数学九年级上册 圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)
九年级上册数学 圆 几何综合单元综合测试(Word版 含答案)
九年级上册数学 圆 几何综合单元综合测试（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R <<【解析】 【分析】()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，//PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=，//PH AF ，PH BP BHAF AB BF∴==6242x BH ==，223PH x ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-，在Rt PHC 中，22PC PH CH =+22221()(6)33y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．//PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．PE DM x ∴==，即 6MC x =-，PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，PB BE EC MC ∴=，即232663xx x x =--， 解得：185x =，即125BE =，1218655PD EC ∴==-=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． 【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485. 【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CBD ＝∠CBO ＋∠OBD ＝90°， ∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝∠ABD ＋∠OBD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠CBO . ∵OB 、OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC ，∴∠C ＝∠CBO . ∵OE ∥BD ，∴∠E ＝∠ABD ， ∴∠E ＝∠C ；（2）∵⊙O 的半径为3，AD ＝2， ∴AO ＝5，∴AB ＝4. ∵BD ∥OE ， ∴＝， ∴＝，∴BE ＝6，AE =6+4=10 （3）S △AOE ==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S △ABC =S △AOE ==3．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，点F 是AB 边上一点（不与点B 重合）△BCF 的外接圆交对角线BD 于点E ，连结CF 交BD 于点G ． （1）求证：∠ECG ＝∠BDC ．（2）当AB ＝6时，在点F 的整个运动过程中． ①若BF ＝22时，求CE 的长．②当△CEG 为等腰三角形时，求所有满足条件的BE 的长．（3）过点E 作△BCF 外接圆的切线交AD 于点P ．若PE ∥CF 且CF ＝6PE ，记△DEP 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，请直接写出12S S 的值．【答案】（1）详见解析；（2182当BE 为10，395或445时，△CEG 为等腰三角形；（3）724.【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABD ＝∠BDC ，根据圆周角定理得出∠ABD ＝∠ECG ，即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD ＝10，①连接EF ，根据圆周角定理得出∠CEF ＝∠BCD ＝90°，∠EFC ＝∠CBD ．即可得出sin ∠EFC＝sin ∠CBD ，得出35CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF ＝CE ； ②分三种情况讨论求得：当EG ＝CG 时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC ＝∠GCE ＝∠ABD ＝∠BDC ，从而证得E 、D 重合，即可得到BE ＝BD ＝10；当GE ＝CE 时，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，即可得到∠EGC ＝∠ECG ＝∠ABD ＝∠GDC ，得到CG ＝CD ＝6．根据三角形面积公式求得CH ＝245，即可根据勾股定理求得GH ，进而求得HE ，即可求得BE ＝BH ＋HE ＝395； 当CG ＝CE 时，过点E 作EM ⊥CG 于点M ，由tan ∠ECM ＝43EM CM =．设EM ＝4k ，则CM ＝3k ，CG ＝CE ＝5k ．得出GM ＝2k ，tan ∠GEM ＝2142GM k EM k ==，即可得到tan ∠GCH ＝GH CH =12．求得HE ＝GH ＝125，即可得到BE ＝BH ＋HE ＝445；（3）连接OE 、EF 、AE 、EF ，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF ＝CE ，进而证得四边形ABCD 是正方形，进一步证得△ADE ≌△CDE ，通过证得△EHP ∽△FBC ，得出EH ＝16BF ，即可求得BF ＝6，根据勾股定理求得CF ＝10，得出PE ＝106，根据勾股定理求得PH ，进而求得PD ，然后根据三角形面积公式即可求得结果． 【详解】 （1）∵AB ∥CD ． ∴∠ABD ＝∠BDC ， ∵∠ABD ＝∠ECG ， ∴∠ECG ＝∠BDC ．（2）解：①∵AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝10，如图1，连结EF ，则∠CEF ＝∠BCD ＝90°， ∵∠EFC ＝∠CBD ． ∴sin ∠EFC ＝sin ∠CBD ， ∴35CE CD CF BD ==∴CF∴CE②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，∴BE＝BD＝10．Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．∵CH＝BC CD24 BD5⋅=，∴GH185 =，在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（245）2＝（x+185）2解得x＝75，∴BE＝BH+HE＝325+75＝395；Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．∵tan∠ECM＝43 EMCM=．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．∴GM＝2k，tan∠GEM＝2142 GM kEM k==，∴tan∠GCH＝GHCH＝tan∠GEM＝12．∴HE＝GH＝12412 255⨯=，∴BE＝BH+HE＝321244 555+=，综上所述，当BE为10，395或445时，△CEG为等腰三角形；（3）解：∵∠ABC＝90°，∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∵PE∥CF，∴OE⊥CF，∵OC＝OF，∴CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，EF FC，∴∠ABD＝∠ECF＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴AB＝AD＝8，∴四边形ABCD是正方形，∵PE∥FC，∴∠EGF＝∠PED，∴∠BGC＝∠PED，∴∠BCF＝∠DPE，作EH⊥AD于H，则EH＝DH，∵∠EHP＝∠FBC＝90°，∴△EHP∽△FBC，∴16 EH PEBF FC==，∴EH＝16 BF，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，∴AE＝CE，∴AE＝EF，∴AF＝2EH＝13 BF，∴13BF+BF＝8，∴BF＝6，∴EH＝DH＝1，CF10，∴PE＝16FC＝53，∴PH4 3 =，∴PD＝47133 +=，∴12773824S PDS AD===．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．4．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC 于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO 于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB （SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝32，∴CF ＝2（k+3），EF ＝2（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2，∴222(32)[2(3)][2(83)]k k ++=-，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，∴AO ＝22AB ＝62， ∴⊙O 的半径为62．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．6．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解； （3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.7．已知点A 为⊙O 外一点，连接AO ，交⊙O 于点P ，AO=6．点B 为⊙O 上一点，连接BP ，过点A 作CA ⊥AO ，交BP 延长线于点C ，AC=AB ．（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若PC=43，求 PB的长．（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）433PB=；（3）6565r≤<【解析】【分析】（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；（3）根据题意得出OE=12AC=12AB=2216r2-，利用OE=22162r r-≤，即可求出取值范围．【详解】解：（1）连接OB，如图：∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=∠APC，∵AC=AB，∴∠C=∠ABP，∵AC ⊥AO ， ∴∠CAP=90°，∴∠C+∠APC=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，即OB ⊥AB ，∴AB 为切线；（2）∵AB=AC∴22AB AC =，∴2222CP AP OA OB -=-，设半径为r ，则2222(43)(6)6r r --=-解得：r=2；作OH ⊥BP 与H ，则△ACP ∽△HOP ，∴PH OP AP CP=，即443PH = ∴23PH =, ∴432PB PH ==； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，∴四边形AOEM 是矩形，∴OE=AM=12AC=12AB=22162r -； 又∵圆O 与直线MN 有交点，∴OE=22162r r -≤， ∴2262r r -≤，∴22364r r -≤，∴655r ≥， 又∵圆O 与直线AC 相离，∴r ＜6，即6565r ≤<． 【点睛】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．8．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=45，点E 是BC 边上的动点，以C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，交AC 于F ，连接AE ，EF ．（1）求AC 的长；（2）当AE 与圆C 相切时，求弦EF 的长；（3）圆C 与线段AD 没有公共点时，确定半径CE 的取值范围．【答案】（1）AC=5；（2）410EF =；（3）03CE ≤<或58CE <≤． 【解析】【分析】（1）过A 作AG ⊥BC 于点G ，由cos 45B =，得到BG=4，AG=3，然后由勾股定理即可求出AC 的长度；（2）当点E 与点G 重合时，AE 与圆C 相切，过点F 作FH ⊥CE ，则CE=CF=4，则CH=3.2，FH=2.4，得到EH=0.8，由勾股定理，即可得到EF 的长度；（3）根据题意，可分情况进行讨论：①当圆C 与AD 相离时；②当CE>CA 时；分别求出CE的取值范围，即可得到答案．【详解】解：（1）过A作AG⊥BC于点G，如图：在Rt△ABG中，AB=5，4 cos5BGBAB==，∴BG=4，∴AG=3，∴844CG=-=，∴点G是BC的中点，在Rt△ACG中，22345AC=+=；（2）当点E与点G重合时，AE与圆C相切，过点F作FH⊥CE，如图：∴CE=CF=4，∵AB=AC=5，∴∠B=∠ACB，∴4 cos cos5CHB ACBCF=∠==，∴CH=3.2，在Rt△CFH中，由勾股定理，得FH=2.4，∴EH=0.8，在Rt△EFH中，由勾股定理，得224100.8 2.4EF=+=（3）根据题意，圆C与线段AD没有公共点时，可分为以下两种情况：①当圆C与AD相离时，则CE<AE，∴半径CE 的取值范围是：03CE ≤<；②当CE>CA 时，点E 在线段BC 上，∴半径CE 的取值范围是：58CE <≤；综合上述，半径CE 的取值范围是：03CE ≤<或58CE <≤．【点睛】本题考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，勾股定理，以及线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，正确确定动点的位置，从而进行解题．9．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,55FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB =． 【解析】【分析】（1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出OCD ODC ∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD ,根据AC AD =得出,BC BD BA CD =⊥，CBA ABD ∠=∠，再根据CE CD =,得出CBE CBD ∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE ⊥⊥，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥，,5BE BP a DB a ===先证CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证,CMB CNB BM BN ∆≅∆=，设DM b =，得出2b a =，再算出,CM CD 得出CPD ∆为等腰三角形，再根据BP 是角平分线利用角平分线定理得出BCP EBP S DP BD S PE BE∆==，从而算出,PE DE ,再根据三角函数值算出BG ,,,,AB r OG OH ，再根据//FH DE 得出HO OF GO OK=，从而计算AB ． 【详解】（1）连接OC ，CD因为AC AD =，所以COA DOA ∠=∠ OC OD =，,OA CD CD AB ∴⊥∴⊥;(2)连接BC ，,BC BD BA CD =⊥所以AB 平分CBD ∠，设ABD ABC α∠=∠=2CBD α∴∠=CD CE ∴=2CBE CBD α∴∠=∠=，3EBA α∴∠=3EBA ABD ∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEB αα︒∠=∠=∠=- 设,5BE BP aDB a ===作,CM DB CN BE ⊥⊥，可证：CDM CEN ∆≅∆，DM EN =，再证：,CMB CNB BM BN ∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a ==+=-∴=在CBM ∆中勾股4CM a =在CDM ∆中勾股25CD a =得CPD ∆为等腰三角形25DP DC a ==因为BP 为角平分线，过点P 作,PT BE PS BD ⊥⊥可证：5BCP EBP S DP BD S PE BE∆=== 2525,53PE a DE a ∴== 14tan ,tan 223αα== 2555,32BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．10．如图，二次函数y ＝﹣56x 2+bx +c 与x 轴的一个交点A 的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A ，与该二次函数的图象相交于点B ，C ，点B ，C 的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB ，AC ，并且满足AB ⊥AC ．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B 作直线BD ⊥AB ，与x 轴交于点D ，与二次函数的图象交于点E ，连接AE ，请判断△ADE 的形状，并说明理由；（3）若直线y ＝kx +1与圆A 相切，请直接写出k 的值．【答案】（1）y ＝﹣56x 2﹣376x ﹣11；（2）△ADE 是等腰三角形，理由见解析；（3）k 的值为﹣12或2 【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出()ACN BAM AAS ∆≅∆，进而得出(2,2)B --，(5,1)C --，最后将点B ，C 坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）先判断出ABM BDM ∆∆∽，得出点D 坐标，进而求出直线BD 的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论；（3）分两种情况，Ⅰ、切点在x 轴上方，利用三垂线判断出()AQG FPG AAS ∆≅∆，得出AQ PF =，GQ PG =，设成点G 坐标，进而得出3AQ m =+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，即可得出结论；Ⅱ、切点在x 轴下方，同Ⅰ的方法即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，过点B 作BM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于N ，90ANC BMA ∴∠=∠=︒，90ABM BAM ∴∠+∠=︒，AC AB ⊥，90CAN BAM ∴∠+∠=︒，ABM CAN ∴∠=∠，A 过点B ，C ，AC AB ∴=，()ACN BAM AAS ∴∆≅∆，2(3)1CN AM ∴==---=，3(5)2BM AN ==---=，(2,2)B ∴--，(5,1)C --，点B ，C 在抛物线上， ∴54226525516b c b c ⎧-⨯-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯-+=-⎪⎩， ∴37611b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为25371166y x x =---，（2）ADE ∆是等腰三角形，理由如下：如图1，BD AB ⊥，90ABD ∴∠=︒，90ABM DBM ∴∠+∠=︒，过点B 作BM x ⊥轴于M ，90BMD AMB ∴∠=∠=︒，90BDM DBM ∴∠+∠=︒，ABM BDM ∴∠=∠，ABM BDM ∴∆∆∽， ∴AM BM BM DM=， ∴122DM=， 4DM ∴=，2()2D ∴,， 5AD ∴=，(2,2)B --，∴直线BD 的解析式为112y x =-， 联立，21125371166y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩， ∴22x y =-⎧⎨=-⎩（舍)或61x y =-⎧⎨=-⎩， (6,4)E ∴--，22(63)(40)5AE ∴=-++--=，AD AE ∴=，ADE ∴∆是等腰三角形；（3）如图2，点(2,2)B --在A 上，AB ∴ 记直线1y kx =+与y 轴相交于F ，令0x =，则1y =，(0,1)F ∴，1OF ∴=，Ⅰ、当直线1y kx =+与A 的切点在x 轴上方时，记切点为G ，则AG AB ==90AGF ∠=︒，连接AF ，在Rt AOF ∆中，3OA =，1OF =，AF ∴=，在Rt AGF ∆中，根据勾股定理得，FG AG ===，如图2，过点G 作GP y ⊥轴于P ，过点G 作GQ x ⊥轴于Q ，90AQG FPG POQ ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形POQG 是矩形，90PGQ ∴∠=︒， FG 是A 的切线，AGQ FGP ∴∠=∠，()AQG FPG AAS ∴∆≅∆，AQ PF ∴=，GQ PG =，设点(,1)G m km +，3AQ m ∴=+，PF km =，PG m =-，1GQ km =+，3m km ∴+=①，1km m +=-②， 联立①②解得，212m k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， Ⅱ、当切点在x 轴下方时，同Ⅰ的方法得，2k =，即：直线1y kx =+与圆A 相切，k 的值为12-或2． 【点睛】此题是二次函数综合题，主考查了待定系数法，三垂线判定两三角形全等，解方程组，判断出FG AG =是解本题的关键．。
九年级数学上册圆 几何综合单元练习(Word版 含答案)
