运动方程对时间求两阶导数，代入质点运动微分方程：
m
d2x dt2
Fx
即可求得力Fx
第二类基本问题：已知力求运动，属于积分问题。
作用于质点的力可以是常力或变力，变力可能是时 间、质点的位置坐标、速度的函数，只有当函数关系较 简单时，才能求得微分方程的精确解；如果函数关系复 杂，有时只能求出近似解。
注意：量纲与单位是两个不同的概念。
一个物理量的量纲是一定的，但它的大小可用不同的单 位来度量。
例如长度的量纲是L，但可用米、毫米、千米等作为度 量长度的单位。
物理量的量纲还可以用来检验方程的正确性。
在同一方程中，各项的量纲必须相同。如果一个方程各 项的量纲不尽相同，则可以断定该方程必定是错误的。
在作数字计算时，还必须做到同一个量的单位要相同。
选取不同的基本单位，就形成不同的单位制。
现在普遍采用国际单位制 (SI)。
国际单位制：以长度、时间和质量的单位为基本单位，分别 为米(m)、秒(s)和千克(kg)；力是导出量，等于质量与加速度 的乘积，力的单位是导出单位。
F ma
质量为1kg 的质点要产生 1m/s2 的加速度，作用在该质 点上的力的大小为 1kg·1m/s2＝1kg·m／s2
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
此外，求解微分方程时将出现积分常数，这些积分常 数须根据质点运动的初始条件，即初速度和初位置坐标 来确定。所以，对于这一类问题，除了需要已知作用于 质点的力以外，还必须知道质点运动的初始条件，才能 完全确定质点的运动。
例如，当作用于质点上的力Fx是常量或时间的函数时，求质
点运动方程： x x(t)
第三定律 (作用与反作用定律)
两物体间相互作用的力总是同时存在，且大小相等、方 向相反、沿同一直线。
作用与反作用定律对研究质点系动力学问题具有重要意 义。它给出了质点系中各质点间相互作用的关系，从而使质 点动力学的理论能推广应用于质点系。
2、惯性参考系
适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系。 什么样的参考系可以作为惯性参考系呢? 实践结果证明 ：
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合Байду номын сангаас矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
④相对惯性参考系作匀速直线平动的参考系，也是惯性参考系。
3、单位制和量纲 （1）单位制 在F=ma中，涉及到四个量，每个量都必须用一适当的单 位来度量。在应用公式时，并不是每个量的单位都可以任意 规定的。其中只有三个量的单位是可以任意选取的，它们的 单位称为基本单位，这三个量称为基本量；第四个量的单位 可根据公式由基本单位导出，称为导出单位，这个量相应地 称为导出量 。
由于 a atτ ann, ab 0
故有
mat
v2
Ft , m
Fn , 0
Fb
2、质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知运动求力. 第二类基本问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的综合.
第一类基本问题：已知运动求力，属于微分问题。
例如已知质点运动方程： x x(t) 求作用于质点上的力Fx