高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案

1. 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;

x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

2. 解: (1)要使函数有意义,必须

400x x -≥??

≠? 即

40x x ≤??

≠?

所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .

(2)要使函数有意义,必须

30lg(1)010x x x +≥??

-≠??->? 即

301x x x ≥-??

≠??

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须

210x -≠ 即 1x ≠±

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .

(4)要使函数有意义,必须

12sin 1x -≤≤ 即

11

sin 22x -

≤≤

即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π

66k x k +≤≤+,(k 为整数).

也即ππππ

66k x k -+≤≤+ (k 为整数).

所以函数的定义域是ππ

[π,π]

66k k -++, k 为整数.

3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1

x 可以是不为零的任意实数,此

时,

1sin

x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)1

10f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x --==++

5.解:

1,

1101,01(1).

(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤

ln (())2

2,g x x x f g x ==

(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?

()

2(())2

2,

(())()ln ()ln ln(ln ).x

f x f f x

g g x g x g x x x x x ====

7. 证:由3

21y x =-

解得

x =

故函数3

()21f x x =-

的反函数是

)y x =∈R ,

这与

()g x =数,所以

3

()21f x x =-

和()g x =

. 8. 解: (1)由

11x y x -=

+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=

+的反函数为1(1)

1x y x x -=≠-+.

(2)由ln(2)1y x =++得1

e 2y x -=-,

所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为

1

e 2()x y x -=-∈ R . (3)由25

3x y +=解得31

(log 5)

2x y =

-

所以,函数25

3x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .

(4)由

31cos y x =+

得cos x 又[0,π]x ∈,

故x =又由1cos 1x -≤≤得3

01cos 2x ≤+≤,

即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3

1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函

数为(02)y x =≤≤.

9. 解

: (1)()()f x f x -==

()f x ∴=.

(2)

222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x

f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=- ∴函数22e e sin x x

y x -=-+是奇函数.

10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2

01x

x ≤+,当0x >时,有

21

122x x x x ≤=+,

故(,),x ?∈-∞+∞有

12y ≤.即函数21x y x =

+有上界. 又因为函数

21x y x =

+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数

21x y x =

+有界.

又由

121212122222

1212()(1)

11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=

-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <.

故函数

21x

y x =

+在定义域内不单调.

(2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0M x ?>?> 且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>,

所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<

故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.

11. 解: (1)124

(1)y x =+是由12

4

,1y u u x ==+复合而成. (2)2sin (12)y x =+是由2

,sin ,12y u u v v x ===+复合而成.

(3)512

(110

)x y -=+是由152

,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.

(4)

1

1arcsin 2y x =

+是由1

,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.

(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,

有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.

13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;

又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6

100.05

2x ?元.

设总费用为,则63

100.05

102y x x ?=+

. 14. 解: 当x 能被20整除,即[]20

20x x =时,邮资0.802025x x y =?=

; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠

时,由题意知邮资0.80120x y ??=?+????.

综上所述有

,02000;2520200.80,02000.1202020x x

x x y x x x x ???

<≤=??????

=?

??????<≤≠

+??????????且且

其中20x ??????,120x ??+????分别表示不超过20x ,120x

+的最大整数.

15. 证: (1)由e e sinh 2x x y x --==得

2e 2e 10x x

y --= 解方程2e 2e 10x x

y --=

得e x y =±因为e 0x

>,

所以e x y =+

ln(x y =+

所以sinh y x =

的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞

(2)由

e e tanh e e x x x x

y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y

x x y y ++==--; 又由101y

y +>-得11y -<<,

所以函数tanh y x =的反函数为

11arctan h ln (11).21x

y x x x +==

-<<-

16. 解: 011

()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ??=

+=++=+

从而

cot S BC h h ?=

-.

000()

2

2cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h

BC h h

S S h h h h ?????=++==+=+---=+=+

由0

0,cot 0S h BC h h ?>=->

得定义域为.

17. 解:

1

(1),

1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1

(2)cos π

2n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.

21

(3)(1)21n

n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

18. 解:

(1)lim 0

n n a x →∞

==,0ε?>,要使

11π0sin 2n n x n n ε-=

<<,只须

1n ε>

.取1N ε??

=??

