第三章 分子的对称性和点群
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[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
何其相似！
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; C2
三条C2旋转轴分别从每个N–N
x
键中心穿过通向Co.
C2 z
y
C2
（b）Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
D2h 群 ：N2O4
主轴垂直于荧光屏. σh在荧光屏上.
为旋转，记作Cˆn，此直线为旋转轴, 符号为Cn。 旋转可以实际进
行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴。
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正 方形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
C1 轴的操作是个恒等操作，又称为主操作E，和乘 法中的1 相似。
C2 轴的基转角是180度，基本操作是连续进行两次相 当于主操作，即：
（2）二面体群：包括Dn、Dnh、Dnd . 这类点群的共同特点是
旋转轴除了主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴.
（a）Dn 群: 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴( 但没有 镜面).（ Cn + nC2⊥ Cn ）
D2 群
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主轴C2垂直于荧光屏
D ： 3 这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
H2O2只有一个 C2 轴，属C2群
C2轴位置在两O-O原子中点与两H原子的中点连线方向
R2 R2
R2
R1
R1
R1
C2 群
R2
R1
C3群 C3通过分子中心且垂直于荧光屏
C3群
C4群
Cn群分子一般都具有风扇型的特点
(b) Cnh群 : 除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之垂直 的一个镜面σh(Cn +σh).
一个对称面能产生两个对称操 作，进行奇数次反映相当于一次反 映，进行偶数次反映相当于恒等操 作。
ˆ 2k1 ˆ ˆ 2k Eˆ
k 0,1,2,...
试找出分子中的镜面
根据平面和旋转轴的关系，对称面分为三类：
与主轴垂直的对称面用σh表示；通过主轴的 对称面用σv表示；通过主轴且平分副轴夹角的对 称面用σd表示。
Cˆ21 Cˆ22 Cˆ22 Eˆ Cˆnn Eˆ
Cˆ n n 表示绕该轴旋转2,相当于分子不动。
Eˆ 表示不对分子施加任何操作，是每个分子都具
有的对称操作。
（2）镜面与反映操作
将分子中的各点移至某一个平面另侧等距离处后能够
得到分子等价图形的操作称为反映，用ˆ 表示，该平面就
是镜面或对称面，记作σ。
2.两个对称面的组合： 两个对称面相交，若交角为2π/n，则其交线必为一个n
次轴Cn。同理，由Cn以及通过该轴和它平行的对称面组合， 必定存在n个对称面，相邻面间的交角为2π/n
3.偶次旋转轴和与它垂直的对称面的组合 一个偶次轴与一个垂直于它的对称面组合，必定在交
点上出现对称中心。 C2σh = S2 = i
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作.
两个或多个对称 操作的结果，等效于 某个对称操作.
例如,先作二重旋转，再对垂 直于该轴的镜面作反映，等 于对轴与镜面的交点作反演.
1.两个旋转轴的组合： 交角为2π/n的两个C2轴组合，在其交点上必定出现一个
垂直于该两个轴的一个Cn。而垂直于Cn通过交点的平面内 必有n个C2轴。
例２．所有正整数的集合不能构成实数乘法群。尽管群的封闭性 和缔合性成立，也有恒等元，但除１以外，其余元素均无逆元。
例３．包括０在内的全体实数的集合虽然能构成实数加法群，却 不能构成实数乘法群。因为其中的０无逆元。
如果群 H 的元素包含在另一个群G中，则 H 称为群 G 的子群； 群中元素的数目称为群的阶(h)，数目有限时，称为有 限群，数目无限时，称为无限群； 如果A、X是群中任意两个元素，X的逆元素是X-1，则把 X-1AX = B 称为相似变换。这里B也是群中元素。称A和B 为相互共轭的元素。共轭元素的完整集合称为类。
附图
(3) 对称中心与反演操作
分子中若存在一点,将每个原子通过这一点引连线并 延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对称中 心或反演中心i,这种操作就是反演.一个对称中心只能产 生两个对称操作。
iˆ2k1 ˆ
iˆ2k Eˆ
k 0,1,2,...
