(历年中考)甘肃省兰州市中考数学试题 含答案
兰州市2016 年中考试题数学（A）注意事项：1.本试卷满分150 分，考试用时120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共15 小题，每小题4 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】主视图是从正面看到的图形。
从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选A。
【考点】简单组合体的三视图2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限【答案】B【解析】反比例函数的图象受到的影响，当k 大于0 时，图象位于第一、三象限，当k小于0 时，图象位于第二、四象限，本题中k ＝2 大于0，图象位于第一、三象限，所以答案选B。
【考点】反比例函数的系数k 与图象的关系3.已知△ABC ∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选A。
【考点】相似三角形的性质4.在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用5.一元二次方程的根的情况（）。
（A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根（C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根【答案】B【解析】根据题目，∆＝＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选B。
【考点】一元二次方程根的判别式6.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD／DB＝2／3，则AE／EC＝（）。
（A）1／3（B）2／5（C）2／3（D）3／5【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例，AE／EC＝AD／DB＝2／3，所以答案选C。
【考点】三角形一边的平行线性质定理7.如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50º，则∠BOC＝（）。
（A）40º（B）45º（C）50º（D）60º【答案】A【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º。
根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，所以答案选A。
【考点】垂径定理及其推论8.二次函数化为的形式，下列正确的是（）。
（【答案】B【解析】在二次函数的顶点式y＝【考点】二次函数一般式与顶点式的互化9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长。
设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为（）【答案】：C【解析】：设原正方形边长为xcm，则剩余空地的长为( x－1)cm，宽为(x－2 )cm。
面积为(x－1)×(x－2)＝18【考点】：正方形面积的计算公式10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （）（A）45º（B) 50º(C) 60º (D) 75º【答案】：C【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC∴∠ABC＝∠AOC＝120º∴∠OAB＝∠OCB＝60º连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC由四边形的内角和等于360º可知，∠ADC＝360º－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD∴∠ADC＝60º【考点】：圆内接四边形11.点均在二次函数的图像上，则的大小关系是（）【答案】：D【考点】：二次函数的性质及函数单调性的考察12.如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108º，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）（A）πcm (B) 2πcm(C) 3πcm (D) 5πcm【答案】：C【解析】：利用弧长公式即可求解【考点】：有关圆的计算13.二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=-1,有以下结论：①abc>0;②;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】：C【解析】：(1)a＜0,b＜0,c＞0 故正确；(2)抛物线与x 轴右两个交点，故正确；(3)对称轴x＝－1 化简得2a－b＝0 故错误；(4)当x＝－1 时所对的y 值>2,故正确【考点】：二次函数图像的性质14.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）【答案】:A【解析】：∵CE∥BD, DE∥AC∴四边形OCED 是平行四边形∴OD＝EC, OC＝DE∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O∴OD＝OC连接OE, ∵DE＝2，∴DC＝2，DE＝∴四边形OCED 的面积为【考点】：平行四边形的性质及菱形的面积计算15.如图，A、B 两点在反比例函数的图像上，C、D 两点在反比例函数的图像上，AC 交x 轴于点E,BD 交x 轴于点 F ，AC=2,BD=3,EF= 则【答案】：A【考点】：反比例函数的性质二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分。
16. 二次函数的最小值是.【答案】-7【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式【考点】二次函数17. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球个数.【答案】20【解析】本题为概率问题，考查了概率中的相关概念【考点】概率18. 双曲线在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是. 【答案】m ＜ 1【解析】根据题意m-1<0,则m<1【考点】反比例函数的性质19. □ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得□ABCD 为正方形.【答案】AB＝BD 或∠BAD＝90°或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°【解析】由题知四边形ABCD 为菱形，所以只需一个角为90 度，或对角线相等.【考点】特殊四边形菱形、矩形的性质，正方形的判定20. 对于一个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”。
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l : 交x轴于点M，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线l 运动（BD 在直线l 上），BD=2，AB ∥y，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为.【解析】四边形ABCD 的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足题意【考点】一次函数，矩形，圆三、解答题：本大题共8 小题，共70 分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
21. （本小题满分10 分，每题5 分）22.（本小题满分5 分）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD。
（写出结论，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑。
）【答案】如图，四边形ABCD 即为所求。
【解析】过圆心O 做直线BD，交O于B 、D 两点，做线段BD 的垂直平分线，交⊙O 于A、C 两点，连接AD、DC、CB、AB ，四边形ABCD 即为所求的正四边形。
【考点】尺规作图-垂直平分线23.（本小题满分6 分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，……，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负。