??,则当n N >时,必有0n x ε-<.

当0.001ε=时,110000.001N ??==????或大于1000的整数.

(2)lim 0

n n a x →∞

==,0ε?>,

要使

0n x ε

-==

<=<

1

ε>

即21

n ε>

即可.

取

21N ε??=??

??,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8

21100.0001N ??==????或大于108的整数.

19. 证: (1)0ε?>,要使22

110n n ε=<-,

只要n >

取

N =,则当n>N 时,恒有2

10n ε<-.故21lim 0n n →∞=.

(2) 0ε?>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要

5n ε>

,取5N ε??=????,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故

313

lim 212n n n →∞-=

+. (3) 0ε?>,要

使

2221a n ε=<<,只

要

n >,

取

n =,则当n>N 时,

1ε<-,

从而1

n →∞=.

(4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <- 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使

1,0.999110n n ε=<- 个只要

ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??=????则当n N >时,恒有,

0.9991n ε<- 个

故lim 0.9991n n →∞=

个

.

20.证: lim 0n n x →∞= ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.

而 n n x x a a ε

-<-<

0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,

由极限的定义知

lim .n n x a →∞

=

但这个结论的逆不成立.如

(1),lim 1,

n n n n x x →∞

=-=但lim n

n x →∞

不存在.

21. 解:

1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k k k k

n n n n n n n -????

<+-=<=+-+-???????? 而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim 0k n n -→∞=

lim[(1)]0

k k n n n →∞

∴+-=.

(2)记12max{,,,}m a a a a =

则有

即

1n

a m a <

而 1lim , lim ,

n

n n a a m a a →∞

→∞

=?=

故

n a =

即

12max{,,,}m n a a a = .

(3)1

11(3)(123)(33)n n

n n n

n n

<++

13(123)3n n

n n

n

+<++< 而 1lim33,lim3

3

n n

n n +→∞

→∞==

故

1lim(123)3

n

n n

n →∞

++=.

(4)

111n <+

而 1

lim10,lim(1)1

n n n →∞→∞=+=

故

1n =.

22. 证

: (1)12x < ,不妨设2k x <,则

12k x +=<=.

故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.

又1n n n x x x +-=

=

0>,又由2n x <

<从而10n n x x +->即1n n x x +>,

即数列{

}n x 是单调递增的.

由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.

设lim n n x a

→∞

=,

则a =

于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2

n n x →∞∴=.

(2) 因为110x =>,且

111n

n n x

x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界

又

111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---????

++-=-=

? ?++++???? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，

从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而

122113

1,1,022x x x x ==+

=->

故10n n x x +->, 即1n n x x +>

所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a

→∞

=, 则

11a a a =+

+，

解得

a a =

=(不合题意，舍去).

所以

1lim 2n n x →∞

=

23. 证：(1)0ε?>,要使

1

sin sin 0x x x x x ε=

≤<-,

只须

1

x ε>

,取

1

X ε>

，则当x X >时，必有

sin 0x

x ε<-,

故sin lim

x x

x →+∞=. (2)0ε?>,要使 2222

131331

3||44x x x x ε-=<<-++,

只须

x >

,

取

X =

，则当X x >时，必有

22

31

34x x ε-<-+,

故2231

lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε?>,要使

24

(4)22x x x ε-=<--++,

只要取δε=，则

当02x δ<<+时，必有24

(4)2x x ε

-<--+,

故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε?>,要使

2

1142221221x x x x ε

-==<+-++,

只须

122x ε<+

，取2ε

δ=，则

当102x δ<<+时，必有2

14221x x ε

-<-+ 故

212

14lim 221x x x →-

-=+.

(5) 0ε?>,要使

11

sin 0sin x x x x x ε

=≤<-,

只要取δε=，则

当00x δ<<-时，必有1

sin 0x x ε

<-, 故 01

lim sin 0

x x x →=.

24. 解：()()223

2233lim 33933(1)lim 1lim 915

1x x x x x x x →→→---===+++.

22

21

42424211

2

2

22

3

33422424lim()

11(2)lim 2.31lim(31)1311

1111

(3)lim

lim .

11212

21111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+-

-==----??-- ?-??===-+??

-+-+ ???222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ?