九年级数学上册圆 几何综合单元练习（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R <<【解析】 【分析】()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，//PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=，//PH AF ，PH BP BHAF AB BF∴==6242x BH ==，223PH x ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-，在Rt PHC 中，22PC PH CH =+22221()(6)33y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．//PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形．PE DM x ∴==，即 6MC x =-，PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，PB BE EC MC ∴=，即232663xx x x =--， 解得：185x =，即125BE =，1218655PD EC ∴==-=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． 【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，过点A 作直线MN ，且∠MAC ＝∠ABC ．（1）求证：MN 是⊙O 的切线．（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．①求证：FD ＝FG ．②若BC ＝3，AB ＝5，试求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE ＝1 【解析】 【分析】（1）由AB 为直径知∠ACB ＝90°，∠ABC +∠CAB ＝90°．由∠MAC ＝∠ABC 可证得∠MAC +∠CAB ＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE ＝∠DGF 即可．∠BDE ＝90°﹣∠ABD ；∠DGF ＝∠CGB ＝90°﹣∠CBD ．因为D 是弧AC 的中点，所以∠ABD ＝∠CBD ．则问题得证；②连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．证明Rt △ADE ≌Rt △CDH ，可得AE ＝CH ．根据AB ＝BH 可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠CAB+∠ABC ＝90°； ∵∠MAC ＝∠ABC ，∴∠MAC+∠CAB ＝90°，即MA ⊥AB ， ∴MN 是⊙O 的切线；（2）①证明：∵D 是弧AC 的中点， ∴∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB 是直径， ∴∠CBG+∠CGB ＝90°， ∵DE ⊥AB ，∴∠FDG+∠ABD ＝90°， ∵∠DBC ＝∠ABD ， ∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ， ∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DEBD BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ）， ∴BE ＝BH ， ∵D 是弧AC 的中点， ∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DHAD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．3．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．4．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=34，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=13CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为35或3． 【解析】试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2DF=t 3； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()22211·t 13326S DF DE t t ⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为16； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=-=或,解得335t t ==或.5．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，D 长为半径作作⊙D ．⑴求证：AC 是⊙D 的切线.⑵设AC 与⊙D 切于点E ，DB=1，连接DE ，BF ，EF. ①当∠BAD= 时，四边形BDEF 为菱形； ②当AB= 时，△CDE 为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=2设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+2∴()222++=+，解得x=2+1(12)1x x∴当AB=2+1时，△CDE为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.6．已知：ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．∠=∠；（1）如图1，求证：DAB DBC（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，BM AM AD =+，求证：BN CN =；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=︒，tan 2ECF ∠=，12ON OQ =，610PQ OQ +=，求CF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF 【解析】 【分析】 （1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．【详解】解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90° ∴∠DBC ＋∠CBG=90° ∵BG 为直径∴∠BCG=90° ∴∠CBG ＋∠G=90° ∴∠DBC=∠G ∵四边形ABGC 为O 的内接四边形∴∠DAB=∠G ∴∠DAB=∠DBC（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH∴DM 垂直平分AH ∴DH=AD ∴∠DHA=∠DAH ∵BMAM AD =+，=+BM MH BH∴AD=BH ∴DH=BH ∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD 由（1）知∠DAB=∠DBC ∴∠DHA=∠DAB=∠DBC ∴∠DBC =2∠HBD ∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC ∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC ∴∠DAB=2∠ABC ∵∠DAB=∠ABC ＋∠C ∴∠ABC=∠C ∴AB=AC∴点A 在BC 的垂直平分线上 ∵点O 也在BC 的垂直平分线上 ∴AO 垂直平分BC ∴BN CN =（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，∵90DCF CDB ∠+∠=︒∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF ∥OB∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2由（2）知OA 垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN ≌△BON∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r∵12ON OQ = ∴OQ=2a∵CF ∥OB∴△QGO ∽△QCF∴=OG QO CF QF 即2122==++OG a r a a a ∴OG=12r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE∴点E ′与点E 重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB 和PE 是圆O 的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE 为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=12∠BOE==45°∴△NQC为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a，∴BC=2NC=6a在Rt△CFN中，CF=2210+=NC FN a∵PQ OQ⊥∴PQ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE∽△BCG∴=PQ PEBC BG即126=+PQ rra r解得：PQ=4a∵610PQ OQ+=，∴4a＋2a=610解得：a=10∴CF=1010⨯=10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．7．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE=，BE与CD交于点F．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x = ∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的AC中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；（3）若tan∠P＝512，试求AHAG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310 AHAG=．【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∴∠AMO＝90°，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，∴∠P＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠PAH，∴∠P＝∠PAH，∴PH＝AH，过点H作HK⊥PA于点K，∴PK＝AK，∴13 PKPE=，∵tan∠P＝5 12，设HK＝5a，PK＝12a，∴PH＝13a，∴AH＝13a，PE＝36a，∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，∴13131010AH aAG a==．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．10．在O中，AB为直径，CD与AB相较于点H，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB⊥;（2）如图2，弧BC上有一点E，若弧CD=弧CE，求证：3EBA ABD∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接,//FH FH DE，延长FO交DE于点K，若165,55FK DB BE==，求AB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1855AB=．【解析】【分析】（1）连接,OC OD,根据AC AD=得出COA DOA∠=再根据OC OD=得出OCD ODC∠=∠，从而得证；（2）连接,BC BD,根据AC AD=得出,BC BD BA CD=⊥，CBA ABD∠=∠，再根据CE CD=,得出CBE CBD∠=∠,从而得出结论；（3）作,CM DB CN BE⊥⊥，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥，,5BE BP a DB a===先证CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证,CMB CNB BM BN∆≅∆=，设DM b=，得出2b a=，再算出,CM CD得出CPD∆为等腰三角形，再根据BP是角平分线利用角平分线定理得出BCPEBPS DP BDS PE BE∆==，从而算出,PE DE,再根据三角函数值算出BG,,,,AB r OG OH，再根据//FH DE得出HO OFGO OK=，从而计算AB．【详解】（1）连接OC，CD因为AC AD=，所以COA DOA∠=∠OC OD=，,OA CD CD AB∴⊥∴⊥;(2)连接BC，,BC BD BA CD=⊥所以AB平分CBD∠，设ABD ABCα∠=∠=2CBDα∴∠=CD CE∴=2CBE CBDα∴∠=∠=，3EBAα∴∠=3EBA ABD∴∠=∠．(3) 2,90EBC BPE PEBαα︒∠=∠=∠=-设,5BE BP a DB a===作,CM DB CN BE⊥⊥，可证：CDM CEN∆≅∆，DM EN=，再证：,CMB CNB BM BN∆≅∆=设,5,2DM EN b a b a b b a==+=-∴=在CBM∆中勾股4CM a=在CDM∆中勾股25CD a=得CPD∆为等腰三角形25DP DC a==因为BP为角平分线，过点P作,PT BE PS BD⊥⊥可证：5BCPEBPS DP BDS PE BE∆===2525,PE DE∴==14tan ,tan 223αα== 2555,BG a AB a ∴== 557535,,4124r a OG a OH a === //FH DE97HO OF GO OK ∴== 995185,16OF KF AB ===【点睛】本题是一道圆的综合题目，难度较大，考查了圆相关的性质以及与三角形综合，掌握相关的线段与角度转化是解题关键．。
九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷附答案
九年级数学上册圆几何综合单元测试卷附答案一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．【答案】（1）①y=x2-x-4；②△BDM的面积有最大值为36；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解析式为y=-x+4，设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），从而得到ME=-x2+x+8，运用割补法可得S△BDM=S△DEM+S△BEM=-（x-2）2+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM的面积的最大值；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10，AC=2，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB为直径．∵CD⊥AB，∴OD=OC，∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=-x+4．设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8，∴S△BDM=S△DEM+S△BEM=ME（x E-x D）+ME（x B-x E）=ME（x B-x D）=（-x2+x+8）×8=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∵0＜x＜8，∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，∴△ADO∽△CBO，∴，∴OC•OD=OA•OB=4，∴4OD=4，∴OD=1，∴D（0，1），∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．考点：圆的综合题4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D．⑴求证：AC是⊙D的切线.⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°，②2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=2设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+2∴()222++=+，解得x=2+1(12)1x x∴当AB=2+1时，△CDE为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.5．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE=，BE与CD交于点F．（1）如图1，求证：BH ＝FH ；（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径 ∴90AEB =︒∠∵AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=︒ 又∵CD AB ⊥于H∴45HFB ∠=︒ ∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒ ∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆ ∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆ ∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒ ∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+ ∴45M MGC α∠=∠=︒+ ∴()CMG CNG AAS ∆≅∆ ∵CMG ∆面积为6 ∴6CANGANSS-=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，， 则()CGT BCH AAS ∆≅∆ ∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅= ∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x = ∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝ 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.6．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；（2）当m＝2时，求BE的长度；（3）在点B的整个运动过程中，①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．②连接EH，FH，当tan∠FHE＝512时，直接写出△FHD与△EFH面积比．【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m＝2或226【解析】【分析】（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝5cos∠ABC 5，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝512可求得DHEF的值即可．【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵HB＝HD，CH⊥BD，∴CH是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴∠CDB＝∠ABC＝60°；（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，当m＝2时，BC＝2，∴AB＝22AC BC＝25，∴cos∠ABC＝BCAB ＝5，∴BH＝BC•cos∠ABC＝25，∴BK＝BH•cos∠ABC＝25，∴BE＝2BK＝45；（3）①分两种情况：I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE＝m，∴CE＝13m，BE＝23m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝23，∴DE＝23AC＝83，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：2281m33⎛⎫⎛⎫⎪⎭⎝+⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝22；II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，∵BC＝3CE，∴CE＝13m，BE＝32m，∵DE∥AC，∴△DEB～△ACB，∴DEAC ＝BEBC＝32，∴DE＝32AC＝6，∵CD＝CB＝m，∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+21m3⎛⎫⎪⎝⎭＝m2，∵m＞0，∴m＝42；综上所述，①当BC＝3CE时，m＝22或42．②如图4，过F作FG⊥HE于点G，∵CH⊥AB，HB＝HD，∴CB ＝CD ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+，∴DF BE =，∴EF ∥BD ，∴FHDEFH SS ＝DH EF， ∵在Rt △FHG 中，FG HG ＝tan ∠FHE ＝512， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH ＝22FG HG +＝22(5)(12)k k +＝13k ，∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ，∴EF ＝22FG EG +＝22(5)k k +＝26k ，∴FHDEFH SS ＝26k ＝26． 【点睛】本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．7．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】 （1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，252OP OA ==，延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132-． 【解析】【分析】（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '，∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '，又∵CQ ＝CQ '，∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短．在Rt △ABC 中22228610AB AC BC =+=+=，1122ABC S AC BC AB CP ∆=•=•， ∴68 4.810AC BC CP AB •⨯===， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2．（3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ．∵∠EAF ＝90°，1tan 3AEF ∠=， ∴13AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1，∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=== 在Rt △ACH 中，313913sin 31313GH AG BAC =•∠=⨯=，∴11913113F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22AC F H -•=⨯⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：273138131327--+=； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵229131F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22132AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是273138131327+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313+，最小值是81313-． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30CAB ∠=︒，10AB =，点D 在线段AB 上，2AD =．点P 从D 点出发，沿DB 方向运动，以DP 为直径作O ，当P 运动到点B 时停止运动，设DP m =．（1）AO =___________，BP =___________．（用m 的代数式表示）（2）当m 为何值时，O 与ABC ∆的一边相切？（3）在点P 整个运动过程中，过点P 作O 的切线交折线AC CB -于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60︒得到EF ，过F 作FG EP ⊥于G ．①当线段FG 长度达到最大时，求m 的值；②直接写出点F 所经过的路径长是________．（结果保留根号）【答案】（1）22m AO =+，8BP m =-；（2）4m =或32348m =；（3）①1121153762【解析】【分析】（1）观察图中AO 和DP 的数量关系可得22DP AO =+，而BP AB AP =-，将DP m =代入即可.（2）O 与ABC ∆的一边相切有两种情况，先与AC 相切，再与BC 相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答. （3）①根据旋转的性质可得PF PE =，在Rt EFG ∆中根据三角函数可得cos30FG PE ︒=⋅，故当E 点与C 点重合，PE 取得最大值时，FG 有最大值，解之即可. ②明显以E 点与C 点重合前后为节点，点F 的运动轨迹分两部分，第一部分为从P 开始运动到E 点与C 点重合，即图中的12F F ，根据1212F F AC AF CF =--求解；第二部分，根据tan EF EP EBF EB EB∠==为定值可知其轨迹为图中的2F B ，在2Rt F BC 中用勾股定理求解即可.【详解】 （1）2222DP m AO =+=+，8BP AB AP m =-=- （2）情况1：与AC 相切时，Rt AOH ∆中，∵30A ∠=︒ ∴2AO OH =∴22m m +=解得4m =情况2：与BC相切时，Rt BON ∆中，∵60B ∠=︒ ∴3cos 2ON B OB ==即32282mm =- 解得32348m =-（3）①在Rt EFG ∆中，∵30EFG A ∠=∠=︒，90EGF ∠=︒，∴3cos30cos30FG EF PE EP ︒︒=⋅=⋅=， ∴当FG 最大时即PE 最大当点E 与点C 重合时，PE 的值最大．易知此时53553102AC BC EP AB ⨯===．在Rt EAP ∆中，∵30A ∠=︒∴1532AP EP ==∴1511222m DP ==-= （3）F 轨迹如图：从1F 到2F 到B1133233AF AE EF AD PE =-=-==, 253CF CP ==， 故1212235311353F F AC AF CF =--== 2F 到B 轨迹是线段理由如下：∵60FEP ∠=︒，30PEB ∠=︒，∴90FEB ∠=︒．∴tan EF EP EBF EB EB∠==为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ．在2Rt F BC 中，2222225357522BF BC F C ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以点F 1153762 【点睛】本题是综合了圆的性质，直线与圆相切的条件，锐角三角函数，勾股定理以及旋转的性质等知识的动点动图问题，熟练掌握各个知识点是基础，充分理解题意并作图，化动为静是解答关键.10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 322）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；（3）3≤m ≤1或≤m ≤﹣4【解析】【分析】（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义列出不等式组求解即可.【详解】（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”故答案为1A ；（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2428BQ ∴≤≤如图1，过点O 作OD l ⊥由直线:l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD ===则点D 到⊙O 1-，即直线:3l y x b =+上的点到⊙O 的最小值为1-要使直线:3l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”18-≤解得：b ≤b -≤≤；（3）由（2）知，428BQ ≤≤依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O14<，此时顶点N 不符题意②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O14<，此时顶点M 不符题意③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O的最小值为11则1418m +≥⎧≤，解得：31m ≤≤ 当正方形MNST 处于2号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点M 到⊙O1-1；点S 到⊙O 的最小11则1418≥≤，解得：1m ≤≤或1m ≤≤- 故当1m 时，m的取值范围为31m ≤≤④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O的最小值为11则418m -≥⎧≤，解得：4m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +此时，点N 到⊙O11；点T 到⊙O11则2222(1)114218m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去） 故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.【点睛】本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.。
九年级上学期数学《圆》单元测试(附答案)
九年级上册数学《圆》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题(每小题3分,共36分)1、三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点()A . 三边中线B . 三边垂直平分线C . 三边高线D . 三内角的平分线2、如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条A B ,A C 夹角为150°, A B 的长为32C m,B D 的长为14C m,则DE的长为( )C m．A . 154π B . 12π C . 15π D . 36π3．A B 为⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,已知C D =16,OE=6,则⊙O的直径为( )A . 8B . 10C . 16D . 204、如图,在Rt△A B C 中,∠C =90°,A C =4,B C =2,分别以A C 、B C 为半径画圆,则阴影部分的面积为( )A . 542π- B . 104π- C .108π- D .582π-5．若A B 是⊙O的直径,C D 是⊙O的弦,∠A B D =55°,则∠B C D 的度数为( )A . 25°B . 35°C . 45°D . 65°6、如图,将⊙O沿弦A B 折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点,则∠A PB 的度数为( )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°7、如图,平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2C m,且O点到其中一条直线的距离为2.2C m,则这条直线是( )A . L lB . L2C . L3D . L48.如图,在⊙O中,若∠C D B ＝60°,⊙O的直径A B 等于4,则B C 的长为()A . 3 B . 2 C .23 D . 439.如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,D 是边B C 的中点,一个圆过点A ,交边A B 于点E,且与B C 相切于点D ,则该圆的圆心是( )A ．线段A E的中垂线与线段A C 的中垂线的交点B ．线段A B 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C ．线段A E的中垂线与线段B C 的中垂线的交点D ．线段A B 的中垂线与线段B C 的中垂线的交点10、在⊙O 中按如下步骤作图：(1)作⊙O 的直径A D ；(2)以点D 为圆心,D O 长为半径画弧,交⊙O 于B ,C 两点；(3)连接D B ,D C ,A B ,A C ,B C ．根据以上作图过程及所作图形,下列四个结论中错误的是( )A ．∠AB D ＝90° B ．∠B A D ＝∠C BD C ．A D ⊥B C D ．A C ＝2C D11、一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示,顶点D 在圆圈外,其他几个顶点都在圆圈上,圆圈和AD 交于点E ,已知8AC cm =,则这个圆圈上的弦CE 长是( )A ．62cmB ．63cmC ．()431cm +D ．()163cm +12、如图,A B 是⊙O 的直径,C D 是⊙O 的切线,切点为D ,C D 与A B 的延长线交于点C ,∠A =30°,给出下面3个结论：①A D =C D ；②B D =B C ；③A B =2B C ,其中正确结论的个数是( )A ．3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个二、填空题(每小题3分,共18分)13.点A 到⊙O的最小距离为1,最大距离为3,则⊙O的半径长为_____．14.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为．15、如图,正六边形内接于⊙O,小明向圆内投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率是．16.如图,在△A B C 中,∠A B C ＝24°,以A B 为直径的⊙O交B C 于点D ,交C A 的延长线于点E,若点E在B D 的垂直平分线上,则∠C 的度数为_____．17.已知直线l与⊙O相交于点E、F,A B 是⊙O的直径,A D ⊥l于点D ．若∠D A E＝18°,则∠B A F 的大小为．18.如图,B C 是圆O的直径,D ,E是BC上两点,连接B D ,C E并延长交于点A ,连接OD ,OE,如果∠A ＝65°,那么∠D OE的度数为_____．三、解答题(共46分)19、(6分)如图,A B 是圆O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,点P在圆O上且∠1=∠C ．(1)求证：C B ∥PD ；(2)若B C =3,B E=2,求C D 的长．20、(8分)如图,已知⊙O的直径为A B ,A C ⊥A B 于点A ,B C 与⊙O相交于点D ,在A C 上取一点E,使得ED =EA ．(1)求证：ED 是⊙O的切线．(2)当OA =3,A E=4时,求B C 的长度．21、(8分) 21.如图,A B 为半圆O的直径,A C 是⊙O的一条弦,D 为BC的中点,作D E⊥A C ,交A B 的延长线于点F,连接D A ．(1)求证：EF为半圆O的切线；(2)若D A ＝D F＝63,求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)22、(8分)已知,如图,B C 是以线段A B 为直径的⊙O的切线,A C 交⊙O于点D ,过点D 作弦D E⊥AB ,垂足为点F,连接B D 、B E．(1)仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：①,②,③,(不添加其它字母和辅助线,不必证明)；(2)若∠A =30°,C D =2,求⊙O的半径r．23、(8分)如图,A B 、C D 是⊙O中两条互相垂直的弦,垂足为点E,且A E＝C E,点F是B C 的中点,延长FE交A D 于点G,已知A E＝1,B E＝3,OE＝．(1)求证：△A ED ≌△C EB ；(2)求证：FG⊥A D ；(3)若一条直线l到圆心O的距离D ＝,试判断直线l是否是圆O的切线,并说明理由．24、(8分)如图,⊙O是△A B C 的外接圆,A B 为直径,过点O作OD ∥B C ,交A C 于点D ．(1)求∠A D O的度数；(2)延长D O交⊙O于点E,过E作⊙O的切线,交C B 延长线于点F,连接D F 交OB 于点G．①试判断四边形C D EF的形状,并说明理由；②若B G＝2,A D ＝3,求四边形C D EF 的面积．参考答案一、选择题(每小题3分,共36分)1、三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点()A . 三边中线B . 三边垂直平分线C . 三边高线D . 三内角的平分线[答案]B[分析]根据外心的定义直接进行判断即可．[解析]根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B ．[点睛]此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．2、如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条A B ,A C 夹角为150°,A B 的长为32C m,B D 的长为14C m,则DE的长为( )C m．A . 154π B . 12π C . 15π D . 36π[答案]C[分析]根据A B ＝32C m,B D ＝14C m,可以得到A D 的长,然后根据A B ,A C 夹角为150°和弧长计算公式可以得到DE的长．[解析]∵A B ＝32C m,B D ＝14C m,A B ,A C 夹角为150°,∴A D ＝A B ﹣B D ＝18C m,∴DE的长为：15018180π⨯⨯＝15π(C m),故选：C ．[点睛]本题考查了弧长的计算,掌握计算公式是解题关键．3．A B 为⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,已知C D =16,OE=6,则⊙O的直径为( ) A . 8 B . 10 C . 16 D . 20[答案]D[分析]连接OC ,由垂径定理可知,点E为C D 的中点,且OE⊥C D ,在Rt△OEC 中,根据勾股定理,即可得出OC ,从而得出直径．[解析]连接OC ,∵A B 为⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E ∴C E=12C D =8,∵OE=6．在Rt△OEC 中,由勾股定理得：OC 2=OE2+EC 2,即OC 2=62+82解得：OC =10∴直径A B =2OC =20．故选D ．[点睛]本题考查垂径定理,勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.4、如图,在Rt△A B C 中,∠C =90°,A C =4,B C =2,分别以A C 、B C 为半径画圆,则阴影部分的面积为( )A . 542π- B . 104π- C .108π- D .582π-[答案]A[解析]设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5,如图所示：∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4,△A B C 的面积是S3+S4+S5, 阴影部分的面积是：S1+S2+S4,∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×4+12π×1-12×4×2=52π-4, 故选：A .5．若A B 是⊙O的直径,C D 是⊙O的弦,∠A B D =55°,则∠B C D 的度数为( )A . 25°B . 35°C . 45°D . 65°[答案]B[分析]连结A D ,由A B 是⊙O的直径得到∠A D B =90°,再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数,然后根据圆周角定理即可得到∠C 的度数．[解析]连结A D ,如图,∵A B 是⊙O的直径,∴∠A D B =90°,∵∠A B D =55°,∴∠A =90°−55°=35°,∴∠B C D =∠A =35°.故答案为35°.[点睛]本题考查圆周角定理,找对同弧所对的圆周角是解题关键.6、如图,将⊙O沿弦A B 折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点,则∠A PB 的度数为( )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°[答案]D[解析]作半径OC ⊥A B 于点D ,连结OA ,OB ,∵将O沿弦A B 折叠,圆弧较好经过圆心O,∴OD =C D ,OD =12OC =12OA ,∴∠OA D =30°(30°所对的直角边等于斜边的一半),同理∠OB D =30°,∴∠A OB =120°,∴∠A PB =12∠A OB =60°.(圆周角等于圆心角的一半)故选D .[考点]圆周角定理；垂径定理．7、如图,平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2C m,且O点到其中一条直线的距离为2.2C m,则这条直线是( )A . L lB . L2C . L3D . L4[答案]C[分析]根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当D =r,则直线和圆相切；当D <r,则直线和圆相交；当D >r,则直线和圆相离,进行分析判断．[解析]因为圆心O点到所求直线的距离2.2C m>半径2C m,所以此直线和圆相离,即为直线l3.故选C .[点睛]本题考查直线与圆的位置关系,熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键.8.如图,在⊙O中,若∠C D B ＝60°,⊙O的直径A B 等于4,则B C 的长为()A . 3B . 2C . 23D . 43[答案]C[分析]根据圆周角定理得出∠C A B ＝60°,进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．[解析]∵∠C D B ＝60°,∴∠C A B ＝∠C D B ＝60°,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠A C B ＝90°,∴∠C B A ＝30°,∴A C =12A B , ∵⊙O 的直径A B 等于4,∴A C =2,∴B C =22AB AC -=23,故选：C ．[点睛]此题考查含30的直角三角形的性质,关键是根据圆周角定理得出60CAB ∠=︒解答．9.如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,D 是边B C 的中点,一个圆过点A ,交边A B 于点E ,且与B C 相切于点D ,则该圆的圆心是( )A ．线段A E 的中垂线与线段A C 的中垂线的交点B ．线段A B 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C ．线段A E 的中垂线与线段B C 的中垂线的交点D ．线段A B 的中垂线与线段B C 的中垂线的交点[答案]C .[考点]线段中垂线的性质；切线的性质；垂径定理.[解析]根据线段中垂线的性质、切线的性质和垂径定理,该圆的圆心是线段A E 的中垂线与线段B C 的中垂线的交点. 故选C .[考点]线段中垂线的性质、切线的性质和垂径定理10、在⊙O 中按如下步骤作图：(1)作⊙O 的直径A D ；(2)以点D 为圆心,D O 长为半径画弧,交⊙O 于B ,C 两点；(3)连接D B ,D C ,A B ,A C ,B C ．根据以上作图过程及所作图形,下列四个结论中错误的是( )A ．∠AB D ＝90° B ．∠B A D ＝∠C BD C ．A D ⊥B C D ．A C ＝2C D[答案]D[分析]根据作图过程可知：A D 是⊙O 的直径,BD ＝CD ,根据垂径定理即可判断A 、B 、C 正确,再根据D C ＝OD ,可得A D ＝2C D ,进而可判断D 选项．[解析]根据作图过程可知：A D 是⊙O 的直径,∴∠A B D ＝90°,∴A 选项正确；∵B D ＝C D ,∴BD ＝CD ,∴∠B A D ＝∠C B D ,∴B 选项正确；根据垂径定理,得A D ⊥B C ,∴C 选项正确；∵D C ＝OD ,∴A D ＝2C D ,∴D 选项错误．故选：D ．[点睛]本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理,解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．11、一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示,顶点D 在圆圈外,其他几个顶点都在圆圈上,圆圈和AD 交于点E ,已知8AC cm =,则这个圆圈上的弦CE 长是( )A ．62cmB ．63cmC ．()431cm +D ．()163cm +[答案]C[分析]作AF CE ⊥于点E ,连接B E ,在Rt AEF ∆中求出EF 的长,在Rt ACF ∆中求出C F 的长,即可求出C E 的长.[解析]如图,作AF CE ⊥于点E ,连接B E ,∵ABC ∆是等腰直角三角形,8AC =,∴45ABC CAB ∠=∠=,90ACB ∠=,82AB =∴45AEC ∠=,A B 是直径,∴90AEB ∠=,∵ABD ∆是含30的三角板,∴30BAE ∠=, ∴42BE =,46AE =,453075CAE ∠=+=,∴180457560ACE ∠=--= 60ACE ∠=在Rt AEF ∆中,46AE =,45AEF ∠=,∴EF AF =,由勾股定理得：43EF =,在Rt ACF ∆中,8AC cm =,60ACE ∠=,∴30CAF ∠=,∴C F=4,∴443CE CF EF =+=+=()431+.故选：C . [点睛]本题考查了圆周角定理及勾股定理,能够把求C E 长度问题转化直角三角形中的计算问题是解题的关键.12、如图,A B 是⊙O 的直径,C D 是⊙O 的切线,切点为D ,C D 与A B 的延长线交于点C ,∠A =30°,给出下面3个结论：①A D =C D ；②B D =B C ；③A B =2B C ,其中正确结论的个数是( )A ．3个 B ． 2个 C ． 1个 D ． 0个考点：切线的性质．分析：连接OD ,C D 是⊙O 的切线,可得C D ⊥OD ,由∠A =30°,可以得出∠A B D =60°,△OD B 是等边三角形,∠C =∠B D C =30°,再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半,继而得到结论①②③成立．解析：如图,连接OD ,∵C D 是⊙O 的切线,∴C D ⊥OD ,∴∠OD C =90°,又∵∠A =30°,∴∠A B D =60°,∴△OB D 是等边三角形,∴∠D OB =∠A B D =60°,A B =2OB =2OD =2B D ．∴∠C =∠B D C =30°,∴B D =B C ,②成立；∴A B =2B C ,③成立；∴∠A =∠C ,∴D A =D C ,①成立；综上所述,①②③均成立,故答案选：A ．