2015届高三数学一轮复习教案：6空间的角和距离 必修二
高三数学高考总复习空间角与距离
数学高考总复习：空间角与距离知识网络目标认知考试大纲要求：能用解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能求距离.重点：线线角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等的求值问题.难点：正确作出异面直线所成的角，斜线与平面所成角以及二面角的平面角.知识要点梳理知识点一：异面直线所成角（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上.（2）异面直线所成的角的范围：.说明：异面直线所成的角为直角时，则称两异面直线互相垂直.（3）求异面直线所成角的步骤：作证算（4）求异面直线所成角的方法：平移法、向量法、补形法等.知识点二：线面角（1）定义：斜线和平面所成的角是指平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,)；直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为.（2）直线和平面所成角的范围：[0,].说明：直线和平面所成角为直角时，则直线垂直于平面.（3）求直线和平面所成角的步骤：作证算知识点三：二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为，两个面分别为的二面角记为；（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角；（3）二面角的平面角范围：；说明：二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直.（4）求二面角的步骤：作证算（5）作二面角的平面角的方法：①定义法：在棱上找一点O，以O为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线组成平面角.②垂面法：在棱上找一点O，经过O点画垂直于棱的平面与两个面的交线组成平面角.③特殊图形中的中线法：二面角A-LM-B中AM=AL，BM=BL，则取LM的中点O，连结AO、BO，∠AOB是二面角的平面角.④三垂线定理（或逆定理）法：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于C，则∠ACB为该二面角的平面角.⑤面积射影法：如果一个多边形在一个平面内的射影是多边形，且这两个多边形所在平面的二面角为则.知识点四：空间距离（1）异面直线的距离：两异面直线间公垂线段的长度.（2）点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.（3）直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).（4）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.规律方法指导1、角（1）异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角.（2）求异面直线所成的角或求角的余弦值时，一定要注意角的范围是，不要将余弦值求为负值.（3）求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量.（4）两平面相交所成二面角，一般有两个，要注意所求的是哪一个.2、距离（1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离.（2）线面距离，面面距离常化归为点面距离.（3）求点到平面的距离的方法：①直接法：先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算.②间接法：用等体积法或者转化法.转化法即进行点面、线面、面面之间的转化，直到求出距离.。
2025年高考数学一轮复习-7.6-空间距离与空间角【课件】
3.空间向量与空间角的关系
（1）异面直线所成角设异面直线 ， 所成的角为 ，其方向向量分别为 ， ，则 .
（2）直线与平面所成角
如图所示，设 为平面 的斜线, , 为 的方向向量, 为平面 的法向量， 为 与 所成的角，则 .
（3）平面与平面的夹角设平面 ， 的法向量分别是 ， ，平面 与平面 的夹角为 ，则 .
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.空间距离
名称
概念
求法
两点距
空间中两个点连线的线段长
求向量的模
点线距
过空间一点作一条直线的垂线段的长
设直线 的单位方向向量为 , , ,设 ,则点 到直线 的距离 _______________
名称
概念
求法
点面距
过平面外一点作平面的一条垂线段的长
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )
×
（2）直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角的余角就是直线 与平面 所成的角.( )
×
（3）二面角的平面角为 ,则两个面的法向量的夹角也是 .( )
×
（4）直线 上两点到平面 的距离相等，则 平行于平面 .( )
A. B. C. D.
解析：选 B.因为直线 的一个方向向量为 ，取直线 的一个单位方向向量为 .又 为直线外一点，且直线 过点 ,所以 ,
√
所以 , .所以点 到直线 的距离为 .故选B.
2.在长方体 中， ， ，则点 到平面 的距离为___.
因为 ， ，所以
.因为 ,
所以 .所以 ，所以 ,所以 .因此，所求二面角的大小为 .