+??===+??

++ ???

由无穷大与无穷小的关系知， 21lim 21x x x →∞+=∞+.

3(1)(2)(3)1123(6)lim

lim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??????

=+++ ?????????????????=??=+++ ? ? ???????

(7)因为221(1)()(1)

11x a x a b x b ax b x x +--++---=

++

由已知211lim 21x x ax b x →∞

??+=-- ?+??知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为1

2，于是

10a -= 且 ()1

12a b -+=

解得

31,2a b ==-

.

25.解：

22123(1)(1)11

1(1)lim

lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???

1

22

1112244411112(2)lim lim 2.

11

2212

21(1)(3)lim lim lim(1)0.11

68(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→??- ?

????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---

32

2

000(5)lim lim lim

2.

lim(1 2.x x x x x x x →+∞→→→===

==-+=-

5x x x x →→→→====

=

3333ππ

4

4

22π

4

22π4

1cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )

(1cot )(1cot cot )

lim (1cot )(11cot cot )

1cot cot 3lim .

2cot cot 4x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x →→→→

--=---+--++=-+++++==++

1

22222(9)lim(1)(1)(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

lim 111lim .11n

n

n x x x x x x x x x x x x x

+→∞

→∞

→∞+++<-+++=--==-

111

1

1

(1(1(10)lim

(1)11

.

234!

n x n x x x n n -→-→→--====???? 2222311122

111321

3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)

lim lim 1.

(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??

-+-+===--++++

2

2

12211

22

1lim(1)(1)(12)lim 0

1lim(1)

1lim .

(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞-

1

log (1)(13)log (1)a x

a x x x +=+

而10

lim(1).

x

x x e →+= 而1lim log log ln a a u e

u e a →==

0log (1)1

lim

.

ln a x x x a →+∴=

(14)令

1,x

u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →. 所以00011lim lim ln log (1)log (1)lim x x u a

a u a u a u x u u →→→-===++(利用(13)题的结果).

11

22000

33

6ln(12)ln(12)

sin sin 2sin 0

lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)

lime

lime

e

e

e e .

x

x x x x x

x x x

x

x x

x x x x

x

x x x

x x →→→++→→→??+??+??+======

(16)令sin x u x =

， 则00sin lim lim 1x x x

u x →→==

而1lim ln 0u u →= 所以0sin limln 0.x x x →=

26. 解：232

200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--

∴当0x →时，23x x -是比2

2x x -高阶的无穷小量.

27.解：

211111

(1)lim lim 112x x x x x →→-==

-+ ∴当1x →时，1x -是与2

1x -同阶的无穷小.

2111

(1)

12(2)lim lim 1

12x x x x

x →→-+==-

∴当1x →时，1x -是与21

(1)

2x -等价的无穷小. 28. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx

所以00sin lim

lim .

sin x x mx mx m

nx nx

n →→== 0

00002000lim cos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x →→→→→→→→=?===-===

(4)因为当0x →

时，

222

1ln(1e sin )~e sin 1~

2x x x x x

+,所以

2

2200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x

→→→→??

==?= ???

(5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以

00arctan 33lim

lim 3

x x x x

x x →→==. sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2

22n n

n n n n n n n x x x x x x x x →∞→∞→∞=?

==

(7)因为当

12x →

时，arcsin(12)~12x x --,所以

2211112

2

2

2

4141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→

---+===-+=----

(8)因为当0x →时，

22arctan ~,sin

~,arcsin ~,22x x

x x x x 所以

22

00arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x x x →→==?.

(9)因为当0x →时，233

1

sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以

2

33300001

tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11

lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x x

x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时，sin ~,sin ~2222x x x x

αβαβαβαβ++--，所以

22

002

2

22sin

sin

cos cos 22lim lim 222

lim

1().2x x x x x

x x x

x x x

x

αβ

αβ

αβαβ

αβ

βα→→→+---=+--?

?

