一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性
一类捕食-食饵模型非常数正解的存在性
第２ ８期
２１ ００年 １ ０月
科
学
技
术
与
工
程
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１７ － １ １ （０ ０ ２ ．９ ３０ ６ １ ８ ５ ２ １ ）８６ ６ ． ５ ． ．
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力 学就 是通 过 对 所 研 究 的生 态 问题 （ 群 与环 境 、 种 种群 与种 群 之 间 的 相 互 作 用 ） 行 大 量 的实 验 ， 进究 建 生态 系统 的一 门学 科 ， 生 物 数学 研 究 的 一 个重 要 是
生态 流行 病 学 作 为 生 物 数 学 研 究 的一 个 新 的
讲 ， 以根 据 生 态 系 统 的实 际情 况 ， 过 建立 数 学 可 通 模 型 的方法 来 达 到定 量 、 性 分 析 的 目 的 ， 而 预 定 从 测其 发 展变化 ， 到 未 雨绸 缪 的效 果 。其 中种 群 动 达
究 都 是基 于 经 典 的 Ｋ ｒ ａｋＭａｅｄ ｅ ｅｍ ｃ． ｋｎｆ ｋ模 型 的 ， ｉ 这
个 模 型预测 了复杂 的 动力 学 行 为 ， 同时 通 过理 论 和 现 场 实验 证 实 了生 态 流 行 病 受 空 间 因 素 的影 响 是 很 重要 的许 多结 论 。
论 的研 究 中 占有 非 常 重 要 的地 位 ， 已被 广 泛 关 注 。 以后 的许多 学者 在对 其 进 行 不 断 改进 、 发展 和完 善 的基础 上给 出 了许 多 适 合 实 际 的 、 切 合 实 际 的模 更
般情 况下 ， 典 的病 毒传 播 模 型 是 通过 建 立 经
一类捕食系统正解的存在性和唯一性
一类捕食系统正解的存在性和唯一性
阿里甫
【期刊名称】《新疆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(010)002
【摘要】本文讨论以下的一类捕食系统,即一类弱耦合椭圆型偏微分方程组的零边值问题 -d_1Δu=au-a_1u^2-a_2f_1(u)v -d_2Δv=bv-b_1v^2+b_2f_2(u)v x∈Ω u=v=0 x∈(?)Ω其中d_1,d_2,a_1,a_2,b_1,b_2都是正常数,a和b是可变实参
数,Ω为R^n中的边界光滑的有界区域,f_i(i=1,2)满足一定的增性条件,我们利用上、下解、分歧和解耦的方法证明方程组(0.1)正解的存在性和唯一性。
【总页数】7页(P45-51)
【作者】阿里甫
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】Q141
【相关文献】
1.一类捕食系统解的存在性与唯一性 [J], 马晶;容跃堂
2.随机半比例型捕食与被捕食系统正解的存在性及唯一性 [J], 韩七星;李秋月;罗英语
3.一类种内相食捕食系统非常数正解的存在性 [J], 查淑玲;李艳玲
4.一类带交叉扩散项的食饵-捕食系统的正解的存在性 [J], 侯秀梅
5.一类三种群捕食系统正解的存在性 [J], 沈林; 王术
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一类捕食者-食饵模型的周期解与稳定性
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（，） ．０ × ｔ ∈（ ，］ ． ｒ 本文中， 我们将使用含时滞抛物型微分方程上下解的
概念 和如下一 些 引理 ：
含时滞和扩散的捕食者一食饵模型， 并对其周期性等渐近
一类具有多时滞捕食-被捕食系统正周期解的存在性
２ ０ ，８ １： ９ ０ ５ ０ ８２ Ａ（） ３ — ４ ０
数学物理学报
一
类具 有 多 时 滞 捕食 一被 捕 食 系 统 正周 期 解 的存 在 性
一
徐 文雄
张太雷
徐 宗本
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（ 西安交通大学理 学院 西安 ７ ０ ４ ； 新疆大学数学与系统科 学学院 乌鲁木齐 ８ ０ ４ ） １ ０ ９ ３ ０ ６
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根据系统 （ 的生物学意义， Ⅳ （ ， ２ ）∈ 车 则结论显然成立．证毕． １ ） （ １ ） （ ） Ｒ ， ０Ⅳ ０