(4)象转（旋转反映）和旋转反演
D2d : B2Cl4
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
（3）立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交.
（a）Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
Td 群是24阶群： E ，8C3 ，3C2 ，6S4 ，6σd .
C2h群: 反式二氯乙烯
C2垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
R
(c) Cnv群：除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之相包含 的n个镜面σv (Cn +nσv). .
H2O有一个C2和两个 σv，属于C2v 群
H2S, SO2, NO2，O3等V型分子均属于C2v 群
2）缔合性：G中的各元素之间运算满足结合律： （AB）C = A（BC）
3）群中存在单位元素： 设A为G中任一元素，G中有一元素E，若EA = AE = A，
则E称为单位元素或恒等元素。
4）存在逆元素：G中任一元素 A 都有另一个元素 A-1 ，
使得
AA1 A1 A E
称 A-1为 A 的逆元素。
对群定义的一些说明：
1） 群中的单位元素和每个元素的逆元素都是唯一的； 2） 群中的元素是广泛的，可以是数字、矩阵、算符或对 称操作等（数学对象、物理动作等）。 3） 群元素之间的“乘法”是广义的，根据定义不同而有 不同的意义。
如全体整数（包括零）对数学上的加法构成群。在这里 群元素之间的乘法就是代数上的加法；
邻菲罗啉、吡啶、环戊烯、甲醛 、丙酮、呋喃、顺式丁二烯和环 己烷(船式构象)等许多近似呈V 型的分子都属于C2v群。
C3v ： NH3 、NF3 C3v ：CHCl3
C3v群分子
无对称中心的线性分子属于C∞v群：如HCl
N2O C∞v群分子
(c) Sn群：只存在一个Sn轴 . n为偶数，如果为奇 数，就是Cnh群，不独立存在
若把分子的几何构型看成分子图形，从直观上就可以看到有 些图形的对称性是不同的。如何描述分子图形的对称性?即如何 把具有不同对称性的分子图形区分开，是我们要讨论的一个重 要问题。
分子对称性：
指分子的几何图形中（原子骨架、分子轨 道空间形状），有相互等同的部分，而这些等 同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不 发生可辨别的变化。即交换前后图形复原。
3.1.1 分子的对称操作与对称元素
对称操作：不改变图形中 任何两点的距离而能使图形复 原的操作叫做对称操作；
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
对称操作据以进行的几何 要素叫做对称元素。如点、线、 面以及它们的组合。
分子中的四类对称操作及 相应的对称元素如下:
（1）旋转轴与旋转操作
借助一条直线，使分子旋转2/n后得到等价图形的操作称
又如，四个动作立正、向左转、向右转和向后转构成群, 这里定义的群元素之间的乘法就是一个动作之后接做另一 个动作。
例1. 实数加法群 元素为全体实数（因此是无限群），群乘
法为初等代数加法；（１）任意两实数之和仍是实数； （２）恒等元为０；（３）实数的代数加法满足结合律； （４）实数的逆元为其相反值。
例2. 实数乘法群 元素为除０以外的全体实数（因此是无
限群），群乘法为初等代数乘法；（１）任意两实数之积 仍是实数；（２）恒等元为１；（３）实数的代数乘法满 足结合律；（４）实数的逆元为其倒数。
对以上两例，群乘法交换律也成立，称为阿贝尔群或 交换群。
一个分子的全部对称操作（而不是对称元素！）构成分子的对称操
(1) 重叠型二茂铁具有 S5， 所以, C5和与之垂直 的σ也都独立存在；
(2) 甲烷具有S4，只有C2 与S4共轴，但C4和与之垂直 的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
丙二烯
对称操作与对称元素
作群。例如ＮＨ３为Ｃ３Ｖ群，Ｇ＝{E,C3,C32=C3-1,σV,σV,σV}，ｈ＝６。
可见，群的条件相当严格，并不是任意一堆元素的集合都能称为 群。
例１．由１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０就不能构 成实数加法群。因为，（１）群元素不满足封闭性；（２）无恒等元 0； （３）无逆元。实际上，群的四个条件只要有一个未被满足，就不成 其为群。
D2h群：乙烯
D3h 群
D3h 群 ： C2H6
D3h群分子多呈平面正三角形、正三棱柱或三角双锥结构
D4h群：XeF4
D6h群：苯
同核双原子分子，具有对称中心的线型分子，属于Dh群
Dh群： I3-
Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴
夹角的镜面σd.
