《函数模型及其应用》同步练习13(苏教版必修1)
《函数模型及其应用》同步练习12(苏教版必修1)
《函数建模及其应用》同步练习一.选择题:1. 甲.乙两店出售同一商品所得利润相同,甲店售价比市场最高限价低10元,获利为售价的10%,而乙店售价比限价低20元,获利为售价的20%,那么商品的最高限价是 ( )(A) 30元 (B) 40元 (C) 70元 (D) 100元2. 一种产品的成品是a元,今后m年后,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x的函数(0<x<m),其关系式是( )3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的棱长最接近( )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 74. 在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变为c%,若,则x与y的函数关系式是( )5.某地2002年人均GDP(国内生产总值)为8000元,预计以后年增长率为10%,使该地区人均GDP超过16000元，至少要经过（）(A) 4年 (B) 5年 (C) 8年 (D) 10年6．某工厂的生产流水线每小时可生产产品100件，这一天开始生产前没有产品积压，生产3小时后，工厂派来装御工装相，每小时装产品150件，则从开始装相时起，未装相的产品数量y与时间t之间的关系图象大概是（）y y y yO t O t O t O t(A) (B) (C) (D)二.填空题:7．函数的零点所在区间为[m,m+1]()，则m=__________.8. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________吨，2008年的垃圾量为__________吨.9.根据市场调查结果，预测家用商品从年初开始的第x个月的需求量y（万件）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是____________. 10. 某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米价240元.为了减少木材消耗,决定按t%征收木材税，这样每年的木材消耗量减少万立方米.为了减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则的范围__________________.三. 解答题:11．如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.A DB E C12.，某种蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线（如图(2)）(1)写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).(2)写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).(3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？p Q300 300250200 200150100 10050O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t (图1) （图2）参考答案：一．1-6：A B C C A二．7．1； 8.a(1+b), a(1+b)5； 9.11月、12月； 10.[3,5]；三．11．；12．（1）f(t)=（2）g(t)=.（3）纯收益h(t)=f(t)-g(t)=当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大．。
高中数学 基础知识篇 3.4 函数的应用 3.4.2 函数模型及其应用同步练测 苏教必修1
3.4 函数的应用（苏教版必修1）3.4.2 函数模型及其应用建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题6分，共48分）在一定范围内，某种产品的购买量y（t）与单价x（元）之间满足一次函数关系，如果购买1000t,每吨为800元；如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t,单价应该是.已知f(x)=,g(x)=,h(x)=，当x∈(4,+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，则.f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OA=1m,水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径最合适的是.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出.这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高元.某商人购货，进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价，以便按新价让利20％销售后，仍可获得售价25％的纯利，那么此商人经营这种货物时，按新价让利总额y与货物数x之间的函数关系式是.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比例；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（a为常数），如图.根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克下时，学生方可进教室，则从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.8.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=+2x+20(万元)，一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为.二、解答题（共52分）9．（12分）某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸可以以每份0.10元的价格退回报社．在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元．10．（20分）某商品进货单价为40元，若销售价为50元可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？11．（20分）某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工厂.假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？.3.4 函数的应用（苏教版必修1）3.4.2 函数模型及其应用答题纸一、填空题1．2．3. 4．5．6.7． 8．二、解答题9.10.11.3.4 函数的应用（苏教版必修1）3.4.2 函数模型及其应用参考答案1.860元解析：设x与y之间的函数关系式为y=kx+b.由x=800, y=1000,及x=700,y=2000,可得k=-10, b=9000,即y＝－10x＋9000.再将y=400代入,得x =860.2.g (x )>f (x ) >h (x )解析：画出三个函数的图象，如图.当x ∈(4, +∞)时，指数函数图象位于二次函数图象上方，二次函数图象位于对数函数图象的上方，故g (x )>f (x ) >h (x ).3.150台解析：当产量为x 台时，总售价为25x 万元.欲使生产者不亏本，必满足总售价≥总成本，即25x ≥3000＋20x －0.1， 0.1＋5x －3000≥0，＋50x －30000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.4.(1+)m 解析：建立如图所示的坐标系，设y 轴右侧的抛物线方程为y =a+2.∵抛物线过点A (0,1),∴a =-1，∴y =－+2.令y =0,得x =1+,或x =1－(舍去）， 故落在水面上最远点B 与点O 的距离为(1+)m ，因此最合适的水池半径为(1+)m.5.6 解析：设每床每天收费提高2x 元（x ∈）,则收入为y =(10+2x )(100－10x )=20(5+x )(10－x )元，∴当x =2或3时，y 取得最大值，当x =2时, y =1120，当x =3时，y =1120.为了满足减少投入要求应在相同条件下多空出床位，故x =3.6.y =x 解析：设每件货物的新价为a 元，则销售价为a (1－20%)=a ×80%(元/件)，而进价为30(1－25%)=30×75% (元/件)，因此，销售每件货物的利润为a ×80%－30×75%(元/件).