“梁慧冰：现代控制理论基础”5线性定常系统的综合
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王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第5章课件讲解
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
rank I ( A BHC)
B rank I A
B
可见，输出反馈不改变系统的能控性。 5.4.2 输出反馈系统极点配置的局限性 设系统方程为
x Ax bu
其中，x —— n维；
y Cx
u —— 标量；
y —— m维。
引入输出反馈： 得到：
u V Hy
uA KAu
2. 计算状态反馈矩阵
QC b
Ab
0 10 0 A2b 0 10 110 10 100 990
rankQC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K0 K1 K2 4 1.2 0.1 状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 TF ）。 经过结构变换成（d）图所示的状态图
I BH 因为不论H为何种常值矩阵，矩阵 均为满秩，所以 0 I
I ( A BHC ) I A rank rank C C
可见，输出反馈不改变系统的能观性。 定理5-3 对于任意常值反馈矩阵H，输出反馈不改变系统的能控性。 证明： 设系统方程为
状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
《现代控制理论基础》梁慧冰 孙炳达 绪论修改
（4）现代控制理论的优点（相对于经典控制）： ） 相对于经典控制）：
既适合线性定常系统， 既适合线性定常系统，也适合非线性及系统 既适合SISO系统，也适合MIMO(多输入多输 既适合SISO系统，也适合MIMO(多输入多输 SISO系统 MIMO( 出)系统 既适合确定性的系统，也适合随机系统 既适合确定性的系统， 考虑了初始条件， 考虑了初始条件，系统状态可以由初始条件 和输入来刻划 分析综合方法， 分析综合方法，可实现最优控制
1932年奈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究 奈奎斯特（ 奈奎斯特 ） 系统的频率响应法 频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态 频率响应法 准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。 1948年伊文斯（W.R.Ewans）提出了复数域内研 伊文斯（ 伊文斯 ） 究系统的根轨迹法 根轨迹法。 根轨迹法 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊文斯的根轨迹 法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论（或自 经典（ 经典 古典）控制理论（ 动控制理论）。 动控制理论）。
（3）现代控制理论的产生和发展 ）
在二十世纪五十年代末开始， 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速 发展，推动了核能技术、空间技术的发展， 发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出 现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统 现了对多输入多输出系统、 的分析与设计问题的解决需求。 的分析与设计问题的解决需求。 越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任， 越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任， 年代末60年代初出现了现代控制理论 于50年代末 年代初出现了现代控制理论，是建立 年代末 年代初出现了现代控制理论， 在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。 在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。
《现代控制理论基础》课件第5章
1
0 k0
k1
k2
0
0
1
0 2 3 1
k0 2 k1 3 s k2
状态反馈系统特征方程为
sI (A bK) s3 (3 k2)s2 (2 k1)s k0 0
期望闭环极点对应的系统特征方程为
(s 2)(s 1 j)(s 1 j) s3 4s2 6s 4 0
根据两特征方程同幂项系数应相同的原则，可得k0=4， k1=4，k2=1，即系统反馈阵K=［4 4 1］，将系统闭环极点 配置在－2，－1±j。
期望的特征多项式为 (s+1)(s+2)=s2+3s+2
比较对应项系数，可得
K k1 k2 4 1
经典控制中采用输出反馈方案，由于其可调参数有限， 只能影响特征方程的部分系数，比如根轨迹法仅能在根轨迹 上选择极点，它们往往作不到任意配置极点；而状态反馈的 待选参数多，如果系统能控，特征方程的全部n个系数都可 独立任意设置，便获得了任意配置闭环极点的效果。一般K 阵元素越大，闭环极点离虚轴越远，频带越宽，响应速度越 快，但稳态抗干扰能力越差。
(5-6)
K [k0 k1
kn 1 ]
u V Kx
(5-7) (5-8)
可求出引入状态反馈后状态空间方程为
x ( A bK )x bV
y
Cx
式中
0
0
A bK
0
a0 k0
1 0
0 a1 k1
0 1
0 a2 k2
0
0
1
an1 kn1
(5-9) (5-10)
系统 (AbK, B,C) 仍为能控标准形，故引入状态反馈后，
5.1.1 状态反馈 设被控系统的动态方程为
现代控制理论基础课件第五章书上第六章资料
3）使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制 一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。 在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
4）使系统的输出 y(t) 无静差地跟踪一个外部信号y0 (t) 作为性 能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
（4）讨论-3
u 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x 和控制 的
或
Gcf (s) (I FG (s))1G(s)
（6－10） （6－11） （6－12）
输出反馈也可以通过 F 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 FC K 的解不 存在。
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性
定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 Σ f 能控的充分必 要条件是：Σ 是能控的。但可能改变系统的能观性。
y Cx
( 6－1) ( 6—2) ( 6—3) ( 6—4)
带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为
