利用空间向量求空间角 教案

利用空间向量求空间角

备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬

授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求：

能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．

二、命题趋势：

在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.

三、教学目标

知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；

过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；

情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力.

四、教学重难点

重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；

难点：将立体几何问题转化为向量问题.

五、教学过程

（一）空间角公式

1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m

b a b a b ⋅

.

bθ

a

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为

l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==

a n

a n

⋅.

3、面面角公式：设1n ，2n 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=或12,n n θπ=-（需要根据具体情况判断相等或互补）

，其中12

1212

cos ,n n n n n n ⋅=.

（二）典例分析

如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=，SO ⊥面OABC ，且

1,2OS OC BC OA ====.求：

（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值.

O

A

B

C

S

解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,0)OB =，(0,0,1)OS =， （1

）cos ,5SA OB SA OB SA OB

⋅

=

=

=，

所以异面直线SA 和OB . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =，

则0,0,

n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩

取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =，

sin cos ,1OS n OS n OS n

α⋅∴==

=

=⨯（3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =

， 又

OC ⊥平面AOS ，OC ∴是平面AOS 的法向量，

令

2(0,1,0)n OC ==，则有121212

cos ,6

n n n n n n ⋅=

=

=. ∴二面角B AS O --的余弦值为

6

（三）巩固练习

1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，点E 、F 分别11A C ，1AD 的中点，求：

（1）异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值；（2）11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值； （3）平面11A BC 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

解析：以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，1DD ，为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于2AB =，11BC AA ==，所以(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，

1(,1,1)2E ，11(,0,)22F ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，1(0,2,1)C ，1(0,0,1)D ，则1

(0,1,)2

EF =--，

(0,2,0)DC =，11(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)BC =-，11(0,2,0)DC =.

（1

）cos ,EF DC EF DC EF DC

⋅

=

=-

∴异面直线EF 和CD 所成的角余弦值为

5

； （2）设平面11A BC 的法向量(,,)n x y z =，则有

则1110,0,

n A C n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩

令2x =，则1y =，2z =，所以(2,1,2)n =， 又设11D C 与平面11A BC 所成的角为θ，

则11111121

sin cos ,233

D C n D C n D C n

θ⋅==

=

=⨯. （3）由（2）知平面11A BC 的法向量1(2,1,2)n =， 又

1DD ⊥平面ABCD ，1DD ∴是平面ABCD 的法向量，

令21(0,0,1)n DD ==，则121212

22cos ,313

n n

n n n n ⋅=

=

=⨯. 故所成的锐二面角的余弦值为

23

. 2、如图所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =1AD =，

PO 垂直于平面ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：

（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.