2019-2020学年安徽省安庆市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A＝{2, 7, 11}，集合B＝{5, 11, 13}，则(∁U A)∩B＝（）A.{5}B.{13}C.{5, 13}D.{11, 13}2. 计算：log32−log36＝（）A.1B.−1C.−log32D.−2log323. 已知幂函数f(x)＝(a2−2a−2)⋅x a在区间(0, +∞)上是单调递增函数，则a的值为（）A.3B.−1C.−3D.14. 在△ABC中，已知sin A＝2sin B cos C，则该三角形的形状是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5. 若实数m，n满足2m<2n，则下列不等关系成立的是（）A.log2m<log2nB.√m<√nC.1m >1nD.m3<n36. 下列关系式一定正确的是（）A.sin2<0B.cos3>0C.sin(π−3)＝−sin3D.|sin2α|≤2|sinα|7. 若函数y＝sin2x的图象经过点P(x0, y0)，则其图象必经过点（）A.(−x0, y0)B.(π2+x0,y0) C.(π2−x0,y0) D.(π−x0, y0)8. 已知tanα＝2，则tan(α−π4)+tan2α=()A.−1B.1C.53D.17159. 函数f(x)＝A sin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π）的图象如图所示，则ω，φ的值为（）A.ω＝3，φ=π4B.ω＝3，φ=−π4C.ω＝6，φ=−π2D.ω＝6，φ=π210. 某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x−1|的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论：①该函数的值域为(0, +∞)；②该函数在区间[0, +∞)上单调递增；③该函数的图象关于直线x＝1对称；④该函数的图象与直线y＝−a2(a∈R)不可能有交点．则其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.411. 函数y=sin xlog2019|2x−2−x|在区间[−3, 0)∪(0, 3]上的图象为（）A. B.C. D.12. 已知函数f(x)是定义在R上的函数，f(1)＝1．若对任意的x1，x2∈R且x1<x2有f(x1)−f(x2) x1−x2>−3，则不等式f[log2(3x−2)]<log216−3log2(3x−2)的解集为（）A.(23,1) B.(−∞,43) C.(23,43) D.(43,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．函数f(x)=lg(x+1)+2x−2的定义域为________．计算：sin39∘cos21∘+sin51∘sin21∘＝________．已知函数f(x)=24x+1+tan x，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)＝________．若A为不等边△ABC的最小内角，则f(A)=2sin A cos A1+sin A+cos A的值域为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|3−a≤x≤3+a, a∈R}．(Ⅰ)当a＝4时，求A∪B；(Ⅱ)若B⊆A，求实数a的取值范围．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)．(Ⅰ)求sinα−cosα的值；(Ⅱ)求sin(π+α)+cos(π2+α)cos(2π+α)+sin(−α)的值．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+cosωx(ω>0)图象两条相邻对称轴间的距离为π2．(Ⅰ)求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间；(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位后得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)图象的对称中心坐标．已知函数f(x)＝ax2+bx+4，其中a，b∈R，且a≠0．(Ⅰ)若函数y＝f(x)的图象过点(−3, 1)，且函数f(x)只有一个零点，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a∈Z，函数g(x)＝ln[f(x)−kx]在区间[2, +∞)上单调递增，求实数k的取值范围．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k⋅a x(k>0, a>1)与y＝p√x+q(p>0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48）已知函数f(x)=2√2sin(x+π4)⋅cos x−1．(Ⅰ)当x∈[−π8,π8]时，f2(x)−mf(x)−m≤0恒成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)＝f(x)−a在[0, nπ]上恰有2019个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】B12.【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效．【答案】(−1, 2)∪(2, +∞)【答案】√32【答案】5【答案】 (0, √2−1]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】（1）当a ＝4时，集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|−1≤x ≤7}．∴ A ∪B ＝{x|x ≥−1}．（2）∵ 集合A ＝{x|x ≥1}，集合B ＝{x|3−a ≤x ≤3+a, a ∈R}，B ⊆A ，∴ 当B ＝⌀时，3−a >3+a ，解得a <0，当B ≠⌀时，{3−a ≤3+a 3−a ≥1，解得0≤a ≤(2) 综上，实数a 的取值范围是(−∞, 2]．【答案】（1）∵ 角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3, −4)， 故x ＝3，y ＝−4，r ＝|OP|=√9+16=5，∴ sin α=y r =−45，cos α=x r =35．∴ sin α−cos α=−45−35=−75． (2) sin (π+α)+cos (π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)=−sin α−sin αcos α−sin α=8535−(−45)=87． 【答案】(I)f(x)=sin (ωx −π6)+cos ωx(ω>0)，=√32sin ωx +12cos ωx ，＝sin (ωx +π6)，∵ 图象两条相邻对称轴间的距离为π2， ∴ 12T =12π，即T ＝π， ∴ ω＝2，f(x)＝sin (2x +π6)，令−12π+2kπ≤2x +π6≤12π+2kπ，可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，故函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间[0, π6]，[2π3, π]；（2）由题意可得y ＝g(x)＝sin (2x +π2)，令2x +π2=kπ可得x =−π4+12kπ，k ∈Z ， ∴ 函数y ＝g(x)图象的对称中心坐标(−π4+12kπ, 0)，k ∈Z ．【答案】（1）根据题意得，1＝9a +3b +4，即b ＝3a +1，①△＝b 2−4a ×4＝b 2−16a ＝0，②由①②解得{a =19b =43 或{a =1b =4 ， 所以函数f(x)=19x 2+43x +4，或f(x)＝x 2+4x +4， （2）因为a ∈Z ，由上可知a ＝1，f(x)＝x 2+4x +4，函数g(x)＝ln [f(x)−kx]＝ln [x 2+(4−k)x +4]在区间[2, +∞)上单调递增， 由复合函数的单调性得，y ＝x 2+(4−k)x +4在区间[2, +∞)上单调递增，且任意x ∈[2, +∞)，x 2+(4−k)x +4>0，可得2≥k−42且22+(4−k)×2+4>0，k ≤8且k <8，所以k 的取值范围k <(8)【答案】（1）因为y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)的增长速度越来越快，而y ＝p √x +q(p >0)增长速度越来越慢，故依题意应选择y ＝k ⋅a x (k >0, a >1)，则有{ka 2=18ka 3=27 ，解得{a =32k =8 ，所以y ＝8⋅(32)x ；（2）当x ＝0时，y ＝8，设经过x 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍， 则8⋅(32)x =8×1000，解得x =log 321000=lg 1000lg 32=3lg 3−lg 2≈17.03； 故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．【答案】由已知得，f(x)=2√2(√22sin x +√22cos x)cos x −1=2sin x cos x +2cos 2x −1=√2sin (2x +π4)，（1）当x ∈[−π8,π8]时，2x +π4∈[0,π2]，f(x)∈[0,√2]，要使f 2(x)−mf(x)−m ≤0恒成立，令t ＝f(x)，则t ∈[0,√2]，ℎ(t)＝t 2−mt −m ≤0对任意t ∈[0,√2]均成立，故{ℎ(0)=−m ≤0ℎ(√2)=2−√2m −m ≤0，解得m ≥2√2−2，∴ 实数m 的取值范围为[2√2−2,+∞)；（2）假设同时存在实数a 和正整数n ，使得函数g(x)＝f(x)−a 在[0, nπ]上恰有2019个零点，即函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，当x∈[0, π]时，2x+π4∈[π4,9π4]，①当a>√2或a<−√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上无交点；②当a=±√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上仅有一个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝2019；③当−√2<a<1或1<a<√2时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有两个交点，此时函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上有偶数个交点，不可能有2019个交点，不符合；④当a＝1时，函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, π]上有三个交点，要使函数y＝f(x)与直线y＝a在[0, nπ]上恰有2019个交点，则n＝1009；综上可得存在实数a和正整数n，当a=±√2时，n＝2019，当a＝1时，n＝10(09)。
北京市十一学校2019-2020学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
D． an
3，n 2n, n
1 2
7．下列说法正确的是（ ） A．“ f (0) 0 ”是“函数 f (x) 是奇函数”的充要条件
B．若 p : x0 R, x02 x0 1 0，则 p : x R, x 2 x 1 0
C．若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题
D．“若 ，则 sin 1 ”的否命题是“若 则 sin 1 ”
1
（2）求数列
Sn
前
n
项和为
Tn
.