G f (s) C(sI ( A－BK ))1 B
G f (s) 是 q p 阵。
( 6—5)
原系统的性能主要由 A 的特征值（系统的极点）决定，状态
反馈系统的极点是 A－BK 的特征值，有可能通过的选择 K 来任
（4）讨论
（4）讨论-1
• 综合问题应该考虑到三个方面的问题：
1)抗外部干扰问题；
2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；
3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑
工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u ；而对设计，
则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选
现代控制理论-系统综合分析
1 b1 X 0 u 1
能控否
SISO结论
能控
c 2 X
能控否
不能控
1 系统的能控性,取决于状态方程中的系数矩阵A和控制矩阵B;
2 在A为对角线矩阵的情况下, 若B中的元素有为0的, 则与之对应 的状态不可控, 则状态不完全能控, 简称不能控
3 在A为约当标准型矩阵的情况下, 前一个状态总是受下一个状
1 0 a1
0 0 1 0 u ，判别系统的能控性。 a 2 1
解；计算 M
0 0 1 可得 B 0 ; AB 1 ; A2 B a 2 2 1 a2 a1 a 2
1
1 1 1 1 1 1
m 1 m
1 m 1 m
m 1
n
几个具体的例子 [1]
1 X
b2 bm1 0 0 X
电气工程学院
化任意状态空间表达式为能控标准型
参见P.489 sec7
给定 ; [ A, B ,C ], 若系统能控 即 M满秩 可以找到一个非奇异变 换阵
Q n n , 使 X' QX 而将其化成能控标准型 X AX Bu X ' A' X ' B' u X ' QX 即 y CX y C' X '
能控性研究的是 u对 x的控制能力, 模型上只涉及状态方程 X AX Bu
1; 如果存在一个分段连续 的控制作用 u( t ), 在有限时间 [ t0 ,t f ]内,
《现代控制理论基础》梁慧冰 孙炳达 1. 线性系统的状态空间描述修改
2、内部描述 、
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、 由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能 方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、 方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、 误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律， 误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之 利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而 利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制， 可能处理复杂的时变、非线性、 系统的问题， 可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题， 系统的问题 但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。 但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是 需要用新的对系统内部进行描述的新方法： 需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间 分析法。 分析法。
系统的外部描述 ⇒ 传递函数 系统的内部描述 ⇒ 状态空间描述
3
1、外部描述 、
经典控制理论中， 经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域 内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程， 内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困 难的。 难的。 经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系 得到联系输入-输出关系的传递函数 输出关系的传递函数， 统，得到联系输入 输出关系的传递函数，基于传递函数 设计SISO系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分 系统极为有效， 设计 系统极为有效 可从传递函数的零点、 布得出系统定性特性， 布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计 至今仍得到广泛成功地应用。 法，至今仍得到广泛成功地应用。 但传递函数对系统是一种外部描述， 但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处 于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。 于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递 4 函数不能包含系统的所有信息。 函数不能包含系统的所有信息。
现代控制理论-系统综合
能源管理
利用控制系统优化能源消耗，降低生产成本，同时减 少对环境的影响。
过程控制
通过实时监测和调控工业过程中的各种参数，确保产 品质量和生产安全。
航空航天控制系统
01
02
03
飞行姿态控制
利用现代控制理论设计的 控制系统，确保飞行器在 各种飞行状态下保持稳定。
导航与制导
通过精确的导航和制导系 统，确保航天器和导弹的 准确发射与命中目标。
现代控制理论-系统综合
目录
• 引言 • 现代控制理论概述 • 系统综合方法 • 系统综合应用 • 结论与展望
01
引言
背景与意义
工业自动化的发展
随着工业自动化水平的提高，对 控制系统的性能要求也越来越高， 现代控制理论在系统综合中的应 用显得尤为重要。
技术进步的推动
随着计算机技术和通信技术的快 速发展，为现代控制理论的应用 提供了强大的技术支持，使得复 杂系统的控制成为可能。
输出反馈系统综合
总结词
通过输出反馈实现系统的近似最优控制。
详细描述
输出反馈是一种基于系统输出的控制策略，通过将系统的输出信息反馈给控制 器，实现对系统的近似最优控制。这种方法适用于对系统内部状态难以直接获 取的情况。
线性二次最优控制
总结词
通过二次优化目标函数实现系统的最 优控制。
详细描述
线性二次最优控制是一种基于二次优 化目标函数的控制策略，通过最小化 目标函数实现系统的最优控制。这种 方法适用于线性系统，且目标函数可 以自由选择。
鲁棒控制系统综合
总结词
考虑系统的不确定性，实现鲁棒控制系统的综合设计。
详细描述
鲁棒控制系统综合是一种考虑系统不确定性因素的控制策略，通过设计鲁棒控制器实现对不确定系统 的稳定控制。这种方法适用于具有不确定性和扰动的控制系统。
利用控制系统优化能源消耗，降低生产成本，同时减 少对环境的影响。
过程控制
通过实时监测和调控工业过程中的各种参数，确保产 品质量和生产安全。
航空航天控制系统
01
