2015年高考数学创新设计精品习题专题训练1-2-3
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-4-1
(2)求棱锥E－DFC的体积；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
解(1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB.
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF.
(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和
在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝.
所以VC－BEF＝S△BEF×CB＝××1××1＝，
VF－ABCD＝S矩形ABCD×EE1＝×2×1×＝，
所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝.
11．(2014·衡水调研考试)如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.
(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.
(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，
∴PH∥平面AFC，
连接PO，则PO∥AC，
又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，
PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，
∴平面POH∥平面AFC，
又∵PM⊂平面POH，
∴PM∥平面AFC.
BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，
所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第一篇集合与常用逻辑用语(四)Word版含解析
基础回扣练——集合与常用逻辑用语(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B ＝()．A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}解析∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案 A2．(2013·合肥一模)设全集U＝R，集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系中正确的是()．A．M＝P B．P MC．M P D．(∁U M)∩P＝∅解析∵x2＞1，∴x＞1或x＜－1.故M P.答案 C3．(2014·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是()．A．0B．2C．3D．6解析∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0 ＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.答案 D4．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()．A．－1＜a＜1B．－2＜a＜2C．0≤a＜2D．a＜2解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.答案 C5．(2014·厦门质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是()．A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件C．x∈P是x∈Q的充分必要条件D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．故选A.答案 A6．(2013·湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．答案 A7．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1 －x20，则下列命题中为真命题的是()．A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬p∧¬q解析当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．故选B.答案 B8．(2013·深圳调研)下列命题为真命题的是()．A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x －3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0解析对于A，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A 错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，¬p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以D错；故选B.答案 B9．(2013·太原检测)已知p：x－1x≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()．A．(2＋2，＋∞)B．(－∞，2＋2]C．[2，＋∞)D．[6，＋∞)解析x－1x≤0⇒0＜x≤1⇒1＜2x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6，故选D.答案 D10．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为()．A．1B．2C．3D．4解析若已知a1＜a2＜a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1 ＞0时，解得q＞1，此时数列{a n}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1＜a2 ＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p 是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.答案 D二、填空题11．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．解析所给集合的子集个数为23＝8个．答案812．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析由题意知a2＝4，所以a＝±2.答案±213．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N ＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)14．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞1x0”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤1 x.答案∀x∈(0，＋∞)，x≤1x假15．(2013·海口模拟)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)16．(2013·昆明质检)下面有三个命题：①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；②∃m0∈R，使函数f(x)＝m0x2＋x是奇函数；③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．其中真命题的序号是________．解析①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．答案 ②③三、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18．已知命题p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a ＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a ＞0，1－4a 2＜0，解得a ＞12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞12⇒a ＞1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，a ≤12⇒0＜a ≤12.综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-6-2
4．(2014· 合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随 机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X) 等于 8 A.5 4 C.5 解析 6 B.5 2 D.5 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是 p＝ 3 ，满足二项分布， 3＋m ( )．
因此可求得期望 E(ξ)＝1. 答案 D
3 3．(2014· 温州模拟)某人射击一次击中的概率为5，经过 3 次射击，此人至少有两 次击中目标的概率为 54 A.125 81 C.125 解析 27 B.125 108 D.125 该人 3 次射击，恰有两次击中目标的概率是 ( )．
32 2 5 · ， P1＝C2 3· 5 33 5 . 三次全部击中目标的概率是 P2＝C3 3· 所以此人至少有两次击中目标的概率是 33 81 2 32 2 5 · ＋C3 P＝P1＋P2＝C3 · . 35 ＝ 5 125 答案 C
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2； P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)； P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)； P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2. 7 ∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝6. 7 1 即 0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝6，解得 a＝3. 答案 1 3
8．袋中有大小、质地相同的 5 个球，2 白 3 黑，现从中摸球，规定：每次从袋
中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个 白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋， 连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为 X，则 X 的数学期望为 __________． 解析 首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为 2,3,4.
