非常应变模式数字相关方法的初值估计_计宏伟
不确定性量化的高精度数值方法和理论-HKBUMATH
ϕn (zm )cn (x) ≈ u(x; zm ),
m = 1, ..., M.
在离散投影方法的框架下，我们要求 M > N (d)。那么，一个自然并重要的问题是：最少需要多少样 本才能保证算法的稳定性？因此，我们将着重讨论如何确定样本数量 M 与展开项数 N (d) 的依赖关 系， 以保证算法具有稳定性和最佳收敛性。 特别的， 我们将介绍相关的最新进展， 包括随机抽样方法， d 确定性抽样结果， 无穷区域问题 Γ ≡ R 等。在压缩感知的框架下， 我们试图寻求精确解的稀疏逼近， 这使得我们可以使用较少的样本，即 M < N (d)，我们同样关心算法的稳定性和最佳逼近性质。通过 讨论， 我们将呈现压缩感知方法和离散投影方法的联系和对应关系。最后我们讨论高维插值问题， 即 M = N (d)。为了适应实际需求，我们将强调“无结构”节点重要性，即我们希望使用任意位置，任意 数量的节点。 本文接下来的组织结构如下： 第二节中我们介绍所讨论的模型问题： 随机椭圆方程。第三节介绍 Galerkin 投影方法和随机配置方法。 第四节至第六节是本文的重点， 我们将系统的分别介绍离散投影 方法， 压缩感知方法和插值方法， 并给出最新的算法和相关的数值分析结果， 同时我们将给出一些数 值算例。在第七节中，我们将介绍一个相关的研究课题：正倒向随机微分方程的数值方法。最后，我 们将在第八节中探讨 UQ 研究的发展趋势和未来可能的研究方向。
2
中国科学 : 数学 评审中稿件
合了蒙特卡洛方法和传统多项式 Galerkin 投影方法的优点。随机配置方法试图通过计算一些特殊的 样本信息，来构造高精度的多项式逼近（我们这里关注高阶随机配置方法，特别的，基于多项式逼近 的随机配置方法） 。这种方法避免了求解联立的方程组，只需要求解一定数量、与原随机问题同等规 模的确定问题， 便于实现， 利于并行。随机配置方法最早的想法是基于张量积高斯点和张量多项式插 值 [12]。 这就面临严重的维数祸根问题 （Curse of dimensionality） ： 所需要的张量积节点个数随着维数 的增加呈指数快速增长。考虑到对于每一个样本， 需要求解与随机问题同等规模的确定问题， 这在实 际应用中是不能接受的。随后，高维求积中流行的稀疏节点 [13,14] 被引入到 UQ 的计算当中，以减 弱维数祸根问题。 这种方法仍然是一种张量方法， 但是稀疏节点的设计试图减轻张量积节点对于维数 的严重依赖。 基于稀疏节点的插值方法在 UQ 计算中取得了很大的成功 [15-18]。 然而， 随着 UQ 需求 的不断深入， 上述传统的张量型插值方法已经无法满足实际需求， 随机配置方法也已经产生了多种变 形， 并将多个研究领域有机结合， 产生了许多重要的数值分析结果， 我们将在后面的章节中对此做详 细介绍。 在本文后面的章节中，我们将主要讨论基于多项式逼近的方法，包括 Galerkin 投影方法和随机 配置方法。这其实可以把UQ问题转化一个随机参数空间的逼近论问题，即我们寻求数学模型（见下 节描述）精确解 u(x, Z ) 的多项式逼近：
计量经济学名词解释与简答
计量经济学复习题题型：选择2*10；填空2*10；名词解释4*5；综合题10*4一选择填空考点1.截面数据，时间序列，面板数据定义。
P12/1.3.3截面数据：同一时间（时期或时点）某个指标在不同空间的观测数据。
时间序列数据：把反映某一总体特征的同一指标的数据，按照一定的时间顺序和时间间隔（如月度.季度.年度）排列起来，这样的统计数据称为时间序列数据。
时间序列数据可以是时期数据，也可以是时点数据。
面板数据：指时间序列数据和截面数据相结合的数据。
如在具名手指调查中收集的对各个固定调查户在不同时期的调查数据。
2.有限分布滞后模型定义P184/7.1.3被解释变量受解释变量的影响分布在解释变量不同时期的滞后值上，即模型形如具有这种滞后分布结构的模型称为分布滞后模型，其中 s 为滞后长度。
根据滞后长度 s取为有限和无限，模型分别称为有限分布滞后模型和无限分布滞后模型。
3.设定误差定义P244/9.1计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想，若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是所选模型参数的估计和假设检验。
但是如果对计量模型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注意力集中到模型的设定方面：考虑所建模型是否遗漏了重要的变量？是否包含了多余的变量？所选模型的函数形式是否正确？随机扰动项的设定是否合理？变量的数据收集是否有误差？所有这些，计量经济学中被统称为设定误差。