19．已知函数 f (x) ax (a 0, a 1)在区间[-1，2]上的最大值是最小值的 8 倍．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）当 a＞1 时，解不等式 loga (2a 2x) loga (x2 1) ． 20．已知函数 f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）． （1）求函数 f（x）的定义域并判断函数 f（x）的奇偶性； （2）记函数 g（x）=10 f（x） +3x，求函数 g（x）的值域； （3）若不等式 f（x）＞m 有解，求实数 m 的取值范围．
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
4．用数学归纳法证明不等式
1 n 1
n
1
2
1 2n
1 2
n
2
的过程中，由
n
k
递推到
n k 1时不等式左边（ ）
1
A．增加了 2k 1
B．增加了
1 2k 1
1 2k
2
C．增加了
1 2k 1
1 2k
2
，但减少了
k
1
1
D．以上各种情况均不对
ax, x 1
2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。
2019-2020学年安徽省安庆二中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年安徽省安庆二中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x −2<0}，B ={x|lgx <0}，则A ∩B =( )A. {x|0<x <2}B. {x|0<x <1}C. {x|1<x <2}D. ⌀2. 下列函数中与y =x 是同一函数的是( )(1)y =√x 2 (2)y =log a a x (3)y =a log a x (4)y =√x 33(5y =√x n n(n ∈N ∗)A. (1)(2)B. (2)(3)C. (2)(4)D. (3)(5)3. 已知a >0且a ≠1，函数y =a x 与y =log a (−x)的图象可能是( )A.B.C.D.4. f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f(x +32)=−f(x)，则f(−92)的值为( )A. 0B. 3C. 32D. −925. 已知f(x)=x 2−2ax +1在区间[2,8]上为单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [8,+∞)B. (−∞,2]C. [2,+∞)D. (−∞,8]6. 函数f(x)=4−x −x2的零点所在区间是( )A. (−1,0)B. (0,14)C. (14,12)D. (12,1)7. 已知函数y =f(x)在区间(−∞,0)内单调递增，且f(−x)=f(x)，若，b =f(2−1.2)，c =f(12)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >c >bB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c8. 已知log a 34<1，那么a 的取值范围是( )A. 0<a <34或a >1 B. a <0或34<a <1 C. a >34D. a <349. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，其图象经过点(2,0)，且对任意x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，则不等式(x −1)f(x)≥0的解集为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,0]∪[1,2]D. [0,1]∪[2,+∞)10. 已知函数在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. 2≤a ≤3D. 0<a ≤2或a ≥311. 已知函数f(x)={log 2x,x >02x ,x ≤0，若f(a)=12，则实数a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. 1或−√212. 若关于x 的不等式4x −log a x ≤32在x ∈(0,12]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [14,1)B. (0,14]C. [34,1)D. (0,34]二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 已知函数f(x)=lg(−x 2+2ax)在区间(1,2)上的减函数，则实数a 的取值集合是______14. 已知函数f(x)={−2−x +1,x ≤0f(x −1),x >0，若方程f(x)=log a (x +2)(0<a <1)有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 已知a >b >1，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = ． 四、解答题（本大题共7小题，共75.0分） 16. 计算(lg 14−lg25)÷100−12=______．17.已知全集U=R，集合A={x|2x≤4}，B={x|1<x≤4}(1)求A∩(∁U B)；(2)若集合C={x|4−a<x<a}，且C⊆B，求实数a的取值范围．18.已知定义域为R的函数f(x)=a−2x是奇函数b+2x(1)求a，b的值．(2)判断f(x)的单调性，并用定义证明(3)若存在t∈R，使f(k+t2)+f(4t−2t2)<0成立，求k的取值范围．19.若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+3．(1)求f(x)在R的解析式；(2)若a∈R，g(x)=f(x)−a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？20. 近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)={10x 2+100x,0<x <40701x +10000x−9450,x ≥40由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (Ⅰ)求出2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额−成本)；(Ⅱ)2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21. 已知幂函数f(x)=x 3−p (p ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上为增函数．(1)求不等式(x +1) p2<(3−2x) p2的解集．(2)设g(x)=log a [f(x)−ax](a >0,a ≠1)，是否存在实数a ，使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=log a (a x +k)(a >0，且a ≠1)．(1)当k =1时，求f(x)的值域．(2)若存在区间[m,n]，使f(x)在[m,n]上值域为[m 2,n2]，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|x <2}，B ={x|0<x <1}； ∴A ∩B ={x|0<x <1}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：y =x 的定义域和值域均为R对于(1)：y =√x 2=|x|，可知y ≥0，对应法则不相同，∴不是同一函数； 对于(2)：y =log a a x =x ，定义域和值域均为R ，∴是同一函数；对于(3)：y =a log a x ，定义域满足x >0，定义域不相同，∴不是同一函数；对于(4)：y =√x 33=x ，定义域和值域均为R ，∴是同一函数；对于(5)：y =√x n n(n ∈N ∗)={|x|,n 为偶数x,n 为奇数，对应法则不相同，∴不是同一函数；与y =x 是同一函数的是(2)，(4)． 故选：C ．判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．3.【答案】B【解析】解：若0<a <1，曲线y =a x 函数图象下降，即为减函数，且函数图象过(0,1)， 而曲线y =log a (−x)函数图象上升，即为增函数，且函数图象过(−1,0)， 以上图象均不符号这些条件；若a >1，则曲线y =a x 上升，即为增函数，且函数图象过(0,1)，而函数y =log a (−x)下降，即为减函数，且函数图象过(−1,0)，只有选项B 满足条件． 故选：B ．根据a的取值分两种情况考虑：当0<a<1时，根据指数函数的图象与性质得到y=a x 为减函数，即图象下降，且恒过(0,1)，而对数函数为增函数，即图象上升，且恒过(−1,0)，但是四个选项中的图象没有符合这些条件；当a>1时，同理判断发现只有选项B的图象满足题意，进而得到正确的选项为B．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题．由f(x+3)=−f(x+32)=f(x)，求得函数的周期为3，再结合奇偶性即可求解．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x+32)=−f(x)，得f(x+3)=−f(x+32)=f(x)，且f(0)=0，∴函数f(x)是周期等于3的周期函数，∴f(32)=−f(0)=0，∴f(−92)=−f(3+32)=−f(32)=0，故选：A．5.【答案】B【解析】解：∵f(x)=x2−2ax+1的对称轴为x=a，又f(x)的图象是开口向上的抛物线，在[2,8]上递增，所以a≤2，故选：B．根据二次函数的图象的开口向上以及在[2,8]上递增，所以对称轴在区间左边．本题考查了二次函数的性质与图，属基础题．6.【答案】D【解析】解：易知函数f(x)为减函数，又f(12)=4−12−14=12−14>0，f(1)=14−12<0，根据零点存在性原理，可知函数f(x)=4−x −x2的零点所在的区间是(12,1)． 故选：D ．利用函数的零点判断定理，通过f(12)f(1)<0，推出结果即可． 本题考查函数的零点的判断定理的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题． 根据题意，由f(−x)=f(x)可得f(x)为偶函数，结合函数的单调性可得f(x)在(0,+∞)上递减，进而又由2−1.2<2−1<1<log 23，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数y =f(x)满足f(−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数， 又由函数y =f(x)在区间(−∞,0)内单调递增，则f(x)在(0,+∞)上递减，，b =f(2−1.2)，c =f(12)=f(2−1)，又由0<2−1.2<2−1<1<log 23， 则b >c >a ， 故选B ．8.