列方程组解应用题教案

第三讲 列方程组解应用题（二）
（一）阅读思考，学会方法。

例1. 松鼠妈妈彩松籽。

晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。

它一连几天共采了112个松籽，平均每天采14个。

这几天当中有几天是雨天？
思路分析：根据题意，可以设两个未知数列方程组来求解。

如果雨天有x 天，晴天有y 天，那么根据题意，就可以列出下面的两个方程，组成一个方程组：
x y x y +=+=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪112141220112()()雨天晴天采松籽的天数雨天采松籽个数晴天采松籽个数采松籽总数
今天我们为同学们介绍二元一次方程常用的方法，代入消元法。

例1. 解方程组：
y x x y =+=⎧⎨
⎩3143132()()
分析与解答：如果这两个方程有公共解，那么两个方程中同一个未知数就应当取相同的值。

因此，第二个方程中的y 可以用第一个方程中表y 的代数式3x 来代替。

y x
x y =↓
+=3143132()()
把(1)代入(2)得43313x x +=()，这样就消去了未知数y ，得到一个关于x 的一元一次方程，解这个方程可以求出x 的值。

4913x x +=
1313x =
x =1
把x =1代入方程(1)，得 y =3
∴==⎧⎨
⎩x y 13
再把这对未知数的值代入原方程中的每一个方程进行检验。

检验：把x y ==13，代入方程(1)，得
左边＝3，右边＝3
左边＝右边
再代入方程(2)，得
左边=⨯+⨯=413313，右边＝13
左边＝右边
∴==⎧⎨
⎩x y 13是原方程的解。

例2. 解方程组：
x y x y +=+=⎧⎨⎪⎩⎪112141220112
分析与解答：为了明显地表示出x 与y 的关系，先把方程(1)变形，用含有y 的代数式表示x ，然后再解。

由(1)得 x y
=-83()
把(3)代入(2)，得
12820112()-+=y y
961220112-+=y y
816y =
y =2
把y =2代入(3)
x =-=826 ∴==⎧⎨
⎩x y 62
检验略。

这个问题，就是我们文章开头提出的“松鼠妈妈采松籽”的问题，现在我们找到答案，雨天有6天。

用代入消元法，解方程组的一般步骤是：
(1)将方程组里的一方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。

(2)把这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，使解二元一次方程组转化为解一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)把求得的这个未知数的值代入原方程组里的任意一个方程，求出另一个未知数的值；
(5)把这两个未知数的值写在一起，就是方程组的解。

（二）尝试体验，合作交流。

请同学们用代入消元法解下列方程组：
(1)y x x y =-+=⎧⎨⎩23328 (2)251437x y x y -=+=⎧⎨⎩
(3)一车间派56名工人做衣服，每个工人每天平均能缝制6件上衣或8条裤子，问应分配多少人缝制上衣，有多少人缝制裤子？
分析与解答：这个问题里有两个未知数：缝制上衣的人数和缝制裤子的人数。

未知数与已知数之间有以下的等量关系：
(1)缝制上衣的人数＋缝制裤子的人数＝派出的总人数；
(2)每天缝制的上衣总件数＝每天缝制裤子的总数
如果分别用x 、y 表示缝制上衣的人数和缝制裤子的人数，那么根据上述等量关系，就可以列出一个二元一次方程组：
x y x y +==⎧⎨
⎩5668
请你试着解答出来。

（三）灵活运用，创造发展。

1. 兄弟俩共养鸡1000只，哥哥养的鸡的13比弟弟养的1
10多160只，求哥哥和弟弟各养鸡多少只？
2. 有一个分数，如果分子加上1，约分后等于1
2；如果分母加上1，约分后等于13，这个分数是多少？
3. 同学们去植树，如果每天栽6棵，还剩下14棵树苗，如果每人栽8棵，则少16棵树苗，求一共有多少个同学去栽树？
【练习答案】
（二）尝试体验，合作交流。

请同学们用代入消元法解下列方程组：
(1)y x x y =-<>+=<>⎧⎨
⎩231328
2
解：将<1>代入<2> 32238
3x x +-=<>() 3468x x +-=
714x =
x =2
将x =2代入<1>
y =⨯-223
y =1
∴==⎧⎨
⎩x y 21
(2)2514137
2x y x y -=<>+=<>⎧⎨
⎩ 解：将<2>变形
x y
=-<>733
将<3>代入<1> 273514()--=y y
146514--=y y
141114-=y
111414y =-
110y =
y =0
将y =0代入<2>
x +⨯=307
x =7
∴==⎧⎨
⎩x y 70
(3)一车间派56名工人做衣服，每个工人每天平均能缝制6件上衣或8条裤子，问应分配多少人缝制上衣，有多少人缝制裤子？
分析与解答：这个问题里有两个未知数：缝制上衣的人数和缝制裤子的人数。

未知数与已知数之间有以下的等量关系：
(1)缝制上衣的人数＋缝制裤子的人数＝派出的总人数；
(2)每天缝制的上衣总件数＝每天缝制裤子的总数
如果分别用x 、y 表示缝制上衣的人数和缝制裤子的人数，那么根据上述等量关系，就可以列出一个二元一次方程组：
x y x y +==⎧⎨
⎩5668
请你试着解答出来。

解：设做上衣的有x 个人，做裤子有y 个人。

根据题意，列方程得：
x y x y
+=<>=<>⎧⎨
⎩561682 将<1>变形
x y
=-<>563
将<3>代入<2> 6568()-=y y
33668-=y y
14336y =
y =24
将y =24代入<1>
x +=2456
x =32 ∴==⎧⎨
⎩x y 3224
答：缝制上衣的有32人，缝制裤子的有24人。

（三）灵活运用，创造发展。

1. 兄弟俩共养鸡1000只，哥哥养的鸡的13比弟弟养的1
10多160只，求哥哥和弟弟各养鸡多少只？
解：设哥哥养鸡x 只，弟弟养鸡y 只。

根据题意列方程，得
x y x y +=-=⎧⎨⎪⎩⎪10001131101602()() 将(1)变形
x y
=-10003()
将(3)代入(2) 131000110160()--=y y
1000313110160--=y y
133010003160y =-
1330
5203y =
y =÷52031330 y =400
将y =400代入(1)
x x +==4001000
600 ∴==⎧⎨
⎩x y 600400是原方程的解。

答：哥哥养鸡400只，弟弟养鸡600只。

2. 有一个分数，如果分子加上1，约分后等于1
2；如果分母加上1，约分后等于13，这个分数是多少？
解：设分数的分子为x ，分母为y 。

根据题意列方程，得
x y x y +=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪11211132()()
解：将(1)变形
213()()x y
+= 将(2)变形
31
4x y =+()
将(3)代入(4) 3211x x =++()
3221x x =++
x =3
将x =3代入(3)
231()+=y
y =8
∴==⎧⎨
⎩x y 38是原方程的解。

答：这个分数是3
8。

3. 同学们去植树，如果每天栽6棵，还剩下14棵树苗，如果每人栽8棵，则少16棵树苗，求一共有多少个同学去栽树？
解：设一共有x 个同学，共植树y 棵。

6141816
2x y x y =-=+⎧⎨
⎩()() 将(1)变形
6143x y
+=()
将(3)代入(2) 861416x x =++
230x =
x =15
将x =15代入(1)
61514⨯=-y
y =+9014
y =104
∴==⎧⎨
⎩x y 15104
答：一共有15个同学，共植104棵树。