中考数学复习--综合题
综合题专项强化训练1.已知抛物线y x x c 122=-+的部分图象如图1所示. （1）求c 的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 122=-+的解析式；（3）若反比例函数y kx2=的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小.图1 图22. 如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2 图13.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.（1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，抛物线2812(0)y ax ax a a=-+<与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长.(2)求该抛物线的函数关系式．(3)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.5.如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y轴于C D 、两点，且C 为 AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8=(1)求点C 的坐标. (2)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC ;(3)如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.6.如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.7.如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点.OA 、OB 的长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB )，直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动.(1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；(3)设P A －PO ＝m ，P 点的移动时间为t . ①当0＜t ≤54时，试求出m 的取值范围；②当t ＞54时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论)？8.已知圆P 的圆心在反比例函数ky x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．9.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、 B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．10.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合． (1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．11. 已知：60MAN = ∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图1）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心． （1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，AC AO y = ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．12.已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．A M图10 AM备用图213.已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．ACK15.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b .若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根.（1）判断△ABM 的形状，并说明理由.（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形.（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标.16.正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，∠BAE 的平分线交射线BC 于点O ．（1）如图8，当CE =32时，求线段BG 的长； （2）当点O 在线段BC 上时，设x EDCE=，BO =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）当CE =2ED 时，求线段BO 的长．A DB G EC 图8 O 备用图A BCD17.如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中, 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm , 点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上, 抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B , 且18a +c =0. (1)求抛物线的解析式.(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm /s 的速度向终点B 移动, 同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm /s 的速度向终点C 移动.①移动开始后第t 秒时, 设△PBQ 的面积为S , 试写出S 与t 之间的函数关系式, 并写出t 的取值范围.②当S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R , 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.18.（青岛）已知：如图①，在RtΔABC 中，∠C =900，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设ΔAQP 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把RtΔABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把ΔPQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．B N19.（义乌）如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s 关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2<t<4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线．．AB．．上是否存在点P，使ΔPDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由. 20.已知ABC∆为直角三角形，90ACB∠=︒，AC BC=,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（0m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：()FC AC EC+21.如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．x23.如图（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．24.如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图（1） 图（2） 图（3）25.在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90 得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB =43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 26.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数2y x=的图象记为抛物线1l．（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过A B，两点，记为抛物线2l，如图②，求抛物线2l的函数表达式．（3）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点．若ABK ABCS S=△△，求点K的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点P，使ABP△为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．BOyx1l图①A11BOyx2l图②AC11BOyx2l图③A1127.如图，对称轴为直线72x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．28.如图，在直角坐标系中，以点A为圆心，以x轴相交于点B C，，与y轴相交于点D E，．（1）若抛物线213y x bx c=++经过C D，两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得PBD△的周长最小．（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．29.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.30.如图，已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴交于不同的两点A 、B ，其顶点是C ，点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点． （1）求实数m 的取值范围；（2）求顶点C 的坐标和线段AB 的长度（用含有m 的式子表示）； （3）若直线12+=x y 分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，问△BDC 与△EOF 是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．y。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。
2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题(与特殊三角形问题)
2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）1．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；【答案】(1)2142y x x =-++；(2)()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；(3)162OM ON +=，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线1x =，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D ，证明DFG GBF ≌，设()F 1,m ，则1DE m =+，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标；当E 点与A 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点()2,0A -，()4,0B ，代入24y ax bx =++得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为2142y x x =-++；（2）∵点()2,0A -，()4,0B ，∴抛物线的对称轴为直线l ：2412x -+==，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，∴DFE GBF ≌，∴,GF DE GB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m=+=+=+∴()1,3E m m ++，∵E 点在抛物线2142y x x =-++上∴()()2131142m m m +=-++++解得：3m =-（舍去）或1m =,∴()1,1F ，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，∴DFE GBF ≌，∴,GF DE GB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m=+=+=-∴()1,3E m m --，∵E 点在抛物线2142y x x =-++上∴()()2131142m m m -=--+-+解得：3m =（舍去）或5m =-，∴()1,5F -，当E 点与A 点重合时，如图所示，∵6AB =，ABF △是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴2GF AB 1==3此时()0,3F -，综上所述，()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)直线AD 的解析式为1y x =-；抛物线解析式为265y x x =-+；(2)存在，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；【分析】（1）根据对称轴3x =，4AB =，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM ∠=︒时，求出直线AM 的解析式为1y x =-+，解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，即可得到点M 的坐标；②当90ADM ∠=︒时，求出直线DM 的解析式为5y x =-+，解方程组2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，即可得到点M 的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴3x =，4AB =，∴()()1,0,5,0A B ，将()1,0A 代入直线1y kx =-，得10k -=，解得1k =，∴直线AD 的解析式为1y x =-；将()()1,0,5,0A B 代入25y ax bx =++，得5025550a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得16a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为265y x x =-+；（2）存在点M ，∵直线AD 的解析式为1y x =-，抛物线对称轴3x =与x 轴交于点E ．