定积分的几何应用公式总结
总结定积分的求解方法
总结定积分的求解方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个闭区间上的积分运算。
在实际问题中，我们经常需要求解定积分，因此掌握定积分的求解方法是非常重要的。
一、基本思想定积分的基本思想是将区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些近似值相加得到最终结果。
具体而言，定积分可以通过以下几种方法来求解。
二、几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
当函数为正时，定积分表示曲线所在区间上方的面积；当函数为负时，定积分表示曲线所在区间下方的面积。
因此，定积分可以用来求解曲线所围成的面积问题。
三、定积分的求解方法1. 利用定积分的定义公式根据定积分的定义公式，可以直接计算出定积分的值。
定积分的定义公式为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示微元，xi表示小区间的中点，Δx表示小区间的长度。
通过将区间进行分割，计算每个小区间上的函数值与长度的乘积，再将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
2. 利用定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。
常见的定积分性质有：（1）线性性质：∫[a,b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx（2）积分区间的可加性：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）定积分的换元法：∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)] f(u)du通过利用这些性质，我们可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。
3. 利用定积分的常用公式对于一些常见的函数，存在一些常用的定积分公式，可以直接使用这些公式来求解定积分。
例如，对于幂函数，可以使用幂函数的积分公式来求解；对于三角函数，可以使用三角函数的积分公式来求解。
7.1-7.2定积分的几何应用
b
若j ( ) a, j ( ) b,
曲边梯形的面积 A a f ( x )dx
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(t )d[j (t )]
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例4 求椭圆
x a cos t
y b sin t
(0 t 2 )所围成图形的面积 .
解 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2 (t) ds 1 2 j (t)dt j 2 (t) 2 (t) dt . j (t)
于是曲线弧的长为
s j 2(t) 2(t) dt .
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曲线yf(x)(axb)的弧长： s a 1 y2 dx . 曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长： s 解: 用参数方程的弧长公式.
b
d
例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在x轴上的投影区间: [0, 1]; (3)确定上下曲线: f上 (x) x , f下 (x) x 2 . (4)计算积分
S 0 ( x x2 )dx
1
2 3 1 1 3 1 [ x 2 x ]0 . 3 3 3
b
解：
s
8 3
1 y ( x)dx
2
8 3
1 2 1 ( ) dx x
8 3
1 x2 dx x
令
2 x t 1 , 则 , 即 1 x t
2
s
3
2
t2 dt 2 dt 2 t 1 2 2 t 1 t 1 t t
3
3 2
dt
b
上课用定积分的应用--简单几何体的体积
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
V d [( y)]2 dy c
【例1】 给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直 角边旋转一周，得到一个圆锥体.求它的体积.
分析 在直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三 角形可以看成是由直线y=x，x=1以及x轴所围成的 平面图形. 在区间[0,1]内插入n-1个分点，使
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
2.定积分的性质：
b
（1）
1dx b a
a
（2） abkf (x)dx k ab f (x)dx
b
b
b
（3） a [ f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
0 x0 x1 x2 L xi1 xi L xn 1
把这个三角形分割成n个垂直于x轴的小梯形，设第I 个小梯形的宽是△xi=xi-xi-1，i=1,2，…n，这个小梯形 绕x轴旋转一周就得到一个厚度是△xi的小圆台当△xi 很小时，第i个小圆台近似于底面半径为xi的小圆柱， 因此，第i个小圆台的体积近似为
（1）画出所要旋转的平面图形；
（2）确定积分变量的范围，即确定积分的上、下限；
（3）确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；
（4）求出定积分，即旋转体的体积。
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标． 把组合体分开来求体积．
V
b
定积分在几何中的应用
变式 1：变速直线运动的物体速度为 v(t ) 1 t 2 ,ห้องสมุดไป่ตู้初 始位置为 x0 1, 求它在前 2 s 内所走的位移及 2 s 末 所在的位置.
知识要点2
如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物 体沿着与 F ( x) 相同方向从 x a 移动到 x b(a b), 则变力 F ( x) 所作的功 b W= F ( x )dx .
a
例 2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功.
o
x x
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的 路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的 定积分 ，即 S v ( t )dt
a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程； （2）汽车 50 s 行驶的路程； （3）汽车 1 min 行驶的路程.
A B
P
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
定积分公式大全
定积分公式大全定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和常见的定积分公式，帮助读者更好地理解和运用定积分。
1. 定积分的基本概念。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下面的面积、求解曲线的弧长、计算物体的质量和质心等。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积；在物理学中，定积分可以用来描述物体的质量、质心和转动惯量等。
2. 定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，包括线性性、区间可加性和保号性等。
其中，线性性是指定积分对于常数的线性性质，即∫[a, b] (cf(x) + g(x))dx = c∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx；区间可加性是指定积分在区间上的可加性质，即∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx；保号性是指定积分的结果与被积函数的正负性有关，即若f(x)在[a, b]上非负，则∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
3. 定积分的常见公式。
在定积分的计算中，有一些常见的定积分公式可以帮助我们简化计算过程，如换元积分法、分部积分法、定积分的性质公式等。
（1）换元积分法。
换元积分法是定积分中常用的一种积分方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而使积分计算更加容易。
换元积分法的基本思想是利用复合函数的求导和积分的性质，通过代换变量来简化被积函数的形式，然后进行积分计算。
（2）分部积分法。
分部积分法是定积分中另一种常用的积分方法，它通过对被积函数进行分解，然后利用积分的性质进行计算。
分部积分法的基本思想是利用积分的乘积法则，将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分计算。
（3）定积分的性质公式。
定积分具有一些常见的性质公式，如定积分的线性性质、定积分的区间可加性和保号性等。
这些性质公式在定积分的计算中经常被使用，可以帮助我们简化积分的计算过程，提高计算的效率。
1.定积分的应用(面积)
y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
定积分应用公式总结
定积分应用公式总结定积分在数学中是一种用来计算指定“区域”中不定积分的一种方法。
也可以看作是不定积分的一种特殊情况，在定积分中，dt、dx （或ds）等变量的范围已知，可以按照一定的规律来进行计算。
由于定积分的应用范围很广，所以它也被称为积分计算的“母亲”。
定积分的基本定义：定积分（bounded integral）是指当向量函数f（x）从一定的初始点a到某个终点b时，求其在这段路径上的积分，其计算公式为： $$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^{n}f(x_{i})*triangle x_{i}$$ 其中，$triangle x_{i}$表示离散点x的间隔。
定积分的特征：定积分的计算方式和不定积分的方式不同，它的极限不是某分段的函数的极限，而是某一固定的函数的极限。
鉴于此，定积分用来计算是属于离散点的变量，而不是一般定积分中的连续变量。
定积分的常用公式：1、等差数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{n}{2}[f(a)+f(b)] $$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数。
2、等比数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{f(a)-f(b)}{ln r}$$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数，r为公差的比值。
3、定积分的把握方法：（1）由题目给出函数和边界。
（2）确定不定积分的具体形式，如极限形式、公差形式或被积函数形式等，并推导出新的定积分积分公式。
（3）确定积分的终点，并填入公式中求解。
4、定积分的运用：定积分的应用涉及面很广，主要有在统计学、几何学、概率论、力学及物理学中的应用。
（1）在统计学中，定积分可以用来求解定量分析双变量函数在一定范围内的离散点数据，或求解单变量函数的极限。
（2）在几何学中，定积分可以用来求解曲线长度、曲线与某平面图形（如圆形或矩形）的重叠情况、曲线的面积等。
定积分应用旋转体体积公式
定积分应用旋转体体积公式
在微积分中，定积分可以应用于求解旋转体体积问题。
旋转体是指某个曲线绕某个轴线旋转得到的几何体。
定积分可以通过对曲线的旋转来计算旋转体的体积。
旋转体体积公式可以表示为：
V = π∫ a^b (f(x))^2 dx
其中，a和b分别是积分的上下限，f(x)是曲线方程。
这个公式的意思是，将曲线f(x)绕x轴旋转，所得到的旋转体体积V等于π乘以积分（a到b）f(x)的平方dx。
这个公式可以用来计算任意曲线绕x轴旋转所得到的旋转体体积。
例如，当f(x)为常数函数时，旋转体是一个圆柱体，公式可以化简为：
V = πr^2h
其中，r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高度。
这个公式可以用来计算圆柱体的体积。
定积分应用旋转体体积公式是微积分中的一个重要应用，可以帮助我们计算各种形状的旋转体的体积。
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定积分在几何上的应用公式及其应用定积分的几何应用公式主要包括以下几种：
1.曲线长度公式：设曲线L的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，则曲线
L的长度L可表示为定积分形式：L = ∫[a,b]√[f'(t)² + g'(t)²] dt。
2.曲线旋转体体积公式：设曲线L的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，
绕x轴旋转一周生成的曲面的体积V可表示为定积分形式：V = π∫[a,b] [f(t)]^2 dt。
3.平面图形面积公式：如果平面区域D由曲线y=f(x)和直线x=a，x=b以及
x轴围成，则该平面图形的面积为A = ∫(a,b) [f(x)] dx。
4.旋转体侧面积公式：设曲线y=f(x)在[a,b]上非负、连续、且f(0)=0，则由
该曲线及直线y=0，x=a，x=b所围成的柱体的侧面积为S = ∫(a,b) [2πxf(x)] dx。
这些公式都是定积分在几何上的重要应用，可以通过这些公式解决实际问题。