数学模型中的因子分析法
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• 第一种方法：用第一主成分得分y=F1. 必须要求：所有系数均为正 第二种方法：将主成分F1,F2, Fm进行线性组合, 系数为方差贡献率
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
yi di yi zhu cheng fen pai xv
name Prin1
0.06437 0.17414 0.05393 -0.06481 -0.35020 0.01063 -0.03769 0.25530 0.20883 -0.00922 0.03517 -0.26668 -0.03334 -0.03132 -0.11394 0.10482
用于系统评估的方法：关键问题是如何科 学的客观地将一个多指标问题转化为单指 标问题
5.07
4.59 1.18 0.39 -1.29
1.70
1.29 1.10 0.98 1.17
10.49
7.21 5.22 5.24 4.71
qingshan
pudong
14.47
8.18
5.97
8.20
7.62
3.41
1.37
4.01
1.20
1.75
10.56
12.13
• 主成分分析步骤： 1.将数据标准化，标准化后的数据矩阵仍记X阵。 2.求矩阵X的相关系数阵 3.求R的全部特征根i及相应的特征向量()。 R ( R ij ) p p 4.根据前k个主分量累计贡献率大小（∑），确定主 成分（因子）个数。 • 根据具体指标内容和指标变量系数大小解释主成 分含义。 • 用每个主成分的贡献率作权数，给出多指标综合 评价值。
6
3
0 . 959439 X
5
0 . 0 . 055029 X
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Obs
Prin1 Prin2 1 -0.38118 2 0.57795 3 0.69219 4 0.22635 5 -0.82981 6 -1.19410 7 -1.63568 8 0.95195 9 0.46501 10 -1.45693 11 -0.29401 12 0.08041 13 -2.11628 14 -0.94513 15 6.74015 16 -0.88090
统计软件SAS(关于主成分分析）
• 数据的输入（介绍两种方法） data 数据名（haimen); input name$ x1 x2 x3 x4 x5 x6; card; qinghua 50122 run; 外部文件转化为SAS数据集： 已知c盘根目录下文件名test.dat为的数据文件 张三 男 82 95 64 78 data 数据名（chengji); infile ‘c:\test.dat’; input name$sex$ chinese maths english chemisty; run;
第一篇
主成分分析
• 在实际经济工作中，我们经常碰到多变量戒多指 标问题，例如，企业经济效益的评价，地区经济 发展情况比较。由于变量戒指标较多，且变量戒 指标之间存在一定的相关性，人们自然希望用较 少的变量戒指标代替原来较多的变量戒指标，而 且可尽量保存原有信息，利用这种降维的思想产 生了主成分分析方法
F F1 , F 2 , , F m
'
'
1
2
p
A a ij
称为因子载荷阵
pm
X AF
• 因子分析步骤： • 前四步骤不主成分步骤相同，在此略。 5.求初始因子载荷阵A。 6.若公因子的含义丌清楚，丌便于实际解释时，将 初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。 7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。 • 将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得 分。 • 用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评 价值。
Prin3 Prin4 -0.32367 -0.04450 -0.35416 0.49279 -0.21588 0.40557 -0.39419 0.27521 -0.40293 0.47330 -0.40627 -0.36848 -0.26394 -0.67179 -0.46156 1.61851 -0.14888 0.19070 -0.18670 -0.55658 3.71727 -0.02727 0.22542 1.71694 -0.16312 -0.90179 -0.31477 -0.39513 -0.06989 -1.12895 -0.23673 -1.07853
j j j j
• 变量共同度 因子载荷矩阵中第i行元素之平方和记为 ， 即 h i2 ，称为变量 的共同度。它是全部公共 h a xi 因子对 的方差所做出的贡献，反映了全部公共 xi 因子对变量 的影响。 越大表明 对于F x 的每一分量 的共同依赖程度大。i
m 2 2 i ij j 1
第二篇
因子模型
• 因子分析是统计中一种重要的分析方法，他的主 要特点在于能探索丌易观测戒丌能观察的潜在因 素。它在社会调查、气象、地质等方面有广泛应 用。
• 若有n个学生，每个学生考五门课，考试成绩反映 了学生的素质和能力，理解能力，逻辑能力，记 忆能力，对文字符号概念的反应速度，能否从学 生的学习成绩去寻找出反映这些能力的量。
• • • •
•
• • •
Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 1 4.04767016 3.03734802 0.6746 0.6746 2 1.01032214 0.30248369 0.1684 0.8430 3 0.70783845 0.55300190 0.1180 0.9610 4 0.15483655 0.10037328 0.0258 0.9868 5 0.05446327 0.02959385 0.0091 0.9959 6 0.02486942 0.0041 1.0000