02
03
飞行姿态控制
利用现代控制理论设计的 控制系统，确保飞行器在 各种飞行状态下保持稳定。
导航与制导
通过精确的导航和制导系 统，确保航天器和导弹的 准确发射与命中目标。
现代控制理论-系统综合
目录
• 引言 • 现代控制理论概述 • 系统综合方法 • 系统综合应用 • 结论与展望
01
引言
背景与意义
工业自动化的发展
随着工业自动化水平的提高，对 控制系统的性能要求也越来越高， 现代控制理论在系统综合中的应 用显得尤为重要。
技术进步的推动
随着计算机技术和通信技术的快 速发展，为现代控制理论的应用 提供了强大的技术支持，使得复 杂系统的控制成为可能。
输出反馈系统综合
总结词
通过输出反馈实现系统的近似最优控制。
详细描述
输出反馈是一种基于系统输出的控制策略，通过将系统的输出信息反馈给控制 器，实现对系统的近似最优控制。这种方法适用于对系统内部状态难以直接获 取的情况。
线性二次最优控制
总结词
通过二次优化目标函数实现系统的最 优控制。
详细描述
线性二次最优控制是一种基于二次优 化目标函数的控制策略，通过最小化 目标函数实现系统的最优控制。这种 方法适用于线性系统，且目标函数可 以自由选择。
鲁棒控制系统综合
总结词
考虑系统的不确定性，实现鲁棒控制系统的综合设计。
详细描述
鲁棒控制系统综合是一种考虑系统不确定性因素的控制策略，通过设计鲁棒控制器实现对不确定系统 的稳定控制。这种方法适用于具有不确定性和扰动的控制系统。
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即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为 状态完全能观测。
25
能观测 标准II 型：
0 0 0 0
1 0 0
1
A
T 1 o2
ATo
2
0
1
0
2
,
0 0 1 n1
C CTo2 [0 0 1]
能观测标准型 下状态观测器 的系统矩阵：
0 0 0 1 0 0
(0 ke1 )
0
sI 2 Aˆ 22
sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) sI2 Aˆ 22
能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。 要求渐近稳定
20
5.4状态重构与状态观测器的设计
状态重构：
不是所有的系统状态物理上都能够直接测量
得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和 输出y来估计系统状态 。
状态观测器：
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
5
三、带状态观测器结构的控制系统
状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。
需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变
输出反馈系统状态空间描述为：
x yLeabharlann (A CxHC)
x
Bv
8
定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原
系统状态可观测。
定理证明方法1：若系统 (A, B,C) 状态可观测，则其对偶系统 (AT ,CT , BT ) 状态能控，根据状态反馈系统特性，对
偶系统矩阵 AT CT H T 特征值可以任意配置，而
k2
)
1
k1
1 k1 5 k2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f *( ) ( 2 4 j)( 2 4 j)( 10) 3 142 60 200
（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得：6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200 求得：k1 199, k2 55, k3 8
结论2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量， 所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反 馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。 古典控制中常采用的反馈形式。
12
5.3 带状态反馈系统的综合
一、系统的数学描述
状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送 到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
0 0 1 n1
C 0 0 1
9
引入反馈阵：H h0
能观测标准型下输出 到状态微分的反馈系 统矩阵：
h1 hn1T0
1
A HC 0
0
0 0 1
0
0 0 0 1
0 h0 1 h1
2 h2
n1 hn1
反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反馈系 统特征方程为：
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f () det[I (A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)由 f ( ) f *( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
1、闭环极点任意配置的条件
定理5-4：(极点配置定理) 对线性定常系统0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。
15
2、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时）
AT CT H T 的特征值和 AT CT HT T A HC一致。
所以，当且仅当 (A, B,C) 状态可观时，A HC 极点可任意配置
定理证明方法2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。
0 1 0
1 0 1
能观测标准II型：
A
T 1 o2
ATo2
0
1
0
0
1
2
,
第五章 线性定常系统的综合
1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
带输出反馈结构的控制系统 带状态反馈结构的控制系统 带状态观测器结构的控制系统 解耦控制系统
2
一、带输出反馈结构的控制系统
1、输出到系统输入端的反馈
将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考
输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
u B x x C y
0
A
g
B
xˆ
Ke
xˆ C yˆ
A
23
状态观测器的存在条件：
状态观测器能否起作用的关键：
观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构
原状态。
Lim( x xˆ ) 0
t
存在条件
存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐 近稳定的。
24
状态观测器极点配置条件和算法：