【答案】A【解析】解：log a 34<1，即log a 34<log a a. 当a >1时，34<a ，∴a >1． 当0<a <1时，34>a ，∴0<a <34． ∴a 的取值范围是0<a <34或a >1． 故选：A ．log a 34<1，即log a 34<log a a ，分类讨论，即可求出a 的取值范围． 本题考查对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．9.【答案】D【解析】解：根据f(x)=f(2−x)，可得f(x)的图象关于直线x =1对称．由图象经过点(2,0)，可得函数f(x)的图象还经过点0，0)．根据对任意x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立， 可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增， 故函数f(x)在(−∞,1)上单调递减．如图所示：故由(x −1)f(x)≥0，可得{x >1f(x)≥0 ①，或{x <1f(x)≤0 ②． 解①可得x ≥2，解②可得0≤x ≤1， 故原不等式的解集为{x|x ≥2或0≤x ≤1}， 故选：D ．由题意可得f(x)的图象关于直线x =1对称，函数的图象经过点(2,0)和点0，0)，f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(−∞,1)上单调递减．数形结合可得{x >1f(x)≥0①，或{x <0f(x)≤0②，分别求得①、②解集，再取并集，即得所求．本题主要考查函数的单调性以及函数图象的对称性的应用，其它不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义法，同时考查二次函数和对数函数的单调性的运用，属于中档题．由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：当x≤1时，f(x)=−x2+ax−2的对称轴为x=a，2由题意得，1≤a，解得a≥2；2当x>1时，f(x)=log a x递增，可得a>1；由x∈R，f(x)递增，即有−1+a−2≤log a1=0，解得a≤3．综上可得，a的范围是2≤a≤3．故选：C．11.【答案】C【解析】解：当x>0时，log2x=1，∴x=√2；2，∴x=−1．当x≤0时，2x=12则实数a的值为：−1或√2，故选C．本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x>0时的a值，然后再计算当x≤0时的a值，最后综合即可．分段函数求值问题分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意得≤log a x在x∈4x−32(0,1]上恒成立，2]时，函数即当x∈(0,12y=4x−3的图象不在2y=log a x图象的上方，由图知：当a>1时，函(0<x≤数y=4x−321)的图象在y=log a x图象的上方；2当0<a<1时，log a12≥12，解得14≤a<1．故选：A．两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题4x−log a x≤32对x∈(0,12)恒成立，函数y=4x−32的图象不在y=log a x图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．即可求解本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．属于中档题．13.【答案】{1}【解析】解：函数f(x)=lg(−x2+2ax)在区间(1,2)上的减函数，所以，函数y=lgu是增函数，u=−x2+2ax在区间(1,2)为减函数，二次函数的对称轴为x=a，可知a≤1，并且u(2)=−4+4a≥0，解得a≥1，综上，实数a的取值集合是：{1}．故答案为：{1}．函数f(x)在(1,2)上为减函数，通过复合函数的单调性，列出不等式，即可求解实数a的范围．本题考查了对数函数的性质与应用问题，复合函数的单调性的应用，是中档题．14.【答案】[13,1 2 )【解析】解：∵当x>0时，f(x)=f(x−1)，∴f(x)在(0,+∞)上是周期为1的函数，做出y=f(x)与y=log a(x+2)的函数图象，则两函数图象有2个交点，∴{log a 2>−1log a 3≤−1，解得13≤a <12． 故答案为：[13,12)．作出f(x)与y =log a (x +2)的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性的应用，属于中档题． 15.【答案】42【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于拔高题．设t =log b a 并由条件求出t 的范围，代入log a b +log b a =52化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入a b =b a 化简后列出方程，求出a 、b 的值．【解答】解：设t =log b a ，由a >b >1知t >1，代入log a b +log b a =52得t +1t =52，即2t 2−5t +2=0，解得t =2或t =12(舍去)，所以log b a =2，即a =b 2，因为a b =b a ，所以b 2b =b a ，则a =2b =b 2，解得b =2，a =4，故答案为4；2．16.【答案】−20【解析】解：(lg 14−lg25)÷100−12=(lg 1100)÷10−1=−2×10=−20． 故答案为−20．利用对数的运算法则即可得出．熟练掌握对数的运算法则是解题的关键．17.【答案】解：(1)全集U=R，集合A={x|2x≤4}={x|x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴∁U B={x|x≤1或x>4}，∴A∩(∁U B)={x|x≤1}；(2)集合C={x|4−a<x<a}，且C⊆B，当C=⌀时，a≤4−a，即a≤2时，满足C⊆B；当C≠⌀时，即a>2时，则：{4−a>1a≤4，解得a<3；∴2<a<3；综上，实数a的取值范围是(−∞,3)．【解析】(1)根据补集和交集的定义写出A∩(∁U B)；(2)根据C⊆B，讨论C=⌀和C≠⌀时，求出满足条件的实数a的取值范围．本题考查了集合的定义与应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0即a−1b+1=0∴a=1f(−1)=−f(1)∴a−12b+12=−a−2b+2即12b+12=1b+2，∴2b+1=b+2∴b=1经验证符合题意．∴a=1，b=1(2)f(x)=1−2x 1+2x=−(2x+1)+21+2x=−1+21+2xf(x)在R上是减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2f(x1)−f(x2)=1−2x11+2x1−1−2x21+2x2=2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)，∵x 1<x 2∴2x 1<2x 2∴f(x 1)−f(x 2)>0即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数．(3)∵f(k +t 2)+f(4t −2t 2)<0，f(x)是奇函数．∴f(k +t 2)<f(2t 2−4t)，又∵f(x)是减函数，∴k +t 2>2t 2−4t ∴k >t 2−4t设g (t)=t 2−4t ，∴问题转化为k >g(t)ming(t)min =g(2)=−4，∴k >−4．【解析】本题主要考查函数奇偶性，以及函数单调性的应用，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．(1)根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．(2)利用函数单调性的定义进行证明即可．(3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．19.【答案】解：(1)当x =0时，f(0)=0；当x <0时，−x >0，根据定义可知，f(x)=−f(−x)=−(x 2+4x +3)=−x 2−4x −3， 故f(x)={x 2−4x +3,x >00, x =0−x 2−4x −3,x <0．(2)在坐标系中，作出函数f(x)的图象，当a=0时，g(x)=f(x)−a有5个零点；当0<a<1或−1<a<0时，g(x)有4个零点；当a=±1时，g(x)有3个零点；当1<a<3或−3<a<−1时，g(x)有2个零点；当a<−3或a>3时，g(x)有1个零点；故a=0时，g(x)=f(x)−a零点的个数最多；a<−3或a>3时，g(x)零点的个数最少．【解析】(1)利用奇函数的定义求出函数的解析式；(2)作出函数的图象，数形结合进行讨论．本题考查函数的奇偶性，函数的零点个数问题，属于中档题目．20.【答案】解：(Ⅰ)当0<x<40时，W(x)=700x−(10x2+100x)−250=−10x2+ 600x−250当x≥40时，W(x)=700x−(701x+10000x −9450)−250=−(x+10000x)+9200∴W(x)={−10x2+600x−250,0<x<40−(x+10000x)+9200,x≥40(Ⅱ)若0<x<40，W(x)=−10(x−30)2+8750当x=30时，W(x)max=8750万元若x≥40，W(x)=−(x+10000x)+9200≤9200−2√10000=9000当且仅当x=10000x时，即x=100时，W(x)max=9000万元∴2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．【解析】本题考查了函数解析式的求解，分段函数最值的计算，属于中档题． (Ⅰ)讨论x 的范围，由利润=销售额−成本得出W(x)的解析式；(Ⅱ)分别利用二次函数的性质和基本不等式求出W(x)在(0,40)和[40,+∞)上的最大值即可得出结论．21.【答案】解：(1)由已知得3−p >0且p ∈N ∗，所以p =1或p =2，当p =2时，f(x)=x 3−p 为奇函数，不合题意，当p =1时，f(x)=x 2，所以不等式(x +1)p 2<(3−2x)p 2，变为(x +1)12<(3−2x)12，则0≤x +1<3−2x ，解得−1≤x <23，所以不等式(x +1)p 2<(3−2x)p 2的解集为[−1,23).(2)g(x)=log a (x 2−ax)，令ℎ(x)=x 2−ax ，由ℎ(x)>0得x ∈(−∞,0)∪(a,+∞)，因为g(x)在[2,3]上有定义，所以0<a <2且a ≠1，所以ℎ(x)=x 2−ax 在[2,3]上为增函数①当1<a <2时，g(x)max =g(3)=log 9(9−3a)=2，即a 2+3a −9=0，∴a =−3±3√52，又1<a <2，∴a =−3+3√52， ②当0<a <1时，g(x)min =g(2)=log 9(4−2a)=2，即a 2+2a −4=0，∴a =−1±√5，此时解不成立．【解析】(1)求出p 的值，得到关于x 的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为ℎ(x)=x 2−ax 在[2,3]上为增函数，通过讨论a 的范围，求出函数的最小值，求出a 的值即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题．