３ 正周期解 的存在性
为 了以后讨 论方便 ，我 们引入如 下记号
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收 稿 日期 ：２ ０ — ８１ ； 订 日期 ：２ ０ — ７２ ０ ６０ — ４ 修 ０ ７０ —７
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基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ７ １ ３ １ ９ ）和国家 自然科学基金重点项 目 ｆ０ ３ ０ ０ １ ５ １ ３ ）资助
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性
时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性李周红;杨成莲【摘要】应用重合度延拓定理和一些不等式技巧，研究了一类时间尺度上带有收获项的三种群捕食-食饵系统，得到其至少存在八个正周期解的充分条件，并用一个例子验证了所得结果的有效性。
%In this paper,a general class of predator-prey system with harvesting terms on time scales is studied by u-sing Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory and some skills of inequalities.The sufficient condition is established for the existence of at least eight positive periodic solutions.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2016(032)008【总页数】10页(P1-10)【关键词】时间尺度;正周期解;重和度;捕食-食饵系统;收获项【作者】李周红;杨成莲【作者单位】玉溪师范学院数学系，云南玉溪 653100;腾冲市明光中学，云南腾冲 679103【正文语种】中文【中图分类】O175.13一直以来，许多研究者致力于食饵-捕食生态系统动力学特征的研究，它是生态学、生物数学的研究热点，而功能性反应函数在食饵-捕食系统的研究中扮演着重要的角色[1,2]．生态系统周期解的存在性和多解性是生物数学研究的重点问题,通过不断努力，目前得到了许多新成果．现实中由于诸多环境因素(如天气、气候、季节、食物供给等)影响着周期性的变化，因此在带有收获项的捕食-食饵系统中参数就不可能保持是常数，变成了关于时间的函数，从而出现连续和离散的周期现象[3～5].1990年，时标(time scales)理论提出了将离散和连续情形同时进行讨论，是一种连续和离散计算的统一方法，在种群系统中，种群的发展过程既有连续时刻，也有离散时刻，因此，利用时间尺度理论使得讨论的种群模型更符合现实.目前，已有一些学者对此进行了研究，如文献[6,7].受以上思想启发，本文将讨论一类时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统多个正周期解的存在性问题.2014年，陆地成、王奇、张友梅[8]讨论了如下有收获项的捕食-食饵系统：其中，i(t)(i=1,2,3)分别表示三种群各自的种群密度，ai(t)分别表示i(t)的内秉增长率，bi(t)分别表示i(t)同种群之间的种内竞争率，ej(t)表示j(t)(j=2,3)不同种群之间的种间竞争率，hi(t)分别表示i(t)各自的收获项[8].另外ai(t)，bi(t)，hi(t)，cj(t),dj(t),ej(t),αj(t),βj(t),γj(t),T1(t),T2(t)都是R+上的严格正的ω-周期有界连续函数.对系统(1)通过欧拉变换，则可转化为如下离散系统：其中i=1,2,3，j=2,3，且ai:Z→R+,bi:Z→R+,hi:Z→R+,cj:Z→R+,dj:Z→R+,ej:Z→R+,αj:Z→R+,βj:Z→R+,γj: Z→R+,T1:Z→Z+,T2:Z→Z+,由于以上参数均为非负周期函数，则有由于知识有限，据我们所知，目前还没有文献讨论过如下时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统：其中，ai(t)>0，bi(t)>0，hi(t)>0，cj(t)>0,dj(t)>0,ej(t)>0,αj(t)>0,βj(t)>0,γj(t)>0,T1(t)≥0,T2(t)≥0(i=1,2,3;j=2,3),t ∈t∈,u∈R.