由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理： 定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，
Y (s)
C(sI
A)1 B
D
U(s)
G22
0
Gmm
7
5.2 带输出反馈系统的综合
一、反馈至输入矩阵B后端的系统
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。
v
x
B u
x C
y
A
H
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈控制规律：u Bv Hy
n1
CA
0
0 1 C
27
(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：
Ke ke1
ke 2
ken T 0 0
a1 a1
n1
n1
T
(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：
D
v
x
u
B
x
C y
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
13
状态反馈闭环系统：
x y
(A (C
BK )x DK )x
Bv Dv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵：K
k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
一、状态观测器的原理和构成 如果 x Ax Bu, y Cx 是状态完全能观测的，那么根据输出y的测 量，可以唯一地确定系统的初始状态 x0 ，而系统任意时刻的状态：
t
所以只要满足一x(定t) 的条(t件)x，0 即0 可(从t 可 )测Bu量( y)d和 u中把t x间0 接重构出来。
22
一、全维状态观测器的设计
定理证明：
按照能控性分解：Aˆ
Rc1 ARc
Aˆ 11
0
Aˆ 12 Aˆ 22
Bˆ
Rc1 B
Bˆ 1
0
引入状态反馈后，系统矩阵变为：Aˆ
Bˆ Kˆ
Aˆ 11
Bˆ 1kˆ1
0
Aˆ 12
Bˆ1kˆ2 Aˆ 22 19
闭环系统特征多项式为：
sI ( Aˆ Bˆ Kˆ ) sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) ( Aˆ12 Bˆ1kˆ2 )
状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控 制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现
的模拟动力学系统。
21
状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。 状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
(1
ke2 )
A－KeC 0 1
0
(2
ke3 )
0 0 1 (n1 ken)
与输出到状态微分的反馈相似。
26
状态观测器的设计步骤： 1、第二能观标准型法（维数较大时，n>3时，适合计算机求解）
(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。
(2)确定将原系统化为第二能观测标准型
该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
17
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0 0 0 1 0 0
f ( ) | I A BK | 0
0
0
0
1
0[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0
1
3
(6
k3
)2
(5
f ( ) I ( A HC ) n (an1 hn1 )n1 (a1 h1 ) (a0 h0 ) 0 由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。
结论：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的 零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化
25
能观测 标准II 型：
0 0 0 0
1 0 0
1
A
T 1 o2
ATo
2
0
1
0
2
,
0 0 1 n1
C CTo2 [0 0 1]
能观测标准型 下状态观测器 的系统矩阵：
0 0 0 1 0 0
(0 ke1 )
0
sI 2 Aˆ 22
sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) sI2 Aˆ 22
能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。 要求渐近稳定
20
5.4状态重构与状态观测器的设计
状态重构：
不是所有的系统状态物理上都能够直接测量
得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和 输出y来估计系统状态 。
状态观测器：
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
5
三、带状态观测器结构的控制系统
状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。
需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变
输出反馈系统状态空间描述为：
x yLeabharlann (A CxHC)
x
Bv
8
定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原
系统状态可观测。
定理证明方法1：若系统 (A, B,C) 状态可观测，则其对偶系统 (AT ,CT , BT ) 状态能控，根据状态反馈系统特性，对
偶系统矩阵 AT CT H T 特征值可以任意配置，而
k2
)
1
k1
1 k1 5 k2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f *( ) ( 2 4 j)( 2 4 j)( 10) 3 142 60 200
（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得：6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200 求得：k1 199, k2 55, k3 8
结论2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量， 所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反 馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。 古典控制中常采用的反馈形式。
12
5.3 带状态反馈系统的综合
一、系统的数学描述
状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送 到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