D2d : 丙二烯
生 物 界 的 对 称 性
文学中的对称性——回文
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗诵, 分别都是一首绝妙好诗. 它们可以 合成一首“对称性”的诗，其中每一首相当于一首“手性”诗.
流游鹤鸥冷幽日悠 溪径伴飞井林落悠 远踏闲满寒古观绿 棹花亭浦泉寺山水 一烟仙渔碧孤四傍 篷上客舟映明望林 开走来泛台月回偎
3.2 点群
3.2.1 群的定义
设有一组元素的集合GA, B,C,...，定义一种称之为“乘
法”的运算，如果满足下列条件，则集合G构成群。
1）封闭性：集合G 中任何两个元素相“乘”（或称之为 组合），其结果仍然是G 中元素，也就是说，A、B分别 属于G，AB＝C 也属于 G。即 A∈G， B∈G， 则 AB＝ C∈G
偎回月台泛来走开 林望明映舟客上篷 傍四孤碧渔仙烟一 水山寺泉浦亭花棹 绿观古寒满闲踏远 悠落林井飞伴径溪 悠日幽冷鸥鹤游流
3.1 分子的对称性
许多分子的几何构型具有一定的对称性。例如，甲烷分子是 正四面体型，三氟化硼是平面三角形，二氧化碳分子是直线型 。
分子的对称性对于研究分子的性质有重要作用，因为分子的 对称性描述的是原子核在其平衡位置排列的情况。
旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对称元素分 别称为映轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋转反演)的两步操作 顺序可以反过来.
这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn和In都是虚轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存在； 若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂直的σ 并不 一定独立存在. 试观察以下分子模型并比较:
从正四面体上可以清楚地看出Td 群的对称性. 也可以把它放进 一个正方体中去看. 不过要记住：你要观察的是正四面体的对 称性，而不是正方体的对称性!
第三章 分子的对称性和点群
Contents
第三章目录
3.1 分子的对称性 3.1.1 对称操作与对称元素 3.1.2 分子的对称操作
3.2 点群 3.2.1 群的定义 3.2.2 分子的点群 3.2.3 群的乘法表 3.2.4 分子的偶极矩和旋光性的预测
Contents
第三章目录
3.3 群的表示 3.3.1 矩阵 3.3.2 对称操作的矩阵表示 3.3.3 群的表示 3.3.4 不可约表示 3.3.5 特征标和特征标表 3.3.6 应用举例—H2O的分子轨道
(1) 轴向群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv ; (2) 二面体群：包括Dn、Dnh、Dnd ; (3) 立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等; (4) 非真旋轴群：包括Cs 、Ci 、S4等.
(1) 轴向群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv 点群. 这类点群的共同特点是旋转轴只有一条.
(a) Cn群 : 只有一条n次旋转轴Cn
3.2.2 分子点群
如果定义对称操作的“乘法”为一个操作后进行另一个操作， 那么，一个分子中全部对称操作的集合构成群。这种群称为分子 的对称操作群。因为对有限大小的分子施行所有的对称操作时， 分子图形中至少有一点不动，这样的操作称作点操作，所以，分 子的对称操作群又叫做点群(point groups ), 分子点群的记号采 用熊夫利(Schönflies)记号。分子点群可以归为四类:
何其相似！
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; C2
三条C2旋转轴分别从每个N–N
x
键中心穿过通向Co.