∴当3x =时，12y x =-=，∴()3,2D ，①当90DAM ∠=︒时，设直线AM 的解析式为y x c =-+，将点A 坐标代入，得10c -+=，解得1c =，∴直线AM 的解析式为1y x =-+，解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，得10x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩，∴点M 的坐标为()4,3-；②当90ADM ∠=︒时，设直线DM 的解析式为y x d =-+，将()3,2D 代入，得32d -+=，解得5d =，∴直线DM 的解析式为5y x =-+，解方程组2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩或50x y =⎧⎨=⎩，∴点M 的坐标为()0,5或()5,0综上，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．3.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M 1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)211344y x x =+-；(2)PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =--，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解．【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+-，（2）∵211344y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +-=解得：124,3x x =-=，∴()4,0A -,∵()0,3C -．设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430k --=解得：34k =-∴直线AC 的解析式为334y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =，∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当2t =-时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+⨯--=-，∴52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）∵抛物线211344y x x =+-211494216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得：74m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．【答案】(1)245y x x =--+；(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；②()38-，或()45-，或)52-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出()05C ，，进而求出直线BC 的解析式为5y x =+，则()()2455E m m m F m m --++，，，，进一步求出252524EF m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线x m =与x 轴交于H ，先证明BHF 是等腰直角三角形，得到45EFC BFH =∠=︒∠；再分如图3-1所示，当EC FC =时，如图3-2所示，当EF EC =时，如图3-3所示，当EF CF =时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，∴抛物线对称轴为直线5122x -+==-，在33y x =-+中，当2x =-时，9y =，∴抛物线顶点P 的坐标为()29-，，设抛物线解析式为()229y a x =++，∴()21290a ++=，∴1a =-，∴抛物线解析式为()222945y x x x =-++=--+（2）解：①∵抛物线解析式为245y x x =--+，点C 是抛物线与y 轴的交点，∴()05C ，，设直线BC 的解析式为1y kx b =+，∴11505k b b -+=⎧⎨=⎩，∴15k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为5y x =+，∵直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F∴()()2455E m m m F m m --++，，，，∴()2455EF m m m =--+-+25m m=--252524m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵10-<，∴当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；②设直线x m =与x 轴交于H ，∴5BH m =+，5HF m =+，∴BH HF =，∴BHF 是等腰直角三角形，∴45EFC BFH =∠=︒∠；如图3-1所示，当EC FC =时，过点C 作CG EF ⊥于G ，则()5G m ，∴点G 为EF 的中点，由（2）得()()2455E m m m F m m --++，，，，∴245552m m m --+++=，∴230m m +=，解得3m =-或0m =（舍去），∴()38E -，；如图3-2所示，当EF EC =时，则EFC 是等腰直角三角形，∴90FEF =︒∠，即CE EF ⊥，∴点E 的纵坐标为5，∴2455m m --+=，解得4m =-或0m =（舍去），∴()45E -，如图3-3所示，当EF CF =时，过点C 作CG EF ⊥于G ，同理可证CFG △是等腰直角三角形，∴FG CG m ==-，∴22CF CG m ==-，∴252m m m --=-，∴(2520m m +-=，解得25m =-或0m =（舍去），∴()225522EF CF ==-⨯-=-，2HF =，∴622HE =-，∴()25622E --，综上所述，点E 的坐标为()38-，或()45-，或()25622--，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（-1，0），点C 的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E 为△ABC 边AB 上的一动点，F 为BC 边上的一动点，D 点坐标为（0，-2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N 为射线CB 上的一点，M 是抛物线上的一点，M 、N 均在第一象限内，B 、N 位于直线AM 的同侧，若M 到x 轴的距离为d ，△AMN 面积为2d ，当△AMN 为等腰三角形时，求点N 的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0，∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N 在第一象限，∴t ＞3，∴t 的值为72，1+21，6+21，∴点N 的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．7．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．【答案】(1)()1,6D ；(2)223y x x =-++或223y x x =-+-；【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标()1,4P -，根据对称性，即可求解．（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，()1,24D m +，则抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．进而得出可得()0,23C m +，①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．求得()3,B m m +，代入解析式得出0m =，求得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =，得出()5,B m m +，代入解析式得出3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-；③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．【详解】（1）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线1L 的顶点坐标()1,4P -．∵1m =，点P 和点D 关于直线1y =对称．∴()1,6D ．（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，∴()1,24D m +，抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．∴当0x =时，可得()0,23C m +．①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．∵()1,24D m +，∴()0,24N m +．∵()0,23C m +∴1DN NC ==．∴45DCN ∠=︒．∵90BCD ∠=︒，∴45BCM ∠=︒．∵直线l x ∥轴，∴90BMC ∠=︒．∴45,CBM BCM BM CM ∠=∠=︒=．∵3m ≥-，∴()233BM CM m m m ==+-=+．∴()3,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()23233m m m =+-+-．解得0m =或3m =-．∵当3m =-时，可得()()0,3,0,3B C --，此时B C 、重合，舍去．当0m =时，符合题意．将0m =代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =．∵()1,24D m +，∴()244DT BT m m m ==+-=+．∵1DN =，∴()145NT DN DT m m =+=++=+．∴()5,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()25253m m m =+-+-．解得3m =-或4m =-．∵3m ≥-，∴3m =-．此时()()2,3,0,3B C --符合题意．将3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-．③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．综上，2L 所对应的函数表达式为223y x x =-++或223y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．8．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点．与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)211242y x x =--；(2)存在，12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)()1,6或()1,4-【分析】（1）将A 、B 、C 代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线AB 的解析式为122y x =-，设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（04m <<），可求22111,2242K m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，从而可求21132222PK PD m +=-++，即可求解；（3）过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，连接1AM ，设()11,M n ，可求22145AM n n =++，2219BM n =+，由22211AB BM AM +=，可求1M ，进而求出直线1BM 的解析式，即可求解．