高考数学第一轮复习单元讲座 空间夹角和距离
DBAC α2008高考数学第一轮复习单元讲座 空间夹角和距离一．课标要求：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。
预测2008年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。
课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。
三．要点精讲1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
高考数学第一轮复习单元讲座 空间中的夹角和距离
2008高考数学第一轮复习单元讲座空间中的夹角和距离一．课标要求：1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二．命题走向高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。
随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
预测07年高考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。
三．要点精讲1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。
（2）点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
高考数学一轮复习-8.59 空间角、距离及其求法课件 理
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
【思路方法】(1)连接BD，设BD∩AC＝G，连 接EF，EG，FG，要证明平面AEC⊥平面AFC，只 要证明EG与平面AFC垂直即可，要证明EG与平面 AFC垂直，只要证明EG与AC和FG都垂直即可.(2)以 G为原点，GB，GC所在直线为x轴和y轴建立空间直 角坐标系，利用向量的夹角公式求解.
〈 n1 ， n2 〉 |， 当
θ∈
0，π2
时
，
cos
θ
＝
|n1·n2| |n1|·|n2|
；
当
θ∈π2 ，π时，cos θ＝－||nn11|· ·n|n22||.
4．空间距离及求法
(1)空间距离的概念 ①点到平面的距离：自点向平面引垂线，点__到__垂__足__间__线__段__的长 度．
②异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面 直线间的_线__段___的长度． ③直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从这 条直线上任意一点向平面引垂线，_这_点___到__垂__足__间__线__段__的长度． ④两平行平 面间的距离：夹在两平 行平面之间的 _公__垂__线__段__的 长度．
三、直线与平面所成角及其 求法
例3 如图所示的多面体 中，正方形BB1C1C所在平面垂 直平面ABC，△ABC是斜边 AB＝ 2 的等腰直角三角形， B1A1∥BA，B1A1＝12BA.
(1)求证：C1A1⊥平面ABB1A1； (2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值.
高三数学 第62课时 空间的角教案
课题：空间的角教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知识及主要方法：1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线的逆定理(课本31P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.3.空间角的计算步骤 一作、二证、三算.4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccosa b a b；③补体法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.5.直线与平面所成的角：①定义：（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，BAO ∠PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θl n l n=.6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规α AP O aabαl定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa b a b=；其方向如右图，则二面角l αβ--的平面角α=arccosa b a bπ-（同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--外侧（同等异补），则二面角l αβ--α1212arccos||||n n n n =（二）典例分析： 问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =︒∠，2AB =，BC =SA SB == ()1证明：SA BC ⊥；()2求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.SBCDA1n 2nSBCDA问题2． （07届高三湖北、荆州、宜昌4月模拟） 边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上任一点，CP m =（01m <<）.()1若12m =时，求证：面1BPD ⊥面11BDD B ；()2试确定m 值，使直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为ABDC1A1B1C1DP S B C D A问题3．（07四川）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ， 1PM =，2BC =，又1AC =，120ACB ∠=︒， AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ； ()2求二面角B AC M --的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =，AB =6BC =A BCM P A BC MP()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）；()2求二面角A PC D --的大小． (要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.（三）课后作业：1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的 中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于PC BA DEPC BADEOABCD 1A1B1C 1DE F2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1,2AB BC AB BC PA ⊥==， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .()1求证：OD ∥平面PAB ；()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC 都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==， 1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线 1C E 与平面ABC 所成的角.（四）走向高考： 4.（07浙江）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．()1求证：CM EM ⊥；()2求CM 与平面CDE 所成的角．ED CMABC A B1A1B1CD EFAPCBDOE F5.(07北京)如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到， 且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． ()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．OCADBv6.（07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD （此小题这里略去不做）； ()2求二面角1A A D B --的大小；()3求点C 到平面1A BD 的距离．ABCD1A 1C1B。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