22.【答案】解：(1)当k =1时，函数f(x)=log a (a x +1)，当a >1时，log a (a x +1)>log a 1，可得f(x)>0，则f(x)的值域为(0,+∞)；当0<a <1时，log a (a x +1)<log a 1，可得f(x)<0，则f(x)的值域为(−∞,0)；，(2)因为存在区间[m,n]，使f(x)在[m,n]上值域为[m 2,n 2]，而函数f(x)=log a (a x +k)(在[a,b]上单调递增，所以{log a (a m +k)=m 2log a (a n +k)=n 2，即方程log a (a x +k)=x 2有两个不同的根， 即a x +k =a x 2有两个不同的根，令a x 2=t ，(t >0)即方程t 2−t +k =0有两个不同的正数根，即{△=1−4k >0k >0， 可得：0<k <14，故得k 的取值范围(0,14).【解析】(1)当k =1时，a x +1>0，对a >1或0<a <1讨论可得值域；(2)根据在区间[m,n]，使f(x)在[m,n]上值域为[m 2,n 2]，可知f(x)时单调递增函数，转化新函数有解问题求解即可．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={0, 2, 4, 6, 8, 10}，B ={4, 8}，则∁A B =( ) A.{4, 8} B.{0, 2, 6} C.{0, 2, 6, 10} D.{0, 2, 4, 6, 8, 10} 【答案】 C【考点】 补集及其运算 【解析】根据全集A 求出B 的补集即可． 【解答】解：集合A ={0, 2, 4, 6, 8, 10}，B ={4, 8}， 则∁A B ={0, 2, 6, 10}． 故选C .2. 若函数f(x)={2x +2,x ≤02x −4,x >0 ，则f （f(1)）的值为（ ）A.−10B.10C.−2D.2【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】先求f(1)，再求f （f(1)）即可． 【解答】f(1)＝2−4＝−2， f （f(1)）＝f(−2) ＝2×(−2)+2＝−2， 故选：C ．3. 下列集合A 到B 的对应中，不能构成映射的是（ ）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ 【答案】 A【考点】 映射 【解析】根据映射的定义，对题目中的对应分别加以分析判断，即可得出不能构成映射的对应．对于①，由于A 中元素1对应B 中4或5，不唯一，且A 中2在B 中没有对应值， ∴ ①中的对应不能构成映射；对于②，A 中元素2在B 中没有对应值，∴ ②的对应不能构成映射； 对于③，由于A 中元素1在B 中对应的值可能是3或4，不唯一， ∴ ③中的对应不能构成映射；对于④，A 中的元素1、2、3分别对应B 中的元素a 、c 、b ，满足映射的定义， ∴ ④中对应能构成映射．综上，不能构成映射的是①②③．4. 已知a <14，√(4a −1)24则化简的结果是（ ） A.√4a −1 B.−√4a −1 C.√1−4a D.−√1−4a【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】由a <14，我们可得4a −1<0，我们可以根据根式的运算性质，将原式化简为|(1−4a)|24=|(1−4a)|12，然后根据根式的性质，易得到结论． 【解答】 ∵ a <14 ∴ √(4a −1)24 =√(1−4a)24=|(1−4a)|12 =(1−4a)12=√1−4a ．5. 函数y ＝a −|x|(0<a <1)的图象是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断)|x|，易知函数为偶函数，y＝a−|x|=(1a∵0<a<1，∴1>1，a故当x>0时，函数为增函数，当x<0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，6. 若函数f(x)＝(m+2)x a是幂函数，且其图象过点(2, 4)，则函数g(x)＝log a(x+m)的单调增区间为（）A.(−2, +∞)B.(1, +∞)C.(−1, +∞)D.(2, +∞)【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】分别求出m，a的值，求出函数g(x)的单调区间即可．【解答】由题意得：m+2＝1，解得：m＝−1，故f(x)＝x a，将(2, 4)代入函数的解析式得：2a＝4，解得：a＝2，故g(x)＝log a(x+m)＝log2(x−1)，令x−1>0，解得：x>1，故g(x)在(1, +∞)递增，7. 若函数f(x)＝log3x+x−3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：3A.2.1B.2.2C.2.26D.2.4【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】根据题意，方程x−3+log3x＝0的根就是函数f(x)＝log3x+x−3的零点，由图中的表格分析可得函数f(x)的零点所在的区间，分析选项即可得答案．【解答】根据题意，方程x−3+log3x＝0的根就是函数f(x)＝log3x+x−3的零点，由图中表格可得：f(2.25)＝−0.0119，且f(2.28125)＝0.0319，有f(2.25)⋅f(2.28125)<0且|2.28125−2.25|＝0.03125<0.1，则函数f(x)的零点在区间(2.25, 2.28125)中，即方程x−3+log3x＝0的一个近似根在区间(2.25, 2.28125)中，分析选项：只有C 选项的数值在区间(2.25, 2.28125)中，则方程x −3+log 3x ＝0的一个近似根为2.26；8. 下列结论：①函数y =√x 2和y ＝(√x)2是同一函数；②函数f(x −1)的定义域为[1, 2]，则函数f(3x 2)的定义域为[0, √33]；③函数y ＝log 2(x 2+2x −3)的递增区间为(−1, +∞)：其中正确的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①根据同一函数的判断方法判断． ②根据抽象函数的定义域的求法求解．③由真数大于0求出函数的定义域，再由内函数的增区间求得原函数的增区间． 【解答】对于①函数y =√x 2的定义域为R ，y ＝(√x)2的定义域为(0, +∞)，故①错误． 对于②函数f(x −1)的定义域为[1, 2]，则1≤x ≤2，∴ 0≤x −1≤1，∴ 0≤3x 2≤1，∴ 函数f(3x 2)的定义域为[−√33, √33]，故②错误．对于③由x 2+2x −3>0，得x <−3或x >1．∵ t ＝x 2+2x −3在(1, +∞)上为增函数，∴ y ＝log 2(x 2+2x −3)的单调增区间为(1, +∞)．故③错误．9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数．例如：[−2.1]＝−3，[3.1]＝3，已知函数f(x)=2x +31+2x+1，则函数y ＝[f(x)]的值域为（ ） A.(12,3)B.(0, 2]C.{0, 1, 2}D.{0, 1, 2, 3}【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】由分式函数值域的求法得：f(x)=122x+1+61+2x+1=12(1+51+2x+1)，又1+2x+1∈(1, +∞)，所以f(x)∈(12, 3)，由高斯函数定义的理解得：函数y ＝[f(x)]的值域为{ 0,1,2 }，得解． 【解答】因为f(x)=2x +31+2x+1，所以f(x)=122x+1+61+2x+1=12(1+51+2x+1)， 又1+2x+1∈(1, +∞)， 所以f(x)∈(12, 3)，由高斯函数的定义可得： 函数y ＝[f(x)]的值域为{0,1,2 }，10. 若a >b >1，0<c <1，则（ ） A.a c <b c B.ab c <ba c C.alog b c <blog a c D.log a c <log b c 【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 不等式比较两数大小 【解析】根据已知中a >b >1，0<c <1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵ a >b >1，0<c <1，∴ 函数f(x)=x c 在(0, +∞)上为增函数，故a c >b c ，故A 错误；函数f(x)=x c−1在(0, +∞)上为减函数，故a c−1<b c−1，故ba c <ab c ，即ab c >ba c ；故B 错误；log a c <0，且log b c <0，log a b <1，即log c blogc a=log a c log b c<1，即log a c >log b c ．故D 错误；0<−log a c <−log b c ，故−blog a c <−alog b c ，即blog a c >alog b c ，即alog b c <blog a c ，故C 正确. 故选：C .11. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0log a (x +1)+1,x ≥0（a >0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A.(0,23]B.[23,34] C.[13,23]∪{34} D.[13,23)∪{34} 【答案】 C【考点】分段函数的应用根的存在性及根的个数判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题设函数f(x)在R 上单调递减，故{0<a <1,−4a−32≥0,3a ≥1,∴ 13≤a ≤34，排除A ．当a=13时，f(x)={x2−53x+1,x<0,log13(x+1)+1,x≥0.当x<0时，令x2−53x+1=2−x，整理得x2−23x−1=0①．设x1,x2是方程①的两根，则x1x2=−1<0，即x1与x2一正一负．∴当x<0时，函数f(x)与y=2−x的图象有一个交点．当x≥0时，函数y=|f(x)|与y=2−x的图象也有一个交点，故当a=13时，方程|f(x)|=2−x恰有两个不相等的实根，满足题意，排除B．当a=23时，f(x)={x2−13x+2,x<0,log23(x+1)+1,x≥0.当x<0时，令x2−13x+2=2−x，得x=−23；当x≥0时，由函数图象知y=|f(x)|与y=2−x的图象也有一个交点，故当a=23时，方程|f(x)|=2−x恰有两个不相等的实根，满足题意，排除D．故选C．12. 已知函数f(x)＝e x−e−x+ln(√x2+1+x)+2，则关于x的不等式f(3x+1)+ f(x)>4的解集为（）A.(−14,+∞) B.(−∞,−14) C.(−∞, 0) D.