点评：本题考查了圆的有关性质的综合应用,在本题中借用切线的性质,求得相应角的度数是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共18分)13.点A 到⊙O的最小距离为1,最大距离为3,则⊙O的半径长为_____．[答案]1或2[分析]分类讨论：点在圆内,点在圆外,根据线段的和差,可得直径,根据圆的性质,可得答案．[解析]点在圆内,圆的直径为1+3=4,圆的半径为2；点在圆外,圆的直径为3−1=2,圆的半径为1,故答案为1或2.[点睛]本题考查点与圆的位置关系,关键是分类讨论：点在圆内,点在圆外.14.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为．[答案]2[解析]扇形的面积：S=12lr=12×2×2=2.考点：扇形的面积计算.15、如图,正六边形内接于⊙O,小明向圆内投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率是．[分析]根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积,而扇形面积是圆面积的,可得结论．[解答]解：如图所示：连接OA ,∵正六边形内接于⊙O,∴△OA B ,△OB C 都是等边三角形,∴∠A OB =∠OB C =60°,∴OC ∥A B ,∴S△A B C =S△OB C ,∴S阴=S扇形OB C ,则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．[点评]此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法,得出阴影部分面积=S 扇形OB C 是解题关键．16.如图,在△A B C 中,∠A B C ＝24°,以A B 为直径的⊙O 交B C 于点D ,交C A 的延长线于点E ,若点E 在B D 的垂直平分线上,则∠C 的度数为_____．[答案]33°[解析]过点E 作EF ⊥B D 于点F ,连接A D ,∵点E 在B D 的垂直平分线上,∴BE =ED ,直线EF 必过圆心,EF //A D ,∵24,ABC ∠=∴66,BOF AOE BAD ∠=∠=∠= ∴18066572BAE ，-∠== 90ADB ∠=， ∴180180576657,DAC BAE BAD ∠=-∠-∠=--=∴180180579033.C DAC ADC ∠=-∠-∠=--=故答案为33.点睛：属于圆的综合题,考查圆周角定理,线段垂直平分线的性质,垂径定理,比较基础.17.已知直线l 与⊙O 相交于点E 、F ,A B 是⊙O 的直径,A D ⊥l 于点D ．若∠D A E ＝18°,则∠B A F 的大小为 ．[答案]18°[分析]连接B E,根据圆周角定理可知∠A EB =90°,再由直角三角函数的性质得出∠A ED 的度数,根据余角的定义即可得出结论．[解析]连接B E,∵A B 是⊙O的直径,∴∠A EB =90°,∴∠A ED +∠B EF=90°,∵∠A ED +∠D A E=90°,∴∠B EF=∠D A E=18°,∵=,∴∠B A F=∠B EF=18°．[点睛]本题考查圆周角定理,熟练掌握定理是解答关键．18.如图,B C 是圆O的直径,D ,E是BC上两点,连接B D ,C E并延长交于点A ,连接OD ,OE,如果∠A ＝65°,那么∠D OE的度数为_____．[答案]50°．[分析]利用三角形内角和定理求出∠B +∠C ＝115°,再利用等腰三角形的性质求出∠B OD +∠EOC 即可解决问题．[解析]∵∠A ＝65°,∴∠B +∠C ＝115°,∵OB ＝OD ,OC ＝OE,∴∠B ＝∠OD B ,∠C ＝∠OEC ,∴∠B OD +∠EOC ＝180°﹣2∠B +180°﹣2∠C ＝130°,∴∠D OE＝180°﹣(∠B OD +∠EOC )＝180°﹣130°＝50°,故答案为：50°．[点睛]本题考查了等腰三角形的性质,圆的性质和三角形内角和,掌握知识点是解题关键．三、解答题(共46分)19、(6分)如图,A B 是圆O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,点P在圆O上且∠1=∠C ．(1)求证：C B ∥PD ；(2)若B C =3,B E=2,求C D 的长．[分析](1)要证明C B ∥PD ,只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C ,∠P=∠C ,可得∠1=∠P,即可解决问题．(2)首先运用勾股定理求出C E的长度,然后运用垂径定理证明C E=D E,即可解决问题．[解答](1)证明：如图,∵∠1=∠C ,∠P=∠C ,∴∠1=∠P,∴C B ∥PD ．(2)解：∵C E⊥B E,∴C E2=C B 2﹣B E2,而C B =3,B E=2,∴C E=；而A B ⊥C D ,∴D E=C E,C D =2C E=2．[考点]垂径定理；勾股定理；圆周角定理．[点评]主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础,灵活运用、解答是关键．20、(8分)如图,已知⊙O的直径为A B ,A C ⊥A B 于点A ,B C 与⊙O相交于点D ,在A C 上取一点E,使得ED =EA ．(1)求证：ED 是⊙O的切线．(2)当OA =3,A E=4时,求B C 的长度．[分析](1)如图,连接OD ．通过证明△A OE≌△D OE得到∠OA E=∠OD E=90°,易证得结论；(2)利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥B C ,所以根据中位线求得B C 的长度即可.[解析](1)证明：如图,连接OD ．∵A C ⊥A B ,∴∠B A C =90°,即∠OA E=90°．在△A OE与△D OE中,,∴△A OE≌△D OE(SSS),∴∠OA E=∠OD E=90°,即OD ⊥ED ．又∵OD 是⊙O的半径,∴ED 是⊙O的切线；(2)解：如图,在△OA E中,∠OA E=90°,OA =3,A E=4,∴由勾股定理易求OE=5．∵A B 是直径,∴∠A D B =90°,即A D ⊥B C ．又∵由(1)知,△A OE≌△D OE,∴∠A EO=∠D EO,又∵A E=D E,∴OE⊥A D ,∴OE∥B C ,∴OE是三角形A B C 的中位线．∴B C =2OE=10,即B C 的长度是10．[考点]切线的判定．[点评]本题考查了切线的判定与性质．解答(2)题时,也可以根据三角形中位线定理来求线段B C 的长度．21、(8分) 21.如图,A B 为半圆O的直径,A C 是⊙O的一条弦,D 为BC的中点,作D E⊥A C ,交A B 的延长线于点F,连接D A ．(1)求证：EF为半圆O的切线；(2)若D A ＝D F＝3求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)[答案](1)证明见解析 (2)2732﹣6π [分析](1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD ⊥EF ,即可得出答案；(2)直接利用得出S △A C D ＝S △C OD ,再利用S 阴影＝S △A ED ﹣S 扇形C OD ,求出答案．[解析](1)证明：连接OD ,∵D 为弧B C 的中点,∴∠C A D ＝∠B A D ,∵OA ＝OD ,∴∠B A D ＝∠A D O ,∴∠C A D ＝∠A D O ,∵D E ⊥A C ,∴∠E ＝90°,∴∠C A D +∠ED A ＝90°,即∠A D O +∠ED A ＝90°,∴OD ⊥EF ,∴EF 为半圆O 的切线；(2)解：连接OC 与C D ,∵D A ＝D F ,∴∠B A D ＝∠F ,∴∠B A D ＝∠F ＝∠C A D , 又∵∠B A D +∠C A D +∠F ＝90°,∴∠F ＝30°,∠B A C ＝60°,∵OC ＝OA ,∴△A OC 为等边三角形,∴∠A OC ＝60°,∠C OB ＝120°,∵OD ⊥EF ,∠F ＝30°,∴∠D OF ＝60°,在Rt △OD F 中,D F ＝63,∴由勾股定理得：OD ＝6,在Rt △A ED 中,D A ＝63,∠C A D ＝30°,∴由勾股定理得：D E ＝33,EA ＝9,∵∠C OD ＝180°﹣∠A OC ﹣∠D OF ＝60°,由C O ＝D O ,∴△C OD 是等边三角形,∴∠OC D ＝60°,∴∠D C O ＝∠A OC ＝60°,∴C D ∥A B ,故S △A C D ＝S △C OD ,∴S 阴影＝S △A ED ﹣S 扇形C OD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝27362π-．[点睛]此题主要考查了切线的判定,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,解直角三角形及扇形面积求法等知识,得出S △A C D ＝S △C OD 是解题关键．22、(8分)已知,如图,B C 是以线段A B 为直径的⊙O 的切线,A C 交⊙O 于点D ,过点D 作弦D E ⊥A B ,垂足为点F ,连接B D 、B E ．(1)仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：①,②,③,(不添加其它字母和辅助线,不必证明)；(2)若∠A =30°,C D =2,求⊙O的半径r．[答案](1)结论：D F=FE,B D =B E,△B D F≌△B EF,∠A =∠E等；(2)23[分析](1)结论可以有：①D F=FE,B D =B E,②△B D F≌△B EF,③∠A =∠E,∠B D F=∠B EF④B C ⊥A B ,A D ⊥B D ,D E∥B C 等；由B C 是O的切线,D F⊥A B ,得∠A FD =∠C B A =90°；根据D E∥B C 和垂径定理知,弧B D =弧B E,D F=FE,B D =B E,由等边对等角得∠E=∠ED B ；再由圆周角定理得∠A =∠E,可证△B D F≌△B EF,△B D F∽△B A D ；等．(2)当∠A =30°时,B D =12A B =r,∠C =60°,再根据Rt△B C D 中,tA n60°可求得r=23．[解析](1)结论：D F=FE,B D =B E,△B D F≌△B EF,∠A =∠E等；理由：∵A B 是直径,D E⊥A B ,∴D F=EF,弧B D =弧B E,∴B D =B E, ∴Rt△B D F≌Rt△B EF(HL),根据圆周角定理可知：∠A =∠E．故答案为D F=EF,B D =B E,Rt△B D F≌Rt△B EF；(2)∵A B 是⊙O的直径,∴∠A D B =90°,又∵∠A =30°,∴B D =12A B =r；又∵B C 是⊙O的切线,∴∠C B A =90°,∴∠C =60°,∠D B C =30°；在Rt△B C D 中,C D =2,∴B C =4, 由勾股定理得：B D =23,∴r=23．[点睛]切线的性质, 直角三角形全等的判定, 圆周角定理.23、(8分)如图,A B 、C D 是⊙O中两条互相垂直的弦,垂足为点E,且A E＝C E,点F是B C 的中点,延长FE交A D 于点G,已知A E＝1,B E＝3,OE＝．(1)求证：△A ED ≌△C EB ；(2)求证：FG⊥A D ；(3)若一条直线l到圆心O的距离D ＝,试判断直线l是否是圆O的切线,并说明理由．[解析](1)证明：由圆周角定理得：∠A ＝∠C ,在△A ED 和△C EB 中,,∴△A ED ≌△C EB (A SA )；(2)证明：∵A B ⊥C D ,∴∠A ED ＝∠C EB ＝90°,∴∠C +∠B ＝90°,∵点F是B C 的中点,∴EF＝ B C ＝B F,∴∠FEB ＝∠B ,∵∠A ＝∠C ,∠A EG＝∠FEB ＝∠B ,∴∠A +∠A EG＝∠C +∠B ＝90°,∴∠A GE＝90°,∴FG⊥A D ；(3)解：直线l是圆O的切线,理由如下：作OH⊥A B 于H,连接OB ,如图所示：∵A E＝1,B E＝3,∴A B ＝A E+B E＝4,∵OH⊥A B ,∴A H＝B H＝ A B ＝2,∴EH＝A H﹣A E＝1,∴OH＝＝＝1,∴OB ＝＝＝,即⊙O的半径为,∵一条直线l到圆心O的距离D ＝＝⊙O的半径,∴直线l是圆O的切线．24、(8分)如图,⊙O是△A B C 的外接圆,A B 为直径,过点O作OD ∥B C ,交A C 于点D ．(1)求∠A D O的度数；(2)延长D O交⊙O于点E,过E作⊙O的切线,交C B 延长线于点F,连接D F交OB 于点G．①试判断四边形C D EF的形状,并说明理由；②若B G＝2,A D ＝3,求四边形C D EF的面积．解：(1) ∵A B 为直径,∴∠C =90°∵OD ∥B C ,∴∠A D O ＝∠C =90°(2) ①四边形C D EF 为矩形,理由如下：∵∠C =90°,OD ∥B C ∴∠OD C =180°－90°=90°∵EF 与⊙O 相切于点E ,∴∠OEF=90°∵∠C =∠OD C =∠OEF=90° ∴四边形C D EF 为矩形②如图,连接A E ,OC ,∵OA ＝OC ,OD ⊥A C ,∴A D ＝D C ＝3 由①知四边形C D EF 为矩形,∴D E ＝C F又∵∠A D E=∠D C F=90°∴△A D E ≌△D C F (SA S) ∴∠OEA =∠C FD ∵D E ∥C F ,∴∠C FD ＝∠OD G∴∠OD G=∠OEA ∴D G ∥A E ,∴∠OGD =∠OA E又由OA ＝OE 知∠OA E=∠OEA ∴∠OD G=∠OGD ,∴OD ＝OG 设OA ＝x ,则OB ＝OE=x ．∵B G ＝2,∴OG ＝x ﹣2 ∴OD ＝OG ＝x ﹣2．又∵A D ＝3,∴在Rt △A D O 中,32＋(x ﹣2) 2＝x 2 ,解得x ＝134∴OE ＝x ＝134,OD ＝x ﹣2＝54,∴D E ＝OD +OE ＝92∴矩形C D EF 的面积为：D C ·D E ＝3×92＝272A BC DE GO F[考点]圆的综合题。
数学九年级上册《圆》单元综合检测含答案
C.圆上任意两点之间的线段长度不大于
D.圆上任意两点之间的部分可以大于
8.已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则⊙O的半径可能为()．
A.10cmB.6cmC.12cmD.以上都不对
9.已知 的半径为 ，点 不在 内，则点 到圆心 的距离 满足()
详解】解:连接 ， ，作 于点 ，
∵ 的半径为 ，则 的内接正八边形的中心角为: ，
∴ ，
∴ ，
∴ 正八边形 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中没有作出边心距求面积是解答本题的亮点，难度一般．
15.正多边形的一个中心角为 度，那么这个正多边形的一个内角等于________度．
三、解答题(本题共计 8 小题 ，共计60分 ，)
21.作一个圆，使它经过已知点 和 ，并且圆心在已知直线 上．
(1)当直线 和 相交时，可作几个？
(2)当直线 和 垂直但不经过 的中点时，可作出几个？
(3)你还能提出不同于(1)，(2)的问题吗？
22.如图，过圆锥 顶点 和底面圆的圆心 的平面截圆锥得截面 ，其中 ， 是圆锥底面圆 的直径，已知 ， ，求截面 的面积．
5. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是( )
A. 35°B. 140°C. 70°D. 70°或140°
6.在⊙O中, 所对的圆心角为60°,半径为5cm,则 的长为()
A. B. C. D.
7.关于半径为 的圆，下列说法正确的是()
A.若有一点到圆心的距离为 ，则该点在圆外
A. 个B. 个C. 个D. 个
3.正六边形半径为 ，则它的边长、边心距、面积分别为()
九年级数学上册 圆 几何综合单元练习(Word版 含答案)
九年级数学上册 圆 几何综合单元练习（Word 版 含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BPBP BC=， ∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC=，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C（0，8），D（-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a，则BC=8-a，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，则（8-a）2=a2+42，解得：a=3，则OB=3，则B（0，3），tan∠ODB=34OBOD=，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB=34OAOC=，则OA=6，则A（6，0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则60{3k bb+==，解得：1{23kb=-=，故直线AB的解析式为：y=-12x+3；（2）如图所示：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan2OBOB OA BAOOA+=∠==，255OAcos BAOAB∠==，在Rt△PQA中，905APQ AP t∠=︒=，则AQ=10cos APt BAO =∠ ,∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6， 即1564t = ，解得：85t =; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：132n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。
九年级上册数学 圆 几何综合单元试卷(word版含答案)
九年级上册数学 圆 几何综合单元试卷（word 版含答案）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．（1）分别求点E 、C 的坐标；（2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切.试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot60232EO OB =⋅︒==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =⋅∠=⋅︒==， ∴点C 的坐标为（－3，0）．（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得()()30103a =++，∴33a =． ∴()()313y x x =++，即 2343333y x x =++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下： ∵ME ∥y 轴，∴MED B ∠=∠．∵B BDA MDE ∠=∠=∠， ∴MED MDE ∠=∠． ∴ME MD =．∵MA MD AD ME AD =+=+， ∴⊙M 与⊙A 外切．2．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ， （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，AO 的延长线交⊙O 于点F ，若AB ＝4AD ，求sin ∠CFE 的值．【答案】（1）见解析；（25 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出OC ⊥AB ，根据切线的判定得出即可；（2）连接OC 、DC ，证△ADC ∽△ACF ，求出AF=4x ，CF=2DC ，根据勾股定理求出DC=355x ，DF=3x ，解直角三角形求出sin ∠AFC ，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接OC ，如图1，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC⊥AB，∵OC过O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC、DC，如图2，∵AB＝4AD，∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，∴∠DCF＝90°，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝∠DCF＝90°，∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，∵OF＝OC，∴∠AFC＝∠OCF，∴∠ACD＝∠AFC，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACF，∴122 AC AD DC xAF AC CF x====，∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，∵AD＝x，∴DF＝4x﹣x＝3x，在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，解得：DC 35x，∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC=，∴∠CFE＝∠AFC，∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DCDF＝355535xx=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．3．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4， 设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ， 在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2， 则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3， 则OB=3， 则B （0，3）， tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-12x +3； （2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OAcos BAO AB∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos APt BAO =∠ ,∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6， 即1564t = ， 解得：85t =; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N（2，2），NT=2，即1524t ,解得：t=815∴当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）。
【5套打包】西安市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元综合练习题(含答案)
