第三章_动力学方程的三种基本形式
3动力学方程解析
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgFi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
动力学方程
又
ri
(miai
)
ri
d(mivi dt
)
d dt
(ri
பைடு நூலகம்
mivi
)
d dt
LOi
13
ri Fi mO (Fi )
所以式（A）为
n
i 1
[mO
( Fi
)
d dt
LOi ]
0
(3.2.7)
动量矩
在t——t+t 时间内积分，得
n
[mO (Si ) (LOi lOi )] 0
i 1
(3.2.9)
[( X i mi xi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mi zi )zi ]0
②不考虑约束反力。 ③解题时，一般不必按上式建立方程，只需先虚加惯性力， 将动力学问题变成形式上的解静力学问题，然后用虚位移原 理求解。
2
例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
i1 n
[mCz (Si ) JCz ('i i )] ' 0
i1
(3.2.11) (3.2.12)
J—转动惯量，i、 ’ i 碰撞前、后的角速度。
三、平面运动的情形
将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，由式 (3.2.5)、(3.2.12)，有
15
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
FgArA (FgBe FgBr cos )rBe
(FgBe cos Q sin FgBr )rBr 0
即：(Ma ma mar cos )rA (ma cos mg sin mar )rBr 0
动力学方程
动力学方程1. 引言动力学方程是研究物体在运动中受到的力学作用的数学描述。
它是物理学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、生物学等。
本文将介绍动力学方程的基本概念、求解方法以及应用等方面的内容。
2. 动力学方程的定义动力学方程描述了物体在运动过程中所受到的力学作用。
一般来说，动力学方程可以分为牛顿第二定律和拉格朗日方程两种形式。
2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述质点运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以得到物体在受到外力作用下的运动方程。
2.2 拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体运动的另一种形式，它基于能量守恒的原理。
拉格朗日方程的数学表达式为：d/dt ( ∂L/∂(dq/dt) ) - ∂L/∂q = 0其中，L表示物体的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间。
拉格朗日方程可以从运动的作用量原理推导得到，它可以描述多自由度、非洛加多力学系统的运动。
3. 动力学方程的求解方法求解动力学方程是研究物体运动的关键步骤之一。
常见的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。
3.1 解析解法解析解法是通过数学计算的方法，求得动力学方程的精确解。
在一些简单的情况下，动力学方程可以直接求解得到解析解。
例如，简谐振动的运动方程可以通过解微分方程得到解析解。
3.2 数值解法数值解法是通过数值计算的方法，求得动力学方程的近似解。
数值解法通常采用数值求解微分方程的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值解法在复杂的情况下具有更好的适用性，但是精度相对较低。
4. 动力学方程的应用动力学方程广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些典型的应用。
4.1 经济学在经济学中，动力学方程可以用于描述经济系统的运动规律。
例如，经济增长模型可以通过动力学方程来描述经济发展的速度和方向，从而为经济政策制定提供理论依据。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
第三章 化学反应动力学的计算
第三章 化学反应动力学的计算化学反应的速度各不相同，有的反应速度极快，只要几个毫微秒就达到平衡(接近扩散速度，如无机酸碱中和)，有的反应速度极慢，几乎看不到变化(如自然界的某些变化)。
大部分有机化学反应可用常规方法测量，对某些快速反应则可用停留法、驰豫法等测量。
不论反应速度的快慢，动力学方程都是类似的。
一、化学反应动力学方程反应物浓度随时间的变化绝大部分不是线性关系，而是一条曲线，见图3-1。
反应速度公式可用微分方程来表示。
具有简单级数的化学反应的反应速度公式可用积分式表示：一级 如：0AA1Adc A C =a, -=k c dt 生成物：，㏑C A =㏑a –K 1t 二级 A+A →产物 C A 0=a 2A 2A 2A d c 11-k C , =+k t d t c a对于反应 1-1k k A B 这一可逆反应初始条件 t=0 a 0 时间t 时 t=t a-x x达到平衡时，B 的浓度为X e ，则可逆反应的速度积分式为： 级数：1-1 1-10k A A e e 1A -1B k 0e 0C =a dc x xA B=-k C +k C : =kt dt a x -xC =0ln 1-21-10Ak0A e e e B 1A -1B C k e e 0CC =a dc x ax +x(a-x )A B+C C =0=-k C +k C C : =kt dt 2a-x a(x -x)C =0ln 二、常微分方程的解化学反应动力学方程是用微分方程表示的，对于简单的反应，可直接求得微分方程的解。