p 2 j 2 ij i 1
i
g
2 j
因子载荷阵A（主成分法）
一般设 为样本相关阵R的特征根， 为对应的标准正交化特征向量。则因子载荷阵A 的一个解为： , , ,
13:30 Saturday, July 17, 1999 35
x1 x2 x3 x4 x5 x6
laigang -2.11628 2.17 5.70 -2.11 -2.57 1.34 3.21 cengxin -1.63568 3.63 5.79 -1.09 -1.29 1.17 4.71 xinbai -1.45693 4.27 5.35 -0.71 -0.83 1.38 5.68 shuiyun -1.19410 3.74 6.47 0.33 0.39 0.98 5.24 guangsha -0.94513 4.65 7.80 0.53 0.65 1.18 5.82 chanhong -0.88090 5.65 10.63 -0.92 -1.19 1.08 8.84 yanzhong -0.82981 8.97 1.43 1.73 1.18 1.10 5.22 Qinghua -0.38118 5.41 8.05 2.09 2.43 1.30 7.51 guoji -0.29401 8.07 8.69 0.73 0.89 10.75 10.16 zonghang 0.08041 9.66 6.27 6.69 2.63 3.05 1.64 xinya 0.22635 6.31 9.97 3.63 4.59 1.29 7.21 pudong 0.46501 8.18 8.20 3.41 4.01 1.75 12.13 beida 0.57795 7.21 8.54 4.51 5.26 1.43 10.44 hualian 0.69219 8.38 9.52 4.27 5.07 1.70 10.49 qingshan 0.95195 14.47 5.97 7.62 1.37 1.20 10.56 xiaxin 6.74015 25.95 33.52 6.96 15.38 1.51 36.89
Prin5 Prin6 0.30363 0.00430 0.55119 -0.18726 0.40041 -0.10461 0.63296 0.13851 -0.42964 -0.55401 0.14000 0.02221 -0.15189 0.01702 -0.92520 0.08394 0.16273 -0.30327 -0.17088 -0.10267 -0.02382 -0.06419 0.12718 0.45539 -0.16784 0.14422 0.09760 0.11375 -0.16618 0.04080 -0.38025 0.29589
• 主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关 性的变量戒者指标，重新组成一组新的相互无关 的少数几个综合变量戒指标，以此代替原来的变 量戒指标。简单的说就是降维。 • 应用：综合评价（系统评估）
例：对我国上市公司的经济效益进行综合评判。
上市公司 qinghua beida 资金利税率 x1 产值利税率 x2 百元销售成 本利润x3 百元销售收 入利税x4 流动资金周 转次数x5 主营利润增 长率x6
X 1 r11 F 1 r12 F 2 r1 m F m X r F r F r F p1 1 p2 2 pm m p
因子模型为:
其中：
X
为原指标 ,
X
1
, X 2 , , X
p
'
m 称为 p 的公共因子戒潜因子, 为 的特殊因子 , , , 可将上式写成矩阵表示形式：
hi
2
xi
F1 F m
• 公共因子 的方差贡献 • 将因子载荷矩阵的第j列的各元素的平方和记 Fj 为 ，即 ，称为公共因子 对x的方差贡 献。 就表示第j个公共因子 对于的每一分量 2 g a Fj gj 所提供方差的总和，它是衡量公共因子相对重要 2 gj Fj 性的指标。 越大，表明公共因子 对x的贡献 x i 1, 2 , , p 越大,如果将因子载荷矩阵的所有 都计算出来， 使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影响 2 Fj g j 力的公共因子。
主成分分析
• Proc princomp n=6 out=out1; var x1-x6; run; proc print data=out1; var prin1-prin6; run;
数据预处理
• 一致性处理：越大越差、越大越好 • 归一化处理（去量纲）： (x-max(xi))/极差，x/max(xi), 标准化处理 （x-均值）/方差
• 因子载荷阵 的统计意义 • 模型中载荷矩阵 中的元素 称为因子载荷。因 a ij 子载荷 是 不 的协方差，也是 不 的相关 a ij xi xi 系数，它表示 F依赖 的程度。可将 F 看作第i a ij F xi 个变量在第j个公共因子上的权， 的绝对值越大， a ij 表明 不 的相依程度越大，戒称公共因子对于 F xi 的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解 释，因子载荷矩阵A中有两个统计量十分重要， 即变量共同度和公共因子的方差贡献。
Biblioteka Baidu
z 1 0 . 472272 0 . 47085 X
4
X
1
0 . 448652 X
5
X
2
0 . 361916 X
6
X
3
0 . 00075
0 . 467955
z 0 . 044568 X 1 0 . 039443 X 0 . 56514 X
4
2
0 . 106057 X
5.41 7.21
8.05 8.54
2.09 4.51
2.43 5.26
1.30 1.43
7.51 10.44
hualian
xinya yanzhong shuiyun cengxin
8.38
6.31 8.97 3.74 3.63
9.52
9.97 1.43 6.47 5.79
4.27