4.时间序列平稳性阶数判定P267-270/10.1所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线。
从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一种是弱平稳。
5.有效，无偏含义P35/2.2.4有效性一个估计式若不仅具有无偏性而且具有最小方差性时,成这个估计式为有效估计式.无偏估计式可能有多个,但在所有无偏估计式中,只有最小的最佳无偏估计式才是有效估计式.6.t，F检验统计量表达式P47/2.4.3 P87/3.3.2ESS(-1)~F(-1,)RSS(-)kF k n-kn k=7.协整定义P273/10.3所谓协整，是指多个非平稳变量的某种线性组合是平稳的。
应用多元统计分析课后答案-朱建平版(前9章)
第二章2.1.试表达多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求〔1〕随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 〔2〕随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； 〔3〕判断1X 和2X 是否相互独立。
〔1〕解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddcc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析讲稿(朱建平)
精心整理第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解、H.Hotelling 、、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显着成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、银行存款、天文学、粒子物理、化学、质学、社会学、考古学、环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用，这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计分析的应用领域，让读者从感性上加深对多元统计分析的认识。
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。
这八项指标存在一定的线性关系。
为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、345他们每个人若干项症状指标数据。
Matlab习题
习题 11. 执行下列指令，观察其运算结果, 理解其意义： (1) [1 2;3 4]+10-2i(2) [1 2; 3 4].*[0.1 0.2; 0.3 0.4] (3) [1 2; 3 4].\[20 10;9 2] (4) [1 2; 3 4].^2 (5) exp([1 2; 3 4]) (6)log([1 10 100]) (7)prod([1 2;3 4])(8)[a,b]=min([10 20;30 40]) (9)abs([1 2;3 4]-pi)(10) [1 2;3 4]>=[4,3;2 1](11)find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10])(12) [a,b]=find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10]) (提示：a 为行号，b 为列号) (13) all([1 2;3 4]>1) (14) any([1 2;3 4]>1) (15) linspace(3,4,5) (16) A=[1 2;3 4];A(:,2)2. 执行下列指令，观察其运算结果、变量类型和字节数，理解其意义： (1) clear; a=1,b=num2str(a),c=a>0, a= =b, a= =c, b= =c (2) clear; fun='abs(x)',x=-2,eval(fun),double(fun)3. 本金K 以每年n 次，每次p %的增值率(n 与p 的乘积为每年增值额的百分比)增加，当增加到rK 时所花费的时间为)01.01ln(ln p n rT +=(单位：年)用MA TLAB 表达式写出该公式并用下列数据计算：r =2, p =0.5, n =12.4．已知函数f (x )=x 4-2x 在(-2, 2)内有两个根。
