高一数学暑假学习材料09

暑期专题辅导材料九（旧课） 复习与测试（第一章 集合与简易逻辑） 本章的重点是： (1)有关集合的基本概念、术语和符号； (2) x＜a与x＞a(a＞0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法； (3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件.

本章的难点是： (1)有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系； (2)对绝对值意义的理解； (3)弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系； (4)对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用.

本章内容是高中数学的基础知识，其中集合论是由18世纪德国数学家康托尔创始的，是近、现代数学的一个重要基础；逻辑是研究思想形式及其规律的一门基础学科，它们今后学习的内容有着密切联系，学好本章内容必将为进一步学习其它知识奠定坚实的基础.

【基本概念】 1.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集. 2.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作. 3.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作 AB(或BA). 这时我们也说集合A是集合B的子集. 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作 BA（或AB）

我们规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合A，有 

A

4.等集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作 A＝B 5.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示. 6.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CSA，即 CSA＝{x｜x∈S，且xA}. 7.交集，并集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即 A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}. 而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即 A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}. 对于交集“A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}”，不能简单地认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于A∩B，这是因为并非任何两个集合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝. 对于并集“A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}”，不能简单地理解为A∪B是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上述理解与集合的互异性不符. 8.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题. 9.四种命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题. 10.充要条件：一般地，如果已知 pq, 那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作 pq. 这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.

【基本性质】 1.基本符号 ∈ x∈A x属于A；x是集合A的一个元素 yA y不属于A；y不是集合A的一个元素 {,...,} {a,b,c,...n} 诸元素a,b,c,...n构成的集合 {｜} {x｜p(x),x∈A} 使命题p(x)为真的A中诸元素之集合  空集 N 非负整数集；自然数集 N*或N+ 正整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 BA B包含于A；B是A的子集 BA B真包含于A；B是A的真子集 BA B不包含于A；B不是A的子集 ∩ A∩B A与B的交集 ∪ A∪B A与B的并集 C CAB A中子集B的补集或余集 2.集合部分： A；A(A非空)；AA；(CUA)∩A＝；(CUA)∪A＝U；CU(CUA)＝A；

ABCAC；ABCAC；A∩BA；BA∪B；CU＝U；CUU＝；ABA∩B＝A；ABA∪B＝B；CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB) 3. ｜ax+b｜≤c(c＞0) -c≤ax+b≤c ｜ax+b｜≥c(c＞0) ax+b≥c或ax+b≤－c

【基本规律】 1.复合命题真假判断表 非p形式复合命题的真假可以用下表表示. p 非p 真 假 假 真

p且q形式复合命题的真假可以用下表表示. p q P且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p或q形式复合命题的真假可以用下表表示. p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 2.四种命题之间的相互关系 四种命题之间的相互关系，如图所示.

我们已经知道，原命题为真，它的逆命题不一定为真.一般地一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系. (1)原命题为真，它的逆命题不一定为真. (2)原命题为真，它的否命题不一定为真. (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.

【基本方法与思想】 1.绝对值不等式的解法：｜x｜＜a(a＞0)的解集是 {x｜－a＜x＜a}; ｜x｜＞a(a＞0)的解集是 {x｜x＜-a，或x＞a}. 注：对于｜ax+b｜＞c(或＜c，其中c＞0)的解法可用换元法解. 2.一元二次不等式的解法： 一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集如下表. 判别式△＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0

二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图像 y＝ax2+bx+c y＝ax2+bx+c y＝ax2+bx+c

一元二次方程ax2+bx+c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1,x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ab2 没有实根 ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集 {x｜x＜x1或x>x2} {x｜x≠－ab2} R ax2+bx+c＜0(a>0)的解集 {x｜x1＜x＜x2}

  对于绝对值不等式｜ax+b｜＞c(或＜c,其中c＞0)可采用平方去绝对值法，即化为(ax+b)2＞c2(或＜c2) 3.充要条件的判定方法：若pq但qp，则p只是q的充分不必要条件； 若pq，但qp,则p只是q的必要不充分条件； 若pq，且qp，则p只是q的充要条件； 注：必须看两个方向，即pq，qp结果如何?才能下结论. 4.反证法：反证法是“原命题与其逆否命题同真同假”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤如下： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

学习要求和需要注意的问题： 1.学习要求 (1)集合 ①理解集合、子集、交集、并集、补集的概念 ②了解空集和全集的意义 ③了解属于、包含、相等关系的意义 ④会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合. ⑤掌握简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法. (2)简易逻辑 ①了解命题的概念和命题的构成. ②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. ③掌握四种命题及其相互关系. ④初步掌握充要条件. 2.需要注意的问题 (1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似，但是，应该清楚集合中的元素具有确定性，互异性.确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，象很大的数，不能组成一个集合.互异性是指在一个集合中，任何两个元素是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素.此外，集合中的元素还具有无序性，例如， {1，2，4}＝{4，2，1}. (2)容易混淆的符号 ①∈与的区别：∈符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1∈N，－1N等；符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有NR，R等.

②a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合，例如，有1∈{1,3,4},0∈{0},{1}{1,3,4}等，不能写成0＝{0},{1}∈{1,3,4},1{1,3,4}.