若小军事先选择的数是5，用列表法或画树状图的方法求它获胜的概率。
【答案】1／4【解析】解法一：列表法小军获胜的概率为：1／4解法二：画树状图法：小军获胜的概率为：1／4【考点】列表法和树状图法24. （本小题满分7 分）如图，一垂直于地面的灯柱，AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在 C 点上方2 米处加固另一条钢缆ED，ED 与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢缆ED 的长度约为多少米？（结果精确到1 米。
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）25.（本小题满分10 分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1 ，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1 中四边形ABCD 的形状（如图2），则四边形EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD.①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，写出结论并证明；②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，直接写出结论。
26. （本小题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，OA OB ，AB x 轴于点C ，点在反比例函数的图像上。
（1）求反比例函数的的表达式；（2）在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得，求点P 的坐标；（3）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60º得到△BDE ，直接写出点 E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图像上，说明理由。
2023甘肃省兰州市中考数学真题试卷和答案
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15-B.15C. 5D. -52. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40︒B.50︒C. 55︒D. 60︒3. 计算：255a aa -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5D. a4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45︒B. 60︒C. 110︒D. 135︒5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （ ）A. 20cm πB. 10cmπ C. 5cm π D. 2cmπ7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－38. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A －2B. 2C. －4D. 49. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个.C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10. 我国古代天文学确定方向方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A. 35︒B. 30︒C. 25︒D. 20︒11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －212. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．.的15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26. 如图，ABC 内接于O ，AB是O 的直径， BC BD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．的27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T ⎛ ⎝两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC上方，=OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28. 综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E是边的AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM ，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40︒B. 50︒C. 55︒D. 60︒【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC ∠=∠，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC ∠=︒，∴50BOD AOC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45︒B. 60︒C. 110︒D. 135︒【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360︒，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360︒，∴3601=458︒∠=︒，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360︒是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （ ）A. 20cmπ B. 10cm π C. 5cm π D. 2cmπ【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，∴»902010180AB ππ⨯==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．的【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c ∆=-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A 35︒ B. 30︒ C. 25︒ D. 20︒【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-函数值y 随x 的增大而减小∴0k<.的∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC ∠=∠=︒，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ∠=∠=︒，结合AE BD ⊥，可得904050BAE ∠=︒-︒=︒．【详解】解：∵BD CD =，70C ∠=︒，∴70DBC C ∠=∠=︒，18027040BDC ∠=︒-⨯︒=︒，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ∠=∠=︒，∵AE BD ⊥，∴904050BAE ∠=︒-︒=︒；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-⨯-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；【小问2详解】解：∵1OD =，∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线；（3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC ∠=︒，∴()tan 380.781814.04m BC AB =︒≈⨯=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=︒，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =︒≈⨯=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得1210a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF 的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．【小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ∠=∠=∠=︒，1302OCF DCF OCD ∠=∠=∠=︒，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ∠=∠=∠=︒，∴EOD △等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ∠=︒，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF 中，9030GDF ODC ∠=︒-∠=︒，∴tan 302GF DF =︒==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24是的信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y ≤<这一组，。
