NSGA,NSGA-I算法详解
如何在Matlab中进行多目标优化问题求解
如何在Matlab中进行多目标优化问题求解如何在Matlab中进行多目标优化问题求解？多目标优化问题是指存在多个目标函数，且这些目标函数之间相互矛盾或者无法完全同时满足的问题。
在实际应用中，多目标优化问题非常常见，例如在工程设计中寻求最佳平衡点、在金融投资中追求高收益低风险等。
而Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的优化算法和工具箱，可以帮助我们解决多目标优化问题。
一、多目标优化问题数学建模在解决多目标优化问题之前，首先需要将实际问题转化为数学模型。
假设我们需要优化一个n维的向量x，使得目标函数f(x)同时最小化或最大化。
其中，n为自变量的个数，f(x)可以表示为多个目标函数f1(x)、f2(x)、...、fm(x)的向量形式：f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fm(x)]其中，fi(x)（i=1,2,...,m）即为待优化的目标函数。
在多目标优化问题中，一般没有单一的最优解，而是存在一个解集，称为"帕累托前沿（Pareto Frontier）"。
该解集中的每个解被称为"非支配解（Non-Dominated Solution）"，即不能被其他解所优化。
因此，多目标优化问题的目标就是找到帕累托前沿中的最佳解。
二、Matlab中的多目标优化算法Matlab提供了多种多目标优化算法和工具箱，包括paretosearch、gamultiobj、NSGA-II等等。
这些算法基于不同的思想和原理，可以根据问题的特点选择合适的算法进行求解。
1. paretosearch算法paretosearch算法采用遗传算法的思想，通过迭代更新种群来寻找非支配解。
该算法适用于求解中小规模的多目标优化问题。
使用paretosearch算法求解多目标优化问题可以按照以下步骤进行：（1）定义目标函数编写目标函数fi(x)（i=1,2,...,m）的代码。
非支配排序遗传算法ii
非支配排序遗传算法ii
非支配排序遗传算法II（NSGA-II）是一种多目标优化算法，它是对NSGA的改进和升级。
NSGA-II在保持NSGA的优点的同时，通过引入快速非支配排序算法和拥挤度距离的概念，进一步提高了算法的效率和性能。
NSGA-II的核心思想是将种群中的个体按照非支配关系进行排序，即将个体划分为不同的层次，每一层次中的个体都不会被其他层次中的个体所支配。
这样，我们就可以得到一组非支配解集，其中每个解都是最优的，而且它们之间没有支配关系。
为了实现这一目标，NSGA-II采用了快速非支配排序算法。
该算法通过比较个体之间的支配关系，将种群中的个体划分为不同的层次。
具体来说，对于任意两个个体i和j，如果i支配j，则将j的支配计数加1；如果j支配i，则将i的支配计数加1；如果i和j之间不存在支配关系，则它们的支配计数都为0。
然后，将支配计数为0的个体划分为第一层，支配计数为1的个体划分为第二层，以此类推，直到所有个体都被划分为不同的层次。
在得到非支配解集之后，NSGA-II还引入了拥挤度距离的概念，以保证解集的多样性和分布性。
拥挤度距离是指一个个体周围的密度，即它与相邻个体之间的距离之和。
NSGA-II通过计算每个个体的拥挤度距离，将解集中的个体按照密度从大到小排序，以保证解集中的个体分布均匀，不会出现过于密集或过于稀疏的情况。
NSGA-II是一种高效、可靠的多目标优化算法，它通过快速非支配排序和拥挤度距离的概念，实现了对种群中的个体进行有效的排序和筛选，得到了一组优质的非支配解集。
在实际应用中，NSGA-II 已经被广泛应用于各种多目标优化问题中，取得了良好的效果。
NSGA-NSGA-I算法详解
NSGA的缺点：
1）非支配排序的高计算复杂性。非支配排序遗传算法
一般要进行次搜索 ( m是目标数量，N 是种群大
小)，搜索次数随着目标数量和种群大小的增大而增多。
2）缺少精英策略。近年来的研究结果表明，精英策略
可以加快 GA 的执行，还有助于防止好的解丢失。
3）需要指定特殊的共享参数share ，NSGA 的保持种
欧几里得距 −
其中，L为问题空间的变量个数, , 分别为 的上、
下界
（2）共享函数是表示两个个体间关系密切程度的函数，两个个体
与 间的共享函数 一般描述为：
−
， ≤ share
函数值。
拥挤度比较算子
--拥挤度比较算子
经过前面的快速非支配排序和拥挤度计算之后，种群中
的每个个体i都拥有两个属性：非支配排序决定的非支配序
rank 和拥挤度 。依据这两个属性，可以定义拥挤度比较
算子：个体i与另一个个体 j 进行比较，只要下面任意一个
条件成立，则个体i获胜。
① 如果个体i所处非支配层优于个体 j 所处的非支配层，
群和解的多样性的策略都是依赖于共享的概念，共享的
主要问题就是需要有一个共享参数share 。正是由于要
对共享参数作额外的工作，所以就需要一种不依赖共享
参数的方法。
带精英策略的非支配排序遗传算NSGAⅡ
NSGA-II 算法的改进：
1）提出了快速非支配排序算法，降低了计算的复杂度，使算
法的复杂度由原来 的降到
要人为指定共享参数的缺陷，而且将其作为种群中个体间的