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)习题第3章空间向量与立体几何1.3
3.1.3 空间向量基本定理 课时目标 1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量．1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得______________________．由此可知，如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是________________________________．这个集合可看作是由向量e 1，e 2，e 3生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，____________都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．2．正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是______________，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是______________时，称这个基底为单位正交基底，通常用____________表示．3．推论设O ，A ，B ，C 是__________的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得______________________．一、填空题1．若存在实数x 、y 、z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，则下列判断正确的是________．(写出正确的序号)①对于某些x 、y 、z 的值，向量组{P A →，PB →，PC →}不能作为空间的一个基底；②对于任意的x 、y 、z 的值，向量组{P A →，PB →，PC →}都不能作为空间的一个基底；③对于任意的x 、y 、z 的值，向量组{P A →，PB →，PC →}都能作为空间的一个基底；④根据已知条件，无法作出相应的判断．2.设O-ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为____________．3．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．4．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是________．(写出符合要求的序号)①a,2b,3c ；②a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；③a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c ；④a ＋b ＋c ，b ，c .5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是______________．6．下列结论中，正确的是________．(写出所有正确的序号)①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；④若a ＝x b ＋y c ，则a 、b 、c 共面．7.如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上且OM ＝MA ，BN ＝12NC ，则MN →＝__________________. 8．命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa .上述命题中的真命题的个数是________．二、解答题9．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 能构成空间的一个基底吗？为什么？10.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．（1）化简：A 1O →－12AB →－12AD →； (2)设E 是棱DD 1上的点且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．能力提升11.如图所示，已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′.求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.12.如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH →.1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题．3．1.3 空间向量基本定理知识梳理1．p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3 {p |p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，x ，y ，z ∈R } {e 1，e 2，e 3} e 1，e 2，e 32．两两互相垂直 单位向量 {i ，j ，k }3．不共面 OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →作业设计1．①解析 当OA →，OB →，OC →共面时，则P A →，PB →，PC →共面，故不能构成空间的一个基底．2．(14，14，14) 解析 因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝14，y ＝14，z ＝14. 3．2解析 命题①，②是真命题，命题③是假命题．4．①②④解析 ∵－3(a ＋2b )＋3(2b ＋3c )＋(3a －9c )＝0，∴3a －9c ＝3(a ＋2b )－3(2b ＋3c )，即三向量3a －9c ，a ＋2b,2b ＋3c 共面．5．(12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．6．②③④解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③④正确．7．－12a ＋23b ＋13c 8．09．解 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．10．解 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →. (2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB → ＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →) ＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23. 11．证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)．又因为AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，故AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.12．解 GH →＝OH →－OG →，∵OH →＝23OD →， ∴OH →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD → ＝OA →＋23(OD →－OA →) ＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝13a ＋13(b ＋c )， ∴GH →＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ， 即GH →＝－13a .。
【创新设计】2015届高考数学一轮复习(基础+提升)第1讲 不等式、含有绝对值的不等式精品课时训练
第1讲 不等式、含有绝对值的不等式基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析 |2x －1|＜3⇔－3＜2x －1＜3⇔－1＜x ＜2. 答案 (－1,2)2．不等式|2x －1|－|x －2|＜0的解集为________．解析 法一 原不等式即为|2x －1|＜|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1＜x 2－4x ＋4，∴3x 2＜3，∴－1＜x ＜1. 法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －2＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋x －2＜0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－2x －1＋x －2＜0.不等式组①无解，由②得12＜x ＜1，由③得－1＜x ≤12.综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}． 答案 {x |－1＜x ＜1}3．(2012·某某卷)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析①当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2＋x ≤1，该不等式恒成立． ②当－2＜x ＜0时，原不等式可化为x ＋2＋x ≤1， ∴2x ≤－1，∴x ≤－12，∴－2＜x ≤－12.③当x ≥0时，原不等式可化为x ＋2－x ≤1，不成立．综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12 4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的 取值X 围为________．解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4， 即－4＋b 3＜x ＜4＋b3， ∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤－4＋b 3＜13＜4＋b 3≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.答案 (5,7)5．(2013·某某卷)在实数X 围内，不等式||x －2|－1|≤1(x ∈R )的解集是________．解析 由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， ∴－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4. 答案 {x |0≤x ≤4}6．不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 的解集为R ，则实数k 的取值X 围是________．解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于PA －PB ＞k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－ |x －2|≥－3.