高考数学一轮复习学案空间角.空间距离综合
空间角.空间距离综合一:高考真题:1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A.90° B .60° C.45° D.0°2.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ） A.90° B.60° C.45° D.30°3.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3.图9—4若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ） A.P 3＞P 2＞P 1 B.P 3＞P 2＝P 1 C.P 3＝P 2＞P 1 D.P 3＝P 2＝P 1 4.（2001全国，9）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A.60°B.90°C.105°D.75°5.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.321 B.21 C.21 D.421 6.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B.21C.178 D.23 7.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.8.（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图9—11所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 . 9.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为23 cm ，体积为4 cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .10.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为_____.11.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点.（Ⅰ）求三棱锥D 1—DBC 的体积； （Ⅱ）证明BD 1∥平面C 1DE ；（Ⅲ）求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.图9—19图9—2012.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .13.（2002京皖春文，19）在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC = ∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C . 14.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a （0＜a ＜2）.（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.图9—26 图9—2715.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC 的高CD 上.AB ＝a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈V C.（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角； （Ⅱ）当∠MDC ＝∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ；（Ⅲ）若∠MDC ＝∠CVN ＝θ（0＜θ＜2π＝，求四面体MABC 的体积.●答案解析 1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG 与IJ 为一对异面直线.过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD .所以∠ADF 即为所求.因此，HG 与IJ 所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：B解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1.在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =3.在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.3.答案：D解析：由S 底＝S 侧cos θ可得P 1＝P 2而P 3＝θθθcos )(2)cos sin (22121S S S S +=+ 又∵2（S 1＋S 2）＝S 底 ∴P 1＝P 2＝P 34.答案：B解析：如图9—48，D 1、D 分别为B 1C 1、BC 中点，连结AD、D 1C ，设BB 1＝1，则AB ＝2，则AD 为AB 1在平面BC 1上的射影，又32cos ,22,3311====BC BC BC C BD BE ∴DE 2＝BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos C 1BC ＝6132223322131=⋅⋅⋅-+ 而BE 2＋DE 2＝216131=+＝BD 2 ∴∠BED ＝90° ∴AB 1与C 1B 垂直 5.答案：D解析：如图9—50，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ． 6.答案：A解析：这是两条异面直线所成角的问题，如图9—51将DF 1平移至AG 1，A 1G 1＝411B A ，再将AG 1平移至EE 1，其中AE ＝2AB，B 1E 1＝411B A ，∠BE 1E 即是异面直线BE 1与DF 1所成的角.设正方体棱长为l ，可求得EE 1＝BE 1＝4171611=+， EB ＝21，在△BEE 1中由余弦定理得图9—50cos BE 1E ＝17154174172411617161721122121=⋅⋅-+=⋅-+EE BE BE EE BE 故应选A.评述：利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，将空间图形问题转化为平面图形问题来解决.“转化”是一种重要的数学思想，这种思想在近几年的试题里明显地、有意识地进行了考查.7.答案：arctan83 解析：设棱锥的高为h ，如图9—53，则V =31·4×4×sin60°·h =1， ∴h =43. D 为BC 中点，OD =31AD =31·23·4=332. 易证∠PDO 为侧面与底面所成二面角的平面角tan θ=8333243==OD PO .故θ=arctan 83 评述：本题考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算.8.答案：22解析：过M 作MO ⊥EF ，交EF 于O ，则MO ⊥平面BCFE .