比较标准，使得准 Pareto 域中的个体能均匀地扩展到整个
nsga2算法通俗讲解
nsga2算法通俗讲解NSGA-II（Nondominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种经典的多目标优化算法，是对遗传算法的一种改进和扩展。
它使用遗传算法的思想来解决求解多目标优化问题，可以同时优化多个目标函数。
NSGA-II通过遗传算子的选择、交叉、变异等操作对候选解进行搜索，然后使用非支配排序和拥挤度距离计算来选择较好的个体，最终得到Pareto最优解集。
NSGA-II的核心思想是模拟进化过程来搜索多目标优化问题的解空间。
它通过构建和维护一个种群来搜索解空间，每个个体都代表一个候选解。
首先，随机生成一组个体作为初始种群，然后通过迭代的方式进行优化。
在每一代演化中，NSGA-II从当前种群中选择父代个体，并使用交叉和变异操作来产生子代个体。
然后，将父代和子代合并为一组候选解，通过非支配排序和拥挤度距离计算筛选出优秀的个体，构成下一代种群。
重复迭代直到满足停止准则。
非支配排序（Non-dominated Sorting）是NSGA-II中的一个重要操作，用于根据个体的优劣程度进行排序。
首先，对种群中的所有个体进行两两比较，如果某个个体在所有目标函数上都优于另一个个体，则认为前者不被后者支配。
根据支配关系，将个体分为不同的等级，形成层次结构。
然后，在每个等级中按照拥挤度距离进行排序。
拥挤度距离用于衡量个体周围的密度，较大的值表示个体所在区域较为稀疏，较小的值表示个体所在区域较为密集。
通过综合考虑支配关系和拥挤度距离，可以选择出较优的个体。
NSGA-II采用了精英策略（Elitism）来保留种群中的优秀个体，避免遗忘最优解。
在选择下一代个体时，将精英个体直接复制到下一代，以保持种群的多样性和收敛性。
通过重复进行选择、交叉和变异操作，不断更新种群，使得算法能够逐渐搜索到Pareto最优解集。
NSGA-II是一种高效的多目标优化算法，它充分利用了种群中个体之间的关系，通过非支配排序和拥挤度距离计算来选择出Pareto最优解集。
nsga-ii计算流程
nsga-ii计算流程NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II）是一种基于遗传算法的多目标优化算法。
其计算流程主要包括以下几个步骤：1. 初始化种群：随机生成一个初始种群，包含一定数量的个体。
每个个体表示一个解，解的维度与问题相关。
2. 计算适应度函数：根据问题的特点，为每个个体计算适应度函数值。
适应度函数值反映了个体在多目标优化问题中的优劣程度。
3. 非支配排序：根据适应度函数值对种群中的个体进行非支配排序。
将种群分为多个等级，每个等级中的个体互不支配。
支配等级较高的个体具有较高的适应度函数值。
4. 拥挤距离计算：针对每个等级，计算个体之间的拥挤距离。
拥挤距离反映了个体在同一等级中的相对优劣程度。
5. 选择操作：采用二元锦标赛选择策略，从高到低选取一定数量的个体作为父代。
此外，根据拥挤距离和精英策略，选取部分优秀个体直接进入下一代种群。
6. 交叉操作：对选定的父代个体进行交叉操作，生成新的子代个体。
交叉方式有多种，如单点交叉、多点交叉等。
7. 变异操作：对子代个体进行变异操作，增加种群的多样性。
变异方式有多种，如随机变异、均匀变异等。
8. 更新种群：将新产生的子代个体与上一代种群中的优秀个体合并，形成新一代种群。
9. 终止条件判断：判断是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或收敛。
如果满足终止条件，算法结束并输出当前最优解；否则，返回步骤2，继续迭代。
整体而言，NSGA-II算法的计算流程侧重于对种群中的个体进行非支配排序和拥挤距离计算，以实现多目标优化的Pareto前沿搜索。
通过选择、交叉和变异操作，逐步逼近最优解集合。
第一代非支配排序遗传算法
第一代非支配排序遗传算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：第一代非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-I）是一种多目标优化算法，它将遗传算法与非支配排序技术结合起来，用于解决具有多个目标函数的优化问题。
NSGA-I 的提出是为了解决传统遗传算法在多目标优化中存在的问题，例如难以找到非支配解、收敛速度慢等。
在多目标优化问题中，通常存在着多个目标函数之间的冲突，即优化一个目标函数可能会导致其他目标函数的性能下降。
我们需要一种有效的优化算法来找到一组非支配解，即没有其他解能同时优于它们的解集合。
NSGA-I就是一种这样的算法，它通过遗传算法的进化过程来搜索这样的非支配解集合。
NSGA-I的基本思想是将种群中的个体按照它们之间的非支配关系进行分类，然后根据这些分类结果来选择适应度高的个体用于繁殖下一代。
具体来说，NSGA-I算法的步骤包括初始化种群、计算适应度值、进行非支配排序、计算拥挤度距离、选择个体、交叉和变异等。
NSGA-I算法通过随机初始化种群，然后计算每个个体的适应度值。
在计算适应度值之后，算法会对种群中的个体进行非支配排序，将种群划分为不同的层次，每一层代表了一个不同的非支配集合。