微分方程：()(1)(,,,......)......(1)n n y f x y y y -'=在区间a<x<b 的解，是指()y x ϕ=,这样一个函数，在所述区间内存在导数()(),(),......()n x x x ϕϕϕ'''。
且对于区间a<x<b 内的每一个x ，等式(1)都成立。
第三章_动力学方程的三种基本形式
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
2
12
12
δϕ1
M g2
13
1
1
2
g1
x g2
x g3
3
M2' 右转 轴承O3： ϕ 3 ≡ 0 轴承
& 左转， ϕ1 左转，故M13'右转 右转
M 13 = M 13′ = M 1
& & ϕ3r = ϕ31 左转
（3）加惯性力 ） && 左转， && && && 左转， && ϕ1 = ϕ 左转， ϕ 2 = 2ϕ1 左转， ϕ 3 = 0 曲柄O 简化中心为O 曲柄 1O3：简化中心为 1
r r r Fi + N i + Fgi = 0
r r r r & ∆Pi = ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0
& 在此瞬时，相应的位形上给第 个质点虚速度 r 在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度 ∆ri ，第i个质点的虚功率 个质点的虚功率
对于系统可得： 对于系统可得：
& && & ∆PC = ( −mg sin θ − RgC ) ∆vC + ( -M gC ) ∆ϕC = - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ
流体动力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0CVCSd v ds tρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dtmd δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dtρ=，故有 0v ∇⋅=。
由奥高公式有CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或0CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
虚功率方程： 虚功率方程： ∆PO + ∆PC = 0
&& ϕ=
应用力学研究所 李永强
( M O − mO ρ 2ϕ ) - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ = 0 && && &
杆O1O3：
r 16 && mO1 ( F ) = M 2 − M 1 + M12 − M13 + Rτ 2 2r + Rτ 3 4r + M g1 = M 2 − M1 − ( m2 + 20m1 )r 2ϕ g g 3
δ AF 1 = mO
1
(
2
r r 16 && F , Fg δϕ = M 2 − M 1 − m2 + 20m1 r 2ϕ δϕ 3
Ⅰ
M2
O1
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
& ϕ
O1
& ϕ2
Ⅱ
r vD
O2
O3
r vO2
O2
D
Ⅲ
r vO3
O3
& ϕ3
解： （1）运动分析 ） & && 为广义坐标， & ϕ 左正右负， & 取ϕ为广义坐标，ϕ ， 左正右负，ϕ1 = ϕ
C
& Ⅱ轮： vO 2 = rϕ 2
& & vO 2 = O1O2ϕ1 = 2rϕ1
& & 得：ϕ 2 = 2ϕ1
& ∆vC = r∆ϕ
李永强
& ∆ϕ C =
r & ∆ϕ R
第12页
θ
应用力学研究所
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 2）受力分析 ） 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力m 常力矩 ，轮的重力 ，绞车重力 Og 3）惯性力分析 ） 圆轮： 圆轮： 绞车： 绞车：
RgO = 0
&& && M gO = J Oϕ = mO ρ 2ϕ
如果统一编号
∑( X
r =1
3n
r
− mr &&r ) δ xr = 0 x
注意: 注意 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力
应用力学研究所
李永强
第4页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘， 例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为 m1，半径为 ，曲柄为均质杆，质量为 2，长为 ； 各轮在接触点只滚不 半径为r，曲柄为均质杆，质量为m 长为4r； 在轮心轴承O 处摩擦力矩均为M 滑。在轮心轴承 1、O2、O3处摩擦力矩均为 1。在曲柄上作用一常力偶矩 M2。求：曲柄的角加速度
M − mgr sin θ mO ρ 2 + 1.5mr 2
&& aC = rϕ =
r ( M − mgr sin θ ) mO ρ 2 + 1.5mr 2
r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi − mi ai ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n n i =1 i =1