由题意知a ×80%－30×75%=a ×80%×25%,解得a =.故y =a ×20%×x =x ，即y 与x 之间的函数关系式是y =x .7.（1）y =11-01(0.10(00.1)161)t t t t ⎛⎫⎧⎪⎨⎪⎝⎩> ⎪⎭≤≤，（2）0.6解析：（1）当0≤t ≤0.1时，可设y =kt （k 为待定系数），由于点(0.1,1)在直线上，∴k =10；同理，当t >0.1时，可得1=0.1－a =0a =.（2）由题意得t ≥0.6.故至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.8.18万件解析：利润L (x )=20x -C (x )=-+142,当x =18时，L (x )有最大值．9.解：若设每天从报社买进x （250≤x ≤400，x ∈N ）份，则每月共可销售（20x +10×250）份，每份可获利润0.20元，退回报社10（x -250）份，每份亏损0.20元，依题意，得f （x ）=0.20（20x +10×250）-0.20×10（x -250）=2x +1 000，x ∈[250，400]． ∵函数f （x ）在[250，400]上单调递增， ∴当x =400（份）时，f （x ）max =1 800（元），即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为1 800元．+元，最大利润为y元，10．解：设最佳售价为(50)x=+---⨯240500y x x x(50)(50)(50)40=-++，x xx=时，y取得最大值，所以应定价为70元.当2011.解：设A（1,1），B（2,1.2），C（3,1.3），D（4,1.37），作出图象如图.（1）（一次函数模拟）设模拟函数为y=ax+b,将B,C两点的坐标代入函数解析式，得解得所以y=0.1x+1.此法的结论是：在不再增加工人和设备的条件下，产量会每月增加1000双，这是不太可能的.（2）（二次函数模拟）设y=a+bx+c，将A,B,C三点的坐标代入，得解得所以y=－0.05+0.35x+0.7.由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴是直线x=3.5），这显然不符合实际情况.（3）（幂函数模拟）设y=a+b，将A,B两点的坐标代入，得解得所以y=0.48+0.52.把x=3和x=4代入，分别得到y 1.35和y=1.48，与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.（4）（指数函数模拟）设y=a+c，将A,B,C三点的坐标代入，得解得所以y=－0.8×+1.4.把x=4代入，得y=－0.8×+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优势，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差最小；二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此选用y=－0.8×+1.4模拟比较接近客观实际.。
苏教版数学高一必修1 函数模型及应用 作业
课时跟踪检测（二十） 函数模型及应用层级一 学业水平达标1．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________． 解析：记商品原价为a 元，降价后为910a 元．设提价x %，则有910a ·⎝⎛⎭⎫1＋x 100＝a . 解得x ＝1119.答案：1119%2．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利40元．根据经验，若单价每降低1元钱，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件获利应定为________元．解析：设每件获利减少x 元时，经济效益为y 元，则y ＝(40－x )(1 000＋100x )＝－100(x －15)2＋62 500.则当x ＝15时获利最大，故每件获利应定为25元． 答案：253．某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为________只．解析：由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.答案：3004．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45.经过________年，剩留的物质是原来的64125.解析：先求剩留量y 随时间x (年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y ＝1×45＝45，经过2年，y ＝45×45＝⎝⎛⎭⎫452，…，那么经过x 年，则y ＝⎝⎛⎭⎫45x .依题意得⎝⎛⎭⎫45x＝64125，解得x ＝3. 答案：35．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋45.606(x ≥0，x ∈N *)，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)． 答案：45.66．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元， 据题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9， x ∈(0，3]，9＋(x －3)×2.15， x ∈(3，8]，2.85x －3.05， x ∈(8，＋∞).令f (x )＝22.6，解得x ＝9. 答案：97．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴Mm ＝e 6－1. 答案：e 6－18.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t ，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要再经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2，所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中正确的是________．解析：①显然正确；当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，故②正确；当t ＝2时，y ＝4，当t ＝3.5时，y ≈11.31＜12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m 2.由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m 2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m 2，故④不正确；当浮萍面积为2 m 2时，t 1＝1，当浮萍面积为3 m 2时，t 2＝log 23，当面积为6 m 2时，t 3＝log 26，而1＋log 2 3＝log 2 6，故⑤正确．答案：①②⑤9．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.已知到今年为止，森林面积为22a .(1)求p %的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a 2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年森林面积变为22a ，则a (1－p %)m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫1210m＝⎝⎛⎭⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解：(1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.层级二 应试能力达标1．有一组实验数据如下：． (1)y ＝log 2x ； (2)y ＝log 12x ；(3)y ＝x 2－12；(4)y ＝2x －2.解析：由表中数据可知，当x 越大时y 递增速度越快 而y ＝log 2x 递增速度较慢． y ＝log 12x 递减．y ＝2x －2匀速．只有y ＝x 2－12符合这一特征．答案：(3)2．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)．∵原价为a ，∴进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)×25%，化简，得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)．