上海市高考数学圆锥曲线测试试题
上海市高考数学圆锥曲线试题
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高考数学圆锥曲线试题汇编
已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A ）23
（B ）62
（C ）72
（D ）24
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
题（21）图 （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
(21)(本题15分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ．
(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．
（5）如果双曲线2
42
2y x -
＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是
(A)
364 (B)3
6
2 (C)62 (D)32 (10)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
A.3
B.4
C.32
D.42
y
x
O
A
B
（21）(本小题满分12分)
求F 1、F 2分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若r 是第一象限内该数轴上的一点，22125
4
PF PF +=-u u u r u u u u r ，求点P 的作标；
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
上海理科：8、已知双曲线22
145
x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____
21、已知半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()22
2210y x x b c
+=≤组成的曲线称为“果圆”，
其中2
2
2
,0,0a b c a b c =+>>>，012,,F F F 是对应的焦点。 （1）若三角形012F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若11A A B B >，求
b
a
的取值范围； （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k ，使得斜率为k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由。
y
O 1
A 2
B 2
A
1
B
. . . M 1
F 0
F 2
F
x
. 上海文
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成的曲线称
作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y
轴的交点，M 是线段21A A 的中点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P 是“果圆”的半椭圆122
22=+c
x b y
(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，
P 在点12B B ，或1A 处；
（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．
陕西文
3.抛物线y x =2的准线方程是 （A ）014=+x （B ）014=+y （C ）012=+x
（D ）012=+y
9.已知双曲线C ∶22
221(x y a a b
-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的
半径是 （A ）a
(B)b
(C)ab
(D)22b a +
22. (本小题满分14分)
已知椭圆C :2222b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36
,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面积的最大值.
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意6
33c a a ?=
???=?
，，
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，3AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．
由已知
2
3
2
1m k =
+，得223(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122
631
km
x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ??
-=+-??++?? 222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++?+++≤． 当且仅当22
1
9k k =
，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =，
综上所述max 2AB =．
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133
222
S AB =
??=． 山东理
（13）设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA
u u u r
与x 轴正向的夹角为60o
，则OA u u u r
为 ．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>
3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===
22
1.43
x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m
x y =+??
?+=??得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，
1212122
y y
x x ∴
?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++，
2271640m mk k ++=，解得
1222,7
k
m k m =-=-
，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
全国2理
11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b
-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290
F AF ∠=o
且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
5
2
B ．
102
C ．
152
D ．5
12．设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0u u u r u u u r u u u r
，
则FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r
（ ）
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3