3.63 1.73 0.33 -1.09
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yi di yi zhu cheng fen pai xv
name Prin1
0.06437 0.17414 0.05393 -0.06481 -0.35020 0.01063 -0.03769 0.25530 0.20883 -0.00922 0.03517 -0.26668 -0.03334 -0.03132 -0.11394 0.10482
用于系统评估的方法：关键问题是如何科 学的客观地将一个多指标问题转化为单指 标问题
5.07
4.59 1.18 0.39 -1.29
1.70
1.29 1.10 0.98 1.17
10.49
7.21 5.22 5.24 4.71
qingshan
pudong
14.47
8.18
5.97
8.20
7.62
3.41
1.37
4.01
1.20
1.75
10.56
12.13
• 主成分分析步骤： 1.将数据标准化，标准化后的数据矩阵仍记X阵。 2.求矩阵X的相关系数阵 3.求R的全部特征根i及相应的特征向量()。 R ( R ij ) p p 4.根据前k个主分量累计贡献率大小（∑），确定主 成分（因子）个数。 • 根据具体指标内容和指标变量系数大小解释主成 分含义。 • 用每个主成分的贡献率作权数，给出多指标综合 评价值。
6
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0 . 959439 X
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0 . 0 . 055029 X
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Obs
Prin1 Prin2 1 -0.38118 2 0.57795 3 0.69219 4 0.22635 5 -0.82981 6 -1.19410 7 -1.63568 8 0.95195 9 0.46501 10 -1.45693 11 -0.29401 12 0.08041 13 -2.11628 14 -0.94513 15 6.74015 16 -0.88090
统计软件SAS(关于主成分分析）
• 数据的输入（介绍两种方法） data 数据名（haimen); input name$ x1 x2 x3 x4 x5 x6; card; qinghua 50122 run; 外部文件转化为SAS数据集： 已知c盘根目录下文件名test.dat为的数据文件 张三 男 82 95 64 78 data 数据名（chengji); infile ‘c:\test.dat’; input name$sex$ chinese maths english chemisty; run;
第一篇
主成分分析
• 在实际经济工作中，我们经常碰到多变量戒多指 标问题，例如，企业经济效益的评价，地区经济 发展情况比较。由于变量戒指标较多，且变量戒 指标之间存在一定的相关性，人们自然希望用较 少的变量戒指标代替原来较多的变量戒指标，而 且可尽量保存原有信息，利用这种降维的思想产 生了主成分分析方法
F F1 , F 2 , , F m
'
'
1
2
p
A a ij
称为因子载荷阵
pm
X AF
• 因子分析步骤： • 前四步骤不主成分步骤相同，在此略。 5.求初始因子载荷阵A。 6.若公因子的含义丌清楚，丌便于实际解释时，将 初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。 7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。 • 将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得 分。 • 用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评 价值。
Prin3 Prin4 -0.32367 -0.04450 -0.35416 0.49279 -0.21588 0.40557 -0.39419 0.27521 -0.40293 0.47330 -0.40627 -0.36848 -0.26394 -0.67179 -0.46156 1.61851 -0.14888 0.19070 -0.18670 -0.55658 3.71727 -0.02727 0.22542 1.71694 -0.16312 -0.90179 -0.31477 -0.39513 -0.06989 -1.12895 -0.23673 -1.07853
j j j j
• 变量共同度 因子载荷矩阵中第i行元素之平方和记为 ， 即 h i2 ，称为变量 的共同度。它是全部公共 h a xi 因子对 的方差所做出的贡献，反映了全部公共 xi 因子对变量 的影响。 越大表明 对于F x 的每一分量 的共同依赖程度大。i
m 2 2 i ij j 1
第二篇
因子模型
• 因子分析是统计中一种重要的分析方法，他的主 要特点在于能探索丌易观测戒丌能观察的潜在因 素。它在社会调查、气象、地质等方面有广泛应 用。
• 若有n个学生，每个学生考五门课，考试成绩反映 了学生的素质和能力，理解能力，逻辑能力，记 忆能力，对文字符号概念的反应速度，能否从学 生的学习成绩去寻找出反映这些能力的量。
• • • •
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• • •
Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 1 4.04767016 3.03734802 0.6746 0.6746 2 1.01032214 0.30248369 0.1684 0.8430 3 0.70783845 0.55300190 0.1180 0.9610 4 0.15483655 0.10037328 0.0258 0.9868 5 0.05446327 0.02959385 0.0091 0.9959 6 0.02486942 0.0041 1.0000