答案：y ＝a4x (x ∈N *)3．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0＜t ＜25，t ∈N )，－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N )，该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)，这种商品的日销售额的最大值为________元．解析：设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q . 当0＜t ＜25，t ∈N 时，y ＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－(t －10)2＋900， ∴当t ＝10时，y max ＝900(元)． 当25≤t ≤30，t ∈N 时，y ＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝(t －70)2－900. ∴当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．∴当t ＝25天时，该商品日销售额最大，最大值为1 125元． 答案：1 1254．2016年1月1日某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%，则10年后该市人口总数约为________万人．(精确到0.1万人，1.01210＝1.127)解析：设x 年后该市人口总数为y (万人)． 则y ＝100×(1＋1.2%)x .当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10≈112.7万人． 答案：112.75．用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设隔墙长度为x ，则与隔墙垂直的边长为24－4x2＝12－2x ，∴矩形面积S ＝x ·(12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18,0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S max ＝18.答案：36.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤110，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a ， 得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎨⎧10t ，⎝⎛⎭⎫0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，⎝⎛⎭⎫t ＞110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎨⎧10t ，⎝⎛⎭⎫0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，⎝⎛⎭⎫t ＞110 (2)0.67.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围．解：由题意知最高点为(2＋h,4)，h ≥1， 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，(1)当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4， 将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y ＝－(x －3)2＋4. (2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4， 得ah 2＝－1，所以a ＝－1h2.由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1h 2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到压水花的训练要求时h 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，43.8．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，投资20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q (百件)与销售价格p (元/件)之间的关系用如图中的一条折线(实线)表示，职工每人每月工资为1 200元，该店应交付的其他费用为每月13 200元．(1)若当销售价格p 为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务？此时每件消费品的价格定为多少元？解：由题意设q ＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1p ＋b 1，40≤p ≤58，k 2p ＋b 2，58<p ≤81，由图得⎩⎪⎨⎪⎧40k 1＋b 1＝60，58k 1＋b 1＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b 1＝140.又⎩⎪⎨⎪⎧ 81k 2＋b 2＝1，58k 2＋b 2＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－1，b 2＝82. ∴q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2p ＋140，40≤p ≤58，－p ＋82，58＜p ≤81.(1)设该店的职工人数为x ，当p ＝52时，q ＝－2×52＋140＝36， 又q 的单位是百件，则由题意得(52－40)×3 600－13 200＝1 200x ，解得x ＝25. 所以该店的职工人数为25人．(2)设该店只安排20名职工经营x 年的盈利为y 元， 则y ＝(p －40)q ×100×12x －1 200×20×12x －13 200×12x ＝1 200[(p －40)q －372]x＝⎩⎪⎨⎪⎧2 400x (－p 2＋110p －2 986)，40≤p ≤58，1 200x (－p 2＋122p －3 652)，58＜p ≤81，由题意可知，所有债务为26.8＋20＝46.8(万元)． 当40≤p ≤58时，(－p 2＋110p －2 986)max ＝39， 此时p ＝55，由2 400×39x ≥468 000，得x ≥5；当58＜p ≤81时，(－p 2＋122p －3 652)max ＝69， 此时p ＝61，由1 200×69x ≥468 000，得x ≥39069＞5， 所以，该店最早可在5年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为55元.。
函数模型及其应用同步练习1苏教版必修1
函数模型及其应用一、选择题.1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④2．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A ．3B ．4C ．6D ．124．已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是A ．y ={0．9576}100xB ．y ={0．9576}100xC ．y =（1009576.0）x D ．y =1－（0．0424）100x 5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（b <a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是二、填空题.6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为x ，2000年底该厂这种产品的年产量为y ，那么y 与x 的函数关系式是______________________________．7．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r ），若矩形底边长为2x ，此框架围成的面积为y ，则y 与x 的函数解析式是_________________________________．8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a ，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b 元，若该船以速度v 千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y 与v 的函数解析式为________．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·（0．5）x +b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元．三、解答题.11.一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？12.某种商品现在定价每年p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额np 元，设定价上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍．（1）用x 和y 表示z. （2）若y =32x ，求使售货总金额有所增加的x 值的范围．13.茜种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税P 元，因此每年销售量将减少203P 万件。