【详解】（1）解：由题意得16404202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：14122a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =--．（2）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为122y x =-；设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（04m <<），211122242x m m ∴-=--，解得：212x m m =-，22111,2242K m m m m ⎛⎫∴--- ⎪⎝⎭，212PK m m m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭2122m m =-+，21124PK m m ∴=-+，211242PD m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭211242m m =-++，22111122442PK PD m m m m ∴+=-+-++213222m m =-++21325228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，102-< ，∴当32m =时，12PK PD +的最大值为258，∴21313352422216y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，∴335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：存在，如图，过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，连接1AM ，∵抛物线211242y x x =--的对称轴为直线1x =，∴设()11,M n ，()222112AM n ∴=++245n n =++，2222420AB =+=，()222141BM n =-+29n =+，22211AB BM AM += ，2292045n n n ∴++=++，解得：6n =，()11,6M ∴；设直线1BM 的解析式为11y k x b =+，则有1111640k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1128k b =-⎧⎨=⎩，∴直线1BM 解析式为28y x =-+，21AM BM ∥ ，且经过()0,2A -，∴直线2AM 解析式为22y x =--，∴当1x =时，2124y =-⨯-=-，()21,4M ∴-；综上所述：存在，M 的坐标为()1,6或()1,4-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．9.（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b、c的值；（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（3174+，23178+）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则09301b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得：23 bc=⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x 2+2x+3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP=，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE=PE=，即E （3-t ，0），又Q （-1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t=2122--⨯=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为2122262⨯-⨯+=4；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM=PQ ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP （AAS ），∴MF=PE=t ，PF=QE=4-2t ，∴EF=4-2t+t=4-t ，又OE=3-t ，∴点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），∵点M 在抛物线y=-x 2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t ）2+2（3-2t ）+3，解得：t=98或98+（舍），∴M点的坐标为（34，23178+）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．10.（2021·江苏中考真题）如图，抛物线21y 2x bx c =-++与x 轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，点P 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当∠CAQ=∠CBA +45°时，求点P 的坐标；(3)如图②，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）（6，-7）；（3）PH=5-或1.5或158【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，易得△OCE 是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ ，可得CE ∥PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线CE 与PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，由题意可得若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，设G （0，m ），求出直线AF 和直线BC 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出m 的值，再求出直线AP 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入21y 2x bx c =-++，得102840b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是213222y x x =-++；（2）令x=0，则y=2，即C （0，2），∵222125AC =+=，2222420BC =+=，AB 2=25，∴222AC BC AB +=，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，如图，则CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ ，∴CE ∥PQ ，∵C （0，2），E （2，0），∴直线CE 的解析式为y=-x+2，设直线PQ 的解析式为y=-x+n ，把点A （-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ 的解析式为y=-x-1，解方程组2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=--⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或67x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，∵PH ∥y 轴，∴∠PHC=∠OCB ，∠FPH=∠CGF ，∴若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，∵C （0，2），B （4，0），∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设G （0，m ），∵A （-1，0），∴直线AF 的解析式为y=mx+m ，解方程组122y x y mx m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，得4221521m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴点F 的坐标是425,2121m m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，∴()222222224254252,2,21212121m m m m CG m CF FG m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当CG=CF 时，()222425222121m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得：m =此时直线AF 的解析式为y=12-x+12-，解方程组213222y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪⎪⎩10x y =-⎧⎨=⎩或5112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴点P的坐标是（5），此时点H的坐标是（5），∴PH=111522---=-；当FG=FC 时，2222425425221212121m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得m=12或m=12-（舍）或m=2（舍），此时直线AF 的解析式为y=12x+12，解方程组2132221122y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标是（3，2），此时点H 的坐标是（3，12），∴PH=2-12=1.5；当GF=GC 时，()22242522121m m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34m =或m=2（舍去），此时直线AF 的解析式为y=34x+34，解方程组2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标是（52，218），此时点H 的坐标是（52，34），∴PH=21315848-=；综上，PH=355或1.5或158．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．11.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12b a-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m m QM m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭∴24=33m m m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭∴222=33m m m m QM m -+-=∴22=33m m m m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m --=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．12.（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x ，再联立4y x=求出“雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y=x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y=0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH=MH 得出EMH 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴2440ac ∆=-=∵4c a=∵1a >∴04c <<②将4c a =代入，得2440E E ax x a++=解得2k x a =-，∴22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x a α=++，令0y =有2450ax x a++=解得41,N M x x a a=-=-∴4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a ，MH=242()a a a---=∴2EH MH a ==∴EMH 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵△CPB 为等腰三角形，∴PC=PB ，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP ，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH=PK ，HP=KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+=∴315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP=JB ，KC=JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP=x-m ，KC=y-m ，JB=y ，JP=3-x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122+1021022x x -==，∴2103(,)22P +或2103(,)22P -如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC=TP ，RP=TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y-=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122102-10,=22x x +=∴此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或2+103()22，或2103()22-，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．