人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）一．选择题1．一个圆锥的侧面睁开图是半径为8 的半圆，则该圆锥的全面积是（）A． 48πB． 45πC． 36πD．32π2．如图，AB为⊙O的直径，P 为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P 作PD⊥ OP交⊙ O于点D，过点D作DE∥ BC交 AB的延伸线于点E．若点C恰巧是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A． 6﹣ 8B． 3﹣ 3C． 2D．12﹣ 63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A． 2πB． 3πC． 4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成系统的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法系统到现在仍在推进着计算机的发展和应用．书中记录：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝ 1 寸），锯道长1 尺（AB＝ 1尺＝ 10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”以下图，请依据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26 寸D．28 寸5．如图，、是⊙O 切线，、为切点，点C在⊙O上，且∠＝55°，则∠等于PA PB A B ACB APB （）A． 55°B． 70°C． 110°D．125°6．如图，在 Rt △ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若 BF＝2， AF＝3，则△ ABC的面积是（）A． 6B． 7C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆 O， AB＝4，则图中暗影部分的面积是（）A． 4π﹣ 16B． 8π﹣ 16C． 16π﹣ 32D．32π﹣ 168．如图，正方形ABCD和正△ AEF都内接于⊙ O， EF与 BC、CD分别订交于点G、 H．若 AE ＝ 3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm ，弧长是 8π cm ，那么这个圆锥的高是（）A ． 8B ． 6C ． 3 cmD ．4cmcmcm10．如图，点C 为△外接圆上的一点（点C 不在上，且不与 点 ，D 重合），且ABDB∠ ACB ＝∠ ABD ＝45°，若 BC ＝ 8，CD ＝ 4，则 AC 的长为（）A ． 8.5B ． 5C ．4D ．11．在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ A ＝ 30°，AB ＝ 12，将△ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°，直角边 AC 扫过的面积等于（）A ． 24πB ． 20πC ． 18πD ．6π12．如图， 矩形 ABCD 中，BC ＝ 2，CD ＝ 1，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E ，连结 BD ，则暗影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△中，＝，以AB 为直径的⊙O分别与，交于点，，连结，过ABC AB AC BC AC D E DE 点 D作 DF⊥ AC于点 F．若 AB＝6，∠ CDF＝15°，则暗影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联络OA，AC，假如∠ OAB＝20°，那么∠ CAB 的度数是．16．如图，用均分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了以下图的四叶好运草，若OA＝2，则四叶好运草的周长是．17．半径为 6 的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．在平面直角坐标系中，点 A（ a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为 1 的圆上有一点C，直线AC与⊙ B 相切，切点为C，则线段AC的最小值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与 AB、 BC边分别交于点D、E， DE∥ OA，CE是⊙ O的直径．（ 1）求证：AB是⊙O的切线；（ 2）若BD＝ 4，EC＝ 6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD均分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的地点关系，并说明原因；（2）若⊙O的半径为 2，∠BAC＝ 60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥ BD，弦 AD，BC订交于点 E．（1）求证：＝；（2）若CE＝ 1，EB＝ 3，求⊙O的半径；（ 3）在（ 2）的条件下，过点C作⊙ O的切线，交BA的延伸线于点P，过点 P 作 PQ∥ CB 交⊙ O于 F， Q两点（点 F 在线段 PQ上），求 PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连结 AO，AO与⊙ O交于点 C，BD为⊙ O的直径，连接 CD．若∠ A＝30°，⊙ O的半径为2，则图中暗影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥ BC于 M．（1）求证：AH＝ 2OM；（2）若∠BAC＝60 °，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥ AB于点H，AC分别交BD、DH于 E 、F．（1）已知AB＝ 10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．如图，已知AB是⊙ O的直径，点C是弧 AB的中点，点D在弧 BC上， BD、 AC的延伸线交于点 K，连结 AD，交 BC于点 E，连结 CD（ 1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝ 45°；（ 2）若＝，求证：＝2．DC DB BC CK参照答案一．选择题1．解：侧面积是：π r2＝×π× 82＝32π，底面圆半径为：，底面积＝π×42＝ 16π，故圆锥的全面积是：32π+16π＝ 48π．应选： A．2．解：连结OD，交 CB于点 F，连结 BD，∵＝，∴∠ DBC＝∠ ABC＝30°，∴∠ ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△ OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∴OF＝DF，∴BF∥DE，∴OB＝BE＝6∴ CF＝FB＝ OB?cos30°＝6×＝3，在 Rt △POD中，OF＝DF，∴ PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴ CP＝CF﹣ PF＝3﹣3．应选： B．3．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠ COB＝360°×＝60°，∴△ OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝ BC＝6，弧 BC的长为＝2π．应选： A．4．解：设⊙O的半径为r ．在 Rt △ADO中，AD＝ 5，OD＝r﹣ 1，OA ＝r，则有 r 2＝52+（ r ﹣1）2，解得 r ＝13，∴⊙ O的直径为26寸，应选： C．5．解：连结OA， OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴ PA⊥OA， PB⊥OB，∵∠ ACB＝55°，∴∠ AOB＝110°，∴∠ APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．应选： B．6．解：连结DO， EO，∵⊙ O是△ ABC的内切圆，切点分别为D， E， F，∴OE⊥AC， OD⊥BC， CD＝CE， BD＝BF＝3， AF＝ AE＝4又∵∠ C＝90°，∴四边形 OECD是矩形，又∵ EO＝ DO，∴矩形 OECD是正方形，设 EO＝x，则 EC＝CD＝ x，在 Rt △ABC中222BC+AC＝ AB故（ x+2）2+（ x+3）2＝52，解得： x＝1，∴BC＝3， AC＝4，∴S△ABC＝×3×4＝6，应选： A．7．解：连结OA、 OB，∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ AOB＝90°，∠ O AB＝45°，∴ OA＝AB cos45°＝4×＝2，2） 2 ﹣4×4＝8π﹣16．因此暗影部分的面积＝S⊙﹣ S 正方形＝π×（OABCD8．解：如图，连结AC、 BD、OF，，设⊙ O的半径是 r ，则 OF＝OA＝ r ，∵ AO是∠ EAF的均分线，∴∠ OAF＝60°÷2＝30°， AC⊥ EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠ OFA＝∠ OAF＝30°，∴∠ COF＝30°+30°＝60°，∴ FI ＝r ?sin60°＝r ，∴ ＝r × 2＝r＝＝3，EF AE∴r ＝∴OI＝，∴ CI＝OC﹣ OI＝，∵EF⊥AC，∠ BCA＝45°∴∠ IGC＝∠ BCI＝45°∴ CI＝GI＝∴EG＝EI﹣ GI＝应选： B．9．解：设圆锥底面圆的半径为r ，依据题意得2πr＝ 8π，解得 r ＝4，因此这个的圆锥的高＝＝ 3（cm）．10．解：延伸CD到 E，使得 DE＝ BC，连结 AE，如右图所示，∵∠ ACB＝∠ ABD＝45°，∠ ACB＝∠ ADB，∴∠ ADB＝45°，∴∠ BAD＝90°， AB＝ AD，∵四边形 ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ ADC＝180°，∴∠ ADC+∠ ABC＝180°，∴∠ ABC＝∠ ADE，在△ ABC和△ ADE中，，∴△ ABC≌△ ADE（ SAS），∴∠ BAC＝∠ DAE，∵∠ BAC+∠ CAD＝∠ BAD＝90°，∴∠ DAE+∠ CAD＝90°，∴∠ CAE＝90°，∵ACD＝45°， BC＝ DE＝8， CD＝4，∴∠ ACE＝4 5°， CE＝12，∴ AC＝AE＝6，应选： D．11．解：∵在△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， AB＝12，∴BC＝ AB＝6，∠ ABC＝60°，∴ S 暗影＝﹣＝﹣＝18π．应选： C．12．解：连结OE交 BD于 F，如图，∵以 AD为直径的半圆O与 BC相切于点 E，∴OE⊥BC，∵四边形 ABCD为矩形， OA＝ OD＝1，而 CD＝1，∴四边形 ODCE和四边形 ABEO都是正方形，∴ BE＝1，∠ DOE＝∠ BEO＝90°∵∠ BFE＝∠ DFO， OD＝ BE，∴△ ODF≌△ EBF（ AAS），∴S＝S，△ODF△ EBF∴暗影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．应选： C．二．填空题13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，∴圆锥的侧面睁开扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得： n＝150故答案为150°．14．解：连结OE，∵∠ CDF＝15°，∠ C＝75°，∴∠ OAE＝30°＝∠ OEA，∴∠ AOE＝120°，S＝△ OAEAE× OE sin∠ OEA＝× 2×OE× cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，S 暗影部分＝扇形﹣S△＝SOAEOAE×π×32﹣＝ 3π﹣．故答案3π﹣．15．解：连结OC交 AB于 E．∵C是的中点，∴ OC⊥AB，∴∠ AEO＝90°，∵∠ BAO＝20°，∴∠ AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠ OAC＝∠ C＝55°，∴∠ CAB＝∠ OAC﹣∠ OAB＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶好运草的周长为 4 个半圆的弧长＝ 2 个圆的周长，连结AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连结OB，以下图：则正方形 ABCD的对角线＝2OA＝4， OA⊥ OB，OA＝ OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥ AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶好运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为： 4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝ 12π，解得： n＝120，故答案为： 120．18．解：连结AB、 BC，如图，∵A 点坐标为（a，a），∴点A在直线y＝x 上，作 BH⊥直线 y＝x 于 H，∵∠ AOB＝45°，∴△BOH为等腰直角三角形，∴BH＝ OB＝2，∵直线 AC与⊙ B 相切，切点为C，∴BC⊥AC，∴∠ ACB＝90°，∴ AC＝＝，当AB最小时，AC的值最小，而点A在H点时， AB最小，此时AB＝ BH＝2，∴ AC的最小值为＝＝．故答案为．三．解答题（共7 小题）19．（ 1）证明：连结OD、 CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠ EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直均分 CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠ OED＝∠ ODE，∵DE∥OA，∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，∴∠ AOD＝∠ AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△ AOC中∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，∵ OD是半径，∴ AB是⊙ O的切线；（ 2）解：连结OD， CD，∵ BD是⊙ O切线，∴∠ ODB＝90°，∴∠ BDE+∠ ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠ CDE＝90°，∴∠ ODC+∠ ODE＝90°，∴∠ BDE＝∠ ODC，∵OC＝OD，∴∠ OCD＝∠ ODC，∴∠ BDE＝∠ OCD，∵∠ B＝∠ B，∴△ BDE∽△ BCD，∴2∴ BD＝ BE?BC，设 BE＝x，∵ BD＝4， EC＝6，∴ 42＝x（x+6），解得 x＝2或 x＝﹣8（舍去），∴ BE＝2，∴ BC＝BE+EC＝8，∵ AD、AC是⊙ O的切线，∴ AD＝AC，设 AD＝AC＝ y，222在 Rt △ABC中，AB＝AC+BC，∴（ 4+y）2＝y2+82，解得 y＝6，∴ AC＝6，故 AC的长为6．20．解：（ 1）直线DE与⊙O相切，连结 OD．∵AD均分∠BAC，∴∠ OAD＝∠ CAD，∵OA＝OD，∴∠ OAD＝∠ ODA，∴∠ ODA＝∠ CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ ODE＝90°，即 DE⊥OD，∴ DE是⊙ O的切线；（ 2）过O作OG⊥AF于G，∴ AF＝2AG，∵∠ BAC＝60°， OA＝2，∴ AG＝ OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形 AODF是菱形，∴DF∥OA， DF＝OA＝2，∴∠ EFD＝∠ BAC＝60°，∴ EF＝DF＝1．21．证明：（ 1）∵OC＝OB∴∠ OBC＝∠ OCB∵OC∥BD∴∠ OCB＝∠ CBD∴∠ OBC＝∠ CBD∴（ 2）连结AC，∵CE＝1， EB＝3，∴ BC＝4∵∴∠ CAD＝∠ ABC，且∠ ACB＝∠ ACB ∴△ ACE∽△ BCA∴2∴ AC＝ CB?CE＝4×1∴ AC＝2，∵AB是直径∴∠ ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙ O的半径为（ 3）如图，过点O作 OH⊥ FQ于点 H，连结 OQ，∵ PC是⊙ O切线，∴∠ PCO＝90°，且∠ ACB＝90°∴∠ PCA＝∠ BCO＝∠ CBO，且∠ CPB＝∠ CPA ∴△ APC∽△ CPB∴2∴ PC＝2PA， PC＝ PA?PB∴ 42＝×（+2 ）PA PA PA∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠ CBA＝∠ BPQ，且∠PHO＝∠ ACB＝90°∴△ PHO∽△ BCA∴即∴PH＝， OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作 OE⊥ CD于 E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ ABO＝90°，∵∠ A＝30°，∴∠ AOB＝60°，∴∠ COD＝120°，∠ OCD＝∠ ODC＝30°，∵⊙ O的半径为2，∴OE＝1， CE＝ DE＝，∴CD＝2，∴图中暗影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（ 1）过 O作 OF⊥ AC，于 F，则 F 为 AC的中点，连结 CH，取 CH中点 N，连结 FN，MN，则 FN∥AD， AH＝2FN， MN∥ BE，∵ AD⊥BC， OM⊥BC， BE⊥AC，OF⊥AC，∴ OM∥AD， BE∥OF，∵ M为 BC中点， N为 CH中点，∴ MN∥BE，∴ OM∥FN， MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴ OM＝FN，∵AH＝2FN，∴ AH＝2OM．（ 2）证明：连结OB， OC，∵∠ BAC＝60°，∴∠ BOC＝120°，∴∠ BOM＝60°，∴∠ OBM＝30°，∴OB＝2OM＝ AH＝AO，即 AH＝AO．24．（ 1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠ DHA＝∠ ADB＝90°，又∵∠ DAB＝∠ HAD，∴△ DAB∽△ HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（ 2）证明：∵＝，∴∠ DAC＝∠ DBA，∵DH⊥AB，∴∠ FDE+∠ B＝90°，∵∠ ADB＝90°，∴∠ DEF+∠ DAC＝90°，∴∠ DEF＝∠ FDE，∴DF＝EF．25．解：（ 1）如图 1，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝∠ ADB＝90°，∵点 C是的中点，∴AC＝BC，则△ ABC是等腰直角三角形，∴∠ CAB＝∠ CBA＝45°，设∠ CBK＝∠ DAC＝α，则∠ DAB＝∠ DCB＝45°﹣α，∠ AK B＝90°﹣α，∴∠ AKB﹣∠ BCD＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；（ 2）过点C作CH⊥AD，∵∠ CDH＝∠ CBA＝45°，∴则△ CHD是等腰直角三角形，∴ CD＝CH，∵ CD＝DB，∴CH＝DB，在△ EBD和△ EHC中，∴△ EBD≌△ EHC（ AAS），∴CE＝BE＝ BC，在△ ACE和△ BCK中，∴△ ACE≌△ BCK（ ASA），∴CK＝CE＝ BE＝ BC，即 BC＝2CK．人教版九年级上册第24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(8)一、选择题 (本大题 10 小题，每题 3 分，共 30 分)1. 以下说法错误的选项是 ( C )A. 半圆是弧B. 半径相等的圆是等圆C. 过圆心的线段是直径D. 直径是弦2.如图 24－1，在⊙ O 中， AC ∥OB，∠ BAO ＝25°，则∠ BOC 的度数为(B)A.25 °B.50 °C.60 °D.80 °图 24－1图24－2图24－33.如图 24－2，AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，若∠ B＝50°，则∠A 的度数为 ( C )A.80 °B.60 °C.40 °D.50 °4.如图 24－3，四边形 ABCD 为圆内接四边形，∠ A＝85°，∠B＝105°，则∠ C 的度数为 ( C )A. 115 °B. 75 °C. 95 °D. 没法确立5.一个扇形的圆心角为 60°，它所对的弧长为 2πcm，则这个扇形的半径为 ( A )A. 6 cmB. 12 cmC. 2 cmD. 6 cm6.已知⊙ O 的直径为 12 cm，圆心到直线 l 的距离 5 cm，则直线l 与⊙ O 的公共点的个数为 ( A )A.2个B.1个C.0个D. 不确立7.如图 24－4，AC 是⊙ O 的直径， AB ，CD 是⊙ O 的两条弦，且 AB ∥CD，若∠ BAC ＝44°，则∠ AOD 等于 ( D )A.22 °B.44 °C.66 °D.88 °图 24－4图24－5图24－6图 24－78.如图 24－5，AB 是⊙ O 的弦， OC⊥AB 于点 H，∠ AOC ＝60°，OH＝1，则⊙ O 的半径为 ( B )A. 3B.2C.3D.49.如图 24－6，P 是⊙ O 外一点， PA，PB分别交⊙ O 于 C，D 两点，⌒已知AB，错误!的度数别为88°，32°，则∠ P的度数为( B )A.26 °B.28 °C.30 °D.32 °10.如图 24－7，在 ABCD 中， AD ＝2，AB ＝4，∠ A＝60°，以点 A 为圆心， AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连结 CE，则暗影部分的面积是 ( A )2ππ2ππA.3 3－3B. 3 3－3C.43－3D. 4 3－3二、填空题 (本大题 6 小题，每题 4 分，共 24 分)11.已知点 P 与⊙ O 在同一平面内，⊙O 的半径为 4 cm，OP＝5 cm，则点 P 与⊙ O 的地点关系为点 P 在⊙ O 外 .12.一个正 n 边形的中心角等于 18°，那么 n＝ 20 .13.如图 24－8，在⊙ O 中，AB＝DC，∠AOB＝35°，则∠ COD ＝35°.图 24－8图24－9图24－1014. 如图 24－9，在△ABC 中，AB ＝6，AC＝8，BC＝10，D，E 分别是 AC，AB 的中点，则以 DE 为直径的圆与 BC 的地点关系是订交 .15.已知如图 24－10，PA，PB 切⊙ O 于 A，B 两点， MN 切⊙O 于点 C，交 PB 于点 N.若 PA＝7.5 cm，则△PMN 的周长是15 cm.16.圆锥的底面半径是 4 cm，母线长是 5 cm，则圆锥的侧面积等于 20π cm2.三、解答题 (一)(本大题 3 小题，每题 6 分，共 18 分)17.如图 24－11，点 A，B，C，D，E，F 分别在⊙ O 上， AC＝BD，CE＝DF，连结 AE，BF.△ACE 与△BDF 全等吗？为何？图 24－11解：△ACE 与△BDF 全等 .原因以下 .∵AC＝BD，CE＝DF，∴错误 !=错误 !,错误 !=错误 !,错误!=错误!.∴AE＝BF.在△ACE 和△BDF 中，AC BD,∴△ ACE≌△ BDF(SSS).CE DF ,AE BF ,18.如图 24－12，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 AC 相等， AD 是⊙ O 的直径 . 求证： BD＝CD.图 24－12⌒证明：∵AB＝AC，∴AB＝错误!. ∴∠ ADB ＝∠ADC.∵ AD 是⊙O 的直径，∴∠ B＝∠C＝90°.∴∠ BAD＝∠DAC. ∴错误!＝错误!. ∴BD＝CD.19.如图 24－13，在⊙ O 中，半径 OC⊥弦 AB ，垂足为点 D，AB ＝12，CD＝2. 求⊙ O 的半径长 .