苏教版高中数学必修1课堂训练函数模型及其应用
课堂练习(二十二) 函数模型及其应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )C [从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37 ℃以上――→降上午37 ℃(中午)――→升下午晚上――→降半夜37 ℃.] 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元B [依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．]3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的45.经过x年，剩留的物质是原来的64125.则x 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [先求剩留量y 随时间x (年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y ＝1×45＝45，经过2年，y ＝45×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452，…，那么经过x 年，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x .依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫45x＝64125，解得x ＝3.]4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费S (元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．8元B ．9元C ．10元D ．12元C [设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t . 当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，所以k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元)．]5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．60B ．75C ．90D ．100B [由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.] 二、填空题6．一等腰三角形的周长为40，底边y 是关于腰x 的函数，它的解析式为________．y ＝40－2x (10<x <20) [由题意得2x ＋y ＝40，所以y ＝40－2x .∵y >0，∴40－2x >0，∴x <20. 又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >y ，y ＝40－2x ，解得x >10，∴10<x <20.]7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____________万件．18 [利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．]8．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．甲 [对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]三、解答题9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解得h ＝10. 故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10， 当T ＝32时，32－24＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝18，解得t ＝30， 因此，约需30 min ，可降温到32 ℃.10．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a(1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12， 解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，再砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．[等级过关练]1.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要再经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2，所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中正确的是( )A ．①②④B ．①④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤C [①显然正确；当t ＝5时，y ＝25＝32>30，故②正确；当t ＝2时，y ＝4，当t ＝3.5时，y ＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m 2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m 2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m 2，故④不正确；当浮萍面积为2 m 2时，t 1＝1，当浮萍面积为3 m 2时，t 2＝log 2 3，当面积为6 m 2时，t 3＝log 2 6，而1＋log 2 3＝log 2 6，故⑤正确．]2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．60,16 [因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c4＝c2＝30，② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.]3．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是____________cm 2.23 [设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x ) cm. ∴S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23≥2 3.]4．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．[解] 设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)， y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c .依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35万件比f (4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好.。