13.（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）228y x x =-++；（2）存在，()1,2P 或171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点()2,0,1,23E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △时，点Q ⎝⎭或3322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，理由见详解．【分析】（1）由题意易得()()()2,0,4,0,0,8A B C -，然后设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，进而代入求解即可；（2）由题意易得BMN CMP ∠=∠，要使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则可分①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分①当点Q 在第二象限时，存在等腰Rt CQR △，②当点Q 在第一象限时，存在等腰Rt CQR △，然后利用“k 型”进行求解即可．【详解】解：（1）∵2OA =，4OB =，8OC =，∴()()()2,0,4,0,0,8A B C -，设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，代入点C 的坐标可得：88a -=，解得：1a =-，∴二次函数的解析式为()()24y x x =-+-，即为228y x x =-++；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为228y x x =-++，则有对称轴为直线1x =，设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入点B 、C 坐标可得：408k b b +=⎧⎨=⎩，解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为28y x =-+，∴点()1,6M ，()1,0N ，∴由两点距离公式可得3,6,BN MN BM CM ====若使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则有BMN CMP ∠=∠，①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，则有//CP x 轴，如图所示：∴点()1,8P ，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，如图所示：∴35562PM BM CM MN =∴52PM =，∴点171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由题意得：动点G 从点D 出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G 走过的路程最短则有作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，如图所示：∵OC=8，点D 为CO 的中点，∴OD=4，∴()0,4D ，∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴()()2,8,0,4I H -，设直线HI 的解析式为y kx b =+，则把点H 、I 坐标代入得：284k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：64k b =⎧⎨=-⎩，∴直线HI 的解析式为64y x =-，当y=0时，则有064x =-，解得：23x =，当x=1时，则有6142y =⨯-=，。
备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_切线长定理-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_切线长定理-综合题专训及答案切线长定理综合题专训1、(2018灌云.中考模拟) 如图，D为上一点，点C在直径BA的延长线上，且．（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由．（2）过点B作的切线交CD的延长线于点E，若，，求的半径长．2、(2019.中考模拟) 如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．3、(2019.中考模拟) 如图，已知直线y＝﹣m（x﹣4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．（1）证明：∠MCN＝90°；（2）设OM＝x，AN＝y，求y关于x的函数解析式；（3）若OM＝1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．4、(2019.中考模拟) 如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．（1）证明：△MON是直角三角形；（2）当BM= 时，求的值（结果不取近似值）；（3）当BM= 时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．5、(2014杭州.中考真卷) 在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣ x，y= x的图象分别是直线l1， l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1， l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．6、(2018方城.中考模拟) 如图，已知⊙O与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若AB=4cm，填空：①当⊙O的半径为cm时，△ABD为等边三角形；②当⊙O的半径为cm时，四边形ABCD为正方形．7、(2019黄冈.中考真卷) 如图，在Rt 中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙0交AB于点D，过点D作⊙0的切线交BC于点E，连接OE.（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：8、(2018襄阳.中考真卷) 如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN 于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．9、(2018游仙.中考模拟) 如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ10、(2019昆明.中考模拟) 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.11、(2019莲湖.中考模拟) 如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°.（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=.12、(2020哈尔滨.中考模拟) CA、CB为⊙O的切线，切点分别为点A、B，延长AO交⊙O于点D，连接AB、CO，AB与CO交于点M，（1）如图1，求证：∠ACB=2∠BAO；（2）如图2，连接BD，求证：BD=2OM；（3）如图3，在（2）的条件下，F为OD上一点，连接FM并延长交AC于点H，连接BH，若DF=2OF，HM=3，tan∠ACB= ，求线段BH的长。
中考数学复习--综合题答案
综合题专项强化训练1.已知抛物线y x x c 122=-+的部分图象如图1所示.图1 图2（1）求c 的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 122=-+的解析式；（3）若反比例函数y kx2=的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小.解：（1）根据图象可知c <0………………1分且抛物线y x x c 122=-+与x 轴有两个交点所以一元二次方程x x c 220-+=有两个不等的实数根.所以()∆=--=->244402c c ，且c <0所以c <1………………2分（2）因为抛物线经过点（0，-1）把x y ==-011，代入y x x c 122=-+得c =-1故所求抛物线的解析式为y x x 1221=--………………3分（3）因为反比例函数y k x2=的图象经过抛物线y x x 1221=--上的点（1，a ）把x y a ==11，代入y x x 1221=--，得a =-2把x a ==-12，代入y kx2=，得k =-2所以y x22=-………………4分画出y x22=-的图象如图所示.观察图象，y y 12与除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为()-12，和()21，-把x y =-=122，和x y ==-212，分别代入y x x 1221=--和y x22=-可知，()-12，和()21，-是y y 12与的两个交点………………5分 根据图象可知：当x <-1或01<<x 或x >2时，y y 12>;当x x x =-==112或或时，y y 12=;当-<<<<1012x x 或时，y y 21>………………6分2. 如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．（1）解：依题意得412y x⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得12126432x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩(63)(42)A B ∴--，，，……..3分 （2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1）由（1）可知：OA OB ==AB ∴=········································································ 4分 122OM AB OB ∴=-= 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足由BEO OCM △∽△，得：54OC OM OC OB OE =∴=，， 同理：55500242OD C D ⎛⎫⎛⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， ··························· 5分 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠52045522k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩ ················································································ 6分 AB ∴的垂直平分线的解析式为：522y x =-．（3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线12y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．212164y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩2116042x x m ∴-+-=; 抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m ⎛⎫∴--⨯-= ⎪⎝⎭，2523144m P ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭， 在直线12524GH y x =-+：中，25250024G H ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， GH ∴=设O 到GH 的距离为d ，11221125252224GH d OG OH d d AB GH ∴=∴=⨯⨯∴= ，∥P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．∴S 最大面积11125224AB d ==⨯=图2 图1图2图1图①3.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .（1）点P 在运动时，线段AB 的长度页在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由； （2）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）线段AB 长度的最小值为4.