图 24－13解：如答图 24－1，连结 AO.∵半径 OC⊥弦 AB ，∴AD ＝BD.∵AB ＝12，人教版九年级数学上册第24 章圆单元测试题一、选择题 ( 每题 3 分，共 18 1．在⊙O中，∠AOB＝ 84°，弦A． 42°B． 138°分)AB所对的圆周角度数为()C． 69°D． 42°或138°2．如图1，在半径为 4 的⊙O中，弦AB∥ OC，∠ BOC＝30°，则AB的长为() A．2B．2 3C．4D．43图1图2已知3．如图 2，在平面直角坐标系中，⊙ A经过原点B(8，0)， C(0，6)，则⊙ A 的半径为()A．3B．4 C．5D．8O，而且分别与x 轴、y 轴交于点 B，C，4．若 100°的圆心角所对的弧长为5πcm，则该圆的半径R等于()59A． 5 cm B ． 9 cm C. 2 cm D. 4 cm5．已知OA均分∠BOC，点P在OA上，假如以点P 为圆心的圆与OC相离，那么⊙ P 与OB的地点关系是()A．相离 B ．相切C．订交 D ．不可以确立6．如图 3，以等边三角形ABC的 BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点 E，D，DF 是半圆的切线，过点F 作的垂线交于点. 若AF的长为 2，则的长为() BC BC G FGA．4B．3 3C．6D．23图3图4二、填空题 ( 每题 4 分，共 28 分)7．如图 4，若AB是⊙O的直径，AB＝ 10 cm，∠CAB＝ 30°，则BC＝ ________cm.8．如图 5，在△ABC中，AB＝ 2，AC＝则∠ BAC的度数是________．2 ，以点 A 为圆心，1 为半径的圆与边BC相切，图 59. 如图 6，已知在正方形ABCD中， AB＝2，以点A内且点 C在⊙ A 外时， r 的取值范围是________．A为圆心，半径为r画圆，当点D在⊙图 610．如图 7，某同学用纸板做了一个底面圆直径为具( 接缝忽视不计) ，则做这个玩具所需纸板的面积是10 cm ，高为 12 cm的无底圆锥形玩2________cm ( 结果保存π ) ．图7图811.如图 8，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦AE的垂直均分线交⊙O于点C，交AE于点F， CD⊥ AB于点 D， BD＝1， AE＝4，则 AD的长为________．12．半圆形纸片的半径为 1 cm，用如图 9 所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心 O重合，则折痕 CD的长为________cm.图9图1013．如图 10，在矩形ABCD中，AB＝ 5，BC＝ 4，以CD为直径作⊙O. 将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形 A′ B′ CD′的边 A′ B′与⊙ O相切，切点为 E，边 CD′与⊙ O订交于点 F，则 CF的长为________．三、解答题 ( 共 54 分)14．(8 分 ) 如图 11，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝ 12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．图 1115． (10 分) 如图 12，是⊙的直径，，D 是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BEO ABE的延伸线于点C.(1)若∠ ADE＝25°，求∠ C的度数；(2)若 AB＝ AC，CE＝2，求⊙ O的半径．图 1216．(10 分 ) 如图 13，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，AO＝ 1.(1)求∠ C的度数；(2)求图中暗影部分的面积．图 1317． (12 分 ) 如图 14，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为 2 的圆与y轴交于点 A， P(4，2)是⊙ O外一点，连结 AP，直线 PB与⊙ O相切于点 B，交 x 轴于点 C.(1)求证： PA是⊙ O的切线；(2)求点 B 的坐标．图 1418．(14 分) 如图 15，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，且 CF∥ BD.(1)求证： BE＝ CE；(2)试判断四边形 BFCD的形状，并说明原因；(3)若 BC＝8， AD＝10，求 CD的长．图 15详解详析1． D2． D [ 分析 ]如图，过点O作 OD⊥ AB于点 D，则 AD＝ DB.∵AB∥OC，∠ BOC＝30°，∴∠ B＝∠ BOC＝30°.∵在 Rt△DOB中，∠B＝ 30°，OB＝ 4，∴OD＝2.∴DB＝42－22＝2 3.∴AB＝2DB＝4 3.3． C [ 分析 ]连结BC.∵∠ BOC＝90°，∴ BC为⊙ A 的直径，即BC过圆心 A.在 Rt△BOC中，OB＝ 8，OC＝ 6，依据勾股定理，得 BC＝10，则⊙ A的半径为 5.100πR4． B [ 分析 ]由180＝5π ，求得R＝9.5． A6．B [ 分析 ]连结OD.∵ DF为半圆 O的切线，∴ OD⊥ DF.∵△ ABC为等边三角形，∴ AB＝BC＝ AC，∠ A＝∠ B＝∠ C＝60°.又∵ OD＝ OC，∴△ OCD为等边三角形，∴∠ CDO＝∠ A＝60°，∠ DOC＝∠ ABC＝60°，∴OD∥AB，∴ DF⊥ AB.在 Rt△AFD中，∵∠ADF＝ 90°－∠A＝ 30°，AF＝ 2，∴AD＝ 4.∵O为BC的中点，易知D为AC的中点，∴ AC＝8，∴ FB＝AB－ AF＝8－2＝6.在 Rt△BFG中，∠BFG＝ 90°－∠B＝30°，∴ BG＝3，依据勾股定理，得FG＝3 3.应选 B.7． 5 [ 分析 ]∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝90°.又∵ AB＝10 cm，∠ CAB＝30°，1∴BC＝2AB＝5 cm.8． 105°[ 分析 ]设⊙ A与BC相切于点D，连结 AD，则 AD⊥ BC.在 Rt△ABD中，AB＝ 2，AD＝1，因此∠ B＝30°，因此∠ BAD＝60°.同理，在 Rt △ACD中，获得∠CAD＝ 45°，因此∠ BAC的度数是105°.9． 2＜r＜ 2 210． 65π [ 分析 ]如图，过点 P作 PO⊥ AB于点O，则 O为 AB的中点，即圆锥底面圆的圆心．在 Rt△PAO中，PA ＝2222OP＋ OA＝12＋5＝13.由题意，得 S＝111侧面积2lr ＝2×底面圆周长×母线长＝2× π × 10× 13＝ 65π，∴做这个玩具所需纸板的面积是65π cm2. 故答案为 65π .11．4 [ 分析 ]∵ CF垂直均分 AE，1∴AF＝2AE＝2，∠ AFO＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ ODC＝∠ AFO＝90°.又∵ OA＝ OC，∠ AOF＝∠ COD，∴△ AOF≌△ COD(AAS)，∴ CD＝AF＝2.设⊙ O的半径为r ，则OD＝ r －1.由勾股定理，得222OC＝ OD＋ CD，即 r 2＝( r －1)2＋22，5解得 r ＝2，5∴ AD＝AB－1＝2×2－1＝4.故答案为 4.12. 3 [ 分析 ]如图，连结MO交 CD于点 E，则 MO⊥ CD，连结 CO.∵MO⊥CD，∴ CD＝2CE.∵对折后半圆弧的中点M与圆心 O重合，1 1∴ME＝OE＝2OC＝2cm.在 Rt△COE中，CE＝21231－2＝2(cm) ，3∴折痕 CD的长为2×2＝3(cm) ．13． 4 [ 分析 ]连结OE，延伸EO交CD′于点G，过点O作OH⊥ B′ C于点H，则∠ OEB′＝∠ OHB′＝90°.∵矩形 ABCD绕点 C旋转所得矩形为A′ B′CD′，∴∠ B′＝∠ B′CD′＝90°， AB＝ CD＝5， BC＝ B′ C＝4，∴四边形 OEB′H和四边形 EB′ CG都是矩形， OE＝ OD＝ OC＝2.5，∴B′ H＝ OE＝2.5，∴CH＝B′ C－ B′ H＝1.5，2 2∴CG＝B′ E＝ OH＝ OC－CH＝2.5 2－1.5 2＝ 2.∵四边形 EB′ CG是矩形，∴∠ OGC＝90°，即 OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4.故答案为 4.14．解：连结CD.︵︵∵∠ ABC＝∠ DAC，∴ AC＝CD，∴ AC＝CD.∵ AD是⊙ O的直径，∴∠ ACD＝90°.222∴ AC＋ CD＝ AD，2 2即 2AC＝AD.2∴ AC＝2 AD＝6 2.15．解： (1) 如图，连结OA.∵AC是⊙ O的切线， OA是⊙ O的半径，∴ OA⊥AC，∴∠ OAC＝90°.∵∠ ADE＝25°，∴∠ AOE＝2∠ ADE＝50°，∴∠ C＝90°－∠ AOE＝90°－50°＝40°.(2)∵ AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C.∵∠ AOC＝2∠ B，∴∠ AOC＝2∠ C.∵∠ OAC＝90°，∴∠ AOC＋∠ C＝90°，∴ 3∠C＝ 90°，∴∠C＝ 30°，∴OA＝12OC.设⊙ O的半径为 r .∵CE＝2，1∴ r ＝2( r ＋2)，解得 r ＝2，∴⊙ O的半径为216．解： (1) ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，︵︵1∴AD＝BD，∴∠ C＝2∠ AOD.1∵∠ AOD＝∠ COE，∴∠ C＝∠ COE.2又∵ AO⊥ BC，∴∠ C＋∠ COE＝90°，∴∠ C＝30°.(2)连结OB，由(1)知∠C＝30°，∴∠ AOD＝60°，∴∠ AOB＝120°.在 Rt△AOF中，AO＝ 1，∠AOF＝60°，∴∠ A＝30°，∴ ＝1，∴ ＝3，∴ ＝2＝ 3.OF2AF2AB AF1 3故 S 暗影＝ S 扇形OAB－S△OAB＝3π －4.17．解： (1) 证明：∵⊙O的半径为2，∴OA＝ 2.又∵ P(4，2)，∴PA∥x 轴，即 PA⊥ OA，则 PA是⊙ O的切线．(2)连结 OP， OB，过点 B作 BQ⊥ OC于点 Q.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PB＝ PA＝ 4，可证人教版九年级数学上册第24 章圆单元测试题（含答案）一、选择题 (每题 3 分，共 24 分 )1．已知⊙ O 的半径为 5 cm，点 P 在直线 l 上，且点 P 到圆心 O 的距离为 5 cm，则直线 l 与⊙ O()A ．相离B．相切C．订交 D ．订交或相切2．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面睁开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是() A．6B． 3 C. 3D．123．如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙ O，若∠ C＝ 36°，则∠ A 的度数为 () A ． 36°B． 56°C． 72°D． 144°图 1图 24．如图 2 所示，⊙ O 的半径为︵4 cm， C 是AB的中点，半径 OC 交弦 AB 于点 D，OD ＝2 3 cm，则弦 AB 的长为 ()A ． 2 cm B． 3 cm C．2 3 cmD． 4 cm5．如图 3 所示，D 是弦 AB 的中点，点 C 在⊙ O 上，CD 经过圆心 O，则以下结论不一定正确的选项是 ()A．CD⊥AB B ．∠ OAD＝ 2∠ CBDC．∠ AOD ＝2∠ BCD︵︵D. AC＝BC图3图46．如图 4，直线 AB 是⊙ O 的切线，C 为切点，OD∥AB 交于⊙ O 点 D，点 E 在⊙ O 上，连结 OC，EC，ED，则∠ CED 的度数为 ()A ． 30°B ． 35°C． 40°D． 45°7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其轴截面如图 5 所示，已知EF ＝CD＝ 4 cm，则球的半径是()A ． 2 cm B． 2.5 cm C． 3 cm D ．4 cm图5图68．如图 6，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠A＝ 30°， BC＝ 2 3，以直角边AC 为直径作⊙ O 交 AB 于点 D ，则图中暗影部分的面积是()15 3－315 3－37 3－ ππ7 3－A. 42πB. 22πC. 46D.26π二、填空题 (每题 4分，共 32 分)9． 如图 7，AB 是⊙ O 的直径 ，弦 CD ⊥AB 于点 E ，若 AB ＝ 8， AE ＝1，则弦 CD 的长是________．图7图810．如图 8，AB 为⊙ O 的直径 ，CD 为⊙ O 的弦，∠ ACD ＝54° ，则∠ BAD ＝ ________° .11．在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，若 AC ＝ 4，BC ＝ 3，则△ ABC 的内切圆半径r ＝ ________．12． 一个扇形的圆心角是 120° ，它的半径是 3 cm ，则扇形的弧长为 ________ cm.13．如图 9，⊙ M 与 x 轴相切于原点 ，平行于 y 轴的直线交⊙ M 于 P ， Q 两点 ，点 P 在点Q 的下方．若点 P 的坐标是 (2， 1)，则圆心 M 的坐标是 ________．图914．若用圆心角为120° ，半径为9 的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面圆的直径是 ________．︵15．如图 10 所示 ，AB 是半圆 O 的直径 ，E 是BC 的中点 ，OE 交弦 BC 于点 D.若 BC ＝ 8cm ，DE ＝2 cm ，则 OD ＝________ cm.图10图 1116． 如图11，以AD为直径的半圆O 经过Rt △ ABC的斜边AB 的两个端点 ，交直角边AC 于点 E.B，E 是半圆弧的三均分点，弧 BE 的长为2π，则图中暗影部分的面积为 ________．3三、解答题 (共 44 分)︵17． (10 分 )如图 12， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E， G 是 AC上的一点， AG 与 DC 的延伸线交于点 F.(1)若 CD ＝ 8，BE＝ 2，求⊙ O 的半径；(2)求证：∠ FGC＝∠ AGD.图 1218．(10 分 )如图 13，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，分别与 AC，BC 交于点 M， N.(1)过点 N 作⊙ O 的切线 NE 与 AB 订交于点 E，求证： NE⊥ AB；(2)连结 MD ，求证： MD ＝ NB.图 1319． (12 分 )如图 14，在 Rt△ ABC 中，∠B＝ 90°，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN ，使∠ BCM ＝2∠ A.(1)判断直线MN 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)若 OA＝ 4，∠ BCM ＝60°，求图中暗影部分的面积．图 1420．(12 分)如图15①所示，OA 是⊙O 的半径，D 为OA 上的一个动点，过点D 作线段CD⊥ OA 交⊙ O 于点 F ，过点 C 作⊙ O 的切线 BC，B 为切点，连结 AB，交 CD 于点 E. (1) 求证：CB＝ CE；︵(2)如图② ，当点 D 运动到 OA 的中点时， CD 恰巧均分 AB ，求证：△ BCE 是等边三角形；(3)如图③ ，当点 D 运动到与点O 重合时，若⊙ O 的半径为2，且∠ DCB＝ 45°，求线段 EF 的长．图 11． D2．[ 分析 ] B 设圆锥的母线长为 R，π×R2÷ 2＝ 18π，解得 R＝ 6，∴圆锥侧面睁开图的弧长为 6π，∴圆锥的底面圆半径是 6π ÷ 2π＝ 3.应选 B.3． D4． [ 分析 ] D 由圆的对称性，将圆沿 OC 折叠， A， B 两点重合，因此 OC⊥ AB.连结OA，由勾股定理求得 AD＝ 2 cm，因此 AB＝ 4 cm.5．[分析 ] B∵D是弦AB的中点，CD经过圆心O，︵︵∴CD⊥AB ，AC ＝BC，故 A， D 正确；连结 OB，∴∠ AOD＝∠ BOD .∵∠ BOD＝ 2∠C，∴∠ AOD＝ 2∠BCD ，故 C 正确； B 不必定正确．应选 B.6． D7．[分析 ] B过点O作OM⊥ EF于点M，延伸MO交BC于点N，连结OF，如图．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ C＝∠ D＝ 90°，∴四边形 CDMN 是矩形，∴MN＝ CD＝ 4.设 OF ＝ x，则 ON＝OF ＝x，∴OM＝ MN － ON＝ 4－ x， MF＝ 2，在 Rt△OMF 中， OM 2＋ MF2＝OF2，即 (4－ x)2＋ 22＝ x2，解得 x＝ 2.5.应选 B.8． A9．[答案 ] 27[分析 ] 连结 OC，如图，由题意，得 OE＝ OA－ AE＝ 4－1＝ 3，∴CE＝ ED ＝ OC2－ OE2＝ 7，∴ CD＝ 2CE＝ 2 7.10． [答案 ] 36[分析 ] 连结 BD，以下图．∵∠ ACD＝ 54°，∴∠ ABD＝ 54° .∵AB为⊙O的直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ BAD＝ 90°－∠ ABD ＝36° .11． [答案 ] 1[分析 ] 如图，设△ ABC 的内切圆与各边分别相切于点D， E，F ，连结 OD ， OE， OF ，则 OE⊥ BC，OF ⊥ AB， OD⊥ AC.设⊙ O 的半径为r，∴CD＝CE ＝r .∵∠ C＝ 90°， AC＝ 4， BC＝ 3，∴AB＝ 5，∴BE＝ BF ＝ 3－ r，AF ＝AD＝ 4－ r ，∴4－ r ＋3－ r＝ 5，∴r＝ 1，∴△ ABC 的内切圆的半径为 1.12． [答案 ] 2π120π × 3[分析 ] 依据题意，扇形的弧长为＝2π .13． [答案 ] (0 ，2.5)[分析 ] 如图，连结 MP，过点 P 作 PA⊥ y 轴于点 A，设点 M 的坐标是 (0， b)，且 b＞ 0.∵PA⊥ y 轴，∴∠ PAM ＝ 90°，∴ AP2＋ AM2＝ MP 2，∴ 22＋ (b－ 1)2＝ b2，解得 b＝ 2.5.故答案是 (0， 2.5)．14． [答案 ] 6[分析 ] 扇形的弧长 l ＝120π ×9＝ 6π，因此圆锥底面圆的周长为6π，则圆锥底面圆的180直径为6ππ＝ 6.15． [答案 ] 3︵[分析 ] 由于 E 为 BC的中点，因此 OE ⊥BC，因此△ OBD 为直角三角形．设 OD ＝x cm，则 OB＝ OE＝ OD＋ DE＝ (x＋ 2)cm.在 Rt△OBD 中，依据勾股定理，得(x＋ 2)2＝ 42＋ x2，解得 x＝3.故 OD ＝3 cm.16． [答案 ]33－2π23[分析 ] 如图 ，连结 BD ，BE ，BO ， EO.∵ B ， E 是半圆弧的三均分点 ， ∴∠ EOA ＝∠ EOB ＝∠ BOD ＝ 60° ，∴∠ BAC ＝∠ EBA ＝∠ BAD ＝ 30°， ∴ BE ∥ AD .︵∵ BE 的长为2 60π × R 23π ， ∴ 180 ＝ 3π ，解得R ＝ 2，1易得 AB ＝ 2 3，∴ BC ＝ 2AB ＝ 3，∴ AC ＝ AB 2－ BC 2＝ （2 3） 2－（ 3） 2＝ 3，1 1 3× 3＝3 3∴ S △ABC ＝ BC ·AC ＝ × 2.2 2∵△ BOE 和△ ABE 同底等高 ，∴△ BOE 和△ ABE 面积相等 ，60π ×2 22π .∴图中暗影部分的面积为S △ABC － S 扇形 BOE ＝ 3 3－ ＝33－2 360 2 3故答案为33－ 2π .2317． 解： (1) 如图，连结 OC.设⊙ O 的半径为 R.∵ CD ⊥AB ， ∴ DE ＝ EC ＝ 4.在 Rt △OEC 中，∵ OC 2＝ OE 2＋ EC 2， ∴ R 2＝ (R － 2)2＋ 42，解得 R ＝ 5.(2)证明：连结 AD ，∵ CD ⊥AB ，︵ ︵ ∴ AD ＝ AC ，∴∠ ADC ＝∠ AGD.∵四边形 ADCG 是圆内接四边形 ，∴∠ ADC＝∠ FGC，∴∠ FGC＝∠ AGD.18．证明： (1) 连结 ON，如图．∵CD 为斜边 AB 上的中线，∴ CD＝AD ＝DB ，∴∠ 1＝∠ B.∵OC＝ON，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2＝∠ B，∴ ON∥ DB.∵NE为⊙O的切线，∴ ON⊥NE ，∴ NE⊥ AB.(2)连结 DN，如图．∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CMD ＝∠ CND ＝90° .而∠ MCB＝ 90°，∴四边形 CM人教版数学九年级上册第24 章《圆》培优检测题（含祥细答案）一．选择题1．已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则能够获得的正确图形可能是（）A．B．C．D．2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A， PO的延伸线交⊙ O于点 B，若∠ P＝40°，则∠ B 的度数为（）A． 20°B． 25°C． 40°D．50°3．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB． 2πC． 3πD．6π4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形．则本来的纸带宽为（）A． 1B．C．D．25．如图：已知AB是⊙ O的直径，点C在⊙ O上，点D在半径OA上（不与点O，A 重合）．若∠ COA＝60°，∠ CDO＝70°，∠ACD的度数是（）A． 60°B． 50°C． 30°D．10°6．关于以以下图形有以下结论，此中正确的选项是（）A．如图①，AC是弦B．如图①，直径AB与构成半圆C．如图②，线段CD是△ ABC边 AB上的高D．如图②，线段AE是△ ABC边 AC上的高7．如图，为⊙的直径，＝．则∠C 的度数为（）BC O AB OBA． 30°B． 45°C． 60°D．90°8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB 上一点且不与点A、 B 重合．若OP的长为整数，则切合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4 个D．5 个9．如图，点P、 M、 N分别是边长为 2 的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）A． 6B． 6C． 6D．910．如图，△ABC是半径为1 的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）A． 3B．C．D．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、 C、D，与BC订交于点E，连结AC、AE．若∠ D＝80°，则∠EAC的度数为（）A． 20°B． 25°C． 30°D．35°12．如图，抛物线y＝x2﹣4与x 轴交于A、B 两点， P 是以点C（0，3）为圆心， 2 为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A． 3B．C．D．4二．填空题13．在⊙O 中，为直径，过点O作⊥于点，交⊙O于点，连结，若＝，AC OD AB E D BC ABED＝，则 BC＝．14．如图，△ABC的周长为 16，⊙O与BC相切于点D，与AC的延伸线相切于点E，与 AB的延伸线相切于点，则AF 的长为．F15．如图，矩形ABCD中， AB＝3，BC＝2，E 为 BC的中点， AF＝1，以 EF为直径的半圆与DE 交于点 G，则劣弧的长为．16．在正六边形ABCDEF 中，若边长为3，则正六边形ABCDEF 的边心距为．17．如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O为圆心，若∠BCD ＝ 120°， AB ＝ AD ＝2，则⊙ O 的半径长为．18．如图，△中， ＝ ，以AB 为直径的⊙ O 分别与 ， 交于点 ， ，连结 ，过ABCAB ACBC AC D EDE点D 作⊥于点 ．若＝ 6，∠＝15°，则暗影部分的面积是．DF ACFABCDF三．解答题19．如图， AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点， D 为 的中点．过点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E ，连结 OD ．（ 1）求证：∠ A ＝∠ DOB ；（ 2） DE 与⊙ O 有如何的地点关系？请说明原因．。