2023年甘肃兰州中考数学试题及答案
2023年甘肃兰州中考数学试题及答案注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.－5的相反数是()A.15-B.15C.5D.-52.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（）A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒3.计算：255a aa -=-（）A.5a - B.5a + C.5 D.a4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（）A.45︒B.60︒C.110︒D.135︒5.方程213x =+的解是（）A.1x =B.=1x - C.5x = D.5x =-6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （）A.20cm πB.10cmπ C.5cmπ D.2cmπ7.已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A.对称轴为2x =-B.顶点坐标为()2,3 C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－38.关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（）A .－2B.2C.－4D.49.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B.2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C.相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D.相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（）A.35︒B.30︒C.25︒D.20︒11.一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A.2B.1C.－1D.－212.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（）A.2B.2.5C.3D. 3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：2225x y -=______．14.如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．15.如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300面朝上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．18.计算：()()()2234x y x y y y +---．19.解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20.如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21.综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23.一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x <；B ．1015x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m 10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．27.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，30,3T ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，5=OC P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）【13题答案】【答案】()()55x y x y +-【14题答案】【答案】50【15题答案】【答案】3【16题答案】【答案】①③三、解答题（本大题共12小题，共72分）【17题答案】【答案】【18题答案】【答案】23x y-【19题答案】【答案】34x <<【20题答案】【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+；（2）142BC =．【21题答案】【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【22题答案】【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【23题答案】【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m +．【24题答案】【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）433EG =．【25题答案】【答案】（1）11（2）②③（3）75人【26题答案】【答案】（1）见解析（2）DGB 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【27题答案】【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -≤≤【28题答案】【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；。
兰州中考真题数学试卷答案
兰州中考真题数学试卷答案在此，给出兰州中考数学试卷答案如下：一、选择题部分1. B2. D3. A4. C5. C6. B7. D8. A9. A10. C11. B12. D13. A14. C15. B16. D17. B18. C19. A20. D二、填空题部分1. 72. 43. 104. 95. 606. 37. 128. 729. 1210. 49三、解答题部分1. （略）2. 解：设正方形边长为x，则由题意可得： x - 5 = 2解得，x = 7故正方形的边长为7单位长度。
3. 解：由题意可得：3x + 2y = 10 --(1)2x - 3y = 5 --(2)解(1)和(2)得：x = 4, y = -1故方程组的解为x = 4，y = -1。
4. 解：设黑色铅笔的价格为x元，红色铅笔的价格为y元。
由题意可得：3x + 2y = 122x + 3y = 11解(1)和(2)得：x = 2，y = 3故黑色铅笔的价格为2元，红色铅笔的价格为3元。
5. 解：由题意可得：3（7 + x）= 60解得，x = 17故原来的数是24。
四、应用题部分1. （略）2. 解：设桌子的长为x米，宽为y米。
由题意可得：2x + 2y = 24解得，x + y = 12当x = 6时，y = 6；当x = 4时，y = 8；所以桌子的长和宽分别为6米和6米，或者4米和8米。
3. 解：由题意可得：总钱数 = 50x + (100 - 20x) × 6由此得到总钱数的表达式是：350x + 600当x = 1时，总钱数为950；当x = 2时，总钱数为1650；当x = 3时，总钱数为2350；所以，根据不同的游客人数，总钱数分别为950元、1650元和2350元。
以上是兰州中考数学试卷的答案。
希望对你有所帮助！。
兰州 中考数学试题及答案