==

- (11)因为当0x →

时，~)~,

x x --所以

000 1.

x x x →→→==-=-

(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以

222220022220020

1cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )

2(2)8

lim lim (2sec )2sec 8

4.lim(2sec )

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x →→→→→-=++?==++==+

(13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→

故 l n [1(c o s 1)]~c o s 1,l n [1(c o s

1)]

a x a x

b x b x +

--+--

又当x →0进，

222211

1cos ~

,1cos ~,22ax a x bx b x --所以

22

2

20000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a x ax ax ax a bx bx bx b b x

→→→→--====--

(14)因为当0x →时，222sin 0,0e e x x

x x

→→

故 22

2222sin sin ln ~,ln ~,

11e e e e x x x x x x x x ????++ ? ??

??? 所以

2222222220002222

2000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lime lime lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x →→→→→→→??

+ ?

+-+-??==+-+-??

+ ???

????

==?=? ? ?????

=?=

29.

解：111

2

2

2

2111(1)lim lim e 1lim 11x

x

x

x x x x x x →∞→∞→∞??????

????====+++ ????? ? ???????????

10

221

21

5

53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+???

?????==?++?? ? ? ?+ ?---??

??

????-????

10

25

51051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞????????=?=?=+?? ?+?? ?-??????-????

2

223

3

1

1

2cot

323tan 23tan 0

00(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x

x x x x x x x x →→→????+===+??+??????

[][]

[]

cos 21

1cos 212

2

1

cos 21

2

1cos 21

20

22

03

3

3ln ln cos21(cos21)0

3(cos21)

ln 1(cos21)0

cos213lim

lim ln 1(cos21)2sin 3lim

ln lim (4)lim(cos 2)

lim e

lim e

lim e

e e x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→????

??+-????

→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212

2

01(cos21)sin 6ln e lim 6116e

e e .

x x x x x -→?????

?+-??????

-?? ?-??-??

===

2

2

222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x x

x

x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+??

+-=??=+ ???

??????==?+ ? ?+ ? ??????

?==

(6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.

1110001111lim lim 1.ln ln(1)ln e ln lim ln(1)lim(1)x t t t t t x t x t t t →→→→-=-=-=-=-=-+??++????

30. 解：(1)令1

(e )x x

y x =+，则1ln ln(e )x y x x =+

于是：

()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim

1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??

++ ?????===++ ???

e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x

x x

x x x x x x x x x x →→→???

???==+?+?++ ? ?????????=+?=

即

()

lim ln 2x y →= 即2

lim e

x y →= 即()1

2

0lim e e x

x

x x →=+.

(2)令1

3x

x

x

x

a b c y ??++= ?

??，则1ln ln 3x x x

a b c y x ++=

于是

003

3

3

303

3

00001lim(ln )lim ln 3

13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x

x x a b c x x x a b c x x

x

x

x

x

x

a

b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??

+ ???????

++-??++-=?+ ???

??---++=?++ ?+?

?33331

(ln ln ln )ln e ln

a b c a b c ++-????-?? ?

??????

=++?=

即

lim(ln )

x y →= 即

()

0lim ln x y →=

故0

lim x y →=即 1

lim 3x x x

x

x a b c →??

++= ???

(3)令

11sin cos x

y x x ??=+ ?

??，则11ln ln sin cos y x x x ?

?=+ ??? 于是

1

1sin cos 11

11sin cos 11

sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x

x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ?

??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=??

++- ???????????

???

???=?++-+- ? ?????????

??- ?=-? ? ???

111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ???????????

2

111

sin 2ln e (10)ln e 1lim lim x x x x x x →∞→∞???? ?

???=?=-?= ?- ? ?

??

即lim ln 1x y →∞

= 从而

(

)

lim ln 1

x y →∞

= 故lim e x y →∞

=

即 1

1lim e

sin cos x

x x x →∞??=+ ???.

(4)令

211x

y x ??=+ ?

??，则21ln ln 1y x x ?

?=+ ??? 于是：

2

2

22

1

222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞???

???==+?? ?+ ???????

???

?==?++ ? ?????=?=

即

(

)

lim lim(ln )0,ln 0

x x y y →∞

→∞

==

lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x

x x →∞?

?=+ ???.

31.解：000(1)lim ()lim lim 1,x x x x x

f x x x +++→→→===

000l i m ()l i m l i m 1

x x x

x

x

f x x

x -

--

→→→-===-

因为 0

lim ()lim ()x x f x f x +-

→→≠

所以0lim ()

x f x →不存在.