理由如下：连接OP ,因为AB 切⊙O 于P ，所以OP ⊥AB ,取AB 的中点C ，则OC AB 2=…………3分当OP OC =时，OC 最短，即AB 最短，此时4=AB …………4分 （2）设存在符合条件的点Q ， 如图①，设四边形APOQ 为平行四边形，因为四边形APOQ 为矩形,又因为OQ OP =,所以四边形APOQ 为正方形,所以︒=∠=45,QOA QA OQ ，在Rt △OQA 中，根据︒=∠=45,2AOQ OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）. …………7分如图②，设四边形APQO 为平行四边形,因为OQ ∥P A ，︒=∠90APO ，所以︒=∠90POq ，又因为OQ OP =所以︒=∠45PQO ，因为 PQ ∥OA ，所以 y PQ ⊥轴.设y PQ ⊥轴于点H ，在Rt △OHQ 中，根据︒=∠=45,2HQO OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）.4.如图，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△O B C .(1)求线段OC 的长.(2)求该抛物线的函数关系式．(3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）解：由ax 2－8ax +12a ＝0（a ＜0）得122,6x x ==,OA =2,OB =6……1分 ∵△OCA ∽△OBC ∴ＯＣ2＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６……2分∴ＯＣ线段ＯＣ分 （2）解：∵△OCA ∽△OBC ,∴AC OA BC OC === 设ＡＣ＝ｋ，则ＢＣ,由ＡＣ2＋ＢＣ2＝ＡＢ2得ｋ2）2＝（６－２）2解得ｋ＝２（－２舍去）∴ＡＣ＝２，ＢＣＯＣ……1分 过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ,∴ＯＤ＝12ＯＢ＝３,∴ＣＤ∴Ｃ……2分将Cａ（３－２）（３－６）∴ａ∴抛物线的函数关系式为：ｙｘ2ｘ……3分 （３）解：①当Ｐ1与Ｏ重合时，△ＢＣＰ1为等腰三角形∴Ｐ1的坐标为（０，０）……1分 ②当Ｐ2Ｂ＝ＢＣ时(Ｐ2在B 点的左侧)，△ＢＣＰ2为等腰三角形 ∴Ｐ2 ……2分③当Ｐ3为ＡＢ的中点时，Ｐ3Ｂ＝Ｐ3Ｃ，△ＢＣＰ3为等腰三角形∴Ｐ3的坐标为（４，０）……3分④当ＢＰ4＝ＢＣ时(Ｐ4在B 点的右侧)，△ＢＣＰ4为等腰三角形∴Ｐ4的坐标为０） ∴在ｘ轴上存在点Ｐ，使△ＢＣＰ为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：（０，０），，（４，０）， ……4分5.如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y轴图②于C D 、两点，且C 为 AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8=(1)求点C 的坐标. (2)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC ;(3)如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.解（１）点的坐标为（０，４）……3分（２）设半径ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，则ＯＭ＝ｒ－２,由ＯＣ2＋ＯＭ2＝ＭＣ2得：４2＋（ｒ－２）2＝ｒ2解得：ｒ＝５……1分∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°,∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ∴OG AOMN AN= ∵ＭＮ＝ＯＭ＝３即234OG =∴ＯＧ＝32……２分 ∵ 1.5348OG OC ==,38OM OB =,∴OG OMOC OB=∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ∴ＭＧ∥ＢＣ……3分 （３）连结ＤＭ，则ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ ∴ＤＭ2＝ＭＯ·ＭＰ；ＤＯ2＝ＯＭ·ＯＰ（说明：直接使用射影定理不扣分）即４2＝３·ＯＰ∴ＯＰ＝163……１分 当点Ｆ与点Ａ重合时：23523OF AO PF AP ===-当点Ｆ与点Ｂ重合时：8316583OF OB PF PB ===+ ……２分当点Ｆ不与点Ａ、Ｂ重合时：连接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ∵ＤＭ2＝ＭＯ·ＭＰ∴ＦＭ2＝ＭＯ·ＭＰ∴FM MP OM FM =∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ∴35OF MO PF MF == ∴综上所述，OF PF 的比值不变，比值为35……4分6.如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M解：（1）4=AB∴3452222＝－=-=AB AE BE ∴2=CE ∴E 点坐标为)4,2(………………………（2分）在DCE Rt ∆中，222DE CE DC =+ 又∵OD DE =∴2222)4(OD OD =+- 解得：25=OD∴D 点坐标为)25,0(………………（3分）（2）如图①∵PM ∥ED ∴∽APM ∆AED ∆∴AE APED PM = 又知525==AE ED t AP ，＝， ∴2255tt PM =⨯= 又∵t PE -=5而显然四边形PMNE 为矩形∴t t t t PE PM S PMNE 2521)5(22+-=-⨯=⋅=矩形……………（5分）∴82525(212+--=t S PMNE 矩形 又∵5250<<∴当25=t 时，PMNE S 矩形有最大值825（面积单位）（6分）（3）（i ）若MA ME =（如图①）在AED Rt ∆中，MA ME =，,AE PM ⊥ ∴P 为AE 的中点 又∵PM ∥ED ， ∴M 为AD 的中点∴2521==AE AP ∴25==t AP ∴4521==t PM又∵P 与F 是关于AD 对称的两点∴25=M x ，45=M y ∴当25=t 时（5250<<），AM E ∆为等腰三角形,此时M 点坐标为45,25(………………（9分）（ii ）若5==AE AM （如图②）在AOD Rt ∆中，5255)25(2222=+=+=AO OD AD ∵PM ∥ED ，∴∽APM ∆AED ∆，∴ADAMAE AP = ∴5252555=⨯=⋅==AD AE AM AP t ∴521==t PM同理可知：525-=M x ， 5=M y ∴当52=t 时（5520<<），此时M 点坐标为)5525(，-综合（i ）、（ii ）可知：25=t 或52=t 时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为)5,5(或)5525(，-…………（12分）7.如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点.OA 、OB 的长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB )，直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动.(1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；(3)设P A －PO ＝m ，P点的移动时间为t .①当0＜t ≤54时，试求出m 的取值范围；②当t ＞54时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论)？OAB CPxy8.已知圆P 的圆心在反比例函数ky x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．解：(1)连结PC 、P A 、PB ，过P 点作PH ⊥x 轴，垂足为H ． …………………1分 ∵⊙P 与y 轴相切于点C (0，1)，∴PC ⊥y 轴． ∵P 点在反比例函数ky x=的图象上，∴P 点坐标为（k ，1）． …………………2分 ∴P A=PC=k ．在Rt △APH 中，AH，∴OA=OH —AH =k． ∴A （k－，0）． ……………………………3分 ∵由⊙P 交x 轴于A 、B 两点，且PH ⊥AB ，由垂径定理可知， PH 垂直平分AB ．∴OB=OA +2AH = k=k，∴B (k，0)． ……………………4分 故过A 、B 两点的抛物线的对称轴为PH 所在的直线解析式为x=k ． 可设该抛物线解析式为y =a 2()x k -+h ． ……5分又抛物线过C (0，1)， B (k，0)， 得：221;()0.ak h a k k h ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得a =1，h =1－2k ．…………………7分 ∴抛物线解析式为y =2()x k -+1－2k ．……8分（2）由(1)知抛物线顶点D 坐标为（k ， 1－2k ）∴DH =2k －1．若四边形ADBP 为菱形．则必有PH=DH ．………… 10分 ∵PH =1，∴2k －1=1． 又∵k ＞1，∴k分∴当kPD 与AB 互相垂直平分，则四边形ADBP 为菱形． ………12分9.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．解：（1）抛物线的解析式为 214263y x x =-+．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l 是 x ＝4．∵ Q （8，m ）抛物线上，∴m ＝2． 过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴ AQ=又∵ B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称，∴ PQ ＋PB 的最小值＝AQ＝．（3）如图②，连结EM 和CM ．由已知，得 EM ＝OC ＝2．CE 是⊙M 的切线，∴ ∠DEM ＝90º，则 ∠DEM ＝∠DOC ．又∵ ∠ODC ＝∠EDM ．故 △DEM ≌△DOC ．∴ OD ＝DE ，CD ＝MD ．又在△ODE 和△MDC 中，∠ODE ＝∠MDC ，∠DOE ＝∠DEO ＝∠DCM ＝∠DMC ．则 OE ∥CM ． 设CM 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，CM 过点C （0，2），M （4，0），∴ 40,2,k b b +=⎧⎨=⎩ 解得 1,22,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线CM 的解析式为122y x =-+．又∵ 直线OE 过原点O ，且OE ∥CM ，则 OE 的解析式为 y＝12-x ．10.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．∴Rt △POE ∽Rt △BP A ．∴PO BA OE AP =．即34x y x =-．∴y =2114(4)333x x x x -=-+(0＜x ＜4)．且当x =2时，y 有最大值13． (2)由已知，△P AB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩y =213122x x -+．(3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)．将PB 向上平移2个单位过点E (0，1)，∴该直线为y =x ＋1．由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q (5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．图2图111. 已知：60MAN =∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图1）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心． （1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，AC AO y = ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．解：（1）证明：如图3，连结OB OP ，，O 是等边三角形BPQ 的外心，OB OP ∴=，圆心角3601203BOP ∠==．当OB 不垂直于AM 时，作OH AM ⊥，OT AN ⊥，垂足分别为H T ，．由360HOT A AHO ATO ∠+∠+∠+∠= ，且60A ∠= ，90AHO ATO ∠=∠=，120HOT ∴∠= ．BOH POT ∴∠=∠．Rt Rt BOH POT ∴△≌△．OH OT ∴=．∴点O 在MAN ∠的平分线上．当OB AM ⊥时，36090APO A BOP OBA ∠=-∠-∠-∠=．即O P A N ⊥，∴点O 在MAN ∠的平分线上．综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在MAN ∠的平分线上．（2）解：如图4，AO 平分MAN ∠，且60MAN ∠=，30BAO PAO ∴∠=∠=．由（1）知，OB OP =，120BOP ∠= ，30CBO ∴∠= ，CBO PAC ∴∠=∠． BCO PCA ∠=∠ ，AOB APC ∴∠=∠．ABO ACP ∴△∽△．AB AOAC AP∴=．AC AO AB AP ∴= ．4y x ∴=．定义域为：0x >． （3）解：①如图5，当BP 与圆I相切时，AO =②如图6，当BP 与圆I相切时，AO =③如图7，当BQ 与圆I 相切时，0AO =．图5图6M图7图3图4M 图10 备用图212.（08南通）已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．28．解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x = 中，得y =－2．∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．