兰州中考数学试题及答案兰州中考数学试题及答案一、选择题1. 下列各组数中，可以构成等差数列的是：A. 2, 4, 6, 8, 10B. 1, 3, 5, 6, 8C. 1, 4, 9, 16, 25D. 1, 2, 4, 7, 11答案：A2. 已知平行四边形ABCD的边长AB=6cm，BC=8cm，以AB为底边，作三角形APB（P为BC的中点），则三角形APB的面积为：A. 12cm²B. 18cm²C. 24cm²D. 36cm²答案：B3. 设函数y=2x+3，若x增加3个单位，y的值增加了多少个单位？A. 2B. 3C. 6D. 9答案：D4. 平方根是一个大于0的数x，那么下列说法正确的是：A. x的平方一定是0B. x的平方一定是1C. x的平方一定是正数D. x的平方可以是负数答案：C5. 在0-100之间的整数中，能被3整除但不能被5整除的数有：A. 15个B. 16个C. 17个D. 18个答案：A二、填空题1. 若一个等边三角形的周长为18cm，则每边的长度是_______ cm。
答案：62. 如果a:b=2:3，b:c=4:5，那么a:c= _____ 。
答案：8:153. 设f(x)=3x-5，则f(2)的值为 _______ 。
答案：14. 将15用质因数分解的结果是 _______ 。
答案：3 × 55. 在一个几何数列中，首项是3，公比是2，第5项是 _______ 。
答案：48三、解答题1. 有一个正方形ABCD，边长为6cm。
在AD边上取一点E，连接BE，交BC边于F。
求BE的长度和三角形DEF的面积。
解答：由正方形的性质可知ABFE为矩形，因此EF=AB=6cm。
三角形BDF和三角形EAF全等，所以BD=EA=6cm。
由直角三角形BDF可得DF=√(BD²-BF²)=√(36-16)=√20=2√5cm。
兰州市中考数学试卷及答案解析版
甘肃省兰州市2014年中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分）1.（4分）（2014?兰州）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A9 B 壁 C ⑥ D e ।考点：轴对称图形.分析：根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.解答：解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意.故选A.自评：本题主要考查『轴对称图形的知识点. 确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.（4分）（2014?兰州）下列说法中错误的是（）A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是必然事件B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式若a为实数，则|a|< 0是不可能事件甲、乙两人各进行10次射击，两人射击成绩的方差分别为S曲=2 , S % =4，则甲的射击成绩更稳定考点：随机事件；全面调查与抽样调查；方差分析：利用事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质即可作出判断.解答：解：A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6点朝上是随机事件，故本项错误；8.了解一批电视机『的使用寿命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，故本项正确;C.若a为实数，则|a|涮，|a|< 0是不可能事件，故本项正确；D.方差小的稳定，故本项正确.故选：A .点评：本题考查了事件的分类、普查和抽样调查的特点以及方差的性质.本题解决的关键是理解必然事件和随机事件的概念；用到的知识点为：具有破坏性的事要采用抽样调查；反映数据波动情况的量有极差、方差和标准差等.3.（4分）（2014?兰州）函数y WTl石中，自变量x的取值范围是（）A . x>- 2 B. x>- 2 C. x妥 D. x<- 2考点：函数自变量的取值范围.分析：根据被开方数大于等于 0列式计算即可得解. 解答一薛：根据题意得，x+2可，解得x A 2. 故选B.点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.4. （4分）（2014?兰州）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：我们组成绩是86分的同学最多”，小英说： 我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映处的统计量是（）A .众数和平均数 B.平均数和中位数 C.众数和方差 D.众数和中位数考点：统计量的选择 分析：根据中位数和众数的定义回答即可. 解答：解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数,故选D.本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理.分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解. 解答：解：•.・在 RtAABC 中，/ C=90 °, AC=4 , BC=3,ABW&c2十BC?二山2+32二5 .cosA=—AB 耳故选：D.点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.6. （4分）（2014?兰州）抛物线y= （x-1） 2- 3的对称轴是（ A. y 轴B.直线x=- 1C.直线x=1考点：二次函数的性质.分析：根据二次函数的顶点式 y= （x-h ） 2+k,对称轴为直线x=h,得出即可. 解答：解：抛物线y= （x —3）2—1的对称轴是直线 x=3 .排在中间位置的数是中位数,点评: 5. （4 分）（2014?兰州）如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=3 , AC=4 ,那么 cosA 的值 03-44-3 BC.D. 4）D.直线x= - 33故选：C.自评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易 忽略的地方.7. （4分）（2014?兰州）下列命题中正确的是（ 有一组邻边相等的四边形是菱形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形组对边平行的四边形是平行四边形 考点：命题与定理.分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项. 解：A 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误;B 、正确；C 、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D 、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误.故选B.自评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不 大，属于基础题.8. （4分）（2014?兰州）两圆的半径分别为 2cm, 3cm,圆心距为2cm,则这两个圆的位置 关系是（ ） A.外切B.相交C.内切D.内含考点：圆与圆的位置关系分析：由两个圆的半径分别是 3cm 和2cm,圆心距为2cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R, r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.解答：解：,「两个圆的半径分别是3cm 和2cm,圆心距为2cm,又3+2=5, 3-2=1 , 1<2<5, ・•.这两个圆的位置关系是相交. 故选B.点评：此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R, r的数量关系间的联系是解此题的关键.k - 119. （4分）（2014?兰州）若反比例函数 尸 --------- 的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是（）A. 0B. 1C. 2 D,以上都不是考点：反比例函数的性质. 专题：计算题.反比例函数 尸上一^的图象位于第二、四象限，比例系数k-1<0,即k<1,根据kx的取值范围进行选择.解答：解：♦.•反比例函数 产卜_ 1的图象位于第二、四象限，••• k- K0,即 k< 1.A . 解答:故选A.点评：本题考查了反比例函数的性质.对于反比例函数/ （k0O）, （1） k>0,反比例函数图象在一、三象限；（2） kvO,反比例函数图象在第二、四象限内.10.（4分）（2014?