如图9—54，作ON ⊥BC ，设OM =x ，又tan MBO =21，∴BO =2x 又S △MBE =21BE ·MB ·sin MBE =21BE ·ME S △MBC =21BC ·MB ·sin MBC =21BC ·MN∴ME =MN ，而ME =152-x ，MN =12+x ，解得x =22. 9.答案：30°解析：如图9—60，作BC 边中点M ，∴VM ⊥BC 过V 作VO ⊥底面ABCD∴VO ⊥MO ，MO ⊥BC ，∴∠VMO 为其侧面与底面所成二面角的平面角 ∵V 锥=31S ABCD ·VO ∴4=31·（23）2·VO ，∴VO =1 又∵OM =3232=，VO ⊥MO ，∴∠VMO =30° ∴侧面与底面所成的二面角为30°. 10.答案：45°解析：过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AF ⊥面BCD ，∠AEF 为所求的角．设BD ＝a ，则AF ＝2a ，EF ＝2a，∴在Rt △AEF 中，∠AEF ＝45°． 11.（Ⅰ）解：D BC D V -1 =2131⋅·2·2·1=32. （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE .∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1，∵BD 1平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE .∴BD 1∥平面C 1DE . （Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H .在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，C 1C ⊥平面ABCD ，∴C 1H ⊥DE ，∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC =2，CC 1=1，CE =1.∴CH =52121222=+⨯=⋅DE CE CD ∴tan C 1HC =251=CH C C .即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为25. 评述：本题考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.12.（Ⅰ）证法一：连接A C.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形. ∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1 ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥B D. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（Ⅱ）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ，∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin D 1B 1H ， ∵D 1B 1=2A 1B 1=4.sin D 1B 1H =sin B 1GB =1741442211=+=GB B B ， ∴d =D 1H =4·.171716174= 解法二：∵△D 1HB ∽△B 1BG ，∴GB B D B B H D 11111=∴d =D 1H =171716121=G B B B . 解法三：如图9—64，连接D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半.即21B 1G ·D 1H =21BB 12. ∴d =171716. （Ⅲ）311111===--EF B D EFD B V V V·d ·316172211716311=⋅⋅⋅=∆EF B S .评述：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力.并进行一定的逻辑推理.在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算.13.（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C. 又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面AB C. 由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ， 由三垂线定理，得SC ⊥BC .（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55.得SC =22BC SB -=10在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°.（Ⅲ）解：在Rt △SAC 中， ∵SA =755102222=-=-AC SC . S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225. ∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 14.解：（Ⅰ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ ，即MNQP 是平行四边形，如图9—70∴MN =PQ .由已知，CM =BN =a ，CB =AB =BE =1，∴AC =BF =2， 21,21aBQ a CP ==. 即CP =BQ =2a . ∴MN =PQ =2222)2()21()1(a a BQ CP +-=+- 21)22(2+-=a （0＜a ＜2）. （Ⅱ）由（Ⅰ），MN =21)22(2+-a ， 所以，当a =22时，MN =22. 即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22. （Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，如图9—71 ∵AM =AN ，BM =BN ，G 为MN 的中点∴AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角α的平面角， 又AG =BG =46，所以，由余弦定理有cos α=31464621)46()46(22-=⋅⋅-+. 故所求二面角α=arccos （－31）. 评述：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理和几何计算交错为一体；以两个垂直的正方形为背景，加强空间想象能力的考查.体现了立体几何从考查、论证和计算为重点，转到既考查空间概念，又考查几何论证和计算.但有所侧重，融论证于难度适中的计算之中.反映教育改革趋势，体现时代发展潮流.此外解答过程中，必须引入适当的辅助线，不仅考查识图，还考查了基本的作图技能.充分体现了“注重学科之间的内在联系”，较为深入和全面考查各种数学能力.15.（Ⅰ）证明：∵CD ⊥AB ，VN ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴VN ⊥A B.又∵CD ∩VN ＝N ∴平面VNC ⊥AB 又∵MD ⊂平面VNC ∴MD ⊥AB∴∠MDC 为二面角M －MAB －C 的平面角.如图9—72 （Ⅱ）证明：∵VC ⊂平面VCN ，∴AB ⊥VC又∵在△VCN 和△CDM 中，∠CVN ＝∠MDC ，∠VCN ＝∠VCN ∴∠DMC ＝∠VNC ＝90°.∴DM ⊥VC又∵AB ∩DM ＝D ，AB 、DM ⊂平面AMB ∴VC ⊥平面AMB ．（Ⅲ）解：∵MD ⊥AB 且MD ⊥VC ，∴MD 为VC 与AB 的距离为h . 