(0, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，设g(x)＝f(x)−2＝e x−e−x+ln(√x2+1+x)，分析g(x)的奇偶性与单调性，据此可得原不等式等价于g(3x+1)>g(−x)，进而可得3x+1>−x，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝e x−e−x+ln(√x2+1+x)+2，其定义域为R；设g(x)＝f(x)−2＝e x−e−x+ln(√x2+1+x)，有g(−x)＝e−x−e x+ln(√x2+1−x)＝−[e x−e−x+ln(√x2+1+x)]＝−g(x)，即函数g(x)为奇函数，又由函数y＝e x−e−x和y＝2+1+x)都是R上的增函数，故g(x)为R上的增函数；f(3x+1)+f(x)>4⇒f(3x+1)−2>2−f(x)⇒f(3x+1)−2>−[f(x)−2]⇒g(3x+1)>−g(x)⇒g(3x+1)>g(−x)，则有3x+1>−x，解可得x>−14；即x的取值范围为(−14, +∞)；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）lg 52+2lg2−(12)−1＝________． 【答案】 −1【考点】对数的运算性质 【解析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可． 【解答】lg 52+2lg2−(12)−1 ＝lg5−lg2+2lg2−2 ＝lg5+lg2−2 ＝1−2 ＝−(1)已知f(x)是R 上的偶函数，且在[0, +∞)单调递增，若f(a −3)<f(4)，则a 的取值范围为________． 【答案】 −1<a <7 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可． 【解答】∵ f(x)是R 上的偶函数，且在[0, +∞)单调递增， ∴ 不等式f(a −3)<f(4)等价为f(|a −3|)<f(4)， 即|a −3|<4， 即−4<a −3<4， 得−1<a <7，即实数a 的取值范围是−1<a <7，若函数f(x)＝(12)|1−x|+m 有零点，则m 的取值范围是________． 【答案】 −1≤m <0 【考点】函数零点的判定定理 【解析】设y ＝(12)|1−x|＝(12)t ，由|1−x|＝t ≥0，知0<(12)|1−x|≤1，再由函数f(x)＝(12)|1−x|+m 有零点，能够导出实数m 的取值范围． 【解答】设y ＝(12)|1−x|＝(12)t ，∵|1−x|＝t≥0，∴0<( 12)|1−x|≤1，∴函数f(x)＝(12)|1−x|+m有零点，m的取值范围是−1≤m<0．设a，b∈R，已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)={(12)x,0≤x<2log16x,x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b＝0有且只有7个不同实数根，则ba的取值范围是________．【答案】(−12, −15)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】确定函数f(x)的性质，可得关于x的方程[f(x)]2+a⋅f(x)+b＝0(a、b∈R)有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b＝0必有两个根t1，t2，其中t1＝1，t2∈(14, 1)，根据根与系数之间的关系，即可得出结论．【解答】由题意，f(x)在(−∞, −2]和[0, 2]上是减函数，在[−2, 0]和[2, +∞)上是增函数，∴x＝0时，函数取极大值1，x＝±2时，取极小值14，|x|≥16时，f(x)≥1，∴关于x的方程[f(x)]2+a⋅f(x)+b＝0(a、b∈R)有且只有7个不同实数根，设t＝f(x)，则方程t2+at+b＝0必有两个根t1，t2，其中t1＝1，t2∈(14, 1)，t1+t2＝−a∈(54, 2)，则−2<a<−54，∴−45<1a<−12，12<−1a<45，−12<−1−1a<−15，∵b＝−a−1，∴−12<ba<−15，∴ba ∈(−12, −15)，三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）设集合A＝{x|2m−1<x<m}，集合B＝{x|−4≤x≤5}．(Ⅰ)若m＝−3，求A∪B；(Ⅱ)若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵集合A＝{x|2m−1<x<m}，集合B＝{x|−4≤x≤5}．∴ 当m ＝−3时，A ＝{−7<x <−3}， ∴ A ∪B ＝{x|−7<x ≤5}．（2）①若A ＝⌀，则m ≤2m −1，解得m ≥1． ②若A ≠⌀，则m >2m −1，解得m <1，要使A ∩B ＝⌀，则m ≤−4或2m −1≥5，解得m ≤−4． 综上，实数m 的取值范围是(−∞, −4]∪[1, +∞)． 【考点】 交集及其运算 【解析】(Ⅰ)当m ＝3时，求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．(Ⅱ)根据A ＝⌀和A ≠⌀，进行分类讨论，能求出实数m 的取值范围． 【解答】（1）∵ 集合A ＝{x|2m −1<x <m}，集合B ＝{x|−4≤x ≤5}． ∴ 当m ＝−3时，A ＝{−7<x <−3}， ∴ A ∪B ＝{x|−7<x ≤5}．（2）①若A ＝⌀，则m ≤2m −1，解得m ≥1． ②若A ≠⌀，则m >2m −1，解得m <1，要使A ∩B ＝⌀，则m ≤−4或2m −1≥5，解得m ≤−4． 综上，实数m 的取值范围是(−∞, −4]∪[1, +∞)．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝1−x ． （1）求f(0)+f(−2)；（2）求f(x)的解析式． 【答案】根据题意，当x ≥0时，f(x)＝1−x ，则f(0)＝1−0＝1，f(2)＝1−2＝−1， 又由f(x)为偶函数，则f(−2)＝f(2)＝−1， 则f(0)+f(−2)＝(−1)+1＝0；根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)＝1−(−x)＝1+x ， 又由f(x)为偶函数，则f(x)＝f(−x)＝1+x ； 故f(x)={1−x,x ≥01+x,x <0． 【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）根据题意，由函数的解析式求出f(0)与f(2)的值，进而由函数的奇偶性可得f(−2)的值，相加即可得答案；（2）根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式与奇偶性分析可得答案． 【解答】根据题意，当x ≥0时，f(x)＝1−x ，则f(0)＝1−0＝1，f(2)＝1−2＝−1， 又由f(x)为偶函数，则f(−2)＝f(2)＝−1， 则f(0)+f(−2)＝(−1)+1＝0；根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)＝1−(−x)＝1+x ， 又由f(x)为偶函数，则f(x)＝f(−x)＝1+x ； 故f(x)={1−x,x ≥01+x,x <0 ．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x <7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，y =(13)x−m ．测得部分数据如表：(Ⅱ)求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳． 【答案】（本小题满分1（1）当0≤x <7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)， 由x ＝0，y ＝−4可得c ＝−4，由x ＝2，y ＝8，即4a +2b ＝12， 由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12，解得a ＝−1，b ＝8， 即有y ＝−x 2+8x −4；……………………当x ≥7时，y =(13)x−m ，由x ＝10，y =19，可得m ＝8，即有y =(13)x−8； 综上可得y ={−x 2+8x −4,0≤x <7(13)x−8,x ≥7 ．…………………… （2）当0≤x <7时，y ＝−x 2+8x −4＝−(x −4)2+12， 即有x ＝4时，取得最大值12；当x ≥7时，y =(13)x−8递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳．…………………… 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】(Ⅰ)当0≤x <7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)，利用已知条件求出a ，b ，c 得到函数的解析式，(Ⅱ)利用分段函数求出函数的最值，推出结论． 【解答】（本小题满分1（1）当0≤x <7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)， 由x ＝0，y ＝−4可得c ＝−4，由x ＝2，y ＝8，即4a +2b ＝12， 由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12，解得a ＝−1，b ＝8， 即有y ＝−x 2+8x −4；……………………当x ≥7时，y =(13)x−m ，由x ＝10，y =19，可得m ＝8，即有y =(13)x−8； 综上可得y ={−x 2+8x −4,0≤x <7(13)x−8,x ≥7．…………………… （2）当0≤x <7时，y ＝−x 2+8x −4＝−(x −4)2+12， 即有x ＝4时，取得最大值12；当x ≥7时，y =(13)x−8递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．综上可得当x＝4时产品的性能达到最佳．……………………已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)＝f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=−2．3（1）求证：f(x)在R上是减函数．（2）求函数在[−3, 3]上的最大值和最小值．【答案】证明：令x＝y＝0，则f(0)＝0，令y＝−x则f(−x)＝−f(x)，在R上任意取x1，x2，且x1<x2，则△x＝x2−x1>0，△y＝f(x2)−f(x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2−x1)∵x2>x1，∴x2−x1>0，又∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2−x1)<0，即f(x2)−f(x1)<0，有定义可知函数f(x)在R上为单调递减函数．∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[−3, 3]上也是减函数．)＝−2，又f(3)＝f(2)+f(1)＝f(1)+f(1)+f(1)＝3×(−23由f(−x)＝−f(x)可得f(−3)＝−f(3)＝2，故f(x)在[−3, 3]上最大值为2，最小值为−2．