兰州）一元二次方程ax2+bx+c=0 （a加）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（）A - b2- 4ac=0B - b2 - 4ao0 C. b2- 4ac< 0 D. b2-4ac可考点：根的判别式.分析：已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式△=b2 - 4ac值的符号解答：解：二.一元二次方程有两个不相等的实数根，・・△=b2—4ac>0.故选B.点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△> 0?方程有两个不相等的实数根；（2）4=0?方程有两个相等的实数根；（3）△< 0?方程没有实数根.11.（4分）（2014?兰州）把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A . y= - 2 （x+1 ） 2+2 B. y= - 2 （x+1 ） 2-2 C. y=- 2 （xT）2+2 D. y= - 2 （xT） 2 —2考点：二次函数图象与几何变换分析：根据图象右移减，上移加，可得答案.解答：解：把抛物线y= - 2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y= - 2 （x- 1）2+2, 故选：C.自评：本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减.12.（4 分）（2014?兰州）如图，在^ ABC 中，/ ACB=90 °, / ABC=30 °, AB=2 ,将△ ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得4人‘B' C',则点B转过的路径长为（）A • 4 B. 6冗 C.竺D.兀~5~~考点：旋转的性质；弧长的计算.分析：利用锐角三角函数关系得出 BC 的长，进而利用旋转的性质得出/ BCB' =60。
兰州中考数学试题及答案
兰州中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是正确的二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^3 + bx + cC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx + c + d^2答案：A2. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 30°C. 90°D. 120°答案：B3. 以下哪个选项是正确的比例关系？A. 3:4 = 6:8B. 3:4 = 6:9C. 3:4 = 9:12D. 3:4 = 9:8答案：C4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 以下哪个选项是正确的等式？A. 2x + 3 = 7x - 1B. 2x + 3 = 7x + 1C. 2x + 3 = 7x - 3D. 2x + 3 = 7x + 3答案：A6. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么它的周长是多少？A. 16厘米B. 18厘米C. 20厘米D. 22厘米答案：C7. 以下哪个选项是正确的因式分解？A. x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)B. x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)C. x^2 - 4 = (x + 2)(x + 2)D. x^2 - 4 = (x - 2)(x - 2)答案：A8. 如果一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A9. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 2x > 4B. 2x < 4C. 2x ≤ 4D. 2x ≥ 4答案：A10. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，那么它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 8D. 6答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的平方根是3，那么这个数是__9__。
兰州市2023年中考：《数学》考试真题与参考答案
C. 110o D. 135o 5. 方程 2 1的解是（ ）
x3 A. x 1
B. x= 1
C. x 5 D. x 5
2
6. 如图 1 是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图 2 所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径 OA 20cm ， 圆心角 AOB 90 ，则 »AB （ ）
5 B. 1
5 C. 5 D. －5 2. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，则 BOD （ ）
A. 40 B. 50 C. 55 D. 60
3. 计算： a2 5a （ ） a5
1
A. a 5 B. a 5
C. 5 D. a 4. 如图 1 是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌 于一个画框之中．如图 2 是八角形空窗的示意图，它的一个外角 1 （ ）
B，使 OA OB ；[3]连接 AB ，取其中点 C，过 O，C 两点确定直线 b，则直线 a∥b ．按以上
4
作图顺序，若 MNO 35，则 AOC （ ）
A. 35
B. 30
C. 25
D. 20
11. 一次函数 y kx 1的函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x 2 时，y 的值可以是（ ）
5
二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 13. 因式分解： x2 25y2 ______．
14. 如图，在 Y ABCD 中， BD CD ， AE BD 于点 E，若 C 70，则 BAE ______ ．
15. 如图，将面积为 7 的正方形 OABC 和面积为 9 的正方形 ODEF 分别绕原点 O 顺时针旋转， 使 OA ， OD 落在数轴上，点 A，D 在数轴上对应的数字分别为 a，b，则 b a ______．
甘肃省兰州市中考数学真题试题含扫描答案
甘肃省兰州市 中考数学真题试题满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是A. 13-=x yB. c bx ax y ++=2C. 1222+-=t t sD. x x y 12+= 2. 由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几何体三种视图叙述正确的是A. 左视图与俯视图相同B. 左视图与主视图相同C. 主视图与俯视图相同D. 三种视图都相同3. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为2-=x 的是A. 2)2(+=x yB. 222-=x yC. 222--=x yD. 2)2(2-=x y4. 如图，△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB ，则cosA=A. 25B. 21 C. 552 D. 55 5. 如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2），D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为（5，0），则点A 的坐标为A.（2，5）B.（2.5，5）C. （3，5）D.（3，6）6. 一元二次方程0182=--x x 配方后可变形为A. 17)4(2=+xB. 15)4(2=+xC. 17)4(2=-xD. 15)4(2=-x7. 下列命题错误．．的是A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形B. 平行四边形的对角线互相平分C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形8. 在同一直角坐标系中，一次函数k kx y -=与反比例函数)0(≠=k x k y 的图象大致是9. 如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB=A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定10. 如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连结EF ，则△AEF 的面积是A. 34B. 33C. 32D. 311. 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