………3分（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上， ∴mn k =，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， …………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． ……………………8分 由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1），∴C （－4，－2），M （2，2）．……………9分设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==．∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………… 11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1． 设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a m p MP M O m -===．同理MB m a q MQ m +==，…………13分∴2a m m ap q m m-+-=-=-．………14分13.已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11ky x =，22ky x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即A O E △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，，1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将C E F △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF∴△∽△．EN EMMB MF∴=，1141431231331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=．222MB BF MF += ，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==．∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．14.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．解：（1）25．（2）能． 如图5，连结DF ，过点F 作FH AB ⊥于点H ，由四边形CDEF 为矩形，可知QK 过DF 的中点O 时，QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时12.5QH OF ==．由20BF =，HBF CBA △∽△，得16HB =．故12.5161748t +==． （3）①当点P 在EF 上6(25)7t ≤≤时，如图6．4QB t =，7DE EP t +=，由P Q E B C A △∽△，得7202545030t t --=．21441t ∴=．②当点P 在FC 上6(57)7t ≤≤时，如图7．已知4QB t =，从而5PB t =，由735PF t =-，20BF =，得573520t t =-+．解得172t =． （4）如图8，213t =；如图9，39743t =． （注：判断PG AB ∥可分为以下几种情形：当6027t <≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在PG AB ∥的时刻，如图8；此后，点G 继续上行到点F 时，4t =，而点P 却在下行到点E 再沿EF 上行，发现点P 在EF 上运动时不存在PG AB ∥；当6577t ≤≤时，点P G ，均在FC 上，也不存在PG AB ∥；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿CD 下行，所以在6787t <<中存在PG AB ∥的时刻，如图9；当810t ≤≤时，点P G ，均在CD 上，不存在PG AB ∥）15.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b .若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根.（1）判断△ABM 的形状，并说明理由.（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形.（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标.解：（1）令0))((4)2(2=+--=∆a m a m b 得222m b a =+,由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形（2）设1)2(2-+=x a y ,∵△ABM 是等腰直角三角形,∴斜边上的中线等于斜边的一半,又顶点M (－2，－1)∴121=AB ，即AB ＝2∴A (－3，0)，B (－1，0),将B (－1，0) 代入1)2(2-+=x a y 中得1=a∴抛物线的解析式为1)2(2-+=x y ，即342++=x x y ，图略（3）设平行于x 轴的直线为k y =，解方程组⎩⎨⎧++==342x x y ky ，得121++-=k x ，122+--=k x （)1->k ，∴线段CD 的长为12+k ，∵以CD 为直径的圆与x 轴相切，据题意得k k =+1A EB Q B 图6E B 图7 B图8B图916.正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，∠BAE 的平分线交射线BC 于点O ．（1）如图8，当CE =32时，求线段BG 的长；（2）当点O 在线段BC 上时，设x EDCE=，BO =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）当CE =2ED 时，求线段BO 的长．解：（1）在边长为2的正方形ABCD 中，32=CE ，得34=DE ，又∵//AD BC ，即//AD CG ，∴12CG CE AD DE ==，得1CG =．－－－－（2分） ∵2BC =，∴3BG =； －－－－－（1分）（2）当点O 在线段BC 上时，过点O 作AG OF ⊥，垂足为点F ，∵AO 为BAE ∠的角平分线，90=∠ABO ，∴y BO OF ==．－－－－－－（１分） 在正方形ABCD 中，BC AD //，∴CG CEx AD ED==．∵2=AD ，∴x CG 2=．－－－－（１分） 又∵CEx ED=，2CE ED +=，得x x CE +=12．－－－－（１分） ∵在Rt △ABG 中，2AB =，22BG x =+，90B ∠=，∴AG = ∵2AF AB ==，∴2FG AG AF =-=．－－－－（１分）∵OF ABFG BG =，即AB y FG BG =⋅，得122222+-++=x x x y ，)0(≥x ；（2分）(1分)（3）当ED CE 2=时，①当点O 在线段BC 上时，即2=x ，由（2）得32102-==y OB ；－（1分） ②当点O 在线段BC 延长线上时，4CE =，2==DC ED ，在 Rt △ADE 中，22=AE ．设AO 交线段DC 于点H ，∵AO 是BAE ∠的平分线，即HAE BAH ∠=∠，又∵CD AB //，∴AHE BAH ∠=∠．∴AHE HAE ∠=∠．∴22==AE EH ．∴224-=CH ．－－－（1分）∵CD AB //，∴BO CO AB CH =，即BOBO 22224-=-，得222+=BO ． （2分） 17.如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中, 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm , 点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上, 抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B , 且18a +c =0. (1)求抛物线的解析式.(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm /s 的速度向终点B 移动, 同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm /s 的速度向终点C 移动. ①移动开始后第t 秒时, 设△PBQ 的面积为S , 试写出S 与t 之间的函数关系式, 并写出t 的取值范围. ②当S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R , 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 解：（1）设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由题意知点A （0，－12），所以12-=c ，又18a +c =0，32=a ，∵AB ∥CD ,且AB =6,∴抛物线的对称轴是32=-=a bx ，∴4-=b ，所以抛物线的解析式为124322--=x x y（2）①9)3(6)6(22122+--=+-=-⋅⋅=t t t t t S ，()60≤≤t②当3=t 时，S 取最大值为9.这时点P 的坐标（3，－12），点Q 坐标（6，－6） 若以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况： （Ⅰ）当点R 在BQ 的左边，且在PB 下方时，点R 的坐标（3，－18），将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R 的坐标就是（3，－18）； （Ⅱ）当点R 在BQ 的左边，且在PB 上方时，点R 的坐标（3，－6），将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件. （Ⅲ）当点R 在BQ 的右边，且在PB 上方时，点R 的坐标（9，－6），将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件.综上所述，点R 坐标为（3，－18）18.（青岛）已知：如图①，在RtΔABC 中，∠C =900，A DB GE C 图8 O 备用图A BC DAC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设ΔAQP 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把RtΔABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把ΔPQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=AC AQ AB AP ，∴5542t t -=，∴=t（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．∵△APH ∽△ABC ，∴=BC PH AB AP ，∴=3PH 55t -，∴t PH 533-=，∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=．（3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t 若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分．（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ．∵PM ⊥AC于M ，∴QM=CM ．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．∴AB BP AC PN =， ∴54t PN =，∴54tPN =， ∴54t CM QM ==，∴425454=++t t t ，解得：910=t ．∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时37533=-=t PM ， 9854==t CM ，在Rt △PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9505．19.如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积；②当2<t <4时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使ΔPDE 为等腰直角图① BB N三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.解：（1）①2AB=842OA==，4OC=，S梯形OABC=12 ，②当42<<t时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积，2112(4)2(4)842S t t t t=--⨯-=-+-（2）存在123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P---…（每个点对各得1分）对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：①以点D为直角顶点，作1PP x⊥轴Rt ODE∆在中，2OE OD=∴，设2OD b OE b==，.1Rt ODE Rt PPD∆≈∆，（图示阴影）4b∴=，28b=，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）E点在0点与A点之间不可能；②以点E为直角顶点同理在②二图中分别可得P点的生标为P（－83，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.③以点P为直角顶点同理在③二图中分别可得P点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能.综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－83，4）、P（8，4）、P（4，4）．