【考点】抽象函数及其应用【解析】（2）利用f(x)在R上是减函数可知f(x)在[−3, 3]上也是减函数，易求f(3)＝−2，从而可求得f(x)在[−3, 3]上的最大值和最小值；1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0，再令y＝−x即可证得f(−x)＝−f(x)，利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f(x)是R上的减函数．【解答】证明：令x＝y＝0，则f(0)＝0，令y＝−x则f(−x)＝−f(x)，在R上任意取x1，x2，且x1<x2，则△x＝x2−x1>0，△y＝f(x2)−f(x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2−x1)∵x2>x1，∴x2−x1>0，又∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2−x1)<0，即f(x2)−f(x1)<0，有定义可知函数f(x)在R上为单调递减函数．∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[−3, 3]上也是减函数．)＝−2，又f(3)＝f(2)+f(1)＝f(1)+f(1)+f(1)＝3×(−23由f(−x)＝−f(x)可得f(−3)＝−f(3)＝2，故f(x)在[−3, 3]上最大值为2，最小值为−2．已知函数f(x)=(13)x ，函数g(x)＝log 3x ．（1）若g(mx 2+2x +m)的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈[−1, 1]，求函数y ＝[f(x)]2−2af(x)+3的最小值ℎ(a)；（3）是否存在实数m ，n ，使得函数y =2x +log 3f(x 2)的定义域为[m, n]，值域为[4m, 4n]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，则说明理由．【答案】g(mx 2+2x +m)的定义域为R ，mx 2+2x +m >0恒成立，m ＝0时，不成立，当m 不等于0时，m >0，且△＝4−4m 2<0，即m >1． 令t ＝f(x)，当x ∈[−1, 1]，t ∈[13,3]，则函数y ＝[f(x)]2−2af(x)+3＝t 2−2at +3，当a ≤13，t =13时，ℎ(a)=28−6a 9，当a ≥3，t ＝3时，ℎ(a)＝9−6a +3＝12−6a ，当13<a <3，t ＝a 时，ℎ(a)＝3−a 2，所以ℎ(a)={28−6a 9,a ≤133−a 2,13<a <312−6a,a ≥3 ．函数y =2x +log 3f(x 2)=2x −x 2＝−(x −1)2+1，且最大值为1，故4n ≤1，n ≤14，已知定义域为[m, n]，值域为[4m, 4n]，当m ≤n ≤14，函数y(x)在[−∞, 1]递增，又y(m)＝2m −m 2＝4m ，y(n)＝2n −n 2＝4n ，所以m ＝−2，n ＝0，故存在m ＝−2，n ＝0，满足题意．【考点】函数的最值及其几何意义函数的定义域及其求法【解析】（1）g(mx 2+2x +m)的定义域为R ，mx 2+2x +m >0恒成立，解恒成立问题即可； （2）令t ＝f(x)，当x ∈[−1, 1]，t ∈[13,3]，则函数y ＝[f(x)]2−2af(x)+3＝t 2−2at +3，最小值ℎ(a)，分段讨论即可；（3）函数y =2x +log 3f(x 2)=2x −x 2＝−(x −1)2+1，且最大值为1，故4n ≤1，n ≤14，当m ≤n ≤14，函数y(x)在[−∞, 1]递增，代入求出即可．【解答】g(mx 2+2x +m)的定义域为R ，mx 2+2x +m >0恒成立，m ＝0时，不成立，当m 不等于0时，m >0，且△＝4−4m 2<0，即m >1． 令t ＝f(x)，当x ∈[−1, 1]，t ∈[13,3]，则函数y ＝[f(x)]2−2af(x)+3＝t 2−2at +3，当a ≤13，t =13时，ℎ(a)=28−6a 9，当a ≥3，t ＝3时，ℎ(a)＝9−6a +3＝12−6a ，当13<a <3，t ＝a 时，ℎ(a)＝3−a 2，所以ℎ(a)={28−6a 9,a ≤133−a 2,13<a <312−6a,a ≥3． 函数y =2x +log 3f(x 2)=2x −x 2＝−(x −1)2+1，且最大值为1，故4n ≤1，n ≤14， 已知定义域为[m, n]，值域为[4m, 4n]，当m ≤n ≤14，函数y(x)在[−∞, 1]递增，又y(m)＝2m −m 2＝4m ，y(n)＝2n −n 2＝4n ，所以m ＝−2，n ＝0，故存在m ＝−2，n ＝0，满足题意．已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x +5)>0，即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x >0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0，得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0．即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0，即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立，当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立，当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4．(3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减，由题意得f(t)−f(t +1)≤1，即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−t t(t+1)，设1−t =r ，则0≤r ≤12，1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=r r 2−3r+2， 当r =0时，r r 2−3r+2=0，当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r −3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减，∴ r +2r ≥12+4=92，∴ r r 2−3r+2=1r+2r −3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．【考点】指、对数不等式的解法函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x +5)>0，即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x >0， 则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0，即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2． 综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4．(3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1，即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−t t(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12，1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=r r 2−3r+2， 当r =0时，r r 2−3r+2=0，当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r −3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减，∴ r +2r ≥12+4=92，∴ r r 2−3r+2=1r+2r −3≤192−3=23，∴实数a的取值范围是a≥2．3。
安徽省安庆市2014-2021学年高一下学期期末数学试卷(a卷) Word版含解析
安徽省安庆市2022-2021学年高一下学期期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在面的表格内.1．（5分）直线的倾斜角为（）A．B．C．D ．2．（5分）数列1，2，1，2，…的通项公式不行能为（）A．B．C．D．3．（5分）已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D ．4．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．1895．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（）A．16πB．14πC．12πD．8π6．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值7．（5分）若点P（x，y）的坐标x，y 满足约束条件：，则的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．118．（5分）已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的很多条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．3B．2C．1D．09．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D ．10．（5分）若点和都在直线l：x+y=1上，又点P 和点，则（）A．点P和Q都不在直线l上B．点P和Q都在直线l上C．点P在直线l上且Q不在直线l上D．点P不在直线l上且Q在直线l上11．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B ．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形12．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是，，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ=﹣，求得θ值，即为所求．解答：解：直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ=﹣，∴θ=，故选C．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到tanθ=﹣，是解题的关键．2．（5分）数列1，2，1，2，…的通项公式不行能为（）A．B．C．D．考点：梅涅劳斯定理；数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：对n分为奇数偶数争辩即可推断出．解答：解：A．