故当k ＜－3时，原不等式恒成立． 法二 令y ＝|x ＋1|－|x －2|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，从图象中可以看出，只要k ＜－3即可．故k ＜－3满 足题意．答案 (－∞，－3)7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值X 围是________． 解析 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1x ≤－1，3 －1＜x ＜2，2x －1 x ≥2，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解， ∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值X 围为________．解析 法一 当x ≥1时，不等式化为x ＋x －1≤a ，即x ≤1＋a2.此时不等式有解当且仅当1≤1＋a2，即a ≥1.当x ＜1时，不等式化为x ＋1－x ≤a ，即1≤a . 此时不等式有解当且仅当a ≥1.综上所述，若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解， 则实数a 的取值X 围是[1，＋∞)．法二 设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥1，1x ＜1.f (x )的最小值为1.因为x ＋|x －1|≤a 有解，即f (x )≤a 有解，所以a ≥1. 答案 [1，＋∞)9．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲 成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分二、解答题10．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5＞2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53.法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5⎝⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5x ≥4画出f (x )的图象求y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的法二知：f (x )min ＝－92.11．(2012·某某卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值； (2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值X 围． 解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 故k 的取值X 围是[1，＋∞)．12．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|， 不满足题设条件；若a ＜1， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －a ＋1，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值X 围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。
2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-5-2
答案
A
x2 4．(2014· 福建卷)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 A．5 2 C．7＋ 2 解析 B. 46＋ 2 D.6 2 ( )．
设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r＝ 2，
点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α， sin α)的距离|CQ|＝ 10cos α2＋sin α－62 ＝ 46－9sin2 α－12sin α ＝ 2 50－9sin α＋32≤ 50＝5 2，
x2 2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线a2－ y2 b 2a b ＞ 0) 的渐近线方程为 y ＝ ± x ， 即 bx ± ay ＝ 0 ， 由题意， 可得 2＝1(a＞0， b a a2＋b2 2a c ＞1，即 c ＞1，所以 e＝a＜2，又 e＞1，故 1＜e＜2. 答案 (1,2)
＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆 2b2 焦点的弦中，通径最短，即 a ＝3，可求得 b2＝3，即 b＝ 3. 答案 D
3．(2014· 湖北卷)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 π 点， 且∠F1PF2＝3， 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．
b 则直线 y＝ 3x 应在两渐近线之间，所以有a≤ 3， 即 b≤ 3a，所以 b2≤3a2， c2－a2≤3a2，即 c2≤4a2，e2≤4，所以 1＜e≤2. 答案 B
x2 y2 2．已知椭圆 4 ＋b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交椭 圆于 A，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 A．1 3 C.2 解析 B. 2 D. 3 由椭圆的方程， 可知长半轴长为 a＝2； 由椭圆的定义， 可知|AF2|＋|BF2| ( )．
【三维设计】2015年高考数学总复习创新问题专项训练(二)文北师大版
创新问题专项训练(二)一、选择题 1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C AC B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，若集合A ，B 恒满足“A ⊆B ”，则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB ．πC.12πD.2π3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于________．8．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________．9.(1)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，若f (x )满足k ＝f ′(x 0)，则称其为“K 函数”．判断函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．答 案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，根据A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±2 2.2．选B 集合A 可以看作是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，则由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”一定能推出“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不一定成立．4．选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．对于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．6．解析：对于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，此时M *∩P ＝∅，因此②不正确；对于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，此时P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，此时AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成立即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2e e －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx>0对于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立是不可能的． 因此当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)． 故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)， 不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c lnx 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋c x 0，若g (x )为“K 函数”，则必满足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c ln x 1x 2x 1－x 2＝2c x 1＋x 2(c ≠0)，所以lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，则0<t <1，ln t ＝t －1＋t.①设s (t )＝ln t －t －1＋t，则s ′(t )＝t －2t＋t2>0，所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠t －1＋t.②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ， 则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．此时B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)． 记点B ，C 的高度差为d ，则d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|， 即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]， 则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，则θ＝2π3，4π3，0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表：综上所述，点B ，C 在传动过程中高度差的最大值d max ＝332r .。