高中数学苏教版必修1 3.4.2第二课时 函数模型的应用 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.则y ＝f (x )的一个表达式是解析：观察表格可发现y 与x 之间具有一次函数关系，设y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b 3＝2k ＋b ，5＝3k ＋b可知k ＝2，b ＝－1，故y ＝2x －1.答案：y ＝2x －1 2.某企业x 年内的生产总利润y ＝－x 2＋12x －25，则x 年内的年平均利润为________．解析：由题意x 年内的平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x ＝12－x －25x. 答案：12－x －25x3.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少203p 万件．则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________． 解析：征收附加税后年销售为(80－203p )万件，故每年征收的税金y ＝60(80－203p )p . 答案：y ＝60(80－203p )p 4.据调查，苹果园地铁的自行车存车处，在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费是每辆一次0.5元．若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是________．解析：存车费总收入y ＝变速车存车总费用＋普通车存车总费用＝1×(4 000－x )＋0.5x ＝－0.5x ＋4 000，其中0≤x ≤4 000.答案：y ＝－0.5x ＋4 000(0≤x ≤4 000)5.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， 1≤x ＜10，x ∈N *，2x ＋10， 10≤x ＜100，x ∈N *，1.5x ， x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意．若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25.答案：256.某工厂年产量逐年递增，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率为________．解析：设平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，∴x ＝（1＋a ）（1＋b ）－1.答案：（1＋a ）（1＋b ）－1二、解答题7.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg )的一次函数，其图象如图所示．(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由图象可知，当x ＝60时，y ＝6；当x ＝80时，y ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝6，80k ＋b ＝10.解得k ＝15，b ＝－6. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －6(x ≥30)． (2)根据题意，当y ＝0时，x ＝30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.8.某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10 %，且在一定范围内，礼品价值为n ＋1元时，比礼品价值为n 元(n ∈N *)时的销售量增加10 %.(1)写出礼品价值为n 元时，利润y n (元)与n 的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．解：(1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10 %)n .利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10 %)n＝(20－n )m ×1.1n (0<n <20，n ∈N *)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n ≥0，解之得n ≤9，所以y 1<y 2<y 3<…<y 9＝y 10，令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(18－n )m ×1.1n ＋2≥0，解得n ≥8，所以y 9＝y 10>y 11>…>y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．[高考水平训练]一、填空题1.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如下表：其中x ________，呈幂函数型变化的变量是________．解析：根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，是指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，是对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，是幂函数型变化．答案：y 3 y 2 y 12.如图所示，要在一个边长为150 m 的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70 %，则道路的宽为________m ．(精确到0.01 m )解析：设道路宽为x ，则2×150x －x 2150×150＝30 %，解得x 1≈24.50，x 2≈275.50(舍去)． 答案：24.50二、解答题3.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表，应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种)，所有劳力都有工作且解：设种x 亩水稻(4≤x ≤50)，y 亩棉花(0≤y <50)，其余种蔬菜时，总产值为h 万元且每个劳力都有工作，∴h ＝0.3x ＋0.5y ＋0.6[50－(x ＋y )]，x ，y 满足14x ＋13y ＋12[50－(x ＋y )]＝20，即3x ＋2y ＝60， 从而h ＝－320x ＋27，4≤x ≤50，x ∈N . 欲使h 为最大，x 应为最小，故当x ＝4(亩)时，h max ＝26.4万元，此时y ＝24(亩)，故安排1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作．4.医学上为了研究传染病传播过程中病毒细胞的生长规律及其预防措施，将一种病毒细胞的m 个细胞注入一只小白鼠的体内进行试验．在试验过程中，得到病毒细胞的数量与时间(h )死此种病毒有一定效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药将可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(结果精确到小时，lg 2≈0.301 0)解：(1)设第一次最迟应在第n 小时注射药物．由病毒细胞生长规律可知，第n 小时病毒细胞数为m ×2n －1个，为了使小白鼠不死亡，应有m ×2n －1≤m ×106⇒2n －1≤106，∴(n －1)lg 2≤6，n ≤1＋6lg 2≈20.9. 所以第一次最迟应在20小时注射药物．(2)第20小时小白鼠体内的病毒细胞数为m ×219(1－98%)＝220100m 个，设第一次注射药物后的第t 小时必须注射药物，则220100m ×2t ≤m ×106， ∴2t ＋20≤108，(t ＋20)lg 2≤8，∴t ≤8lg 2－20≈6.58， 所以第二次药物注射最迟应在注入病毒细胞后26小时，才能维持小白鼠的生命．。
2021-2022年高中数学 2.6《函数模型及其应用》同步练习一 苏教版必修1