当n 为奇数时，=1，当n为偶数时，a n ==2，因此正确；B．当n为奇数时，a n ==2，因此不正确；C．当n为奇数时，a n ==1，当n为偶数时，a n ==2，因此正确；D．当n为奇数时，a n ==1，当n为偶数时，a n ==2，因此正确．故选：B．点评：本题考查了数列的通项公式，考查了分类争辩与计算力量，属于基础题．3．（5分）已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D ．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：给实数a，b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3，b=1，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立．解答：解：∵实数a，b满足a＜0＜b，若a=﹣3，b=1，则A、B、D都不成立，只有C成立，故选C．点评：此题是基础题．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简洁有效的方法．4．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：依据等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，依据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．解答：解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84 故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能娴熟机敏的应用．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（）A．16πB．14πC．12πD．8π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，据此可得出这个几何体的表面积．解答：解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的．球的半径R=2，这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积．S=×4πR2+πR2=16π故选A．点评：本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算力量，空间想象力量，三视图复原几何体是解题的关键．6．（5分）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣2y=0 即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．点评：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．7．（5分）若点P（x，y）的坐标x，y 满足约束条件：，则的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．11考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z 的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=，得y=x ﹣z，平移直线y=x ﹣z，由图象可知当直线y=x ﹣z，经过C时，直线y=x的截距最小，此时z最大．由，得，即C（5，1）将C代入目标函数z=得z==．即z 的最大值为．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．8．（5分）已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的很多条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：平面与平面垂直的性质．专题：阅读型．分析：为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中相互垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD即可．解答：解：考察正方体中相互垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD．对于①：一个平面内的已知直线不肯定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中A1B与AB不垂直；对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的很多条直线；这肯定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，全部与BC平行直线都与它垂直；对于③：一个平面内的任一条直线不肯定垂直于另一个平面；如图中：A1B；对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不肯定垂直于另一个平面，如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直的选择题可以在一个正方体模型中甄别，而不必每个选项分别构造一个图形，广东卷07文6、08文7理5、09文6理5等莫不如此．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D ．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．D1（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，1，1）．∴=（0，﹣1，1），=（﹣1，0，1）．∴===．∴直线A1D与C1E 所成角的余弦值是．故选：D．点评：本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的夹角方法，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．10．（5分）若点和都在直线l：x+y=1上，又点P 和点，则（）A．点P和Q都不在直线l上B．点P和Q都在直线l上C．点P在直线l上且Q不在直线l上D．点P不在直线l上且Q在直线l上考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：点和都在直线l：x+y=1上，可得，b+=1，可得c+=1，即可推断出点P，Q与l的位置关系．解答：解：∵点和都在直线l：x+y=1上，∴，b+=1，∴=1，化为c+=1，∴点P 和点都在直线l上．故选：B．点评：本题考查了点与直线的位置关系，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．11．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形考点：三角形的外形推断．专题：计算题．分析：由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求解答：解：∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜si nBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：A点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．12．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是，，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．14．（5分）已知等差数列{a n}，满足a3=1，a8=6，则此数列的前10项的和S10=35．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由已知条件可得数列的首项和公差，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得数列{a n}的公差d==1，故可得a1=a3﹣2d=1﹣2×1=﹣1，代入求和公式可得S10=10×（﹣1）+=35故答案为：35点评：本题考查等差数列的前n项和，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）直线x+y=1与直线2x+2y+m2+2=0间距离的最小值为．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用两平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．解答：解：直线2x+2y+m2+2=0化为x+y+=0，∴两平行线之间的距离d===．当m=0时取等号．故最小值为：．故答案为：．点评：本题考查了两平行线之间的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．16．（5分）在正四周体ABCD中，有如下四个命题：①AB⊥CD；②该四周体外接球的半径与内切球半径之比为2：1；③分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H并顺次连结所得四边形是正方形；④三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分．则其中为真命题的序号为①③④．（填上你认为是真命题的全部序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：①利用正四周体的定义和三垂线定理推断正误即可；②设正四周体ABCD的边长为a，其外接球的半径为R，内切切的半径为r，由正四周体放到正方体中，正方体的体对角线即为外接球的直径，以及通过体积分割，运用棱锥的体积公式可得内切球的条件，求出结果推断正误即可；③由中位线定理和正四周体的性质：对角线相互垂直，即可推断；④利用③的结论和正方形的对角线垂直平分，推断正误即可．解答：解：对于①，由正四周体的定义可得，A在底面BCD的射影为底面的中心，由三垂线定理可得AB⊥CD ，所以①正确；对于②，设正四周体ABCD的边长为a ，其外接球的半径为R ，内切切的半径为r，则正四周体的边长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有2R=a=a；由内切球的球心与正四周体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得•a2•a=4••a2•r，解得r=a，即有R：r=3：1，所以②不正确；对于③，由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，且GH∥AC，GH=AC，即有四边形EFGH为平行四边形，又由正四周体的性质可得AC⊥BD，即有四边形EFGH为正方形，所以③正确；对于④，由③可得正方形EFGH对角线交于一点且平分，同理对棱AC，BD和对棱AB，CD的中点连线也相互平分，则三组对棱中点的连线段交于一点并被该点平分，所以④正确．