过M 作ME ⊥CD 于E∴V MABC ＝21AB ·CD ×ME ·6131=ah 2tan θ四、作业 同步练习 空间角距离综合1、已知半径是B 的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6 ,BC=8, AC=10;则球心O 到截面ABC 的距离为（ ）A 、12B 、8C 、6D 、52、已知三棱锥P-ABC ，PA ⊥平面ABC ，︒=∠︒=∠30,90ACB ABC ,AB=1,D 、E 分别是PC 、BC 的中点，则异面直线DE 与AB 的距离是（ ）A 、33B 、23C 、3D 、与PA 的长有关3、设两平行直线a 、b 间的距离为2m ，平面α与a 、b 都平行且与a 、b 的距离都为m ，这样的平面α有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，则这两个二面角（ ） A 、相等 B 、互补 C 、相等或互补 D 、不确定5、平面βα平面 ＝CD ，P 为这两个平面外一点，PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，若PA=2,PB=1AB=7则二面角βα--CD 的大小为（ ）A 、︒150B 、︒120C 、︒90D 、︒60 6、P 是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC,且︒=∠=∠=∠60CPA BPC APB 则二面角P-AB-C 的余弦值为 .7、正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 。
空间向量与空间角、距离问题课件-2025届高三数学一轮复习
A. B. C. D.
解析 取线段的中点，连接，则，设直三棱柱 的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ， 所以，，, ， 所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量 夹角的余弦值的绝对值.
因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ， 设平面的一个法向量为 ， 则令,则,，所以 ，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点 到直线 的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线 上的投影向量⑭________，则点到直线 的距离为 ⑮_______________
平面外一点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线 的方向向量，则点到平面 的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面 的一个法向量为，则令，得 ，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱 和的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为________.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则，，，， ，则，， .设平面的一个法向量为 ，故令，则，，所以 ，所以与平面所成角的正弦值为 .
4.3.3空间向量求解角度与距离教案新必修2
课题：2.4.3.3 空间向量求角度与距离教材分析：角和距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计角和距离，空间坐标系中可以用代数方法解决角度与距离，比找证求的方法更加适用。
课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间角度与距离的求法． 教学重点：公式的应用． 教学难点：公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．空间向量坐标，两点间的距离公式． 2. （1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a 与b 之间的距离是nn EF d ⋅=；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为nn AB d ⋅=；（3）用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.（4）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（5）用法向量求二面角二．例题讲解：例题1．如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；ABCnαz yxE 1G 1（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111E DG Rt FG E Rt FG DE S S S ∆∆+= 221212221=⨯⨯+⨯⨯=， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E .（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE .（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ，则62,cos 111111=⋅>=<EAG E EA G E EA G E ，设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ. 例题2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。
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必修Ⅱ－
06 空间的角和距离
1．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 两异面直线所成的角： 2．直线与平面所成的角： 3．二面角： 4．异面直线的距离： 5．直线与平面的距离： 6．平面与平面的距离：
一、选择题
1．两等角的一组对应边平行，则
（ ）
A ．另一组对应边平行
B ．另一组对应边不平行
C ．另一组对应边也不可能垂直
D ．以上都有可能
2．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（
A ．1
B ．2
C ．
2
2
D ．
2
1 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离为（ ）
A 、1
B 、
21 C 、23 D 、3
3 4．已知ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG 2＋HF 2的值等于
（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
二、填空题：
1．正三棱锥中相对的两条棱所成的角为 。
2．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）
中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，
P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是 ED 与AB 成角为 3．如图所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是 △ABC 和△ACD
的重心，若BD ＝6，则MN ＝
4 正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为
______________
三、解答题
在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面
,ABC SA SC ==M 、N 分别为,AB SB 的中点 （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N -CM -B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。