抽象函数求值高中数学高考

二、求值问题

例1. 对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：

,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,

得：f(0)=0, ∴f(1)=2

1,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即

例2. 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1

解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1

即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.

例3、已知偶函数()f x 对任意,x y 恒有()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，求

()()0,1f f 的值.

解：取0x y ==，得()()()00001f f f +=++，得()01f =-. 取1x y =-=，得()()()111121f f f -=+--+， 又()f x 为偶函数，则()()0211f f =-，故()10f =.

评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.

例4.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，

x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）

（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.

例5. 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。 分析：在条件

f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得

f f f f ()()()()844244=+==，

∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1

例 6. 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，

f ()11997=，求f (2001)的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是

f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()

()

()()

()+=++-+=+

+--

+-=-412121111111

所以f x f x f x ()()

()+=-

+=81

4,故f x ()是以8为周期的周期函数，从而 f f f (2001)()()=⨯+==8250111997

变式训练：

1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2

，则f = （12

）

2.的值是则

且如果)

2001(f )

2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。2000 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= .( ()2n

f n =,原式

=16)

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C

A.-1

B.1

C. 19

D. 43

4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）

7

1

)71

(7)1(,,3)73(,2)72()7

2(21)272

0()71(,)71()2(21)],1([)1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522==∴===∴

=+

===-++-=+

=+-==∴=b f b f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a

a a f a f a f ΛΘ同理则设可解得又、 A . 2005 B. 2 C.1 D.0

5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ） A ）18 B ）116

C ）8

D ）16

的值

求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)7

1

()2()1()

()()1()2

(,

,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<

7、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得

，

对任何x 和y ，

成立。求：

（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （0）＝1且f （x ）

＞0。

解：（1）令y ＝0代入

，则

，∴

。若f （x ）＝0，则对任意

，有

，这与题设

矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。 （2）令y ＝x ≠0，则

，又由（1）知f （x ）≠0，∴f

（2x ）＞0，即f （x ）＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。