人教版数学八年级上册 三角形解答题专题练习(word版

人教版数学八年级上册三角形解答题专题练习（word版

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；

②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）

∠ABO＝60°或45°

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；

②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；

（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..

【详解】

（1）如图1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABE＝1

2

∠ABO＝30°，∠BAE＝

1

2

∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣1

2

∠ABO﹣

1

2

∠BAO

＝180°﹣1

2

（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣

1

2

×90°＝135°．

（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，

∴∠OAE+∠OAF＝1

2

（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝1

3

∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝1

2

∠BAO＝

1

2

（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.

2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1

3

∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB”，试探究∠P与

∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；

②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到

2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到

∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=1

2

(∠B+∠C)，然后将∠B=100o，∠C=120o代入计算即可；

③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.

【详解】

解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠A+∠C＝∠B+∠D；

(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：

以点O为交点的“8字型”有4个：

②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，

∵AP 、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC ， ∴∠BAP ＝∠CAP ，∠CDP ＝∠BDP ， ∴2∠P ＝∠B+∠C ， ∵∠B ＝100°，∠C ＝120°，

∴∠P ＝

12（∠B+∠C ）=1

2

（100°+120°）＝110°； ③3∠P ＝∠B+2∠C ，其理由是：

∵∠CAP ＝

13∠CAB ，∠CDP ＝1

3∠CDB ， ∴∠BAP ＝23∠CAB ，∠BDP ＝2

3

∠CDB ，

以M 为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP ＝∠C+∠CAP ， 以N 为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP ＝∠B+∠BDP ∴∠C ﹣∠P ＝∠CDP ﹣∠CAP ＝1

3

（∠CDB ﹣∠CAB ）， ∠P ﹣∠B ＝∠BDP ﹣∠BAP ＝

2

3

（∠CDB ﹣∠CAB ）． ∴2（∠C ﹣∠P ）＝∠P ﹣∠B ， ∴3∠P ＝∠B+2∠C ．

故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P ＝110°；③3∠P ＝∠B+2∠C ，理由见解析. 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．

3．（问题探究）

将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.

（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；

（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；

（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点

A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结

论，并说明理由.

【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+?.

【解析】 【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】

解：（1）如图，∠1=2∠A ．

理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()41812

02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?，

∴()()1801180236011

22

A D ∠+∠+

-∠+-∠=?， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+?． 【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

4．如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连结AD 、CB ，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A +∠D =∠C +∠B .

(1)用“8字型”

如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；

(2)造“8字型”

如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;

(3)发现“8字型”

如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分

线，EF为∠BED的平分线.

①图中共有________个“8字型”；

②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.

【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.

【解析】

分析：（1）根据题意即可得到结论；

（3）①由图形即可得到结论；

②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；

详解：

（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，

∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，

∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；

（2）如图，连结BC，

∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）?180°=540°，

故答案为：540°；

（3）①图中共有6个“8字型”；

故答案为：6．

②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED

∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，

∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC

∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH

∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE

∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG

∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG

∴∠D+∠B=2∠F；

∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，

∴x=5．

点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

5．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究

∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究

∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】(1) 111o ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28o+72o=100o，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100o+11o=111o ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如图3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

6．数学活动课上，老师提出了一个问题：

我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？

（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：

如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.

解：

⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.

【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180o（2）1

2

∠A+∠F=90o

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=1

2

（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.

【详解】

⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180o.

∠DBC+∠BCE

=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A

=180°+∠A

即∠DBC+∠BCE－∠A=180o.

（2）1

2

∠A+∠F=90°

∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，

∴∠CBF=1

2

∠CBD，∠BCF=

1

2

∠BCE.

∴∠CBF+∠BCF=1

2

(∠CBD+∠BCE).

∵∠CBF+∠BCF=180o－∠F，∠DBC+∠BCE=180o+∠A.

∴180o－∠F =1

2

（∠CBD+∠BCE）=

1

2

(180o+∠A)

∴1

2

∠A+∠F=90o.

【点睛】

本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.

7．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；

(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．

x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；

(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.

【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140

【解析】

【分析】

（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．

（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据

∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．

c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得

∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得

x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．

（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．

【详解】

(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，

又∵∠BDC＝∠A＋∠B，

∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.

(2)180；180；180

(3)140

【点睛】

（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．

（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

8．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．

（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究

∠BOC与∠A的关系；

（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，且BO、CO相交于点O，

请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．理由见解析；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【详解】

解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．

理由：

如图1，连接AO，延长AO到H．

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，

∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）∠BOC=90°+1

2

∠A．

理由：

如图2，

∵OB，OC是△ABC的角平分线，

∴∠OBC=1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，

∴∠BOC=180°-1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，

∴∠BOC=90°+1

2

∠A；

（3）∠BOC=60°+2

3

∠A．

理由：

∵∠ABO=1

3

∠ABC，∠ACO=

1

3

∠ACB，

∴∠BOC=180°-2

3

（∠ABC+∠ACB）=180°-

2

3

（180°-∠A）=60°+

2

3

∠A．

故答案为：∠BOC=60°+2

3

∠A．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．

9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；

（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.

（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得

∠P的度数；

（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.

解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，

∴∠P=45°；

（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.

10．（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；

（简单应用）

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，

求∠P的度数；

（问题探究）

（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=1

3∠CAB，∠CDP=1

3

∠CDB，试问∠P与

∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）

【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=2

3

α+

1

3

β.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明．

（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；

（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；

（4）列出方程组即可解决问题．

（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；

(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠2+∠B=∠3+∠P，

∠1+∠P=∠4+∠D，

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=1

2

（∠B+∠D）=

1

2

×（36°+16°）=26°；

(3)如图3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=1

2

（∠B+∠D）=

1

2

×（36°+16°）=26°；

(4)∠P=2

3

α+

1

3

β.