取步长h =0.05, 通过计算函数值求得函数的最小值点和两个根的近似解。
中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第六章)-
BERMAN 方法的不足之处
这种直接修正矩阵的拉格朗日乘子法的不足之处主要有以下几点： ① 采用试验模态向量修正质量矩阵和刚度矩阵。由于试验模态向量是不完整的，仅
仅是测试频率范围内的若干阶模态，而且试验模态的自由度数远小于计算模型的自由 度数，因此必须进行振型扩展（在本章前面讨沱过）；
② 试验模态的误差一般较大，在15 ％左右； ③ 原来质量矩阵和刚度矩阵的稀疏性可能不再存在； ④ 原来质量矩阵和刚度矩阵中为零的元素，譬如第ij个元素，可能不再为零，表示 在第i 个节点和第j个节点之间增加了新的单元，这可能不符合实际情况； ⑤ 可能出现虚假模态（Spurious Modes）。 因此，工程上实用的方法是基于灵敏度分析的物理参数修改法。
的解不是唯一的，
Berman 又定义了一个拉格朗日函数
式中：矩阵E0为非对角阵，Lij为拉式乘子。 将上式对ΔM的每个元素及Lij求导，并令其为零，便可得到满足正交性条
件
，又能使
的ε最小解：
将上式代入到 再将上式代入到
得到 ，
便得：
在求得 ΔM后即可得修改后的质量矩阵。 Wei用类似的方法（将以上过程的M改为K）找到了刚度矩阵的修改公式： 式中
式中：
其中 Hcij（ωk）是j点激励，i点响应的频率响应函数在（ωk）处的值。显然，SAC等于1 表示表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。
II. 模态缩减和扩展
在有限元模型修正中，我们介绍了MAC 、COMAC 、MSF 等方法用于判别计算模型的 振型和试验模型的振型相关的程度。实际上，计算模型的自由度总数，一般而言， 远大于试验模型的自由度总数。这就是在本节一开始所讲到的第一种试验模态模型 的不完整性。要解决这个问题，或者是将有限元模型缩聚到试验模型的自由度上， 或者是将试验模型的振型扩展到有限元模型的自由度上。模型的缩聚和扩展看似问 题的两个方面，但在求解过程中是统一的（双向转换）。
OFDM系统频偏估计与补偿
图 1 传统的频分复用多载波技术
图 2 OFDM 多载波调制技术
(1)串并变换 数据传输的典型形式是串行数据流，符号被连续传输，每个数据符号的频谱可占据整个
带宽。但在并行数据传输系统中，许多符号同时传输，这可以减少一些在串行系统中出现的 问题。
对于高速的数字通信系统，每个传输符号的速率能够达到每秒几万比特，如果以典型的 串行方式传输，这意味着每个符号的传输时间只有几十微秒。在如此短的时间内传输大量数 据，一旦信道产生较大的变化，尤其是在无线信道环境中，显然，误码率将会大大增加。
dt
∑ ∫ =
1 T
N −1
di
i=0
ts ts
+T
exp⎢⎣⎡
j
2π
i
− T
k
(t
−
t
s
)⎥⎦⎤
dt
=
dk
(4)
即可恢复出期望符号。对其它子载波来说，在积分间隔内频率相差整数倍个周期，故积 分结果为零。这充分体现了各子载波间的正交性。
这种正交性还可以从频域角度理解。图 3 给出了 OFDM 符号中各子载波信号的频谱图。 可以看出，在每一子载波频率的最大值处，所有其他子信道的频谱值恰好为零；也就是说， OFDM 各子载波信号之间的正交性避免了子信道间干扰(ICI)的出现。
∫1
T
T 0
exp(jωnt)
exp(jωmt)dt
=
⎧1 ⎩⎨0
m=n m≠n
(3)
例如对(2)式中的第 k 个子载波进行解调，然后在 T 内积分，即：
∫ ∑ dˆk
=1 T
ts +T exp⎜⎛−
ts
⎝
j2π
k T
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数字信号处理复习总结
绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。
这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。
0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2）A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）（4）D/A变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。