中考兰州数学试卷真题及答案
中考兰州数学试卷真题及答案一、选择题请将下列四个数按从小到大的顺序排列：A. 1/3B. 1/4C. 2/5D. 3/7请将下列式子化简：(2x + 1)(3x - 4) + (x - 2)(5x + 3)A. 5x^2 - 5x - 5B. 5x^2 + 5x - 5C. 5x^2 + 11x - 11D. 5x^2 - 11x + 11在平面直角坐标系内，直线y = x + 2与x轴和y轴分别交于点A和B，点P在线段OB上，且OP=2OA，则点P坐标的和为：A. 1/2B. 2C. 4D. 9/2二、解答题1. 两数之和为100，这两个整数的最大公约数是5，它们分别是多少？2. 用最简单的方法判断以下两个分数的大小关系：2/3和4/7。
3. 下图是一个矩形ABCD，其中AE是边AB的三等分线，且AE 和BC垂直相交于点E，求矩形ABCD的面积。
答案：一、选择题1. B2. B3. C二、解答题1. 答案：35和65解析：设这两个整数分别为x和y，则x + y = 100，且x和y的最大公约数是5。
由于最大公约数为5，所以x和y都至少可以被5整除。
假设x = 5a，y = 5b，则a + b = 20，并且a和b互质。
满足条件的整数解为a = 15，b = 5，因此x = 75，y = 25。
所以，这两个整数分别是35和65。
2. 答案：2/3 < 4/7解析：方法一：通分后比较大小，即将2/3和4/7通分为14/21和12/21，很明显14/21 > 12/21，因此2/3 < 4/7。
方法二：交叉相乘法，即2 × 7 < 4 × 3，得14 < 12，因此2/3 < 4/7。
3. 答案：矩形ABCD的面积为12。
解析：根据题意，AE是边AB的三等分线，所以AE = 1/3AB = 1/3 × 3 = 1。
由于AE和BC垂直相交，所以AE和BC互为高度和底边，面积为1 × 4 = 4。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.－5的相反数是()A.15 B.15 C.5 D.-5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD （）A.40B.50C.55D.60【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC ，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC ，∴50BOD AOC ，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3.计算：255a a a （）A.5a B.5a C.5 D.a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a55a a a a ，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1 （）A.45B.60C.110D.135【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360 ，∴3601=458，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360 是解本题的关键．5.方程213x 的解是（）A.1x B.=1x C.5x D.5x【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x ，解得=1x ，经检验=1x 是分式方程的解．故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA ，圆心角90AOB ，则» AB （）A.20cmB.10cmC.5cmD.2cm【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA ，圆心角90AOB ，∴»902010180AB ，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7.已知二次函数 2323y x ，下列说法正确的是（）A.对称轴为2x B.顶点坐标为 2,3 C.函数的最大值是－3D.函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数 2323y x 的对称轴为2x ，顶点坐标为 2,3 ∵30∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y ∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8.关于x 的一元二次方程20x bx c 有两个相等的实数根，则 2212b c （）A.－2B.2C.－4D.4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c ，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c 有两个相等的实数根∴240b c ∴ 2221242022b c b c ，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B.2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C.相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D.相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA OB确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ，则AOC （）A .35 B.30 C.25 D.20【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO ，可得23570AOB ，结合OA OB ，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ．【详解】解：∵35MNO ，MO NO ，∴35NMO MNO ，∴23570AOB ，∵OA OB ，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11.一次函数1y kx 的函数值y 随x 的增大而减小，当2x 时，y 的值可以是（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x 代入函数1y kx ，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx 的函数值y 随x 的增大而减小∴0k ∴当2x 时，211y k故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB ，10CE ，则AG （）A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC ，∵F 为CE 的中点，10CE ，∴152BG BF CE ，在Rt ABG △中，3AG，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：2225x y ______．【答案】55x y x y 【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解： 222555x y x y x y ．故答案为： 55x y x y ．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14.如图，在ABCD Y 中，BD CD ，AE BD 于点E ，若70C ，则BAE ______ ．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C ，18027040BDC ，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ，结合AE BD ，可得904050BAE ．【详解】解：∵BD CD ，70C ，∴70DBC C ，18027040BDC ，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ，∵AE BD ，∴904050BAE ；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15.