二次函数与反比例函数综合

专题四：二次函数与反比例函数综合

学 习 目 标：

1、会用待定系数求解析式

2、掌握二次函数与反比例函数的图象与性质

3、通过观察函数的图像，会数形结合求取值范围

知 识 框 架：

备注：

1、图象变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交

2、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；

（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数来说，它们是关于原点成轴对称。

3、几何意义：过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

*区间根定理

如果在区间()a b ，

上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得(

)

0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．

真 题 汇 编：

第一部分（选择题）

（2017～2018学年北京西城区北京三十五中初三下学期期中第8题3分） 当a ≠0时，函数y=

a

x

与y=-ax 2+a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）

A B C D

【方法总结】

（2017-2018学年北京西城区北京育才学校初三上学期期中教育创新中心第10题 3分） 已知反比例函数2a

y x

-=

，当0x 时，y 随x 的增大而增大，一次函数y bx c =+，y

随x 的增大而减小，且与y 轴负半轴相交，那么二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴（ ） A 必有两个交点 B 有可能有两个交点 C 有两个交点或一个交点 D 无交点

【方法总结】

第二部分（填空题）

（2017-2018学年北京朝阳区初三上学期期末第13题）

如图，双曲线x

k y =

与抛物线c bx ax y ++=2

交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由图象可得不等式组c bx ax x

k ++<<2

0的解集为 .

【方法总结】

（2015-2016学年北京海淀区北大附中初二下学期期中第25题）

阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20kx x +-=(k ＞0)成立的x 的个数。小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图像与函数

y x =的图像（如图）的交点，使问题得到解决。

（1）当1k =时，使得原等式成立的x 的个数为_______。

（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为________。 （3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为_________。 （4）参考小明思考问题的方法，解决问题： 关于x 的不等式2

4

x a x

+-＜0 (a ＞0)只有一个整数解，求a 的取值范围。

【方法总结】

第三部分（解答题）

1、【2016-2017学年北京西城区北师大附中初三上学期期中第28题】

如图,抛物线L:(常数t>0)与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 左侧).过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴,交函数(k>0,x>0)的图象于点P,且OA·MP=12

(1)求k 值

(2)当t=1时,求直线MP 与抛物线L 的对称轴之间的距离,

(3)把物线在直线MP 左侧的部分(含与直线MP 的交点)记为图象G,求图象G 最高点的坐标(用t 表示)

(4)若抛物线L 与函数(k>0,>0)的图象有个交点的横坐标为,并目满足4≤≤6请直接写出t 的取值范围

【方法总结】

)4)((2

1

+---

=t x t x y x

k

y =x

k

y =0x 0

x

2、（2015房山期末）已知抛物线． （1） 求证：无论为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；

（2） 若A 2

(3,2)n n -+、B 2

(1,2)n n -++是抛物线上的两个不同点，求抛物线的

表达式和n 的值； （3） 若反比例函数(0,0)k

y k x x

=

>>的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足2<0x <3，求k 的取值范围.

【方法总结】

3、 (2017∽2018学年北京海淀区十一学校初三上学期期末（常规班）第28题8分）

我们定义：某函数图像G 上，如果存在着点P(m,n)满足m = n 我们称P 点为该函数图像G 上的不动点.如果在平面直角坐标系中，某几何图形C 上，存在着点P(m,n)满足m = n,我们点为该几何图形C 的不动点.

例如：正比例函数y=x 的图像上所有点都是不动点，而正比例函数y=-x 的图像上不动点为(0，0）.

(1)写出函数42y +-=x 图像上的不动点A 的坐标.

(2)若函数⎩⎨⎧=≥+-)

0()1()0(x

12y x k x x 图像上两个不动点，求k 的取值范围。

（3）若圆M 的圆心坐标是)1

,a

a （，圆M 存在不动点，直接写出a 的取值范围。

【方法总结】

2154(3)22

m

y x m x -=

--+

m