人教版数学九年级上册《圆》单元综合检测(附答案)
人教版数学九年级上学期《圆》单元测试（满分120分,考试用时120分钟）一、选择题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）1.在同圆或等圆中,如果弧AB的长度=弧CD的长度,则下列说法正确的个数是（）弧AB的度数等于弧CD的度数；所对的圆心角等于弧CD所对的圆心角；弧AB和弧CD是等弧；弧AB所对的弦的弦心距等于弧CD所对的弦的弦心距．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.、是直线上的两个不同的点,且,的半径为,下列叙述正确的是（）A. 点在外B. 点在外C. 直线与一定相切D. 若,则直线与相交3. 如图,已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为2,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为3的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图,在中,已知,是圆周上的一点,则为（）A. B. C. D.5.如图,正六边形内接于圆,圆的半径为,则这个正六边形的边心距和的长分别为（）A. 、B. 、C. 、D. 、6.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以为圆心的圆的一部分,路面米,净高米,则此圆的半径A. 米B. 米C. 米D. 米7.已知和三点、、,的半径为,,,,经过这三点中的一点任意作直线总是与相交,这个点是（）A. B. C. D. 或8.如图,,是的直径,的半径为,,以为圆心,以为半径作,则与围成的新月形的面积为（）平方单位．A. B. C. D.9.如图,已知：是的直径,、是上的三等分点,,则是（）A. B. C. D.10.如图,点,,在上,点在圆外,则下列结论正确的是（）A. ∠C>∠DB. ∠C<∠DC. ∠C=∠DD. ∠C=2∠D二、填空题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）11.在,,,,点是的外心,现在以为圆心,分别以、、为半径作,则点与的位置关系分别是________．12.如下图,在以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于和两点,,,则长为________．13.已知：如图,为半的直径,、、为半圆弧上的点,,,则的度数为________度．14.如图,边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上,顶点、在圆内,将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时,点运动的路径长为________．15.已知中,,,,直线过点且与平行,若以为轴将旋转一周,则所得的几何体的表面积为________．（不求近似值）16.如图,已知是的直径,为弦,度．过圆心作交于点,连接,则________度．17.如图,的边位于直线上,,,,若由现在的位置向右无滑动地旋转,当第次落在直线上时,点所经过的路线的长为________（结果用含有的式子表示）18.如图,圆柱底面半径为,高为,点、分别是圆柱两底面圆周上的点,且、在同一母线上,用一棉线从顺着圆柱侧面绕圈到,求棉线最短为________．19.以矩形的顶点为圆心作,要使、、三点中至少有一点在内,且至少有一点在外,如果,,则的半径的取值范围为________．20.如图,在中,是弦,,,那么圆心到的距离是________,弦的长是________．三、解答题（共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分）21.一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为,水面宽为．由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为,求水面下降的高度．22.如图,在中,弦、于点,且．求证：．23.如图,在中,,,求分别以、、为圆心,以为半径画弧,三条弧与边所围成的阴影部分的面积．24.已知：如图,的外接圆,弦的长为,,求圆心到的距离．25.如图,已知为的直径,是弦,于,于,．求证：；求证：；若,,设,求值及阴影部分的面积．26.如图,内接于,,,．求的度数；将沿折叠为,将沿折叠为,延长和相交于点；求证：四边形是正方形；若,,求的长．参考答案一、选择题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）1.在同圆或等圆中,如果弧AB的长度=弧CD的长度,则下列说法正确的个数是（）弧AB的度数等于弧CD的度数；所对的圆心角等于弧CD所对的圆心角；弧AB和弧CD是等弧；弧AB所对的弦的弦心距等于弧CD所对的弦的弦心距．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由在同圆或等圆中,的长度=的长度,根据弧长公式得到它们所对的圆心角相等,再根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等,即可对选项进行判断．【详解】∵在同圆或等圆中,的长度=的长度,∴弧AB和弧CD所对的圆心角相等,∴的度数等于的度数；∴和是等弧；∴所对的弦的弦心距等于所对的弦的弦心距．故选D．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．2.、是直线上的两个不同的点,且,的半径为,下列叙述正确的是（）A. 点在外B. 点在外C. 直线与一定相切D. 若,则直线与相交【答案】D【解析】【分析】由P、Q是直线l上的两个不同的点,且OP=5,⊙O的半径为5,可得点P在⊙O上,直线l与⊙O相切或相交；若OQ=5,则直线l与⊙O相交．【详解】∵OP=5,⊙O的半径为5,∴点P在⊙O上,故A错误；∵P是直线l上的点,∴直线l与⊙O相切或相交；∴若相切,则OQ＞5,且点Q在⊙O外；若相交,则点Q可能在⊙O上,⊙O外,⊙O内；故B、C错误．∴若OQ=5,则直线l与⊙O相交；故D正确．故选D．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,注意掌握分类讨论思想的应用是解题关键.3. 如图,已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为2,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为3的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理计算．解答：解：如图OD=OA=OB=5,OE⊥AB,OE=3,∴DE=OD-OE=5-3=2cm,∴点D是圆上到AB距离为2cm的点,∵OE=3cm＞2cm,∴在OD上截取OH=1cm,过点H作GF∥AB,交圆于点G,F两点,则有HE⊥AB,HE=OE-OH=2cm,即GF到AB的距离为2cm,∴点G,F也是圆上到AB距离为2cm的点．故选C．点评：本题利用了垂径定理求解,注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一,有三个．4.如图,在中,已知,是圆周上的一点,则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题画出图形,然后在优弧上取点D,连接AD,BD,根据圆周角的性质,即可求得∠ADB的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得∠ACB的度数．【详解】如图：在优弧上取点D,连接AD,BD,∵∠AOB=100°,∴∠ADB=∠AOB=55°,∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形,∴∠ADB+∠ACB=180°,∴∠ACB=125°．故选B．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质,根据题意作出图形,掌握数形结合思想的应用及圆周角定理是解题关键．5.如图,正六边形内接于圆,圆的半径为,则这个正六边形的边心距和的长分别为（）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】试题解析：连接OC,OD,∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形,∴∠COD=60°,∵OC=OD,OM⊥CD,∴∠COM=30°,∵OC=6,∴OM=6cos30°=3,∴=2π故选D．考点：1.正多边形和圆；2.弧长的计算．6.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以为圆心的圆的一部分,路面米,净高米,则此圆的半径A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理可知AD的长,设半径为r,利用勾股定理列方程求出r的值即可．【详解】∵CD⊥AB,∴由垂径定理得AD=6米,设圆的半径为r,则OD2+AD2=OA2,即（9-r）2+62=r2,解得r=米．故选B．【点睛】考查了垂径定理、勾股定理．根据题意构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算是解题关键．7.已知和三点、、,的半径为,,,,经过这三点中的一点任意作直线总是与相交,这个点是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据⊙O的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,可以知道点P在圆内,点Q在圆上,点R在圆外,因而这三点中P的一点任意作直线总是与⊙O相交．【详解】∵的半径为,,,,∴Q点在圆上；R点在圆外；P点在圆内,∴经过P点任意作直线总是与⊙O相交．故选A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上；当d＞R 时,点在圆外；当d＜R时,点在圆内．准确判断P、Q、R三点与⊙O的位置关系是解决本题的关键．8.如图,,是的直径,的半径为,,以为圆心,以为半径作,则与围成的新月形的面积为（）平方单位．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】新月形ACED的面积是圆O半圆的面积-弓形CED的面积,弓形CED的面积又=扇形BCD面积-三角形BCD 的面积,然后依面积公式计算即可．【详解】∵OC=OB=R,,∴BC=R,）∴新月形ACED的面积=S半圆-（S扇形BCD-S△BCD=-（-)=R2．故选B．【点睛】本题的关键是看出：新月形ACED的面积是圆O半圆的面积-弓形CED的面积,然后逐一求面积即可．9.如图,已知：是的直径,、是上的三等分点,,则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出∠BOE=120°,再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°,∴∠BOE=180°-∠AOE=120°,∴的度数是120°,∵C、D是上的三等分点,∴弧CD与弧ED的度数都是40度,∴∠COE=80°,故选：C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.10.如图,点,,在上,点在圆外,则下列结论正确的是（）A. ∠C>∠DB. ∠C<∠DC. ∠C=∠DD. ∠C=2∠D【答案】A【解析】【分析】根据三角形外角的性质得到∠BEC＞∠BDC,根据圆周角定理得到∠BAC=∠BEC,得到答案【详解】如图：连接AE,∵∠BEA是△ADE的外角,∴∠BEA>∠D,∵∠C=∠BEA,∴∠C>∠D,故A选项正确,则B、C、错误,∵不确定D点的位置,∴∠C不一定等于2∠D,故D选项错误,故选A.【点睛】本题考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质的应用,掌握同弧所对的圆周角相等和三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角是解题的关键．二、填空题（共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分）11.在,,,,点是的外心,现在以为圆心,分别以、、为半径作,则点与的位置关系分别是________．【答案】圆外,圆上,圆内【解析】【分析】由点是的外心,可知O为△ABC的外接圆的圆心,因为∠C=90°,由圆周角定理可知AB为外接圆的直径,根据勾股定理可求出AB的长,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知OC的长度,根据半径的长判断点C的位置即可.【详解】∵,点是的外心,∴AB为⊙O的直径,且O为AB中点,∵,,∴AB==5,∴OC=2.5,∵2.5>2；2.5=2.5； 2.5<3,∴以、、为半径作,则点与的位置关系分别是圆外、圆上、圆内.故答案为：圆外、圆上、圆内【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d,则当d=R时,点在圆上；当d＞R 时,点在圆外；当d＜R时,点在圆内．根据圆周角定理确定O点的位置是解题关键.12.如下图,在以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于和两点,,,则长为________．【答案】【解析】【分析】如图：作OE⊥AB于E,根据垂径定理可知CE=CD,AE=AB,根据AC=AE-CE求出AC的长即可.【详解】如图：作OE⊥AB于E,∴根据垂径定理得：CE=CD=3,AE=AB=5,∴AC=AE-CE=2.故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,熟练掌握垂径定理是解题关键.13.已知：如图,为半的直径,、、为半圆弧上的点,,,则的度数为________度．【答案】【解析】【分析】根据同圆中,等弧所对的圆心角相等可知∠BOC的度数,即可求出∠AOC的度数.【详解】∵,∠BOE=55°,∴∠COD=∠DOE=∠BOE=55°,∴∠BOC=165°,∴∠AOC=180°-165°=15°,故答案为：15【点睛】本题考查圆周角定理,在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．14.如图,边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上,顶点、在圆内,将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时,点运动的路径长为________．【答案】【解析】【分析】设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,易证三角形AOB是等边三角形,确定∠GFE=∠EAC=30°,再利用弧长公式计算即可．【详解】如图所示：设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,∵AB=,AO=BO=,∴AB=AO=BO,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=∠OAB=60°同理：△FAO是等边三角形,∠FAB=2∠OAB=120°,∠DAF=120°-90°=30°,即旋转角为30°,∴∠EAC=30°,∠GFE=∠FAD=120°-90°=30°,∵AD=AB=,∴AC=2,∴当点C第一次落在圆上时,点C运动的路径长为=（）π；故答案为：（）π【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用,题目的综合性较强,解题的关键是正确的求出旋转角的度数．15.已知中,,,,直线过点且与平行,若以为轴将旋转一周,则所得的几何体的表面积为________．（不求近似值）【答案】【解析】【分析】根据,,,可求出△ABC的其余边长,表面积为一个圆锥的侧面积+一个圆的底面积+圆柱的侧面积,按照公式计算即可.【详解】∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,∴BC=5,AC=5,∴所得几何体的表面积为：π×5×10+π×52+2π×5×5=75π+50．故答案为75π+50．【点睛】考查圆锥的计算；画出相关图形,判断出表面积的组成是解决本题的关键．16.如图,已知是的直径,为弦,度．过圆心作交于点,连接,则________度．【答案】【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BOD,再根据圆周角定理∠DCB=∠BOD即可得答案.【详解】∵OD⊥BC交弧BC于点D,∠ABC=30°,∴∠BOD=90°-∠ABC=90°-30°=60°,∴∠DCB=∠BOD=30°．故答案为：30【点睛】本题主要考查圆周角定理,在同圆或等圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半,熟练掌握圆周角定理是解题关键.17.如图,的边位于直线上,,,,若由现在的位置向右无滑动地旋转,当第次落在直线上时,点所经过的路线的长为________（结果用含有的式子表示）【答案】【解析】【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°；点A先以B点为旋转中心,顺时针旋转120°到A1,再以点C1为旋转中心,顺时针旋转90°到A2,然后根据弧长公式计算两段弧长,从而得到点A第3次落在直线上时,点A所经过的路线的长．【详解】∵Rt△ABC中,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°；∵Rt△ABC由现在的位置向右无滑动的翻转,且点A第3次落在直线l上时,有3个的长,2个的长, ∴点A经过的路线长=×3+×2=(4+)π.故答案为：(4+)π.【点睛】本题考查了旋转的性质与弧长的计算,解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与弧长的计算方法. 18.如图,圆柱底面半径为,高为,点、分别是圆柱两底面圆周上的点,且、在同一母线上,用一棉线从顺着圆柱侧面绕圈到,求棉线最短为________．【答案】【解析】【分析】将圆柱体展开,然后利用两点之间线段最短解答即可.【详解】圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2cm,∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；又∵圆柱高为9πcm,∴小长方形的一条边长是3πcm；根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；∴AC+CD+DB=15πcm；故答案为：15π．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形,此长方形的宽等于圆柱底面周长,长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决．19.以矩形的顶点为圆心作,要使、、三点中至少有一点在内,且至少有一点在外,如果,,则的半径的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】先求出矩形对角线的长,然后由B、C、D与⊙A的位置,确定⊙A的半径的取值范围．【详解】根据题意画出图形如下所示：∵AB=CD=5,AD=BC=12,∴AC=BD==13．∵B、C、D中至少有一个点在⊙A内,且至少有一个点在⊙A外,∴点B在⊙A内,点C在⊙A外．∴5＜r＜13．故答案是：5＜r＜13．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系,要确定点与圆的位置关系,主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时,点在圆外；当d=r时,点在圆上；当d＜r时,点在圆内．20.如图,在中,是弦,,,那么圆心到的距离是________,弦的长是________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】过O作OC⊥AB交AB于C点,根据垂径定理可知OC垂直平分AB,根据OA=OB,∠AOB=120°可求出∠OAB=30°,根据30°角所对直角边等于斜边一半即可求得圆心到的距离；根据勾股定理求出AC的长即可求出AB的长.【详解】过O作OC⊥AB交AB于C点,如图所示：由垂径定理可知,OC垂直平分AB,∵OA=OB,∠AOB=120°∴∠OAB=30°∴OC=OA=cm∴由勾股定理可得：AC= =cm∴AB=2AC=5cm.故答案为：；5；【点睛】本题考查垂径定理,垂直于弦的直径,平分弦且平分这条弦所对的两条弧,熟练掌握垂径定理是解题关键.三、解答题（共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分）21.一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为,水面宽为．由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为,求水面下降的高度．【答案】水面下降了米．【解析】【分析】如图：过点O作ON⊥CD于N,交AB于M,先根据垂径定理求得AM、CN,然后根据勾股定理求出OM、ON的长,即可得出结论【详解】如图,下降后的水面宽CD为6m,连接OA,OC,过点O作ON⊥CD于N,交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD,∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=8m,CD=6m,∴AM=AB=4,CN=CD=3,在Rt△OAM中,∵OA=5,∴OM==3．同理可得ON=4,∴MN=ON-OM=1（米）．答：水面下降了1米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用,熟知垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧是解答此题的关键．22.如图,在中,弦、于点,且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据,可证明,进而证明AC=BD,通过证明即可证明结论.【详解】∵,∴,,∴在与中,∵,∴,∴．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质,熟练掌握,圆心角、弧、弦的关系是解题关键.23.如图,在中,,,求分别以、、为圆心,以为半径画弧,三条弧与边所围成的阴影部分的面积．【答案】．【解析】【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°,根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和,而三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和,再利用三角形的面积公式计算出△ABC的面积,然后代入即可得到答案．【详解】∵∠C=90°,CA=CB=2,∴AC=1,S△ABC==2,∵三条弧所对的圆心角的和为180°,三个扇形的面积和==,∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=2-,【点睛】本题考查扇形面积,熟练掌握面积公式并明确三条弧所对的圆心角的和为180°是解题关键.24.已知：如图,的外接圆,弦的长为,,求圆心到的距离．【答案】圆心到的距离为．【解析】【分析】连接,,过点作于点,根据圆周角定理可知∠BOC=60°,进而证明△OBC是等边三角形,根据垂径定理可知CD的长度,利用勾股定理求出OD的长即【详解】连接,,过点作于点,∵,∴．∵,∴是等边三角形,∴,∵OD⊥BC,∴CD=BC=2,∴=,即圆心到的距离为．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理,在同圆中,同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半,垂直于弦的直径,平分弦且平分这条弦所对的两条弧,熟练掌握定理是解题关键.25.如图,已知为的直径,是弦,于,于,．求证：；求证：；若,,设,求值及阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）x=5,.【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°可知∠ACB=∠AFO=90°,由平行线判定定理即可证明OF//BC；（2）由可知∠CBE=∠FOA,利用,,即可证明；（3）在Rt△OCE中,利用勾股定理列方程即可求出x的值,根据OC=2OE可知∠OCE=30°,即可求出∠COD的度数,利用扇形面积及三角形面积公式求出阴影面积即可.【详解】证明：∵为的直径,∴又∵∴证明：∵∴∠CBE=∠FOA∵,,∴解：连接．设,∵∴．在中,,根据勾股定理可得：解得：,即,∵OC=5+5=10,∴OC=2OE,∴∠OCE=30°,∴,∴扇形的面积是：的面积是：∴阴影部分的面积是：．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理及扇形面积,熟练掌握定理和公式是解题关键.26.如图,内接于,,,．求的度数；将沿折叠为,将沿折叠为,延长和相交于点；求证：四边形是正方形；若,,求的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】（1）连接和,由OE=BC,可知OE=BE,进而可知∠OBE=45°,同理可证∠OCE=45°,即可证明∠BOC=90°,根据圆周角定理即可求得∠BAC的度数；（2）由折叠性质可知AG=AD=AF,∠AGH=∠AFH=90°,∠DAC=∠CAF,∠BAD=∠BAG,由∠BAD+∠DAC=45°,可证明∠GAF=90°,即可证明四边形AFHG 是正方形；（3）由折叠性质可知,；由（2）可知∠BHC=90°,设AD长为x,利用勾股定理列方程求出x的值即可得解.【详解】（1）连接和；∵,∴；∵,∴,∴；∵,∴；由折叠可知,,,,,∴；∴；∴四边形是正方形；解：由得,,,,；设的长为,则,．在中,,∴；解得,,（不合题意,舍去）；∴．【点睛】本题主要考查圆周角定理及折叠性质,在同圆中,同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；折叠后的图形与原图形全等,熟练掌握折叠的性质是解题关键.。
