放球问题总结

设序列)

,

)

(=

n

S，且满足递推关系：

S且1

n

,

n

n

(m

S满足0

)0,

(=

S

n

=m

m

S)

n

m

mS

n

-

)

(

,1

+

)1

,1

-

(

(-

,

)

≤

m<

1(n

称)

(m

,

S为第二类斯特林数。它恰恰等于将n个有区别的球放入m个无区

n

别的盒子中，满足没有一个盒子为空的方案数。

下面说明为什么这个序列能描述我们放球模型的组合数。

首先0

)0,

(=

S表示将n个球放入0个盒子中，这是不可能的，所以方案数

n

是0。

另外，1),(=n n S 表示将n 个球放入n 个盒子中，因为不允许有空盒，所以只能是每个盒子恰好放一个球，又盒子没区别，所以只有一种方案。所以有0)0,1(=S 和1)1,1(=S 。

下面看接下来的递推关系如何描述我们的放球模型。首考虑),(m n S ,我们首先将第n 号球拿出来，根据n 号球的方法来划分总体的放球方案数，首先，可以让n 号球单独放入一个盒子中，这等价于让另外n-1个球放入其他m-1个盒子中的方案数。也就是)1,1(--m n S 种方案数。或者n 号球不是单独放在一个盒子中，而是和其他一些球放在同一个盒子中，这等价于将其他n-1个球放入m 个盒子中后，在将n 号球放入这m 个盒子中的一个，有m 种方法，所以一共有),1(m n mS -种方案。所以满足递推式：

)1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S

所以我们说第二类斯特林数),(m n S 描述的是将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足无空盒的方案数。

另外容易得知：当m>n 时，S(n,m)=0。

4） 球有区别，盒子无区别，允许有空盒

因为这里允许有空盒，所以这里可以根据非空盒的数量来划分答案，当确定了非空盒的数量m 后，该问题等价于3）中所描述的问题的方案，即),(m n S ,所以总方案数为：

),(...)2,()1,()0,(),(...)2,()1,()0,({n n S n s n S n S m n S n s n S n S ++++++n

m n m >≤

数学中称这个序列为Bell 数，即

),(...)2,()1,()0,()(n n S n s n S n S n B +++=

Bell 数同样满足一个递推式。如下：

)1()1,1(...)1()1,1()0()0,1()(---++-+-=n B n n C B n C B n C n B 这个递推式同样可以由组合推理证明。

考虑和n 号球在一起的其他元素的数量，假设是t ，取法有),1(t n C -种，剩下来不和n 号球在一起的n-t-1个球有)1(--t n B 种方法，所以有

∑∑-=-=-=---=1

010)(),1()1(),1()(n t n t t B t n C t n B t n C n B

得证。 5） 球无区别，盒子有区别，不允许有空盒

这个比较简单，利用插板法，将每个球看成1，那么问题转化为将这n 个1分成m 份的方案数，因为不允许有空盒，那么一共有n-1个位置可以插板，分成m 份需要m-1块板，所以方案数是)1,1(--m n C

易知m>n 时方案数为0

6） 球无区别，盒子有区别，允许有空盒

设i 号盒子的放球数为i x ，则问题转化为n x x x x x x m =++++++...54321方程的解得个数。同样可以由插板法，和5）不同的是，这时不考虑板插放的位置。同样将n 个球看成是n 个1，另外往里面插入m-1个板子，一共 n+m-1个元素，我要在这里面选m-1个为板子，那么一共有),1()1,1(n m n C m m n C -+=--+种方案。

对于 m>n 和m ≤n 两种情况公式不变。

7） 球无区别，盒子无区别，不允许有空盒

这个问题相当于将n 分拆成m 个数的方案数，等价于用（1,2,3,...m ）来分拆n 。 对于这个问题，一般来说没有一个通用的公式来表示它的解得数量，但是可以用母函数来间接的表示。它的母函数为：

...)...)...(...)(...)(()(263422++++++++=m m x x x x x x x x x G