在进行非支配排序的过程中，算法还会计算每个个体的拥挤度距离，用于保持种群的多样性。
接下来，NSGA-I算法会根据非支配排序和拥挤度距离来选择适应度高的个体用于繁殖下一代。
选择的方法包括锦标赛选择、轮盘赌选择等。
一旦选择了足够数量的个体，算法就会对它们进行交叉和变异操作，生成下一代种群。
通过不断迭代以上步骤，NSGA-I算法能够逐渐改进种群的性能，并最终找到一组非支配解集合，这些解集合之间不存在显著的偏好关系。
在多目标优化问题中，这样的解集合通常被称为帕累托前沿，代表了问题的最优解集合。
第一代非支配排序遗传算法（NSGA-I）是一种有效的多目标优化算法，通过结合遗传算法和非支配排序技术，能够有效地搜索帕累托前沿解集合。
连续昂贵多目标优化问题综述
第 22卷第 5期2023年 5月Vol.22 No.5May 2023软件导刊Software Guide连续昂贵多目标优化问题综述张峰，陈新中（中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京 210007）摘要：许多实际工程优化问题通常需要同时优化多个相互冲突的目标，并且目标函数的计算主要依赖十分耗时的仿真实验，此类问题一般可称为昂贵多目标优化问题。
代理辅助进化算法通过使用机器学习方法建立代理模型，并辅助算法进行评估，因而使代理辅助进化算法成为解决此类问题的热门方法。
根据问题规模大小将相关算法划分成两类，描述每类问题特点，分类梳理相关算法，并说明每个算法的优缺点，以便人们能直观地了解连续昂贵多目标优化问题研究进展，更好地开展后续研究工作。
关键词：多目标优化；昂贵多目标优化；代理辅助进化算法；代理模型；机器学习DOI：10.11907/rjdk.221626开放科学（资源服务）标识码（OSID）：中图分类号：TP18 文献标识码：A文章编号：1672-7800（2023）005-0248-05Survey of Continuous Expensive Multiobjective Optimization ProblemsZHANG Feng， CHEN Xin-zhong（The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation， Nanjing 210007， China）Abstract：Many practical engineering optimization problems usually involve optimizing multiple conflicting objectives at the same time， and the calculation of the objective function mainly relies on time-consuming simulation experiments， such problems can generally be called ex‐pensive multiobjective optimization problems. Surrogate-assisted evolutionary algorithms use machine learning methods to build surrogate mod‐els and assist algorithms for evaluation， which makes surrogate-assisted evolutionary algorithms a popular method to solve such problems. Ac‐cording to the scale of the problem， the relevant algorithms are divided into two categories， the characteristics of each type of problem are de‐scribed， the related algorithms are classified and sorted out， and the advantages and disadvantages of each algorithm are explained， so that people can intuitively understand the research progress of continuous expensive multiobjective optimization problems and better carry out fol‐low-up research work.Key Words：multiobjective optimization； expensive multiobjective optimization； surrogate-assisted evolutionary algorithm； surrogate mod‐el； machine learning0 引言许多实际工程优化问题，通常涉及同时优化多个相互冲突的目标，此类问题可称为多目标优化问题（Multiobjec‐tive Optimization Problem，MOP）［1-4］。