(2)2

2

221

lim ()lim ,lim ()lim(2)4

2x x x x f x f x x x ++

--→→→→==+∞=+=-

因为

2lim ()

x f x +

→不存在，所以2

lim ()

x f x →不存在.

32. 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又

21

1

1

1

lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--

→→→→=-===

1

lim ()1,

x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，

又，由2

lim ()lim 0(0)x x f x x f ++

→→===，知()f x 在0x =处右连续，

综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：

图1-2

(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由

11

1

1

lim ()lim 11,lim ()lim 1,

x x x x f x f x x -

-++→-→-→-→-====-

知

1lim ()

x f x -

→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.

又由11

1

1

lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x -

-++

→→→→====

及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，

综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：

图1-3

(3)∵当x <0时，221

()lim lim 1,

1x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00

00

()lim 0,

n n n f x n n →∞-==+

当x >0时，22221

11()lim lim lim 1

1

11x

x

x

x x x x n n n x n n n n f x n n n n --→∞→∞→∞-

--====+++

1,0,()lim 0,0,1,0.x x

x x

n x n n f x x n n x --→∞-

∴===?+?>?

由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，

又由 00

lim ()lim 11,lim ()lim (1)1x x x x f x f x +

+--

→→→→===-=-

知0

lim ()

x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内

连续，在0x =处间断.图形如下：

图1-4

(4)当|x |=1时，221()lim 0,

1n

n

n x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim ,

1n

n

n x f x x x x →∞-==+

当|x |>1时，

2222111()lim

lim 111n

n

n n

n n x x f x x x x x x →∞→∞

??- ?

-??==?=-+??+ ???

即

,1,

()0,1,

,

1.x x f x x x x ? 由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由

11

1

1

lim ()lim ()1,lim ()lim 1

x x x x f x x f x x -

-++→-→-→-→-=-===-

知1

lim ()

x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.

又由 11

1

1

lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x +

+--

→→→→=-=-==

知

1

lim ()

x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.

综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断.

图形如下：

图1-5

33. 解：22111(1)(1)

(1)lim lim 2

32(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+--

2221lim 32x x x x →-=∞-+

1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函

数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.

π0π2

(2)lim

1,lim 0

tan tan x x k x x x x →→+

==

当0k ≠时，πlim

tan x k x

x →=∞

. π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±± 为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π

(π)0

2f k +=，

可使函数在x =0,及π

π

2x k =+处连续.(0,1,2,k =±± );

π,0,1,2,x k k k =≠=±± 为无穷间断点

(3)∵当0x →时，

21

cos

x 呈振荡无极限，

∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4)

1

1

lim lim(3) 2.x x y x ++

→→=-=

11

lim lim(1)0x x y x -

-

→→=-=

∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)

34.

解：

003(1)lim ()lim lim 2x x x f x →→→===

∴补充定义

3(0),

2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.

x x x x x

f x x x →→→===

∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.

01(3)limsin sin

x x x →=

∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.

10

(4)lim ()lim(1)e

x

x x f x x →→=+=

∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.

35. 解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而00lim ()lim (),

x x f x a x a ++→→=+=

lim ()lim e 1,x x x f x --

→→== 且(0)f a =,

∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在

(,)-∞+∞上连续.

(2)()f x 在ππ

(,),(,)

22-∞+∞内显然连续.而

ππ2

2

ππ2

2

lim ()lim (sin )1,

π

lim ()lim (1)1,2

π

()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→

→

→

→

=+=+=+=

+=+

∴当π112b a +=+，即

π2b a =时，()f x 在π2x =

处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续. 36. 证：令()21x

f x x =?-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点

定理，(0,1)ξ?∈使()0f ξ=即210ξ

ξ?-=

即方程21x

x ?=有一个小于1的正根.

37.证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，

且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.

(0,)a b ξ?∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.

38. 证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且

(0)(0)(),

()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-

若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，

若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ?∈,使()0F ξ=,

即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，

综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.

39.证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ?<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.

综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. .

12()()()

()n f x f x f x f n ξ+++=

.

40证:已知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是

12()()()

n f x f x f x m M

n +++≤≤ ,

由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使

12()()()

()n f x f x f x f n ξ+++=

.