（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。
0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性。
（2）高精度和高稳定性。
（3）便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0.4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。
测试技术习题答案(贾民平)
绪论1 .举例说明什么是测试？答：(1) 测试例子：为了确定一端固定的悬臂梁的固有频率，我们可以采用锤击法对梁进行激振，再利用压电传感器、电荷放大器、波形记录器记录信号波形，由衰减的振荡波形便可以计算出悬臂梁的固有频率。
（2）结论：由本例可知：测试是指确定被测对象悬臂梁的属性—固有频率的全部操作，是通过一定的技术手段—激振、拾振、记录、数据处理等，获取悬臂梁固有频率的信息的过程。
2. 测试技术的任务是什么？答：测试技术的任务主要有:通过模型试验或现场实测，提高产品质量；通过测试，进行设备强度校验，提高产量和质量；监测环境振动和噪声，找振源，以便采取减振、防噪措施；通过测试，发现新的定律、公式等；通过测试和数据采集，实现对设备的状态监测、质量控制和故障诊断。
3. 以方框图的形式说明测试系统的组成，简述主要部分的作用。
（1）测试系统方框图如下：（2）各部分的作用如下：●传感器是将被测信息转换成某种电信号的器件；●信号的调理是把来自传感器的信号转换成适合传输和处理的形式；●信号处理环节可对来自信号调理环节的信号，进行各种运算、滤波和分析；●信号显示、记录环节将来自信号处理环节的信号显示或存贮。
●模数（A/D）转换和数模（D/A）转换是进行模拟信号与数字信号相互转换，以便用计算机处理。
4.测试技术的发展动向是什么?传感器向新型、微型、智能型方向发展；测试仪器向高精度、多功能、小型化、在线监测、性能标准化和低价格发展；参数测量与数据处理向计算机为核心发展；第一章1求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|c n|-ω和ϕ-ω图。
解：(1)方波的时域描述为：(2) 从而：求正弦信号的绝对均值和均方根值。
2 .解(1)(2)3.求符号函数和单位阶跃函数的频谱。
解：(1)因为不满足绝对可积条件，因此，可以把符合函数看作为双边指数衰减函数：其傅里叶变换为：(2)阶跃函数：4. 求被截断的余弦函数的傅里叶变换。
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第16卷 第1期2001年3月实 验 力 学JOURNALOFEXPERIMENTALMECHANICSVol.16 No.1Mar.2001
文章编号:1001-4888(2001)01-0049-07非常应变模式数字相关方法的初值估计X
计宏伟1,秦玉文2,陆 华3(1.天津商学院,天津 300400;2.天津大学,天津 300072;3.RyersonPolytechnicUniversity,TorontoOntarioCanadaM5B2K3)
摘要:本文给出了基于高精度非常应变子区位移模式数字相关方法的Newton-Raphson迭代法求解的新通用公式.对相关迭代算法中的初值估计问题进行了研究,提出两种初值估计方法:(1)利用“实时相减”和“精密调节”相结合的方法而获得零初值;(2)快速迭代初值估计方法.从而有效地解决了Newton-Raphson迭代算法中的初值估计问题,并提高了迭代的收敛速度.关键词:数字相关;子区位移模式;实时相减;快速迭代中图分类号:O348.1;TP391.41 文献标识码:A
1 引言 数字相关方法首先由Peters和Ranson[1]提出,该方法直接利用数字图像的灰度场变化(变形前后)来测量位移、应变等力学参量.根据反映变形前后两图像子区相似程度的数学指标,即相关因子S来描述参考图像与目标图像之间的相关性,这里0≤S≤1,S=0相关;S=1不相关.实际上相关因子S是待求量位移及其导数的函数,当给出试凑位移及其一阶和二阶导数,使相关因子S达到最小值的试凑值,就是真实的样本图像的位移及其导数.求解样本图像的真实位移及其导数可应用New-ton-Raphson迭代方法,迭代法的求解过程第一步就需要进行合理的初值估计.可以证明当初值充分接近于真解时,Newton-Raphson迭代过程是按照平方速度收敛的[2],但是在实际使用中表明,如果初值选取不当,很可能发散.由此可见合理的初值估计十分必要.
2 非常应变模式数字相关方法基本原理 数字相关方法是根据物体表面随机分布的粒子的反射光强分布在变形前后的概率统计相X收稿日期:1999-12-24;修订日期:2000-11-28
作者简介:计宏伟(1964-),男,辽宁锦州人,汉族.博士学位,副教授,现工作于天津商学院包装工程系.主要研究领域有机械强度测试方法和技术,微结构检测方法和技术,光测力学与图像处理技术.关性来确定物体表面位移和应变的.由于斑点的随机性,物体中每一点周围一个小区域中斑点分布是各不相同的,这个小区通常称为子区.根据统计相关原理,对于物体表面上任一点变形的测量可以通过研究以该点为中心的子区的移动和变形来完成.
图1 变形前后子区中心点及其附近点移动情况放大图图1给出了变形前后子区中心点及附近点移动情况的放大图,现在研究P(x0,y0)点的位移和变形情况.为此考察以P(x0,y0)为中心,由P点及其周围像素所组成的子区变形前后的相关情况.设P点的位移为u,v;又设Q(x,y)点为变形前子区中任一点,QP=$x・i+$y・j.变形后,P(x0,y0)移到了P*(x*,y*),Q(x,y)移到了Q*(x*,y*).由连续介质力学原理可知,Q(x,y)点的位移uQ,vQ可用它临近点P(x0,y0)的位移及其增量表示.为了提高测量精度,需要减少随机噪声的干扰,通常采用增加子区像素数目的方法[3],但是现有的数字相关方法中都假设在子区中应变为常数,所以子区尺寸的增加又与常应变假设产生了矛盾,因此从方法本身上影响了测量精度.为此本文摒弃了子区中应变为常数的假设,提出新的子区位移模式,即引入子区中心点的位移二阶导数项对该子区上任意点Q(x,y)位移的影响,也即考虑子区变形不均匀性的影响.为此在下面的泰勒级数展开式中保留位移二阶导数项,则Q(x,y)点变形后的对应点Q*(x*,y*)的坐标为:
x*=x+u+5u5x$x+5u5y$y+1252u5x2($x)2+1252u5y2($y)2+52
u
5x5y$x$y
y*=y+v+5v5x$x+5v5y$y+1252v5x2($x)2+1252v5y2($y)2+52
v
5x5y$x$y
(1)
用数字相关方法处理数字散斑图时,首先要在变形前的散斑图中选取一个子区,作为测量的参考图像,图像灰度分布为f(x,y).然后,在变形后的散斑图中去寻找目标图像,图像灰度分布为g(x*,y*).实际上,x*,y*两个量是含有待求位移及其一阶和二阶导数的未知量,这两
50 实 验 力 学 (2001年)第16卷 个值的确定成为了关键性问题.另外,x*,y*的值一般不是整数,所以g(x*,y*)的灰度值是通过整数像素的灰度值内插求得的.根据统计学原理计算参考图像与目标图像之间的相关性,它是反映两个图像相似程度的一个数学指标.由统计学可知,定义S为相关因子:
S(u,5u5x,…,52u5x5y;v,5v5x,…,52v5x5y)=1-6f(x,y)õg(x*,y*)6f2(x,y)õ6g2(x*,y*)(2)这里0≤S≤1,S=0相关;S=1不相关.前面给出了反映变形前后两图像子区相似程度的数学指标,即相关因子S,实际上相关因子S是待求量位移及其导数的函数,当给出试凑位移及其一阶和二阶导数代入(2)式时,使相关因子S达到最小值的试凑值,就是真实的样本图像的位移及其导数.换句话说,求解位移及其导数的问题,转化为求相关因子的最小值问题.则
Sj=5S5uj=Sj(u1,u2,…,u12)=0(3)
这里j=1,2,…,12;u1,u2,…,u12分别表示u,5u5x,…,52u5x5y,v,5v5x,…,52v5x5y.从(3)式中求解ui(i=1,2,…,12),实际上就是寻找偏微分方程(3)的根.求解这个偏微分方程可应用Newton-Raphson迭代方法[3],以下给出Newton-Raphson迭代法的求解过程.(1)准备:选定初始近似值{ui(0)},i=1,2,…,12.本文研究的初始值选取新方法将在下节中讨论.(2)迭代:按下列公式{ui(K+1)}={ui(K)}+{$ui(K)}{$ui(K)}=-{Sij(K)}-1õ{SiK}(4)
这里i,j=1,2,…,12;Sij=5Si5uj=52S5ui5uj;K表示迭代的次数.(3)控制:ui(K+1)满足ûui(K+1)-ui
(K)û
一个接近零的小数,视计算机字长和数值范围而定.从(4)式可以看出,迭代过程需要计算参数Si和Sij,作者在文献[4]中具体推导了Si,Sij,gi=5g/5ui,gij=52g/5ui5uj的表达式,这里从略.