如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a ______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9OD∴OA 3b即a ，3b a∴3故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷501002003005001000200030005000次数盖面朝上2854106158264527105615872850次数盖面朝上0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【答案】【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18.计算： 2234x y x y y y ．【答案】23x y【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：2234x y x y y y 222=434x y y y 23x y ．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19.解不等式组：312(1)223x x x x ．【答案】34x 【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x①②，由①得：32>21x x ，解得：>3x ，由②得：2>36x x ，解得：4x ，∴不等式组的解集为：34x ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20.如图，反比例函数 0k y x x与一次函数2y x m 的图象交于点 1,4A ，BC y 轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x与一次函数2y x m 的表达式；（2）当1OD 时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x；一次函数的表达式为22y x ；（2）142BC ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y ，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数 0ky x x的图象经过点 1,4A ，∴144k ，∴反比例函数的表达式为4y x；∵一次函数2y x m 的图象经过点 1,4A ，∴ 421m ，∴2m ，∴一次函数的表达式为22y x ；【小问2详解】解：∵1OD ，∴ 01D ，，∴直线BC 的表达式为1y ，∵1y 时，14x，解得4x ，则 41B ，，∵1y 时，122x ，解得12x ，则112C ，，∴ 114422BC．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21.综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD ，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB 的平分线．请写出OE 平分AOB 的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ON ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB 的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明 SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ，从而可得答案；（2）先证明 SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ，可得OC 是AOB 的角平分线；（3）先作BAC 的角平分线，再在角平分线上截取AE AD 即可．【详解】解：（1）∵OC OD ，CE DE ，DE DE ，∴ SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ，∴OE 是AOB 的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON ，CM CN ，OC OC ，∴ SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ，∴OC 是AOB 的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC 、53BAD ，18m AB ．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62 ，cos380.79 ，tan 380.78 ，sin 530.80 ，cos 530.60 ，tan 53 1.33 ）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB ，38BAC ，∴ tan 380.781814.04m BC AB ，在Rt △ABD 中，18m AB ，53BAD ，∴ tan 53 1.331823.94m BD AB ，∴ 23.9414.049.9m CD BD BC ,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度 m y 与离起跳点A 的水平距离 m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x ；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为 111m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x ，经过点 010，， 37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y ，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x ，经过点 010，， 37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c ，∴1210937b a c a b c，解得1210a b c ，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x ；【小问2详解】解：令0y ，则22100x x ，解得111x ，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为 111m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD 时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）3EG ．【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF 的长，利用菱形的性质得到EF CF ，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．【小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD ，EO ED ，∴CO CD OD ，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ，1302OCF DCF OCD ，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ，∴122DF CD，CF ，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ，在Rt DGF 中，9030GDF ODC ，∴tan 30233GF DF，∴3EG EF GF．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x ；B ．1015x ；C ．1520x ；D ．2025x ；E ．2530x ；F ．30x ）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x 这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y 6.0 6.8y 6.87.6y 7.68.4y 8.49.2y 9.2y人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m ______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11（2）②③（3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m ；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y 这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540（人）．