0群论分子点群地思维导图

实用标准文案 精彩文档 1 从客观上分析对称因素和对称操作 2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来 2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵 2.2 旋转操作 n旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为

2.3 平面反映 共有3种反映操作,即dhv,, 2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh组合而成,即: jnhhjninCCS

2.5 反演 使各分量都改变符号,即 2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则： 3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。 3.1 群的定义与性质 3.2 计算群的阶 3.3 分析子群 3.4 分析是否是交换群 3.5 分析是否是有限群还是无限群 3.6 分析其他 4 列出群的乘法表，分析共轭类 4.1 列出表 4.2 分析共轭元素和共轭类 5 以此类推，总结出所有的分子的对称性 5.1 点群分类 下面的分类采用Schonflies符号. 5.2 对于上面的分子点群分类，可以归为四类 5.3 分子点群的判别 6 群的表示 6.1 群表示的定义 6.2 可约表示和不可约表示 6.3 特征标和不可约表示的性质 7 对称性分子轨道

1 从客观上分析对称因素和对称操作 恒等元及恒等操作 分别用E、 E^表示。 Equation 旋转轴和旋转操作 分别用Cn、 C^n表示。 Circle

对称面与反映操作 分别用σ、σ^表示。 ? 对称中心及反演操作 分别用i及i^表示。 inversion 实用标准文案 精彩文档 旋映轴和旋转反映操作 可用Sn及S^n表示。 spin

2 分析各种对称操作如何用函数表示，继而用矩阵表示出来 2.1 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵





zyxzyxIzyx010010001

'''

2.2 旋转操作 n旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为 )/360()1,2,1(nkknkCkn

对应旋转角度

存在关系: ICCCCCCnnjininjnjnin, 满足可交换性与循环(周期)性 将z轴选定为旋转轴, 向量的z分量不受影响.考虑(x,y)变化

绕主轴旋转操作示意图 向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角

cossin)sin(sincos)cos(sincos''yxryyxrxryrx 实用标准文案 精彩文档 



zyxzyxCzyx1000cossin0sincos)(''

'

对于氨分子，n=3，旋转角为120° 



10002/12/302/32/1~)240(10002/12/302/32/1~)120(323313CCCC

2.3 平面反映 共有3种反映操作,即dhv,, 当主轴为z轴时, σv不改变向量的z分量.设反映面的极角为θ,对于二维向量作用后各相关的极角如图所示.

变换关系: )2cos()2sin()2sin()2sin()2cos()2cos(''yxryyxrx

相应的矩阵表示:





zyxzyxzyxv10002cos2sin02sin2cos

'''

 实用标准文案 精彩文档 应用于氨分子,设σv与yz平面重合,则极角θa=π/2,的极角分别30°为和150°,相应的矩阵表示依次为:





10002/12/302/32/1,10002/12/302/32/1,100010001

垂直于主轴σh的反映面操作,使z改变符号,,而x,y分量不变





zyxzyxzyxh100010001

'''



对于σd的反映面操作,因其也包含主轴,矩阵表示的一般形式同于,而具体形式取决于它的极角.

2.4 象转操作 系符合操作,由绕主轴的旋转和σh组合而成,即: jnhhjninCCS

相应的矩阵表示为:





zyxnjnjnjnjzyxSzyxjn1000)/2cos()/2sin(0)/2sin()/2cos(

'''



2.5 反演 使各分量都改变符号,即 



zyxzyxizyx100010001

'''

22SCih 2.6 C2’ 其旋转垂直于主轴，设旋转轴的极角为θ，则：





zyxzyxCzyx10002cos2sin02sin2cos

'2'''



该操作也可看成极角为θ的σv映面操作与对称操作σh的乘积： C2’= σh σv （ θ ） 实用标准文案 精彩文档 除了上面的6类对称操作外，还有其它一些操作，如旋转轴不为主轴的C3旋转操作，不包含主轴的σ映面操作等。相应的表示矩阵要复杂些，但都可以表示成几个简单操作的乘积。

3 分析这些对称操作和对称表示是否符合群的定义，若是，分析其性质。

3.1 群的定义与性质 由有限个或无限个元素组成的一个集合G，若满足下列4个性质（封闭、结合、含幺、可逆），则称G为群。

3.2 计算群的阶 NH3分子，属C3v群，由六个元素构成 },,,,,{:23133cbaVCCIC（后面再补充为何是c3v群）

3.3 分析子群 包含一个3阶子群： },,{2313CCI 3个2阶子群： },{},,{},,{cbaIII

3.4 分析是否是交换群

3.5 分析是否是有限群还是无限群 实用标准文案

精彩文档 3.6 分析其他 恒等元素I总是单独地构成一个1阶子群； 群的阶数总能被其子群的阶数整除； 群G本身也可以认为是G的子群。

4 列出群的乘法表，分析共轭类

4.1 列出表 群元素的乘积可排列成一个方格表，称为群的乘法表.每一行都是另一行的重排，每一列也是如此，此即重排定理. 乘法表一例： G6 E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D

4.2 分析共轭元素和共轭类 3 共轭类 [共轭元素] 若存在群元素R(R≠I)使群元素A与B满足关系: R-1AR=B 或 A=RBR-1 则称Ｂ是Ａ借助于Ｘ所得到的相似变换，Ａ与Ｂ共轭.并称A与B 属于同一共轭类,简称共轭元素. [共轭类] 在一个群中,相互共轭的元素的一个完整集合称为一个共轭类,或简称类.

abacbccabaaaaaCCCCCC123231131232313

)(,

,

因此, C3v群中的6个元素可划分成三类: [划分方法] 对于群中一个元素A, 做R-1AR,当遍及群中所有元素时,即可得出与A同为一类的所有元素.

ICCcba233,,,

例如,根据NH3的C3v群之乘法表,可以得到。 实用标准文案 精彩文档 5 以此类推，总结出所有的分子的对称性 对于分子而言,它的各个对称操作构成一个群,由于这些对称操作至少保持分子的一点不动,因此称为点群.

5.1 点群分类 下面的分类采用Schonflies符号.

序号 点群 对称特点 群元素 阶 1 Cn 1个n重对称轴 n 例 2 Cnh 1个n重对称轴及1个垂直此轴的对称面σh 2n 例

序号 点群 对称特点 群元素 阶 3 Cnv 1个n重对称轴及1个通过此轴的对称面σv 2n 例 4 Dn 1个n重对称轴(主轴)n个垂直此轴的二重轴 2n 例 5 Dnh 在Dn 的基础上加1个垂直Cn轴的对称面σh 4n 例 序号 点群 对称特点 群元素 阶 6 Dnd 在Dn 的基础上加1个垂直Cn轴且垂直于两个C2轴夹角 的镜面σd 4n 例 7 S2n 1个偶数重数的象转轴 2n 例