C2 z
y
C2
（b）Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
D2h 群 ：N2O4
主轴垂直于荧光屏. σh在荧光屏上.
为旋转，记作Cˆn，此直线为旋转轴, 符号为Cn。 旋转可以实际进
行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴。
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正 方形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
C1 轴的操作是个恒等操作，又称为主操作E，和乘 法中的1 相似。
C2 轴的基转角是180度，基本操作是连续进行两次相 当于主操作，即：
（2）二面体群：包括Dn、Dnh、Dnd . 这类点群的共同特点是
旋转轴除了主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴.
（a）Dn 群: 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴( 但没有 镜面).（ Cn + nC2⊥ Cn ）
D2 群
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主轴C2垂直于荧光屏
D ： 3 这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
H2O2只有一个 C2 轴，属C2群
C2轴位置在两O-O原子中点与两H原子的中点连线方向
R2 R2
R2
R1
R1
R1
C2 群
R2
R1
C3群 C3通过分子中心且垂直于荧光屏
C3群
C4群
Cn群分子一般都具有风扇型的特点
(b) Cnh群 : 除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之垂直 的一个镜面σh(Cn +σh).
一个对称面能产生两个对称操 作，进行奇数次反映相当于一次反 映，进行偶数次反映相当于恒等操 作。
ˆ 2k1 ˆ ˆ 2k Eˆ
k 0,1,2,...
试找出分子中的镜面
根据平面和旋转轴的关系，对称面分为三类：
与主轴垂直的对称面用σh表示；通过主轴的 对称面用σv表示；通过主轴且平分副轴夹角的对 称面用σd表示。
Cˆ21 Cˆ22 Cˆ22 Eˆ Cˆnn Eˆ
Cˆ n n 表示绕该轴旋转2,相当于分子不动。
Eˆ 表示不对分子施加任何操作，是每个分子都具
有的对称操作。
（2）镜面与反映操作
将分子中的各点移至某一个平面另侧等距离处后能够
得到分子等价图形的操作称为反映，用ˆ 表示，该平面就
是镜面或对称面，记作σ。
2.两个对称面的组合： 两个对称面相交，若交角为2π/n，则其交线必为一个n
次轴Cn。同理，由Cn以及通过该轴和它平行的对称面组合， 必定存在n个对称面，相邻面间的交角为2π/n
3.偶次旋转轴和与它垂直的对称面的组合 一个偶次轴与一个垂直于它的对称面组合，必定在交
点上出现对称中心。 C2σh = S2 = i
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作.
两个或多个对称 操作的结果，等效于 某个对称操作.
例如,先作二重旋转，再对垂 直于该轴的镜面作反映，等 于对轴与镜面的交点作反演.
1.两个旋转轴的组合： 交角为2π/n的两个C2轴组合，在其交点上必定出现一个
垂直于该两个轴的一个Cn。而垂直于Cn通过交点的平面内 必有n个C2轴。
例２．所有正整数的集合不能构成实数乘法群。尽管群的封闭性 和缔合性成立，也有恒等元，但除１以外，其余元素均无逆元。
例３．包括０在内的全体实数的集合虽然能构成实数加法群，却 不能构成实数乘法群。因为其中的０无逆元。
如果群 H 的元素包含在另一个群G中，则 H 称为群 G 的子群； 群中元素的数目称为群的阶(h)，数目有限时，称为有 限群，数目无限时，称为无限群； 如果A、X是群中任意两个元素，X的逆元素是X-1，则把 X-1AX = B 称为相似变换。这里B也是群中元素。称A和B 为相互共轭的元素。共轭元素的完整集合称为类。
附图
(3) 对称中心与反演操作
分子中若存在一点,将每个原子通过这一点引连线并 延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对称中 心或反演中心i,这种操作就是反演.一个对称中心只能产 生两个对称操作。
iˆ2k1 ˆ
iˆ2k Eˆ
k 0,1,2,...