【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD ，DE AC 于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 的形状，并说明理由；（3）当2BD 时，求FG 的长．【答案】（1）见解析（2）DGB 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG 【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ，根据已知得出F BAC ，根据DEAC 得出90AEG ，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC，则ABD ABC ，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ，等量代换得出FGB ABD ，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ，AB BF ，设FGB ABD ，则90DBF F ，等边对等角得出DB DF ，则224FG DG DB ．【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD ，∴2BOD BOC BAC ，∵2BOD F ，∴F BAC ，∵DEAC ，∴90AEG ，∵AGE FGB ∴90FBG AEG ，即AB BF ，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；【小问2详解】∵ BCBD ，AB 是O 的直径，∴ AD AC，BC AC ，∴ABD ABC ，∵DEAC ，BC AC ，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ，又AGE FGB ，∴FGB ABD ，∴DGB 是等腰三角形，【小问3详解】∵FGB ABD ，AB BF ，设FGB ABD ，则90DBF F ，∴DB DF ，∴224FG DG DB ．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点 1,2A ， 3,2B ， 2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ， 3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过 1,0G ，0,3T两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方， OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ， 2,0B ， 2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）3,0P（2）2（3）11b 【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF 于点Q ，根据新定义得出2PQ ，根据已知得出30TGO ，则24GP PQ ，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a ，ABC 是等边三角形，且BC y 轴，设BC 交于点D ，则AD BC ，得出1,2C a a ，根据 OC （3）当四边形ABCD 是正方形时， 1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，直线AC 的解析式为1y x ，得出 0,1M ，可得P ，则当点P 与点A 重合时，当点P 与C 点重合时，求得两个临界点时的b 的值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF 于点Q ，∵()1,0A ， 3,0B ，则2AB ，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ ，∵ 1,0G ，0,3T，∴313OG TO ，，∵3tan 13TGO ，∴30TGO ，∴24GP PQ ，∴ 3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴的距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a ，∵ABC 是等边三角形，且BC y 轴，设BC 交于点D ，则AD BC ，∴BD DC 12a ，∴1,2C a a ，∵ OC ∴22152a a ，解得：2a 或2 （舍去）∴等边三角形ABC 的边长为2【小问3详解】解：如图所示，当四边形ABCD 是正方形时， 1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，∵()1,0A ， 2,0B ，2,1C ∴1AB ，22AC∵()1,0A ，2,1C 设直线AC 的解析式为y mx n ，则021m n m n 解得11m n ∴直线AC 的解析式为1y x ，∴直线,AC EF 垂直，当0x 时，1y ∴ 0,1M ，∵222AM OA OM AC ，即得P 到直线EF 2，则当点P 与点A 重合时，P 是直线EF ：y x b 的“伴随点”．此时 0,1M 在y x b 上，则01b ，解得：1b =-，当点P 与C 点重合时，则EF 过点A ，此时01b ，解得：1b ，∴11b ．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，GD DF ，AG DG ，AG CF ．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF 交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM ，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF ；（3）MC，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF ≌，可得AD CD ，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC ，同理可得：ADG CDF ，证明ADG CDF ≌，DG DF ，AG CF ，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF ，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC ，AC AB ，45BAC ，AHE CBE ∽，可得AE HE CE BE，再证明HEB AEC ∽，可得HBE MCA ，证明AHB AMC ∽，可得HB AB MC AC 【详解】解：（1）∵GD DF ，DF CE ，AG DG ，∴90G DFC ，90ADG ADF ，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF ，∴ADG CDF ，∵AG CF ，∴ADG CDF ≌，∴AD CD ，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ，AH CE ⊥，GD DF ，∴90DFH H GDF ，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC ，同理可得：ADG CDF ，∵正方形ABCD ，∴AD CD ，∴ADG CDF ≌，∴DG DF ，AG CF ，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF ，∴FH HG AH AG AH CF ．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC ，ACAB ，45BAC ，∵AEH CEB ，∴AHE CBE ∽，∴AE HECE BE ，∵BEH AEC ，∴HEB AEC ∽，∴HBE MCA ，∵,AH CE AH HM ，∴45HAM BAC ，∴HAE MAC ，∴AHB AMC ∽，∴2HB AB MC AC ∴2MC BH．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．。