【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合突破练1理（含最新原创题，含解析）1．已知函数f (x )＝sin x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos 2x －12.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，b ＋c ＝3.求a 的最小值．解 (1)f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＋cos 2x －12＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos 2x ＋14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋14＝12， 化简得sin (2A ＋π6)＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈(π6，13π6)，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝3，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝94，即a 2≥94.∴当b ＝c ＝32时，a 取最小值32.2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝[(30＋50)×0.0 065＋(50＋70)× 0.0 140＋(70＋90)×0.0 170＋(90＋110)×0.0 050＋(110＋130)×0.0 043＋(130＋150)×0.0 032]×12×20＝74.84分．(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )，则[1－P (A )]2＝19，P (A )＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5.则P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.所以ξ的分布列为 ξ 3 4 5 P131027827E (ξ)＝3×13＋4×1027＋5×27＝27. 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1， 又a n ＋1＝－4S n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n＝－3，n ≥2， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n，∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n，所以，T n ＝1－4n ＋1－3n16.4．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD . (1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面PAB ∥平面EFG ，AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG 的法向量n 1＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝a －1，∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的法向量n 2＝(1,0,0)，依题意， cos 〈n 1，n 2〉＝2－a 2－a2＋a －12＋1＝22，∴a ＝1，于是GF →＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的法向量n 3＝(m ，n,1)，PC →＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36，故有cos θ＝336. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值．解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以，以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16，所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x 得，3y 2－4y ＋4m ＝0，则y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m 3，Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33， 所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4， 所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4， 所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4， 所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－233当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －233，所以直线在y 轴上截距最大值为－23 3.6．已知函数f (x )＝ln x .(1)求证：当0＜x ＜1时，f (1＋x )＜x －x 36；(2)设g (x )＝ax －(x ＋1)f (x ＋1)，若g (x )的最大值不大于0，求a 的取值集合； (3)求证：(1＋1)(1＋12) (1)1n)＞e n －25(n ∈N *)．(1)证明 要证f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，即证：ln(x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，设u (x )＝x －16x 3－ln(x ＋1)(0＜x ＜1)，则u ′(x )＝－x x ＋2x －12x ＋1＞0，所以，u (x )在(0,1)递增，即u (x )＞u (0)＝0. 从而f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)成立．(2)解 g (x )＝ax －(x ＋1)ln(x ＋1)，∴g ′(x )＝a －[1＋ln(x ＋1)]，令g ′(x 0)＝0，则x 0＝ea －1－1.x (－1，x 0) x 0(x 0，＋∞) g ′(x ) ＋－g (x )极大∴g (x )max ＝g 极大值0a －1a －1a －1x ，则a ＝x ＋1，∴g (x )max ＝e x－(x ＋1)，设h (x )＝e x －(x ＋1)，则h ′(x )＝e x－1.令h ′(x )＝0，则x ＝0.x (－∞，0) 0 (0，＋∞) g ′(x ) －＋g (x )极小所以，h (x )≥h (0)＝0，从而有e a －1－a ≥0，又因为g (x )max ＝ea －1－a ≤0，所以，e a －1－a ＝0，即：a ＝1.(3)证明 要证(1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋12…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞e ，即证：ln(1＋1)＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －25， 由(2)可知ln(x ＋1)≥xx ＋1，令x ＝1n， 当n ≥3时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≥11＋n ＞1n －1＋n ＝n －n －1， 所以，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12≥2－1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＞3－2，…，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －n －1， 所以，ln(1＋1)＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －1＋ln 2＞n －25， 即：(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12…(1＋1n )＞e成立．。
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A.B．
C.D．
解析由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，yБайду номын сангаас.
答案C
4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·等于()．
A．－1B．1
C.D．
解析依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos∠AOC＝1，
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.
答案D
二、填空题
6．(2014·山东卷)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析由A＝，·＝tanA，
得||·||·cosA＝tanA，
即||·||×＝，∴||·||＝，
∴S△ABC＝||·||·sinA＝××＝.
答案
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
cos∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝||||cos∠BAC＝1.
答案B
5．(2014·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()．
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
解析法一如图建立平面直角坐标系．
由题意知：A(3,0)，B(0,3)，
设M(x，y)，由＝2，
得解得即M点坐标为(2,1)，
所以·＝(2,1)·(0,3)＝3.
法二·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
答案3
8．(2014·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝()．
A．1B．2
C．3D．4
解析由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.
答案C
3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为()．
第3讲 平面向量
一、选择题
1．(2014·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()．
A．－B．0
C．3D．
解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.
答案C