图2 数字相关分析的计算机视觉系统
51第1期 计宏伟等:非常应变模式数字相关方法的初值估计 图2是数字相关分析的计算机视觉系统示意图.主要由光学成像系统,光电转换传感器,数字图像处理系统组成.反映物体不同状态的散斑场由CCD摄像机摄入,经数字化成为数字图像后输入数字图像处理系统中的计算机进行相关分析.显微系统的作用是为了进行微区测量或者为了在散斑场的平均空间频率小于摄像机的空间分辨率时,把散斑场的平均空间频率放大到与摄像机空间分辨率相匹配的程度,以便尽可能地减小散斑场在数字化时的失真度.通过调节三维精密调节架,可以使光学成像系统和CCD摄像机同步移动,以满足实验中的调节要求.
3 迭代算法的初值估计3.1 实时相减初值估计方法求解样本图像真实的位移及其导数,实际上就是寻找偏微分方程(3)的根,求解这个偏微分方程可应用Newton-Raphson迭代方法.迭代法求解过程的第一步就是进行初值估计.可以证明当初值充分接近于真解时,Newton-Raphson迭代过程是按平方速度收敛的[3],但在实际使用中表明,如果初值选取不当,很可能发散.由此可见合理的初值估计十分必要.本文利用图像采集过程实时相减功能和通过三维精密调节架移动摄像系统的办法,使初值估计确定为零值.下面来说明这种方法的实验技术.一般情况下位移的一阶和二阶导数都是小于1的量级,但位移量级比较大,特别是刚体位移有时更大.所以在记录变形后的图像时,通过三维调节架可移动成像系统的位置,可以把刚体位移控制在一个小量级范围内,这时可以给初始位移和位移导数赋常数零,即为初始估计值.具体调节过程如下:利用图像采集过程中的实时相减功能,在监视器上可观察到调节的程度.首先采集一帧变形前的图像,冻结在图像卡的某一帧体中,并存盘保存;在不加载的条件下做实时相减,这时监视器上出现全黑图像,加上实验所需的载荷,这时变形后的数字图像与变形前的数字图像实时相减,监视器上的暗背景开始出现了亮斑,这主要是由于刚体位移和变形引起的两帧图像出现的差异;第二步,利用三维精密调节架在变形的平面内移动其上面的成像系统(包括CCD摄像机和成像镜头),使变形后的图像在CCD摄像机靶面上重新定位,直到使监视器上的图像变化到最暗为止,这时可认为消除了大部分刚体位移.此时用迭代法进行求解时初始位移和位移导数赋常数零,即为初始估计值.3.2 快速迭代初值估计方法前面已经分析,一般情况下位移的一阶和二阶导数都是小于1的量级,所以其初值可以赋零值.但位移量级比较大,其初值则不能取为零值.一般情况下位移值是由刚体位移和变形位移两部分组成,特别是刚体位移往往更大.在3.1节中所采取的方法就是利用实时相减的方法消除这部分刚体位移,然后给位移赋零初值.本节将采取快速迭代方法直接估计位移的初值,而位移的一阶导数和二阶导数的初值取为零.快速迭代初值估计方法如下:在此不考虑子区变形的影响,则(1)式可简化为:x*=x+uy*=y+v(5)
把(5)式代入(4)式中,并参考文献[4]可推导出Si,Sij,gi,gij的表达式:
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