2021-2022年高中数学 2.6《函数模型及其应用》同步练习一 苏教版必修1一、选择题1．某工厂的产值月平均增长率为，则年平均增长率是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：Ｄ2．某人2000年7月1日存入一年期款元（年利率为，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（ ）A ．元B ．元C ．元D ．26(1)(1)(1)a a r a r a r +++++++…元答案：Ａ3．如图1所示，阴影部分的面积是的函数，则该函数的图象可能是（ ）答案：Ｃ4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元答案：Ａ5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．xx 年该工厂工人收入元（其中工资性收入元，其他收入元）．预计该地区自xx 年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年的年增长率．其他收入每年增加元．据此分析，xx 年该厂工人人均收入将介于（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元答案：Ｂ二、填空题6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值，同渠深 ，可使水渠量最大．答案：7．一种放射性元素，最初的质量为，按每年的速度衰减，则它的质量衰减到一半所需要的年数为（精确到，，）．答案：年8．一个水池每小时注入水量是全池的，水池还没有注水部分与总量的比随时间（小量）变化的关系式为．答案：，，且9．有一个比赛，规则是：将一个篮球斜抛到一个半径为米的圆形区域内就算赢．已知抛球点到圆心的距离为米，设球的高度（米）和球到抛球点（坐标原点）的水平距离（米）的函数关系式为，如果不计入的高度和空气阻力，则赢得比赛时的取值范围是．答案：10．某工厂8年来某产品的总产量与时间（年）的函数关系如图3所示，则①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量持续增长．上述说法中正确的是．答案：①③三、解答题11．某自来水厂的蓄水池中有吨水，每天零点开始向居民供水，同时以每小时吨的速度向池中注水．已知小时内向居民供水总量为吨，问（1）每天几点时蓄水池中的存水量最少？（2）若池中存水量不多于吨时，就会出现供水紧张现象，则每天会有几个小时出现这种现象？解：（1）设点时（即从零点起小时后）池中的存水量为吨，则2=+-=-+，40060120660(6)40y t t t当时，即时，取得最小值．即每天点时蓄水池中的存水量最少．（2）由，解得，即，时，池中存水量将不多于吨，由知，每天将有个小时出现供水紧张现象．12．某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数（万人）与经过年数（年）的函数关系式．（2）计算大约多少年后该城市人口将达到万人（精确到1年）．解：（1）1年后该城市人口总数为；2年后该城市人口总数为100(1 1.2)100(1 1.2) 1.2y =⨯++⨯+⨯％％％；3年后该城市人口总数为22100(1 1.2)100(1 1.2) 1.2y =⨯++⨯+⨯％％％ 2100(1 1.2)(1 1.2)=⨯+⨯+％％；……年后该城市人口总数为100(1 1.2)x y x =⨯+∈N ％，．（2）设年后该城市人口将达到万人，即．（年），即年后该城市人口将达到万人．13．某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产两种产品共件．已知生产一件产品，需要甲种原料共，乙种原料，可获利润元；生产一件种产品，需用甲种原料，乙种原料，可获利润元．（1）按要求安排两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来．（2）设生产两种产品获总利润（元），其中一种的生产件数为，试写出与之间的函数关系式，并利用函数性质说明（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？解：（1）设安排生产种产品件，则生产件产品为件，依题意，得解得．是整数，只能取，，．生产方案有3种，分别为种件，种件；种件，种件；种件，种件．（2）设生产种产品件，则．随的增大而减小．当时，值最大，．安排生产种产品件，种产品件时，获利最大，最大利润是元．31147 79AB 禫27128 69F8 槸€:29892 74C4 瓄 _ !37844 93D4 鏔30254 762E 瘮t"3Z。
苏教版数学高一《函数模型及其应用》 同步测试
函数模型及其应用姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______1、以半径为R 的半圆上任一点P 为顶点，以直径AB 为底边的△PAB 的面积S 与高PD=x 的函数关系式是______A.S=RxB. S=2Rx (x>0)C. S=Rx (0<x≤R)D. S=πx 2 (0<x≤R)2、一等腰三角形的周长是20，则其底边长y 关于其腰长x 的函数关系式是_____A.y=20-2x(x≤10)B. y=20-2x(x<10)C. y=20-2x(5≤x≤10)D. y=20-2x(0<x<10)3、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x 2,x ∈(0,240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是_______4、一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质约是原来的54，经过n 年，剩留的物质是原来的12564，则n=_____ 5、某商品降价10%后，又想恢复原价，则应提价_____6、在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法①前5分钟温度增加的速度越来越快②前5分钟温度增加的速度越来越慢③5分钟以后温度保持匀速增加④5分钟以后温度保持不变其中正确的说法是_________(Ａ)①与④ (B)②与④ (C)②与③ (D)①与③7、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆。
租出的车每辆需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？8、某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：。
苏教版高中数学必修一第课时——函数模型及其应用配套练习
让学生学会学习第33课 函数模型及其应用（1）分层训练1．某工厂生产一种产品每件成本为a 元，出厂价为b 元，厂家从每件产品获纯利%p ，则（ ）()A %b a p -= ()B %b ap b-= ()C %b a p a -= ()D %ap b= 2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ） ()A 不赚不亏 ()B 赚了80元()C 亏了80元 ()D 赚了2000元 3．某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A 10%B 20%C 25%D 35%4．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）的函数 ，其定义域为 ．5．某种商品的进货价为a 元，零售价为每件1100元，若商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a = 元．6．建筑一个容积为36000m ，深为6m 的长方体蓄水池，池壁的造价为a 元/2m ，池底的造价为2a 元/2m ，把总造价y （元）表示为底的一边长()x m 的函数．7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()b a <，再前进c 千米，则此人t 的关系示意图是()A()B()C ()D8．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：3()360T t t t =-+，时间单位是小时，温度单位是C o，0t =时表示12:00，其后t 取值为正，则上午8时的温度为 （ ） ()A 8C o ()B 18C o()C 58C o ()D 128C o9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了19.6米，则下落的距离S （米）与所经过的时间t （秒）间的关系为 .10．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得进价的25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与获利总额y 之间的函数关系式是 . 11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定位60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过500件. （1）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）让学生学会学习拓展延伸现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） （A ）2log v t = （B ）12log v t =（C ）212t v -= （D ）22v t =-13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.。