20.已知ABC∆为直角三角形，90ACB∠=︒，AC BC=,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（0m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交解：（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）.（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PMEC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8.21.如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足：12S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠，因为1y k x =的图象过点(33)A ，，所以133k=，解得11k =．这个正比例函数的解析式为y x =．（1分）设反比例函数的解析式为22(0)k y k x =≠．因为2k y x =的图象过点(33)A ，，所以233k=，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x =．（2分）（2）因为点(6)B m ，在9y x =的图象上，所以9362m ==，则点362B ⎛⎫⎪⎝⎭，．（3分）设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的，所以31k =，即y x b =+．又因为y x b =+的图象过点362B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以362b =+，解得92b =-，∴一次函数的解析式为92y x =-．（4分）（3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．因为2y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、和D 902⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以933336629.2a b c a b c c ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，，（5分） 解得1249.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-．（6分）（4）92y x =-交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 如图所示，15113166633322222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 99451842=---814=．假设存在点00()E x y ，，使12812273432S S ==⨯=．四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >，1OCD OCE S S S ∴=+△△ 01991922222y =⨯⨯+⨯ 081984y =+．081927842y ∴+=，032y ∴=．（7分） 00()E x y ，在二次函数的图象上，2001934222x x ∴-+-=．解得02x =或06x =．当06x =时，点362E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与点B 重合，这时CDOE不是四边形，故06x =舍去，∴点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）22.如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．解：（1） 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩， 解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++． （2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =． 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴∥，且CD 45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==． 1OE ∴=，(01)E ∴，．即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，． (04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =． 45DCE CBO ∴∠=∠=°，DE CE ∴==4OB OC == ，BC ∴=BE BC CE ∴=-=，3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，(543)P t t ∴-+，． P 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ． 45PBD QD DB ∠=∴= °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°， 又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，． (40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．23.如图（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］ （1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积； （3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．解：（1）3k =-，A （-1，0），B （3，0）．（2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ．则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ），∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ．∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875． （4）有两种情况：如图（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ，ì=ïïíï=ïî∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）．如图（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；ì=ïïíï=-ïî 2214x y ，．ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．24.如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；图（3） 图（4）(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0）； 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB ，过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=． ∴所求C 点的坐标为（14，12）． （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t A M M P∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为（9415，5310） ． （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等．25.在ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.。
备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_勾股定理-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_勾股定理-综合题专训及答案勾股定理综合题专训1、(2015抚顺.中考真卷) 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．2、(2018上海.中考真卷) 如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC= ．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．3、(2017磴口.中考模拟) 已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．4、(2019长春.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O交AC于点E，且交BC于点F，BE 平分∠ABC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长。
5、(2017香坊.中考模拟) 图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）如图1，在小正方形的顶点上确定一点C，连接AC、BC，使得△ABC为直角三角形，其面积为5，并直接写出△ABC的周长；（2）如图2，在小正方形的顶点上确定一点D，连接AD、BD，使得△ABD中有一个内角为45°，且面积为3．6、(2018海陵.中考模拟) 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．作AP⊥AB，交BC于P点．（1）如图1，若AB=3 ，求BC的长；（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．①如图2，当点E落在AC边上时，求证：CE=2BD；②如图3，当AD⊥BC时，直接写出的值．7、(2019平阳.中考模拟) 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，BC=16.点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A.P是弧AB上的一个动点.（1）求半径OB的长；（2）如果点P是弧AB的中点，联结PC，求∠PCB的正切值；（3）如果BA平分∠PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长.8、(2017石狮.中考模拟) 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF 沿EF折叠，得到△EB′F．（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；（2）当B′D=B′C时，求BF的长；（3）求△CB′F周长的最小值．9、(2017高青.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若 = ，连接AF并延长交⊙O 于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求tan∠E的值．10、(2018驻马店.中考模拟) 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC= ，求此时线段CF的长（直接写出结果）.11、(2015怀化.中考真卷) 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）.12、(2019贵港.中考真卷) 如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长.13、(2011玉林.中考真卷) 如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．14、(2018蒙自.中考模拟) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3） M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．15、已知：如图，△ABC内接于圆O，且AB过圆心O，D是弧BC上的一点，OD⊥BC，垂足为H，连接AD、CD，AD与BC交于点P．（1）求证：∠ACD＝∠APB．（2）若AC＝6，AB＝10，求AD的长．勾股定理综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习（含答案解析）一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．【答案】5【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．【答案】①③④【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB+∠DCF＝90°，∵∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴tan∠CDF＝，故①正确，∵BE∥CD，∴＝＝＝，∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，∴CF＝a，DF＝a，∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，∴GQ＝GP，∵＝＝，∴＝，∴BG＝DG，∵DM∥BN，∴＝＝1，∴GM＝GN，∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，∴×a×a＝××GP+×a×GQ，∴GP＝GQ＝a，∴FG＝a，过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，∴3m＝a，∴m＝a，∴FN＝m＝a，∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠HCD，∵＝＝，＝＝，∴＝，∴△BEF∽△HCD，故④正确．