p 2 j 2 ij i 1
i
g
2 j
因子载荷阵A（主成分法）
一般设 为样本相关阵R的特征根， 为对应的标准正交化特征向量。则因子载荷阵A 的一个解为： , , ,
13:30 Saturday, July 17, 1999 35
x1 x2 x3 x4 x5 x6
laigang -2.11628 2.17 5.70 -2.11 -2.57 1.34 3.21 cengxin -1.63568 3.63 5.79 -1.09 -1.29 1.17 4.71 xinbai -1.45693 4.27 5.35 -0.71 -0.83 1.38 5.68 shuiyun -1.19410 3.74 6.47 0.33 0.39 0.98 5.24 guangsha -0.94513 4.65 7.80 0.53 0.65 1.18 5.82 chanhong -0.88090 5.65 10.63 -0.92 -1.19 1.08 8.84 yanzhong -0.82981 8.97 1.43 1.73 1.18 1.10 5.22 Qinghua -0.38118 5.41 8.05 2.09 2.43 1.30 7.51 guoji -0.29401 8.07 8.69 0.73 0.89 10.75 10.16 zonghang 0.08041 9.66 6.27 6.69 2.63 3.05 1.64 xinya 0.22635 6.31 9.97 3.63 4.59 1.29 7.21 pudong 0.46501 8.18 8.20 3.41 4.01 1.75 12.13 beida 0.57795 7.21 8.54 4.51 5.26 1.43 10.44 hualian 0.69219 8.38 9.52 4.27 5.07 1.70 10.49 qingshan 0.95195 14.47 5.97 7.62 1.37 1.20 10.56 xiaxin 6.74015 25.95 33.52 6.96 15.38 1.51 36.89
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• 主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关 性的变量戒者指标，重新组成一组新的相互无关 的少数几个综合变量戒指标，以此代替原来的变 量戒指标。简单的说就是降维。 • 应用：综合评价（系统评估）
例：对我国上市公司的经济效益进行综合评判。
上市公司 qinghua beida 资金利税率 x1 产值利税率 x2 百元销售成 本利润x3 百元销售收 入利税x4 流动资金周 转次数x5 主营利润增 长率x6
X 1 r11 F 1 r12 F 2 r1 m F m X r F r F r F p1 1 p2 2 pm m p
因子模型为:
其中：
X
为原指标 ,
X
1
, X 2 , , X
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'
m 称为 p 的公共因子戒潜因子, 为 的特殊因子 , , , 可将上式写成矩阵表示形式：
hi
2
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F1 F m
• 公共因子 的方差贡献 • 将因子载荷矩阵的第j列的各元素的平方和记 Fj 为 ，即 ，称为公共因子 对x的方差贡 献。 就表示第j个公共因子 对于的每一分量 2 g a Fj gj 所提供方差的总和，它是衡量公共因子相对重要 2 gj Fj 性的指标。 越大，表明公共因子 对x的贡献 x i 1, 2 , , p 越大,如果将因子载荷矩阵的所有 都计算出来， 使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影响 2 Fj g j 力的公共因子。
主成分分析
• Proc princomp n=6 out=out1; var x1-x6; run; proc print data=out1; var prin1-prin6; run;
数据预处理
• 一致性处理：越大越差、越大越好 • 归一化处理（去量纲）： (x-max(xi))/极差，x/max(xi), 标准化处理 （x-均值）/方差
• 因子载荷阵 的统计意义 • 模型中载荷矩阵 中的元素 称为因子载荷。因 a ij 子载荷 是 不 的协方差，也是 不 的相关 a ij xi xi 系数，它表示 F依赖 的程度。可将 F 看作第i a ij F xi 个变量在第j个公共因子上的权， 的绝对值越大， a ij 表明 不 的相依程度越大，戒称公共因子对于 F xi 的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解 释，因子载荷矩阵A中有两个统计量十分重要， 即变量共同度和公共因子的方差贡献。
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z 1 0 . 472272 0 . 47085 X
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z 0 . 044568 X 1 0 . 039443 X 0 . 56514 X
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0 . 106057 X
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hualian
xinya yanzhong shuiyun cengxin
8.38
6.31 8.97 3.74 3.63
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3.63 1.73 0.33 -1.09