故答案为：①③④点评：本题考查正四周体的性质和内切球与外接球的半径的关系，考查直线与直线的位置关系，考查推理和推断力量，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.17．（10分）已知点A（﹣3，﹣1）和点B（5，5）．（Ⅰ）求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆C的标准方程．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（Ⅰ）求出过点A且与直线AB 垂直的直线l的斜率，依据点斜式得直线l的方程，整理得直线l 的一般式方程；（Ⅱ）确定圆心坐标与半径，即可求以线段AB为直径的圆C的标准方程．解答：解：（Ⅰ）由条件知，则依据点斜式得直线l 的方程为，整理得直线l的一般式方程为4x+3y+15=0．…（5分）（Ⅱ）由题意得C（1，2），故以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．…（10分）点评：本题考查直线与圆的方程，考查同学的计算力量，比较基础．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）依据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后依据三角形的面积公式求出答案．解答：解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab ，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理等学问．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．19．（12分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==＜r=3，由此能求出a＞或a ＜﹣．（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．解答：解：（1）圆C：x2+y2=9的圆心C（0，0），半径r=3，圆心C（0，0）到直线a x﹣y+5=0的距离d==，∵线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B，∴d＜r，∴，解得a ＞或a ＜﹣．（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，∵k PC=﹣，∴﹣，解得a=2，∵a=2符合a ＞或a ＜﹣，∴存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的推断与求法，解题时要留意直线与圆的位置关系的合理运用．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米∵DN：AN=DC：AM，∴AM=，…（2分）∴S AMPN=AN•AM=．由S AMPN＞32，得＞32，又x＞0，得3x2﹣20x+12＞0，解得：0＜x＜1或x＞4，即DN长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．…（6分）（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y==3x++12≥2+12=24…（10分）当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）点评：本题考查依据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21．（12分）某家居装饰设计的外形是如图所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中，∠ACB=90°，BCC1B1是边长为2（单位：米）的正方形，AC=1，点D为棱AA1上的动点．（Ⅰ）现需要对该装饰品的表面进行涂漆处理，假设每平方米的油漆费是40元，则需油漆费多少元？（提示：，结果保留到整数位）（Ⅱ）当点D为何位置时，CD⊥平面B1C1D？考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AC⊥BC．AA1⊥BC．然后证明BC⊥平面ACC1A1．求出直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积，即可求解需油漆费．（Ⅱ）当点D为AA1的中点时，CD⊥平面B1C1D．当CD⊥C1D时，有CD⊥平面B1C1D，求出AD，推出结果即可．解答：（本题满分12分）解：（Ⅰ）由于BCC1B1是边长为2的正方形，所以BC=CC1=AA1=2．由于∠ACB=90°，所以AC⊥BC．又易知AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC．又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面ACC1A1．又AC=1，所以直三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为（平方米）．则需油漆费（元）．…（6分）（Ⅱ）当点D为AA1的中点时，CD⊥平面B1C1D．证明如下：由（Ⅰ）得BC⊥平面ACC1A1．又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面ACC1A1．所以B1C1⊥CD．故当CD⊥C1D时，有CD⊥平面B1C1D，且此时有△C1A1D∽△DAC．设AD=x ，则，即，解得x=1．此时，即当点D为AA1的中点时，CD⊥平面B1C1D．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直推断的应用，几何体的表面积的求法，考查计算力量．22．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，所以：a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．所以：解得：a1=1所以：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1证明：（2）已知①②①﹣②得：==所以：由于n≥1所以：＜6点评：本题考查的学问要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．。
【优质文档】人教A版2019-2020学年安徽省滁州市民办高中高一(上)期末数学试卷含解析
g（ x）的对称中心坐标．
解：∵函数 y＝ f （ x﹣ 1）是定义在 R上的奇函数
其图象关于原点对称
∴函数 y＝ f （ x）的图象，由函数 y＝ f （ x﹣ 1）的图象向左平移一个单位得到
∴函数 y＝ f （ x）的图象关于（﹣ 1， 0）点对称
又∵函数 y＝ g（ x）的图象与函数 y＝ f （ x）的图象关于直线 x﹣ y＝ 0 对称
则不等式 f （
x）＜ 0 的解集是（
）
A．（ 0， ）
B．（ ， 1）∪（ 2， +∞）
C．（ ， +∞）
D．（ 0， ）∪（ 2， +∞）
【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质， 将不等式进行转化， 即可求出不等式的解集．
解：∵函数 y＝ f （ x）是定义在 R 上的奇函数，在（ 0， +∞）上是增函数，且 f （ ）＝ 0， ∴在（﹣∞， 0）上是增函数，且 f （﹣ ）＝ 0，
﹣ 1，
故 2α＝
，∴α＝
， tan α＝﹣ 1．
故选： A．
2．已知函数 f （x）和 g（ x）均为奇函数， h（ x）＝ af （ x） +bg（ x）+2 在区间（ 0， +∞）
上有最大值 5，那么 h（x）在（﹣∞， 0）上的最小值为（
）
A．﹣ 5
B．﹣ 1
C．﹣ 3
D．5
【分析】根据函数奇偶性的性质，建立方程关系即可得到结论．
解：令 F（ x）＝ h（ x）﹣ 2＝ af （ x） +bg（ x），
则 F（ x）为奇函数．
∵ x∈（ 0， +∞）时， h（ x）≤ 5，
∴ x∈（ 0， +∞）时， F（ x）＝ h（ x）﹣ 2≤ 3．
2024-2025学年高一数学上学期期末模拟卷02(测试范围：人教A版2019必修第一册)(考试版)
2024-2025学年高一数学上学期末模拟卷02（人教A版2019）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册。
5．难度系数：0.6。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
． ．．．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，秒时相对于平衡位置的高度h 确定，其中0A >，0w >，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2时，若小球有且只有三次到达最高点，则[0t Î时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
14．已知函数()12423x x f x m m +=-×+-，若()f x 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数m 的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合{}210,A x ax x a =Î--=ÎRR ∣．(1)若2a =，写出集合A 的所有子集；(2)若集合A 中仅含有一个元素，求实数a 的值．16．（15分）。
安徽省安庆市第二中学2023-2024学年高一上学期入学检测数学试卷
安徽省安庆市第二中学2023-2024学年高一上学期入学检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题7．关于x 的方程220ax bx c --=有两个不相等的正实数根.则（ ）A ．0ab >B ．0bc >C ．280b ac +>D ．0ac >8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0abc >B ．()220a cb +-=C ．940a c +<D ．若m 为任意实数，则224am bm b a++³五、解答题13．已知不等式2430ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，其中1b >．(1)求实数a ，b的值；(2)当R c Î时，解关于x 的不等式2()0ax c b x bc -++£（用c 表示）．14．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）；②当以C，D，E为顶点的三角形与ABCV相似时，求m的值．(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =， 故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】 （1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。