故答案为：①③④．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB ＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【答案】A【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C ＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B 点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC＝2，∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤【答案】B【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC＝90°．∴∠BOE＝∠COF．在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF．在△BAE和△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，∴∠APB＝90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO＝∠ABO＝45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO＝45°，OH⊥OP，∴OH＝OP＝HP，∴HP＝OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB＝90°．∴∠AOH＝∠BOP．∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，∴∠OAH＝∠OBP．在△AOH和△BOP中，，∴△AOH≌△BOP（ASA），∴AH＝BP．∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE＝2：3，∴设BE＝2x，则CE＝3x，∴AB＝BC＝5x，∴AE＝＝x．过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB＝45°，∴EG＝GC＝EC＝x，∴AG＝＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE＝，∴tan∠CAE＝＝＝．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．∴．∴．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE＝S△OFC，∴．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【答案】【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OD中点，∴E（﹣，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．【答案】3或2【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【答案】或5【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【答案】【解答】解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【答案】【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，∴n＝5m，CN＝4m，由△BB′C∽△MNH，可得＝2m，∴AM＝BH＝3m，∴＝＝＝，故答案为：．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．【答案】2+2【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：2+2．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．【答案】90°，．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴•AE•AF＝•EF•AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴DH＝．故答案为：90°，．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．【答案】①②③【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）【答案】①②【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．【答案】1.8；．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD ＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10，（10+）【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN ⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．49。
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。
中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案
中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案一、单选题1．如图，两个平行四边形的面积分别为18、12，两阴影部分的面积分别为a、b （a＞b），则(a−b)等于（）A．3B．4C．5D．6 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，则∠BOC的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°3．若一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，则该多边形为（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC 为（）A．4 B．8 C．4√3D．10 5．一个长方形的周长为28厘米，长的2倍比宽的3倍多3厘米，则这个长方形的面积是（）A．45平方厘米B．35平方厘米C．25平方厘米D．20平方厘米6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=√3cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 7．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8 ，将纸片沿EF折叠使点B与点D 重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为()A．3B．4C．5D．6 8．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时PA的长度为（）A．10B．212C．11D．434 9．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（）A．10＜α＜22B．4＜α＜20C．4＜α＜28D．2＜α＜1410．如图，两张等宽的纸条交又重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．a2B．5cm C．2√7cm D．6cm 11．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF，将∠BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到∠CDF的位置，则旋转角是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°12．Rt∠ABC 两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为( ) A ．10cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm二、填空题13．如图，点E 在边长为2的正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，若∠DAE ＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．14．把一把直尺和一块三角板如图放置，若∠1=42°，则∠2的度数为 °.15．已知 ▱ABCD 中一条对角线分 ∠A 为35°和45°，则 ∠B = 度. 16．如图，在一块长AB =26m ，宽BC =18m 的长方形草地上，修建三条宽均为3m 的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m 217．如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝90°，E 为AC 的中点，AD∠BE 交BC 于D ，若AD＝152，BE ＝5，则BD ＝ .18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是．三、综合题19．如果抛物线C1：y=ax2+bx+c与抛物线C2：y=−ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.（1）求抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y=x2−4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时求正方形AMBN的面积.（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.20．解答题（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE=CF ．求证：DE=BF ；（2）如图2，AB 是∠O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与∠O 相切于点D ，若∠C=20°，求∠CDA 的度数．21．如图，▱ABCD 放置在平面直角坐标系申，已知点A （-2，0）、B （-6，0）、D（0，3）．点C 在反比例函数y=k x的图象上。
2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合
2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合一、综合题1．如图，正比例函数 y x = 的图象与反比例函数 ky x=（ 0x > ）的图象交于点 ()1A a ， ，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CA CB = ，点C 坐标为 ()20-，．（1）求 k 的值；（2）求 AB 所在直线的解析式．2．如图所示，直线 1y k x b =+ 与双曲线 2k y x=交于A 、B 两点，已知点B 的纵坐标为 3- ，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点 ()02D -，， 5OA =， 1tan 2AOC ∠= ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点， OCP 的面积是 ODB 的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式 21k k x b x+≤的解集． 3．反比例函数 2m y x-=的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，若直线 AB 与该函数图象交于 ()61A ， 、 B 两点，求此反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下， AOB 的面积为8，动点 P 在 y 轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，求点 P 坐标.4．如图， Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，点 ()20C ，，点 ()04B ， ，反比例函数 ()0kyxx=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线 OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ()1n ， ，求m ，n 的值． 5．如图，直线y=2x 与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象交于点A(m ，8)，AB⊥x 轴，垂足为B 。
（1）求k 的值；（2）点C 在AB 上，若OC=AC ，求AC 的长；（3）点D 为x 轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S ⊥OCD =S ⊥ACD ，求点D 的坐标。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。