0 0 1 n1
C 0 0 1
9
引入反馈阵：H h0
能观测标准型下输出 到状态微分的反馈系 统矩阵：
h1 hn1T0
1
A HC 0
0
0 0 1
0
0 0 0 1
0 h0 1 h1
2 h2
n1 hn1
反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反馈系 统特征方程为：
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f () det[I (A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)由 f ( ) f *( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
1、闭环极点任意配置的条件
定理5-4：(极点配置定理) 对线性定常系统0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。
15
2、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时）
AT CT H T 的特征值和 AT CT HT T A HC一致。
所以，当且仅当 (A, B,C) 状态可观时，A HC 极点可任意配置
定理证明方法2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。
0 1 0
1 0 1
能观测标准II型：
A
T 1 o2
ATo2
0
1
0
0
1
2
,
第五章 线性定常系统的综合
1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
带输出反馈结构的控制系统 带状态反馈结构的控制系统 带状态观测器结构的控制系统 解耦控制系统
2
一、带输出反馈结构的控制系统
1、输出到系统输入端的反馈
将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考
输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
u B x x C y
0
A
g
B
xˆ
Ke
xˆ C yˆ
A
23
状态观测器的存在条件：
状态观测器能否起作用的关键：
观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构
原状态。
Lim( x xˆ ) 0
t
存在条件
存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐 近稳定的。
24
状态观测器极点配置条件和算法：
由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理： 定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，
Y (s)
C(sI
A)1 B
D
U(s)
G22
0
Gmm
7
5.2 带输出反馈系统的综合
一、反馈至输入矩阵B后端的系统
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。
v
x
B u
x C
y
A
H
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈控制规律：u Bv Hy
n1
CA
0
0 1 C
27
(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：
Ke ke1
ke 2
ken T 0 0
a1 a1
n1
n1
T
(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：
D
v
x
u
B
x
C y
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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状态反馈闭环系统：
x y
(A (C
BK )x DK )x
Bv Dv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵：K
k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
一、状态观测器的原理和构成 如果 x Ax Bu, y Cx 是状态完全能观测的，那么根据输出y的测 量，可以唯一地确定系统的初始状态 x0 ，而系统任意时刻的状态：
t
所以只要满足一x(定t) 的条(t件)x，0 即0 可(从t 可 )测Bu量( y)d和 u中把t x间0 接重构出来。
22
一、全维状态观测器的设计
定理证明：
按照能控性分解：Aˆ
Rc1 ARc
Aˆ 11
0
Aˆ 12 Aˆ 22
Bˆ
Rc1 B
Bˆ 1
0
引入状态反馈后，系统矩阵变为：Aˆ
Bˆ Kˆ
Aˆ 11
Bˆ 1kˆ1
0
Aˆ 12
Bˆ1kˆ2 Aˆ 22 19
闭环系统特征多项式为：
sI ( Aˆ Bˆ Kˆ ) sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) ( Aˆ12 Bˆ1kˆ2 )
状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控 制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现
的模拟动力学系统。
21
状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。 状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
(1
ke2 )
A－KeC 0 1
0
(2
ke3 )
0 0 1 (n1 ken)
与输出到状态微分的反馈相似。
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状态观测器的设计步骤： 1、第二能观标准型法（维数较大时，n>3时，适合计算机求解）
(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。
(2)确定将原系统化为第二能观测标准型
该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
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（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0 0 0 1 0 0
f ( ) | I A BK | 0
0
0
0
1
0[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0
1
3
(6
k3
)2
(5
f ( ) I ( A HC ) n (an1 hn1 )n1 (a1 h1 ) (a0 h0 ) 0 由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。
结论：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的 零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化