人教版数学九年级上学期《圆》单元综合检测(带答案)
A. 7B. 7 C. 10D. 8
[答案]B
[解析]
[分析]
作点C关于A B的对称点C′，连接C′D交A B于点P，则此时PC+PD最小，为C′D的长，求得C′D的长即可求得PC+PD的最小值.
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=60°，PO=4，⊙O的半径是()
A.2 B.4C.1D.2
[答案]D
[解析]
[分析]
连接AO，由题意可得:∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，AO⊥AP，即可求AO的长度．
[详解]连接AO
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，AO⊥AP
∴PO=2AO=4
∴AO=2
故选D．
[点睛]考查了切线的性质，熟练运用切线的性质的本题的关键．
5.下列说法正确的是()
A. 将抛物线y=x2向右平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是y=(x+4)2﹣2
B. 抛物线y=x2经过坐标原点
C. 长度相等的弧叫等弧
D. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧
15.已知正方形边长为8，黑色部分是以正方形边长为直径的两个半圆，则图中白色部分的面积为_____(结果保留π)．
16.如图，在半径为2的⊙O中，弦A B＝2，⊙O上存在点C，若A C＝2 ，则∠B A C的度数为___.
17.如图，在⊙O中，P为直径A B上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2Cm，BP＝6Cm，则MN的长是_____Cm．
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数学九年级上册 圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标；（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516） 【解析】分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标；（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC =过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,则116322AG AB ==⨯= ，设，则， 在Rt AGE ∆中，，在中，()222218CE EF CF a =+=+-，∵AE CE = ，∴()22918a a +=+- ，解得：72a =， ∴712E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，； （3）设点()2,28a a a P +-，则228,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ∆∽CBO ∆时，PQ COBQ OB =，即228822a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；22a =（舍去）；38a =- ，∴()18,40P - ；b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，PQ BOBQ CO =，即228228a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-；3174a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.2．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）证明：连接CM ，∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴．又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．∴545(x )x 5)12152-=--（，∴，解得10OD 3=． 又∵D 为OB 中点，∴1552+．∴D 点坐标为（0，154)．连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有解得．∴直线AD 为．∵二次函数的图象过M （56，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=154． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=154交于点P ， ∴PD+PM 为最小．又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=154的交点． 当x=154时，45y (x )x 5)152=--（． ∴P 点的坐标为（154，56）． （3）存在．∵，5y a(x )x 5)2=--（又由（2）知D （0，154)，P （154，56）， ∴由，得，解得y Q =±103．∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，又∵该图象过点D （0，154)，∴，解得a=512． ∴二次函数解析式为．又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103． ∴当y Q =103时，，解得x=15524-或x=15524+；当y Q =512-时，，解得x=154． ∴点Q 的坐标为（1552-，103)，或（1552+，103)，或（154，512-）．【解析】试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OBtan OAC AC OA∠==，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．3．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．（1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB =， ∴BF=42cos cos45AB ABF =∠=8，设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 2BE ≤13，∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+，∵2π＞0，∴抛物线的开口向上，又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，∴16π＜S≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.4．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．【解析】试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12-4=8，∴HE=8-4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴，∴，解得t=；②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图③，则有∠HQD=∠HDQ=45°，∴QH=DH．∵△AHQ∽△EDF（已证），∴，∴，∴QH=，AH=，∴DH=QH=．∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，∴++t=12，∴t=5；Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图④，同理可得DH=QH=，AH=．∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，∴-+t=12，∴t=10．综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．5．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．6．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．【解析】试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；（1）等腰梯形是“四边形”；（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．7．已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE BE，BE与CD交于点F．（1）如图1，求证：BH＝FH；（2）如图2，过点F作FG⊥BE，分别交AC、AB于点G、N，连接EG，求证：EB＝EG；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EG交⊙O于M，连接CM、BG，若ON＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ．【解析】【分析】（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解；（2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明Rt CGQ Rt CBS ∆≅∆，CBE CGE ∆≅∆即可得解；（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明()CMG CNG AAS ∆≅∆，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.【详解】解：（1）如下图，连接AE∵AB 为直径∴90AEB =︒∠∵AE BE =∴AE BE =∴45B ∠=︒又∵CD AB ⊥于H ∴45HFB ∠=︒∴HF HB =；（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=︒∴GCQ BCS ∠=∠∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ∆≅∆∴CG CB =同理()CBE CGE SAS ∆≅∆∴EG EB =；（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN设CAB α∠=由（2）知：CM CB =∴CM CB =∵HB HF =∴45HBF HFB ∠=∠=︒∵GF BE ⊥∴45NFH NH BH CN BC ∠=︒∴=∴=，，∴CM CB CN ==则：2MEB α∠=902AEG α∠=︒-∴45EAG EGA α∠=∠=︒+∴45M MGC α∠=∠=︒+∴()CMG CNG AAS ∆≅∆∵CMG ∆面积为6∴6CAN GAN S S -=设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，，则()CGT BCH AAS ∆≅∆∴C BH x ==∴6AN CH AN TH ⋅-⋅=∴1(22)62x CT +⋅= 解得：2x =∵2BC BH BA =⋅∴2210BC =⨯，则25BC ＝∴2210BG BC ＝＝【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.8．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ．(1)当点F 是BC 的中点时，求DH BH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长：(3)如图2．以CF 为直径作O ． ①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线： ②当DH BH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【解析】【分析】 （1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH 的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长； （3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件． 【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ，∴13=HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ， ∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ， 111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，8BC ∴===， 则142==CF BC ，AF ∴=16∴=⨯=GH ； （2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等，∴S 四边形DCFH +DGH S=S 四边形BEGH +DGH S ， 即S 梯形DCFG =DEB S ，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线，∴3CD =，4DE =， ∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEB S DE CD ， 设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴12==DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ， 解得：43a =， 823∴==CF a ； （3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形，D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ， ∠∠∴=DCH DHC ．又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ，∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切， ∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =，∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =，∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGH BFH ，32DH DG BH BF ∴==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ，设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点，∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形，∴=3=OG CD ，==DG OC r ，则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ， 解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r 257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGH BFH ，252514874∴===DH DG BH BF ， 则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点；综上所述，当32DHBH=或2514DHBH>时，O与线段DE有且只有一个交点．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．9．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A′B的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C 的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B 时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．【答案】（1）PA+PC的最小值是32）①点M30）时，用时最少；②S与t之间的函数关系式是当3t3S＝3﹣3t；当0＜t3S ＝3t．当3t3S＝﹣3t3【解析】【分析】（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最小；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C3，0）以及到B的解析式．【详解】解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，则此时AP+PC＝PC+PM＝CM最小，∵AM是直径，∠AOC＝60°，∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，∴AC＝12AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝22AM AC＝23．答：PA+PC的最小值是23．（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，∴当PB⊥AB时，根据垂线段最短得出此时符合题意，∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝12AP，由勾股定理得：AP＝3，BP＝3，∴点M30）时，用时最少．②当0＜t3AP＝2t，∵菱形ABCD，∴∠OAB＝30°，∴OB＝12AB＝3，由勾股定理得：AO＝CO＝33，∴S＝12AP×BO＝12×2t×3＝3t；③当33＜t≤43时，AP＝63﹣（2t﹣63）＝123﹣2t，∴S＝12AP×BO＝12×（123﹣2t）×3＝183﹣3t．当43＜t≤63时，S＝12AB×BP＝12×6×[23﹣（t﹣43）]＝﹣3t+183，答：S与t之间的函数关系式是当33＜t≤43时，S＝183﹣3t；当0＜t≤33时，S＝3t．当43＜t≤63时，S＝﹣3t+183．【点睛】本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．10．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos45B=，点O是边BC上的动点，以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；（3）将O绕着点M旋转180°得到'O，如果以点N为圆心的N与'O都内切，求O的半径长．【答案】（1）DF的长为158；（2）MN的长为5；（3）O的半径长为258．【解析】【分析】（1）作EH BM⊥于H，根据中位线定理得出四边形BMFA是平行四边形，从而利用cos45B=解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD即可；（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ==== ∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r === ∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN∴AFN DFM ∆~∆ ∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上 ∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM =O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．。