苏教版高中数学必修一新课标高考一轮复习同步训练函数模型及其应用
课时作业(十二)[第12讲函数模型及其应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________________________________________________________________________．2．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r%增加到(r＋10)%，那么r＝________.图K12－14．有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－1所示)，则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计)．能力提升5．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1 g,3年后剩下________．6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg，配料的价格为1.8元/kg，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P＝________.7．下列所给4．K12－2(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.9．直角梯形ABCD，如图K12－3(1)，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图K12－3(2)所示，则△ABC的面积为________．10．已知每生产100 g 饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．11．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．(精确到1小时)12．[2012·滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．13．(8分)[2012·南京一调] 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P (亿元)和Q (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式P ＝163t ，Q ＝18t .今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x (亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y (亿元)．求：(1)y 关于x 的函数表达式； (2)总利润的最大值．14．(8分)[2012·烟台调研] 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．15．(12分)[2012·泰州二模] 某地区的农产品A 第x 天(1≤x ≤20)的销售价格p ＝50－|x －6|(元∕百斤)，一农户在第x 天(1≤x ≤20)农产品A 的销售量q ＝40＋|x －8|(百斤)．(1)求该农户在第7天销售农产品A 的收入；(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？16．(12分)[2012·南京三模] 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行，截至2010年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于地产和水上运动项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1)B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于投资额的18%，问B 集团投资是否成功？课时作业(十二)【基础热身】1.818 m 2 [解析] 设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －942＋818.∴当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.2．f (x )＝⎩⎨⎧5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}[解析] 这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论．3．15 [解析] 销售利润＝销售价－进价进价×100%.设销售价为y ，进价为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x x ×100%＝r %，y －x (1－8%)x (1－8%)×100%＝(r ＋10)%.解之得r ＝15.4．2 500 [解析] 设矩形宽为x m ，则矩形长为(200－4x )m ，则矩形面积为S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500(0＜x ＜50)，当x ＝25时，S 有最大值2 500 m 2.【能力提升】 5.1000.125 g [解析] 设放射性元素后一年比前一年减少了x ，则100年后只剩原来质量的a (1－x )100，依题意得，a (1－x )100＝12a,1－x ＝1000.5，∴(1－x )3＝1000.53＝1000.125.6．88元 [解析] 当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．7．(4)(1)(2) [解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象(4)；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象(1)；最后加速，故应选图象(2)．8．9 [解析] 当恰好行驶8 km 时，需要付费1＋8＋2.15×5＝19.75，而现在付出费用为22.6元，所以用22.6－19.75＝2.85，故多行1 km ，实际行驶9 km.9．16 [解析] 由y ＝f (x )的图象可知，当x 由0→4时，f (x )由0变成最大，说明BC ＝4.由x 从4→9时f (x )不变，说明此时P 点在DC 上，即CD ＝5.又AD ＝14－9＝5，∴AG ＝3，由此可求出AB ＝3＋5＝8.S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×8×4＝16.10．②④ [解析] 买小包装时每克费用为100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100>2.8100，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多．11．5 [解析] 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL ，则有0.3·⎝⎛⎭⎫34x≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x ≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．12．0.6、1、0.8 [解析] 函数模型y ＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎨⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值．13．[解答] (1)根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x ), x ∈[0,5]．(2)令t ＝3x ，t ∈[0，15]，则x ＝t 23，y ＝－t 224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924.因为2∈[0，15]，所以当3x ＝2时，即x ＝43时，y 最大值＝1924.故总利润的最大值是1924亿元．14．