圆锥曲线导数及其应用测试题含答案 (1)
导数及其应用、圆锥曲线测试题
一、选择题
1、双曲线13
22
=-y x 的离心率为 ( ) A ．
552 B ．2
3
C ．332
D ．2 2、已知23)(23++=x ax x f 且4)1('=-f ，则实数a 的值等于 ( )
A ．
193 B ．163 C ．133 D ．103
3、抛物线281
x y -=的准线方程是( ).
A. 321=x
B. 2=y
C. 32
1
=y D. 2-=y
4、函数x x x f +=3)(的单调递增区间是 ( )
A ．),0(∞+
B ．)1,(-∞
C ．),(∞+-∞
D ． ),1(∞+
5、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e
5x (e 为双曲线离心率)，则有( )
A ． a ＝2b
B ．a ＝5b
C ． b ＝2a
D ．b ＝5a 7、函数)22(9323<<---=x x x x y 有（ ）
A ． 极大值5，极小值27-
B ． 极大值5，极小值11-
C ． 极大值5，无极小值
D ． 极小值27-，无极大值 8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
9、已知动点M 的坐标满足方程|12-4y 3x |522+=+y x ，则动点M 的轨迹是（ ）
A ． 椭圆
B ．抛物线
C ． 双曲线
D ． 以上都不对
10、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A ．5 , —15
B ．18 , —15
C ．5 , —4
D ．5 , —16 11、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x
都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
12、已知12F F 、是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两焦点，以线段12F F 、为边作
正三角形12MF F ，若1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A.324+ B. 13- C.
2
1
3+ D. 13+
二、填空题 13、
=-+i
i
11 14、已知函数53
123
-++=
ax x x y 若函数在R 总是单调函数，则a 的取值范围是 15、直线1-=kx y 与双曲线19
42
2=-y x 有且只有一个交点，则k 为 16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，0
)
()(2
>-'x x f x f x ）（0>x ，
则不等式0)(2>x f x 的解集是 . 三、解答题
17、已知顶点在x 轴上的双曲线满足两顶点间距离为8，离心率为
4
5
，求该双曲线的标准方程。
18、判断函数12432)(23+-+=x x x x f 的单调性，并求出单调区间。
19、相距1400m 的B A ,两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是
340s m /
（1）问炮弹爆炸点P 在怎样的曲线上，为什么？（不说明理由不得分） （2）建立适当的坐标系，求上述曲线的标准方程。
20、函数443
1)(3
+-=
x x x f . （1）求)(x f 的单调区间和极值；
（2）当实数a 在什么范围内取值时，方程0)(=-a x f 有且只有三个零点。 21、已知过)23(-，T 的直线l 与抛物线x y 42=交于Q P ,两点，点)2,1(A （1）若直线l 的斜率为1，求弦PQ 的长
（2）证明直线AP 与直线AQ 的斜率乘积恒为定值，并求出该定值。
22、设cx bx ax x f ++=23)(的极小值为8-，其导函数)(x f y ‘=的图象经过点
),0,3
2
(),0,2(-如图所示，
（1）求)(x f 的解析式； （2）求函数的单调区间和极值；
（3）若对[]3,3-∈x 都有()m m x f 142-≥恒成立，求实数m 的取值范围.
文科答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
D
B
C
A
A
C
D
B
A
C
D
13、 i 14、),1[∞+ 15、2
3
210±=±
=k k 或 16、()()1,01,-+∞
17、因为已知顶点在x 轴上的双曲线满足两顶点间距离为8，离心率为
4
5
所以4
5
82==
=a c e a 而222b a c += 即916
2
2
==b a 所以双曲线的标准方程为19
162
2=-y x
18、因为12432)(23+-+=x x x x f 所以 2466)(2'-+=x x x f
当02466)(2'>-+=x x x f 时，即2
17
12171--<+->
x x 或时，函数递增 当02466)(2'<-+=x x x f 时，即
2
1712171+-<<--x 时，函数递减 所以，函数的增区间为),2
171[,]2171,
(∞++----∞ 函数的减增区间为]2
171,2171[
+---。 19、（1）由听到炮弹爆炸声的时间相差3s 可知，PB PA 与的距离之差的绝对值为一个定值3403?，且该定值||140010203403AB =<=? 由双曲线的定义知爆炸点在一条双曲线上。
（2）以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则由（1）知 140021020
2==c a
所以，双曲线的标准方程为
1229900
2601002
2=-y x 20、解：⑴因为443
1)(3
+-=
x x x f 所以)2)(2(4)(2'+-=-=x x x x f 令0)(=x f ‘ 解得2221-==x x
+
—
+
单调增区间为)2,(--∞，),2(+∞ 单调减区间为)2,2(- 因此当2-=x 时，)(x f 有极大值，且极大值为328)2-(=
f 当2=x 时，)(x f 有极小值，且极小值为3
4
)2(-=f
（2）由（1）知函数)(1x f y =的图像为右图所示 方程0)(=-a x f 只且只有三个零点等价于函数)(1x f y = 与函数a y =2的图像有且只有三个交点。
所以a 的取值范围是 3
28
34<
<-
a 。 21、由已知得，直线l 的方程为32-=+x y 即5-=x y
联立方程，???=-=x y x y 45
2 化简求解知025142=+-x x
设),(11y x P ),(22y x Q 所以1421=+x x 2521=x x 所以382541411||2=?-+=PQ
（2）当直线l 的斜率存在时，设斜率为k l 的方程为)3(2-=+x k y
联立方程，???=--=x y k kx y 42
32 化简的04129)446(2222=+++++-k k x k k x k
设),(11y x P ),(22y x Q
所以 2221446k k k x x ++=+ 2
2214
129k
k k x x ++= 同理知 k y y 421=
+ k
k y y 81221--=? 所以直线AP 与直线AQ 的斜率乘积为1
)(4
)(21212212121212211++-++-=--?--=x x x x y y y y x y x y m 所以2-=m
当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为3=x 联立 ???==x
y x 43
2
)32,3(P )32,3(-Q 所以直线AP 与直线AQ 的斜率乘积为
21
32
3213232-=---?--=
m 证明直线AP 与直线AQ 的斜率乘积恒为定值，该定值为—2。
22、)),
0,32(),0,2()(',23)('2-=++=的图像经过点且x f y c bx ax x f
由图象可知函数)32,2(,)2,()(---∞=在上单调递减在x f y 上单调递增，在)
,32
(+∞上单
调递减，
x - 0 + 0 -
单调递减
-8
单调递增
单调递减
（3）要使对
m m x f x 14)(]3,3[2
-≥-∈都有恒成立， 只需
.14)(2min 即可m m x f -≥
由（1）可知
]
3,32(,)32,2(,)2,3[)(在上单调递增在上单调递减在函数---=x f y 上单调递减
故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m