绝对值与相反数(基础)知识讲解
绝对值与相反数(基础)
【学习目标】
1.借助数轴理解绝对值和相反数的概念;
2.知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系;
3.会求一个数的绝对值和相反数,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4.通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
【要点梳理】
要点一、相反数
1.定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地,0的相反数是0.
要点诠释:
(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同.
(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉.
(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数.
(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质:
(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).
(2)互为相反数的两数和为0.
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释:
(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5.
(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.
要点三、绝对值
1.定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值,例如+2的绝对值等于2,记作|+2|=2;-3的绝对值等于3,记作|-3|=3.
要点诠释:
(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a 都有:
(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小.
(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.
2.性质:
(0)||0(0)(0)a a a a a a >??==??-
(1)0除外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数.
(2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等.
(3)绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0.
要点四、有理数的大小比较 1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a <b .
2.法则比较法:
两数同号
同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号
正数大于负数 -数为0 正数与0:正数大于0
负数与0:负数小于0
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小:
(3)判定两数的大小.
3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a-b >0,则a >b ;若a-b =0,则a =b ;若a-b <0,a <b ;反之成立.
4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b
<,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反.
5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1.(2016?益阳)的相反数是( )
A .2016
B .﹣2016
C .
D .
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”,所以只要将原数的符号变为相反的符号,即可求出其相反数.
【答案】C
【解析】解:∵﹣
与只有符号不同,
∴﹣的相反数是. 故选:C .
【总结升华】求一个数的相反数,只改变这个数的符号,其他部分都不变.
举一反三:
【变式】(2015?天水)若a 与1互为相反数,则|a+1|等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
类型二、多重符号的化简
2.(2014秋?本溪校级月考)化简:
(1)﹣{+[﹣(+3)]};
(2)﹣{﹣[﹣(﹣|﹣3|)]}.
【答案与解析】
解:(1)原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3;
(2)原式=﹣{﹣[﹣(﹣3)]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3.
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负号.若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负.
类型三、绝对值的概念
3.求下列各数的绝对值.
112-,-0.3,0,132??-- ???
【思路点拨】1
12,-0.3,0,132??-- ???在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字
就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.
【答案与解析】
方法1:因为112-到原点距离是112
个单位长度,所以111122-=. 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|-0.3|=0.3.
因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|=0.
因为132?
?-- ???到原点的距离是132个单位长度,所以113322??--= ???
. 方法2:因为1102-<,所以111111222??-=--= ???
. 因为-0.3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.
因为0的绝对值是它本身,所以|0|=0
因为1302?
?--> ???,所以113322
??--= ??? 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零.从而求出该数的绝对值.
类型四、比较大小
4.比较下列有理数大小: (1)-1和0; (2)-2和|-3| ; (3)13??-- ???和12
- ; (4)1--______0.1-- 【答案】
(1)0大于负数,即-1<0;
(2)先化简|-3|=3,负数小于正数,所以-2<3,即-2<|-3|;
(3)先化简1133??
--= ???,1122-=,1123>,即1132??--<- ???
. (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>,所以10.1-<-,即1--<0.1--
【解析】(2)、(3)、(4)先化简,再运用有理数大小比较法则.
【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断. 举一反三:
【变式】比大小:
6
53-______763- ; -|-3.2|______-(+3.2); 0.0001______-1000; 1.38-______-1.384; -π______-3.14.
【答案】>;=;>;>;<
类型五、绝对值非负性的应用
5.已知|2-m|+|n-3|=0,试求m-2n 的值.
【思路点拨】由|a |≥0即绝对值的非负性可知,|2-m |≥0,|n-3|≥0,而它们的和为0.所以|2-m |=0,|n-3|=0.因此,2-m =0,n-3=0,所以m =2,n =3.
【答案】
解:因为|2-m|+|n-3|=0
且|2-m|≥0,|n-3|≥0
所以|2-m|=0,|n-3|=0
即2-m =0,n-3=0
所以m =2,n =3
故m-2n =2-2×3=-4.
【解析】由|a|≥0即绝对值的非负性可知,|2-m|≥0,|n-3|≥0,而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此,2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0时,则a=b=…=m=0.
类型六、绝对值的实际应用
6.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,
用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.
【答案】因为|+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大.【总结升华】绝对值越小,越接近标准.
【变式】某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0.002L的
误差.现抽查6瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记
作负数.检查结果如下表:
+0.0018 -0.0023 +0.0025
-0.0015 +0.0012 +0.0010
请用绝对值知识说明:
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶,分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012,+0.0010的这四瓶
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量.