[解答] (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张，则共需分36x批，每批价值为20x 元，由题意y ＝f (x )＝36x ·4＋k ·20x ，当x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x ＋4x (0<x <36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x <36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x ·4x ＝48(元)， 当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立． 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．15．[解答] (1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝41.∴第7天的销售收入W 7＝49×41＝2 009(元)．(2)设第x 天的销售收入为W x ，则W x＝⎩⎨⎧(44＋x )(48－x )，1≤x ≤6，2 009，x ＝7，(56－x )(32＋x )，8≤x ≤20.当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(44＋x )＋(48－x )22＝2 116，当且仅当x ＝2时取等号．∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116.当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(56－x )＋(32＋x )22＝1 936.(当且仅当x ＝12时取等号)∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．答：(1)第7天的销售收入为2 009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．16．[解答] (1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元．由题意，y ＝0.2(100－x )＋x ＋10 ＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]．即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]， 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.答：B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元． (2)由(1)知，在上交资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，从2012年到2014年，B 集团需上交J 地政府资源占用费共为 2(1＋1.11＋1.12)＝6.62(百万元)．所以，B 集团这四年的预期利润为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%>18%，所以B 集团投资能成功． 答：B 集团在J 地投资能成功．。
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函数模型及其应用
一、选择题
1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每
隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值 （ ）
A ．7200×（31）3元
B ．7200×（32）3元
C ．7200×（31）2元
D ．7200×（3
2）2元 2．某工厂1996年生产电子元件2万件，计划从1997年起每年比上一年增产10％，则2000年可生产电子元件（精确到0.01万件） （ ）
A ．2.42万件
B ．2.66万件
C ．2.93万件
D ．3.22万件
3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y 与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是…… （ ）
二、填空
4．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20％，即储蓄利息的20尹d 由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l 日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25％，则到期可净得本金和利息总计____ 元．
5．三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如下表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5
135 625 1715 3645 6633 y 2 5 29 245 2189 19685 177149
y 3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20
7.40 其中x 呈对数型函数变化的变量是____，呈指数函数型变化的变量是____，呈幂函数型变化的变量是____．
6．已知函数f （x ）的图象如右图，
试写出一个可能的解析式
三、解答题
7．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式Q ＝Q 0t e 0025.0 ，其中Q 0是臭氧的初始量．
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少?
（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失?
(参考数据:ln2=0.6932)
8．2007年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。
下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）。
根据图像提供的信息解答下列问题：
（1） 由已知图像，求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2） 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
求第八个月公司所获利润是多少万元？
解答
(1) 解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义．设原价为1，一年后降价为32，再过一年降价为32×32，……，三年后降价为32×32×32＝（3
2）3，故选B ． 答案：B
(2) 解析：2000年可生产2（1＋10％）4≈2.93万件，
∴选C ．
(3)解析：本题要求根据上边函数关系的大约图象（粗略的），对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断，这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图形的变化趋势（性质）是判断的依据．从上图图象可见，若水深h 从0变化到2H 时变化状况与2H 到H 变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选项B ．此题也可取特殊值，取h ＝2H 可知V 1＞2
V ． 答案：B
(4) 解析：本金到期后本息和为104（1＋2.25％）2元，扣除的利息税为［104（1＋2.25％）2－104］×20％，到期净得本金和利息总计为104（1＋2.25％）2－［104（1＋2.25）2－104］×20％＝10364.05．
答案：10364.05
(5) 答案：y 3 y 2 y 1
(6) 解析：根据图象的增长趋势，估计属于对数模型，再根据图象所过的已知点（10，3），写出y ＝lg x ＋2．
答案：y ＝lg x ＋2
(7) 解：（1）因为此函数是减函数，所以臭氧的含量减少；
（2）令Q 0t e 0025.0-＝20Q ，即t e 0025.0-＝21，一0.0025t ＝1n 2
1，利用计算器解得t ≈277.26，所以278年以后将会有一半的臭氧消失，
答案：（1）减少；（2）278年．
(8) 解：（1）由二次函数的图像可知，设二次函数的关系式为 s=at 2
+bt+c, 代入点的坐标 得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=++-=++02245.1c c b a c b a
解得a=
21, b=-2, c=0∴s=2
1t 2-2t.
(2) 把s=30代入，得t 1=10,t 2=-6(舍)，∴截止到10月末公司累积利润可达到30万元。
（3）把t=7代入，得s=10.5, 把t=8代入，得s=16, 16-10.5=5.5 ∴第八个月公司获利润5.5万元。
高﹤考∵试ο题]库。