(4)象转（旋转反映）和旋转反演
D2d : B2Cl4
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
（3）立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交.
（a）Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
Td 群是24阶群： E ，8C3 ，3C2 ，6S4 ，6σd .
C2h群: 反式二氯乙烯
C2垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
R
(c) Cnv群：除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之相包含 的n个镜面σv (Cn +nσv). .
H2O有一个C2和两个 σv，属于C2v 群
H2S, SO2, NO2，O3等V型分子均属于C2v 群
2）缔合性：G中的各元素之间运算满足结合律： （AB）C = A（BC）
3）群中存在单位元素： 设A为G中任一元素，G中有一元素E，若EA = AE = A，
则E称为单位元素或恒等元素。
4）存在逆元素：G中任一元素 A 都有另一个元素 A-1 ，
使得
AA1 A1 A E
称 A-1为 A 的逆元素。
对群定义的一些说明：
1） 群中的单位元素和每个元素的逆元素都是唯一的； 2） 群中的元素是广泛的，可以是数字、矩阵、算符或对 称操作等（数学对象、物理动作等）。 3） 群元素之间的“乘法”是广义的，根据定义不同而有 不同的意义。
如全体整数（包括零）对数学上的加法构成群。在这里 群元素之间的乘法就是代数上的加法；
邻菲罗啉、吡啶、环戊烯、甲醛 、丙酮、呋喃、顺式丁二烯和环 己烷(船式构象)等许多近似呈V 型的分子都属于C2v群。
C3v ： NH3 、NF3 C3v ：CHCl3
C3v群分子
无对称中心的线性分子属于C∞v群：如HCl
N2O C∞v群分子
(c) Sn群：只存在一个Sn轴 . n为偶数，如果为奇 数，就是Cnh群，不独立存在
若把分子的几何构型看成分子图形，从直观上就可以看到有 些图形的对称性是不同的。如何描述分子图形的对称性?即如何 把具有不同对称性的分子图形区分开，是我们要讨论的一个重 要问题。
分子对称性：
指分子的几何图形中（原子骨架、分子轨 道空间形状），有相互等同的部分，而这些等 同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不 发生可辨别的变化。即交换前后图形复原。
3.1.1 分子的对称操作与对称元素
对称操作：不改变图形中 任何两点的距离而能使图形复 原的操作叫做对称操作；
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
对称操作据以进行的几何 要素叫做对称元素。如点、线、 面以及它们的组合。
分子中的四类对称操作及 相应的对称元素如下:
（1）旋转轴与旋转操作
借助一条直线，使分子旋转2/n后得到等价图形的操作称
又如，四个动作立正、向左转、向右转和向后转构成群, 这里定义的群元素之间的乘法就是一个动作之后接做另一 个动作。
例1. 实数加法群 元素为全体实数（因此是无限群），群乘
法为初等代数加法；（１）任意两实数之和仍是实数； （２）恒等元为０；（３）实数的代数加法满足结合律； （４）实数的逆元为其相反值。
例2. 实数乘法群 元素为除０以外的全体实数（因此是无
限群），群乘法为初等代数乘法；（１）任意两实数之积 仍是实数；（２）恒等元为１；（３）实数的代数乘法满 足结合律；（４）实数的逆元为其倒数。
对以上两例，群乘法交换律也成立，称为阿贝尔群或 交换群。
一个分子的全部对称操作（而不是对称元素！）构成分子的对称操
(1) 重叠型二茂铁具有 S5， 所以, C5和与之垂直 的σ也都独立存在；
(2) 甲烷具有S4，只有C2 与S4共轴，但C4和与之垂直 的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
丙二烯
对称操作与对称元素
作群。例如ＮＨ３为Ｃ３Ｖ群，Ｇ＝{E,C3,C32=C3-1,σV,σV,σV}，ｈ＝６。
可见，群的条件相当严格，并不是任意一堆元素的集合都能称为 群。
例１．由１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０就不能构 成实数加法群。因为，（１）群元素不满足封闭性；（２）无恒等元 0； （３）无逆元。实际上，群的四个条件只要有一个未被满足，就不成 其为群。
D2h群：乙烯
D3h 群
D3h 群 ： C2H6
D3h群分子多呈平面正三角形、正三棱柱或三角双锥结构
D4h群：XeF4
D6h群：苯
同核双原子分子，具有对称中心的线型分子，属于Dh群
Dh群： I3-
Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴
夹角的镜面σd.