当t∈=Z时，系统(3)则化简为系统(2)，当t∈=N时，系统(3)则化简为系统(1). 本部分先介绍一些需知的引理和定义及标记,有关时间尺度知识可参见文献[9～11]. 定义1[12] 一个函数f:t∈→R称作是右稠密连续的，如果它在t∈中的右稠密点是连续的，且在t∈中的左稠密点的左极限是存在的．如果f在每一个右稠密点与左稠密点均是连续的，则称f是t∈上的连续函数．我们定义C[J,R]={u(t)∶u(t)是J 上连续的}，以及C1[J,R]={u(t)∶uΔ(t)是J上连续的}.定义2[12] 对于y:t→R，其中t∈t∈k，我们定义y(t)的delta导数yΔ(t)，是这样一个(如果它存在)具有如下性质的数：对于给定的>0，存在t的一个邻域U使得对于所有的s∈U都成立.如果y是连续的，那么y是右稠密连续的，如果y在t是delta可微的，那么y在t上是连续的[12].如果y是右稠密连续的，令YΔ(t)=y(t)，则我们定义delta积分如下[12]：定义3[12,13] 令t∈≠R为一个周期为p的周期时标，我们称函数f:t∈→R是ω-周期函数，如果存在一个自然数n使得ω=np,f(t+ω)=f(t)对所有的t∈t∈都成立,并且ω是使得f(t+ω)=f(t)成立的最小的正数.若t∈=R，我们称f是以p>0为周期的，如果ω是使得f(t+ω)=f(t)对所有的t∈t∈都成立的最小的数[12]．定义4[13,14] 我们称一个时标t∈是周期的，如果存在ω>0使得t∈t∈，则t±p∈t∈．对于t∈≠R，最小的正数p称为这个时标的周期.引理1[15] 如果a,b∈t∈，α,β∈R,且f,g∈C(t∈,R)，则；(2)如果f(t)>0，对所有的a≤t<b，则≥0;(3)如果|f(t)|≤g(t)在区间[a,b)∶={t∈t∈∶a≤t<b}上成立，则||≤t.对于重合度延拓定理相关知识见参考文献[15]．引理2(Mawhin延拓定理[10]) 设L是指标为零的Fredholm映射，在是L-紧的，假设(a)对任意的λ∈(0,1)，方程Lx=λN(x,λ)的解满足x∉∂Ω∩DomL;(b)QN(x,0)≠0,∀x∈∂Ω∩KerL;(c)deg{JQN(x,0),Ω∩KerL,0}≠0.则方程Lx=N(x,1)在内至少有一解.为方便行文，我们给出如下记号：κ=min{[0,∞)∩t∈},Iω=[κ,κ+ω]∩t∈, g(t),,其中g∈C(t∈,R)是一个ω-周期函数，即对任意的t∈t∈,g(t+ω)=g(t)．假设以下条件成立:.其中:, , , .引理3[16] 设x>0,y>0,z>0且,函数和,如下条件成立:(1)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间x∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.(2)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间y∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.(3)函数f(x,y,z)和g(x,y,z)在区间z∈(0,∞)上分别是单调递增和递减的.引理4 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，则有如下不等式成立：证明根据引理3,可知不等式恒成立.定理1 假设(H1)、(H2)和(H3)成立，则系统(3)至少存在8个正ω-周期解.因X=Z={u=(u1,u2,u3)T∈Crd(t∈,R3)∶ui(t+ω)=ui(t)}且‖u‖|ui(t)|,u∈X或Z(0,1).其中因为KerL={u∈X∶(u1,u2,u3)T=(h1,h2,h3)T∈R3,∀t∈t∈}=R3，，ImL为Z中的闭子集Dim KerL=3=codim ImL,并且P,Q有ImP=ImL，KerQ=ImL=Im(I-Q).因此L是指标为0的Fredholm映射，进一步定义L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL为:显然，QN，Kp(I-Q)N是连续映射，且)对任意的有界开集Ω∈X是紧的，因此，N对任意的有界开集Ω∈X在上是L-紧的.为了应用引理2我们需要至少找到X中的有界开集Ω1，Ω2，Ω3，Ω4，Ω5，Ω6，Ω7，Ω8.因此考虑对应算子的方程：u∈X是系统(4)的周期解，λ∈(0,1)，u(t)∈X,∃ξi,ηi∈Iω(i=1,2,3),有由(5)知≤b1(ξ1)eu1(ξ1)+h1(ξ1)e-u1(ξ1)≤≤，即:，同理，同理，同理.类似地，≤a1(ξ1)≤即：，解得：或，同理或或，同理或或，同理或因，有或,对任意的t∈R,有或；同理因，有或,对任意的t∈R,有或；同理因，有或,对任意的t∈R,有或；显然都不依赖于λ，令；；；；；；；.其中算子方程Lu=λN(u,λ)的每个解u∈Ωi∩DomL,因为Ωi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)是X中的有界开子集，并且存在u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R3.QN(u,0)≠(0,0,...,0)T，i=1,2,3, (8)由积分中值定理，则存在t∈[0,ω]使得：解之得：或；或；或；u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R3(i=1,2,3,…,8)，这与假设u∈∂Ωi∩R3是矛盾的.定义φ:DomL×[0,1]→X,φ(u,μ)=μQN(u,0)+(1-μ)G(u),μ∈[0,1],.考虑代数方程可得：).其中：， .则；；；所以，因为KerL=ImQ,此外，J=I(是恒等算子)，设.deg{JQN(u,0),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=deg{φ(u,1),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=sign[c1,c2,c3]其中：c1=-b1(t1)ex*+h1(t1)e-x*,c2=-b2(t2)ey*+h1(t1)e-y*,c3=-b3(t3)ez*+h3(t3)e-z*deg{JQN(u,0),Ωκ∩KerL,(0,0,0)T}=sign[c1,c2,c3]=±1≠0故,引理2的所有条件都满足,定理证明完毕.综上所述，Ωi(i=1,2,3,…,8)满足延拓定理的三个条件，所以，由定理1知，系统(3)至少存在8个不同的正周期解.例考虑如下时间尺度上带有收获项的捕食-食饵系统:令a1(t)=6+sint，a2(t)=3+cost，a3(t)=5+sint，c1(t)=c2(t)=c3(t)=2+sint，γ2(t)=21+sint，γ3(t)=21+c ost,e1(t)=(1+sint)/40，e2(t)=sint/1 000，e3(t)=cost/100，d1(t)=d2(t)=d3(t)=sint，h1(t)=2+cost,h2(t)=(3/10)sint，h3(t)=(3/10)sint,β1(t)=β2(t)=β3(t)=2+sint.若t∈=R，由系统(7)有：令i(t)=eu1(t)(i=1,2,3)则系统(7)为:证明通过计算，容易得,..因此，系统(7)的所有系统满足条件(H1)～(H3),也即满足定理1的所有条件.故系统(7)存在8个正周期解,其中,,；；；；；；；.综上所述，系统(7)至少存在8个正的周期解.【相关文献】[1]李周红，张玮，孙媛花.带收获项的非自治捕食-被捕食相互作用模型的多重正周期[J].玉溪师范学院学报,2010(8)：1-7.[2]鲁慧媛.一类具有Holling-Ⅱ型离散非自治一个食饵两个捕食系统的周期解存在性[J].玉溪师范学院学报,2012(12)：1-7.[3]X.A.Zhang,L.S.Chen,A.U.Neumann,The stage-structured predator-prey model and optimal harvesting policy[J].Math.Biosci.,2000(168):201-210.[4]C.W.Clark,Mathematical Bioeconomics:The Optimal Management of Renewable Resources,Pure and Applied Mathematics[M].JohnWiley and Sons,New York,NY,USA,2nd edition,1990.[5]J.L.Troutman,Variational Calculus and Optimal Control [M].Undergraduate Texts in Mathematics,Springer,New York,NY,USA,2nd edition,1996.[6]K.H. Zhao, D. Ding,Multiple periodic solutions for a general class of delayed cooperative systems on time scales[J].WSEAS Transactions on Mathematics,2013，10(12)：957-966.[7]Bohner M，Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales：An Introduction with Applications[M].Boston：Birkhauser，2001.[8]陆地成，王奇，张友梅.一类捕食-食饵系统的八个正周期解问题[J].佳木斯大学学报:自然科学版,2014,32(1):143-146.[9]M.Bohner，A.peterson,Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications[M].Birkh user,Boston,Mass,USA 2001.[10]M.Bohner，A.peterson,Advances in Dynamic Equations om Time Scales[M].Birkh user,Boston,Mass,USA 2003.[11]S.Hilger,Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J].Results in Mathematics,Resultate der Mathematik,1990(18):18-56.[12]李周红,白丽艳,杨晨曦.时间尺度上Duffing-型p-Laplacian方程周期解的存在性[J].玉溪师范学院学报,2011(8):1-8.[13]Bohner M,peterson A,Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh user,2001.[14]张莉,张立新,葛渭高.时标上一类具有反馈控制的人口模型周期解的存在性与唯一性[J].数学的实践与认识.2013(13):255-259.[15]R.Gaines,J.Mawhin,Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M].Springer Verlag,Berlin,1977.[16]Z. H. Li, Existence of multiple positive periodic solutions two species parasitical model with impulsive effects and harvesting terms[J]. Discrete Dynamic in Nature and Society, 2013, ID:198927,1-9.。
一类捕食-食饵模型解的存在性和稳定性
一类捕食-食饵模型解的存在性和稳定性张聪晖;王治国;李艳玲【摘要】在齐次Dirichlet边界条件下,研究了一类捕食-食饵模型.证明了局部分歧解的存在性;将局部分歧延拓为整体分歧,刻画出分歧解随参数的整体走向,并且讨论了局部分歧解的稳定性;通过数值模拟分析验证了理论分析的结果.%The predator-prey model is investigated under homogeneous Dirichlet boundary conditions.Firstly,the existence of the local bifurcation solutions is proved.Secondly,the local bifurcation can be extended to global bifurcation and the jumps of the bifurcation solutions are established,meanwhile,the stability of the local bifurcation solutions are discussed.Finally,some numerical simulations are shown to support the analytical results.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(045)001【总页数】7页(P6-12)【关键词】捕食-食饵;分歧;稳定性;数值模拟【作者】张聪晖;王治国;李艳玲【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119【正文语种】中文【中图分类】O175.26MR subject classification: 35K57近年来,Allee效应受到了国内外生态学家和数学家的关注[1-7]。
一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性和惟一性
关键词： 捕食 一 食饵；扩散；分歧；惟一性 ．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３ Ｋ５ 中图分类号：Ｏ１５２ 文献标识码：Ａ ５ ７ ７ ．６ 文章编号：１ ０—９ ８２ １ ）１１６１ ０ ３３ ９ （０ １０ —９ —０
１ 引言
本文考 虑如 下反应扩 散 系统
ｆｋ （“Ｔ － ＝一一 ／ 。 ｕ
Ｎ． ｏ１
郭 改慧 等：一类 具有扩 散 的捕食 一 饵模 型正解 的 存在性 和惟 一性 食
１７ ９
的存在 性．文 献 ｆ 进 一步 讨论 了该类 模 型，得到 了正解 存 在的 充分条 件，并在 一维情 况 下 ３ １ 给 出 了正解 的惟 一性 ． 目前，对 于带 Ｂ Ｄ反 应项 的捕食 一 — 食饵 模型 的研 究 已有一些 工作 ．文 献 ｆ 利 用特征值 ４ ］ 变 分原理 得 到 了正 解存 在惟 一 的充分条 件 ，但是 此条 件 比较复 杂 ，实现 起来 比较 困难．将参 数 ａ限制在 一 定的范 围 内，文 献 ｆ 利 用分歧 理论 给 出了正解 的 整体分 歧结构 ．文 献 【 讨 ５ ］ ６ ］ 论 了 ｍ 或 充分大 的情况 ，给 出了正解 的 多重性 和惟一性 ． 齐次 Ｎ ｕ ｎ 在 ｅ ｍａ ｎ边界条 件下 ， 文 献 『 利用 度理论 得 到了非 常数 正解 的存在性 ． ７ １ 本 文主 要研 究方程 （） １ 正解 的存在 性和 惟一性 ． 首 先给 出一些 预 备 知识 ． 固定 （ ｉ ０ 记 Ｘ 一 ｛ ∈ Ｃ 。 ） （ ）＝ ０ ｔ＞ ， “ 抖 （ ： ．ｚ ∈ 【 ． ２ ｝ 定 义 中的范 数 为通 常 的 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ｃ ＋ （ “ ）中的 范数 ，则 是 Ｂ ｎ ｃ 空间 ．记 ａ ａｈ Ｐ＝｛ ∈Ｘ ： （ ） ， ∈ｆ Ｏ ｕｘ ＞０ ｔ ｕ＜０ ｚ∈ｏ ， Ｐ 为 中的 正锥 ．对 任意 ｑｘ ∈Ｃ“ｆ） ； ， ａ｝则 （） （ ， ｔ 令 ｌｑ ＜ （） 入 （） … 是 特征 值问题 （） ２ｑ ３ｑ △ ＋ｑｚ ＝ ，Ｘ∈Ｑ， ＝ ０ （） ， ∈ Ｑ 的全部特 征值 ． 由文献 ［ 知 ，Ａ （） ８ １ ｑ 是简 单的， 且 １ｑ 关于 ｑ 格 单调递 增 ． （） 严 因此 当 ｑ ｑ ｌ ２ 且 ｑ ≠ ｑ ， １ｑ）＜ （ ） 为方便起 见，简记 （） ｌ ２时 （１ １ｇ ． ２ ０ 为 ．不妨设 ｌ ０为 主特征 值 ＞
一类时滞模型周期正解的存在性问题
２ ） ｎ） １兰 （ ＝ （ｚ ） 一 （［
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２ ￡＝ｚ￡［（） （ ） （）ｎ￡一∑ｂ ￡ （一 ）］ ｌ） ￡ ｒ ） （
以及 乘 积 型 Ｌ ｇｓｉ ； 程 ［ １ ｏｉ ｃ ｈ ｔ － １］
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第１ 卷 第３ ９ 期
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文 章 编 号 ：０ ５３ ８ （ ０ ２ ０ —０ １０ １ ０ ．０ ５ ２ ０ ） ３０ ２ —５
一。Βιβλιοθήκη 非 线 性 泛 函分 析 中 的一 些 理 论 与 方 法 ， 拓 扑 度 理 论 ［ ， ］ 不 动 点 方 法 ［ 迭 合 度 理 如 １２ ， ，
论 ｌＪ 都 是研 究 周 期 解 的 重要 工 具 ， 已有 不少 结 果 ， 文 ［ ３等 并 见 ４～８ 等 。 文 ［ ］ 用 迭 合 度 理 ］ ７利
］
基金项目 ｏＱ９ １ 墼 日 ２０－ － ． 作者简介： 期： ５５ 蒲志林（９３ １ 年４ ６ 月生）男， ， 博士， 副教授
： 川 省教 育 厅重 点基 金资 助 ． 四
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学
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第 １ ９卷
但 是 ， 外 还 有 一 些 模 型 ， 红 血 球 再 生 模 型 ［， ］ 另 如 ６１ ２