(完整版)NSGA-II
Abstract:NSGA（采用Non—dominated sorting and sharing算法的MOEA)存在以下三个问题:a、非劣排序遗传算法的复杂度为O（MN3）b、没有引进精英策略；c、必须人为指定一个共享参数；Introduction：传统的优化方法（Multi-criterion decision-making methods）提出将多目标优化问题转换为单目标优化问题，强调一次仿真运行只获得一个最优解，然后通过多次仿真希望获得多个不同的最优解;NSGA-II改进主要是针对如上所述的三个方面：a、提出了快速非支配排序算法，一方面降低了计算的复杂度，另一方面它将父代种群跟子代种群进行合并，使得下一代的种群从双倍的空间中进行选取，从而保留了最为优秀的所有个体;b、引进精英策略，保证某些优良的种群个体在进化过程中不会被丢弃,从而提高了优化结果的精度；c、采用拥挤度和拥挤度比较算子,不但克服了NSGA中需要人为指定共享参数的缺陷,而且将其作为种群中个体间的比较标准，使得准Pareto域中的个体能均匀地扩展到整个Pareto域，保证了种群的多样性。
NSGA-II提出了一个简单的解决约束优化问题的方法；Part II：强度Pareto进化算法，SPEA（suggested an elitist multi-criterion EA with the concept of non-domination）具体步骤如下:a、产生初始种群P和空的外部非劣解集NP;b、将种群P中的非劣个体拷贝到非劣解集NP；c、剔除集合NP中受种群P中个体支配的解;d、如果保留在集合NP中的非劣解的个数超过事先给定的最大值，则通过聚类分析对集合NP进行修剪，剔除多余的解；e、计算种群P和集合NP中每个个体的适应度值;f、利用二元锦标赛方法从P +NP中选择个体进入下一代;g、对个体实施交叉和变异操作；h、如果最大代数达到，停止搜索;否则转到b.适应度赋值:首先对非劣解集NP中的个体进行赋值，然后对种群中的个体赋值，具体描述如下：a、对于每个解x i ∈ NP，赋予一个强度值S i ∈[0,1）,S i = h i /(N+1)，其中h i 表示种群中受个体xi 支配的个体数,N为种群规模.Si即为xi的适应度值;b、每个个体x j ∈ P 的适应度值为1+ ∑S i ，即所有支配解x j 的解x i ∈ NP的强度之和再加1.聚类分析：通常情况下,非劣解集大小必须受限，必须为其规定最大规模，即保留在其中的解的最大个数，主要原因有四个方面：a、M OP的非劣解集大小可能非常大，甚至无穷大b、实现算法的计算资源是有限的；c、档案维护的复杂性会随档案规模的变大而显著增加；d、遗传漂移可能出现，因为均匀采样过程中搜索空间中过度代表的区域总是优先被选择。
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精英策略
开始 进化代数Gen=0,初始化种群 Front=1 种群全部分级 N Y Gen=Gen+1 指定虚拟适应度值 应用于适用度共享 小生境 Front=Front+1 识别非支配个体
根据虚拟适应度进行复制
交叉 变异 N
进化代数Gen 小于最大代数
Y 终止
非支配排序原理
种群分层结束后，需要给每级指定一个虚拟适应度 值，级别越小，说明其中的个体越优，赋予越高的 虚拟适应值，反之级别越大，赋予越低的虚拟适应 值。这样可以保证在复制操作中级别越小的非支配 个体有更多的机会被选择进入下一代，使得算法以 最快的速度收敛于最优区域。比如第一级非支配层 的个体标上虚拟适应值为 1，第二级非支配层的个 体标上虚拟适应值为 0.9(或其他)，以此类推，直到 所有的个体都被标上虚拟适应值。但是由于同一级 非支配层中的个体拥有相同的适应度值，某些个体 在遗传操作中可能被遗弃，导致最优解集不具有多 样性，为了得到分布均匀的 Pareto 最优解集，就要 保证当前非支配层上的个体具有多样性。
Pareto占优
Pareto最优解
对于多目标优化问题，通常存在一个解集，这些 解之间就全体目标函数而言是无法比较优劣的， 其特点是:无法在改进任何目标函数的同时不削 弱至少一个其他目标函数。这种解称作非支配解 或Pareto最优解.
Pareto最优前沿
对于组成Pareto最优解集的所有Pareto最优解， 其对应目标空间中的目标矢量所构成的曲面称作 Pareto最优前沿.
NSGA非支配排序遗传算法
NSGA与简单的遗传算法的主要区别在于:该 算法在选择算子执行之前根据个体之间的支配关 系进行了分层。其选择算子、交叉算子和变异算 子与简单遗传算法没有区别. NSGA采用的非支配分层方法，可以使好的个 体有更大的机会遗传到下一代;适应度共享策略 则使得准Pareto面上的个体均匀分布，保持了群 体多样性，克服了超级个体的过度繁殖，防止了 早熟收敛.
共享小生境技术
NSGA的缺点：
带精英策略的非支配排序遗传算NSGA-Ⅱ
开始
进化代数Gen=1,初始化种群
i=1
i=i+1
N Y 交叉,变异
Y
NGenΒιβλιοθήκη Gen+1N Gen=最大代数 Y 输出
快速非支配排序法
拥挤度比较算子 --拥挤度的确定
拥挤度比较算子 --拥挤度比较算子