D2d : 丙二烯
生 物 界 的 对 称 性
文学中的对称性——回文
将这首诗从头朗诵到尾, 再反过来, 从尾到头去朗诵, 分别都是一首绝妙好诗. 它们可以 合成一首“对称性”的诗，其中每一首相当于一首“手性”诗.
流游鹤鸥冷幽日悠 溪径伴飞井林落悠 远踏闲满寒古观绿 棹花亭浦泉寺山水 一烟仙渔碧孤四傍 篷上客舟映明望林 开走来泛台月回偎
3.2 点群
3.2.1 群的定义
设有一组元素的集合GA, B,C,...，定义一种称之为“乘
法”的运算，如果满足下列条件，则集合G构成群。
1）封闭性：集合G 中任何两个元素相“乘”（或称之为 组合），其结果仍然是G 中元素，也就是说，A、B分别 属于G，AB＝C 也属于 G。即 A∈G， B∈G， 则 AB＝ C∈G
偎回月台泛来走开 林望明映舟客上篷 傍四孤碧渔仙烟一 水山寺泉浦亭花棹 绿观古寒满闲踏远 悠落林井飞伴径溪 悠日幽冷鸥鹤游流
3.1 分子的对称性
许多分子的几何构型具有一定的对称性。例如，甲烷分子是 正四面体型，三氟化硼是平面三角形，二氧化碳分子是直线型 。
分子的对称性对于研究分子的性质有重要作用，因为分子的 对称性描述的是原子核在其平衡位置排列的情况。
旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对称元素分 别称为映轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋转反演)的两步操作 顺序可以反过来.
这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn和In都是虚轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存在； 若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂直的σ 并不 一定独立存在. 试观察以下分子模型并比较:
从正四面体上可以清楚地看出Td 群的对称性. 也可以把它放进 一个正方体中去看. 不过要记住：你要观察的是正四面体的对 称性，而不是正方体的对称性!
第三章 分子的对称性和点群
Contents
第三章目录
3.1 分子的对称性 3.1.1 对称操作与对称元素 3.1.2 分子的对称操作
3.2 点群 3.2.1 群的定义 3.2.2 分子的点群 3.2.3 群的乘法表 3.2.4 分子的偶极矩和旋光性的预测
Contents
第三章目录
3.3 群的表示 3.3.1 矩阵 3.3.2 对称操作的矩阵表示 3.3.3 群的表示 3.3.4 不可约表示 3.3.5 特征标和特征标表 3.3.6 应用举例—H2O的分子轨道
(1) 轴向群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv ; (2) 二面体群：包括Dn、Dnh、Dnd ; (3) 立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等; (4) 非真旋轴群：包括Cs 、Ci 、S4等.
(1) 轴向群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv 点群. 这类点群的共同特点是旋转轴只有一条.
(a) Cn群 : 只有一条n次旋转轴Cn
3.2.2 分子点群
如果定义对称操作的“乘法”为一个操作后进行另一个操作， 那么，一个分子中全部对称操作的集合构成群。这种群称为分子 的对称操作群。因为对有限大小的分子施行所有的对称操作时， 分子图形中至少有一点不动，这样的操作称作点操作，所以，分 子的对称操作群又叫做点群(point groups ), 分子点群的记号采 用熊夫利(Schönflies)记号。分子点群可以归为四类: