函数及其表示典型例题及详细解答

1．函数与映射

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

4．常见函数定义域的求法

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )

(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )

1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x

答案 C

解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，

故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1

(log 2x )2－1

的定义域为( )

A.⎝⎛⎭

⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，1

2∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，1

2∪[2，＋∞) 答案 C

解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩

⎪⎨⎪⎧

x >0，

(log 2x )2－1>0，

解得x >2或0

2

.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1＋log 2(2－x )，x ＜1，

2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 答案 C

解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2

2log 121

－＝2

2log 12

×2－1＝12×1

2

＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.

4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

答案 B

解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函

数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.

题型一 函数的概念

例1 有以下判断：

①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③

解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |

x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧

1 (x ≥0)－1 (x <0)

的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.

思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．

(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()

A．y＝x－1与y＝(x－1)2

B．y＝x－1与y＝x－1 x－1

C．y＝4lg x与y＝2lg x2

D．y＝lg x－2与y＝lg x

100

(2)下列所给图象是函数图象的个数为()