虚功率形式的动力学方程(若丹原理) 虚功率形式的动力学方程(若丹原理)
具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和 具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上， 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 r r r r r r r r & =δ x i +δ y j +δz k &i &i &i ∆r 上式中： 上式中： Fi = X i i + Yi j + Zi k
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 简化中心O Ⅱ轮：简化中心 2 平面运动
τ && Rτ 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ g
n n & Rg 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ 2
1 && && && M g 2 = − J O 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ1 2 简化中心O Ⅲ轮：简化中心 3
虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上， 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。
其在直角坐标中的投影形式为： 其在直角坐标中的投影形式为：
∑ ( X
i =1
应用力学研究所 李永强
n
i
− mi &&) ∆xi + (Yi − mi &&) ∆yi + ( Zi − mi &&) ∆zi = 0 x & y & z &
第11页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 已知： 做纯滚动， 例3-2已知：常力矩 ，均质圆轮 做纯滚动，质量为 ，半径为 。绞车半 已知 常力矩M，均质圆轮C做纯滚动 质量为m，半径为R。 径为r，质量为m 回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、 径为 ，质量为 O，回转半径 。斜面倾角 ，绳质量、轴承摩擦不计 & ϕ 求 ： aC 单自由度系统， 解：单自由度系统，取绞车转角ϕ为广义坐标 1）运动分析、虚速度分析 ）运动分析、 绞车
r r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n i =1
如果此质点系是理想约束， 如果此质点系是理想约束，则
r r & N i ⋅ ∆ri = 0 ∑
应用力学研究所 李永强 第10页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 理想约束下质点系的虚功率方程为： 理想约束下质点系的虚功率方程为：
应用力学研究所 李永强 第3页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
动力学普通方程的投影形式： 动力学普通方程的投影形式：
∑ ( X
i =1
n
i
− mi &&i ) δ xi + (Yi − mi &&i ) δ yi + ( Zi − mi &&i ) δ zi = 0 x y z
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
τ && && Rτ 1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ1 = −2m2 rϕ g
n n &2 & Rg1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ 1 = −2m2 rϕ 2
（作用在O1） 作用在 作用在O （作用在 1） 右转
第6页
应用力学研究所
李永强
1 16 && && && M gO1 = − J O1ϕ = − m2 (4 r ) 2 ϕ = − m2 r 2ϕ 3 3
)
轮Ⅱ： mO ( F , Fg ) = M g 2 − M 12 = − M1 − m1r 2ϕ && ′
r r && ∴ δ AF 2 = mO2 ( F , Fg ) ⋅ δϕ2 = −2 ( M1 + m1r 2ϕ ) δϕ
r r
Q δϕ2 = 2δϕ1 = 2δϕ
轮Ⅲ：
3
Q δϕ3 ≡ 0
第三章 动力学方程的三种基本形式
东北大学理学院应用力学研究所 李永强
第三章 动力学方程的三种基本形式
虚功形式的动力学方程－ §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 §3.2 虚功率形式的动力学方程 §3.3 高斯形式的动力学方程
应用力学研究所
李永强
第2页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合 质点系由n个质点组成 各质点的质量用m 个质点组成， 表示， 质点系由 个质点组成，各质点的质量用 i (i=1,2,…,n)表示， 作用于第 个 表示 作用于第i个 r r 质点上的主动力、 表示，在任意瞬时， 个质点的加速 质点上的主动力、约束力用 Fi 、 N i 表示，在任意瞬时，第i个质点的加速 r 度为 ai 。 r r r r r 在此质点上虚加一惯性力 Fgi = − mi ai 由达朗伯原理可得： 由达朗伯原理可得：Fi + N i + Fgi = 0 对质点系 :
τ && Rτ 3 = −m1aO 3 = −4rm1ϕ g
n n & Rg 3 = −m1aO 3 = −4m1rϕ 2
M g3 = 0
（4）虚位移，虚功，虚功方程 ）虚位移，虚功，