散模 型 的 稳 定 性 和一 致 持 久 性 ， 关 于 这 一 模 型 方 程 的 周 期 解 的存 在 性 问 题 ， 未见 有 关 的 而 尚 结 果 。 文 以 非 线 性 锥 映 射 拓 扑 度 为 工 具 ， 先 建 立 了 一 般 模 型 （ ）存 在 正 周 期 解 的 条 件 ， 本 首 ２ 并将 所 得 结 果 应 用 于 Ｎｉｈ ｌ ｎ Ｓｂｏ ｌ ｓ模 型 （ ） 证 明 了 在 周 期 环 境 下 ， ｃ ｏｓｎ Ｓ ｃ ｏｓ ’ ｌ ｉ ｏ ｗｆｅ ８ ， Ｎｉ ｌ ’ ｈ ｏ ｂｏ ｌ ｓ 型 方 程 （ ）存 在 周 期 解 。 ｌｗｆｅ 模 ｉ ８
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文 章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ ０ ０ －０ １ ６０
一
类 具 生 物 控 制 的 多滞 量 捕 食 模 型 正 周 期 解 的 存 在 性
程 荣福
（ 北华大学 数 学学院 ， 吉林 吉林 １２ ３ ） ３ ０ ３
摘要： 利用重合度理论 中的延拓定理讨论 了具有生物控 制的多滞 量捕食 模型 的正周 期解 的存 在性 ， 到 了保 证 得 周期解 存在的充分条件 ， 推广 了已知 的相关结果．
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收 稿 日期 ：０ ９１ －５ ２０ ．２０ 基 金项 目： 吉林 省教育厅“ 十一五” 科学技术研究项 目（ 吉教合字 ２０ ．３ ） ０ ８１ ６ ． 作 者简介 ： 荣福（ ９ ４一） 男 ， 程 １５ ， 教授 ， 硕士生 导师 ， 主要从事微分方程理论及应用研究
关键 词 ： 捕食者一 食饵 模型 ； 生物控制 ； 期解 ； 周 多滞 量
中 图分 类 号 ： １ ５ ｔ ０ ７ ．４ 文献标识码 ： Ａ
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第 １ １卷 第 １期 ２１ ０ ０年 ２月
北华大学 学报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＥＨＵ ＮＶ Ｒ ＩＹ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ） Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ
Ｖｏ ． ｌ Ｎ ． １１ ｏ １
Ｆｅ ２０１ ｂ， ０
（） １ ＿ ２
２
北 华 大学 学报 （ 自然科 学 版 ）
第 １ 卷 １
从 形式上 看 ， 系统 （ ． ）和 系统 （． ）区别 不大 ， １１ １２ 但是 文 献 ［ ］的研 究结 果 表明 ： 于系统 （． ）而 言 ， ６ 对 １１ 时 滞 不会影 响系统 的周 期解 的存在 性 ， 系统 （． ）中只要 系数 满 足一 定 的代 数 条 件 ， 么无 论 是对 超 前 型 、 １１ 那 滞后 型 ， 是连续 滞 量 （ 限或者 无穷 ） 系统 都至 少存 在一个 全局 周期 解． 文献 ［ ］ 还 有 ， 而 ８ 的结果 则表 明 ： 时滞 对 系统 的周 期解 的存在 性具 有非 常重要 的作 用 ， 要使 系 统 （． ）具 有周 期解 ， 系统 的滞 量必 须满 足 一定 １２ 则 条件 （ 如周 期性 和导数 要小 于某个 常数 等 ） ．
１
引
言
近年 来 ， 一种 强有 力 的方 法 ： 合 度 理论 广 泛 应 用 于研 究 非 自治 系 统 的周 期 解 问 题 （ 见 文 献 ［－］ 重 参 １５ 及 相关 文 献 ） 文献 ［ ］ 虑 了如 下非 自治 的捕食 模 型 ． ６ 考
』（＿㈩ （－（１ ＂）６ Ｎ －ｔ ， ｔ Ⅳ ｆａ）ｔ（ ＿ ｚ ｏ ） ｄ ） １ ） ，Ｎ －ｔ ｌ （ ＇ ］ Ｎ １ ｔ（ｒ ㈤ ｔ （ ） ）
【 ＝２［２ ㈩ ｌ ｆ ， Ｎ￡－㈩ （ ｒ ） Ⅳ ） （ ） ］
（） １ ． １
利用 重 合度 理论 中的延 拓定 理讨 论 了该 系统 的全局 周 期 解 的存 在 性 ． 文献 ［ ］从 生 物学 意 义 上 指 出模 型 ７ （． ）是不 完 整 的 ， 没有 考虑 到第 ２个 物 种对 自身数 量增 长 的 阻滞作 用 ， １１ 它 这种 形式 在 数学 推 导上 会 大大 简化 对 解 的先验 估计 ． 实 上 ， 事 文献 ［ ］已经 考虑 了如 下 系统 的周 期解 的存 在 性 问题 ８