线性定常系统的求解
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第5章_线性定常系统的综合
一般控制作用规律常取反馈的形式。
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
《自动控制理论教学课件》第4章 线性定常系统的线性变换
第4章 线性定常系统的线性变换
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
线性定常连续系统状
, q k a k q k 1 a k k !q 0
q0=x(0)
○ 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t) 1a ta 2 2 !t2 ...a kk !tk . .x .(0 )eaxt(0 )
1. 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态
方程的解。
○ 为此,设其解为t的向量幂级数,即 ● x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
直接求解法 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及
解表达式的意义 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
输出方程的解 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目 录
一．直接求解法
○ 将状态方程x’=Ax+Bu移项,可得 ○ x’-Ax=Bu
将上式两边左乘以e-At,则有
线性定常连续系统状态方程的解 ❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分
析的主要方法。
❖ 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数 运算来描述的定系数常微分方程解理论。
❖ 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩 阵这一基本概念。
❖ 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变) 等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
四．对于n n阶的d 方e 阵A tA 和A Be ,A 下t 式e A 仅tA 当,AB =( BtA)时 才A 成(t立) (t)A d t ○ e(A+B)t=eAteBt
五．[Φ(t)]n=Φ(nt) 六．Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
线性定常连续系统的解(一)
e0tta?21321231adj12122111121222121212siassssssiasiassiassssssssss???????????????????????????????????????????????????解1首先求出矩阵指数函数eat其计算过程为例1试求如下状态方程在初始状态x0下的解0011232?????????????????xxx3状态方程的解为2024e3ete4e6ettattt???????????????xx??????????????????????????e?????????????2????????????ttttttttatsssssssslasil2222111e2ee2e2eee2221122122111211e2计算矩阵指数函数eat
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
线性系统的运动分析
e At Te AtT1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
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仿照指数函数
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
对矩阵A定义矩阵指数函数：
e At I At 1 ( At)2 1 ( At)k 1 ( At)k
2!
k!
k0 k!
性质
deAt AeAt , dt
eAt t0 I ,
若 AB BA ，则 eAteBt eBteAt e(AB)t
系统通过矩阵指数函数 eA(tt0 )，随着t的推移，从初始时刻的状态
点出发和各个时刻变换点构成了状态轨迹。
x(t0)
ห้องสมุดไป่ตู้
e A(tt0 )
x(t)
状态转移矩阵，用(t-t0)表示 x(t) (t t0 )x(t0 ), t t0
计算零输入响应的核心步骤是计算状态转移矩阵(t)!
状态转移矩阵的性质
线性系统运动的分解
x0=0
零输入响应
vs
零状态响应
x0u (t) (t)x0
取决于初始状态； 是初始状态引起的自由 运动；
t
x0x (t)
(t )Bu( )d
0
取决于输入u(t)； 输入驱动下的强迫运动；
状态转移矩阵的 求解
计算eAt的方法
➢ 直接计算级数 ➢ 应用拉普拉斯变换法计算 ➢ 应用凯莱-哈密顿定理计算 ➢ 特征值法
上式代入初始条件得到 c x(t0 )
其中 ea(tt0 ) 称为指数函数，
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
且有 deat a 1 a(at)
dt
1!
aeat
1 a(at)k1 (k 1)!
a
1 (at)k
k0 k !
矩阵指数函数
Ak ,k 0，是An1，，A，I 的线性组合。从而
e At 0 (t)I 1(t) A n1(t) An1
目标是求出 0 (t)，1(t)，，n1(t)
解：设解的形式为 x(t) e A(tt0 )c(t) ，代入方程求c(t),得到
c(t) x(t0)
t eA( t0 )Bu( )d
t0
从而
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
t eA(t )Bu( )d
t0
解的构成
t
x(t) (t t0)x(t0)
(t )Bu( )d
直接计算级数
(t) eAt I At 1 (At)2 1 (At)k
2!
k!
计算时只能取有限项，适用于用计算机求状态转移 矩阵的近似值。
应用拉普拉斯变换法计算
思想：L变换求(sI-A)-1后每个元反L变换！ 即 (t) L1[(sI A)1]
对系统 x Ax(t) ，初始时刻为t0=0, 初始状态为x(0)。
预备知识
标量一阶微分方程 x ax f (t), x( 0 ) 的 解形式为
x(t) eatc(t)
代原方程从而求得c(t)为
c(t) x(0) t ea f ( )d 0
矩阵微分
d (PQ) dP Q P dQ
dt dt
dt
求解
对系统
x Ax(t) Bu(t)
在初始时刻为t0，初始状态为x(t0)时，求解x(t)
t0
初始时刻为t0，初始状态为x(t0) 时,零输入响应对应的状态 x0u(t)
初始时刻为t0时,零状态 响应对应的状态x0x(t)
响应
零输入响应
零状态响应
u x Ax(t) Bu(t) x = u0 x Ax(t) Bu(t) x0u + u x Ax(t) Bu(t) x0x
x0
x0
零输入响应的形式
线性定常系统
x Ax(t)
初始时刻为t=t0，系统的初始状态为x(t0)时，系统的解为
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
证明：通解eA(t-t0)c 代入初始条件
即证。
状态转移矩阵
由方程解的形式看出，时刻t=ti的状态点x0u(ti)，几何上对应于状态
空间中由初始状态点x(t0)经线性变换 eA(ti t0 ) 导出的一个变换点。
的解。
x Ax, x(t0 )
零状态响应：线性系统的零状态响应x0x(t)定义为只有输入作
用即u(t)0, 而无初始状态作用即x(t0)=0时系统的状态响应。
即线性定常系统
的解。
x Ax Bu, x(t0 ) 0,t t0
预备知识
标量一阶微分方程 x ax, x(t0 ) 的解形为
x(t) ea(tt0 )c
（1）两边取拉普拉斯变换得到 X (s) (sI A)1 x(0)
（2）再取拉普拉斯反变换得到 x(t) L1[(sI A)1]x(0)
(s) (sI A)1和状态转移矩阵(t)构成了一个拉普拉斯变换对， 称为线性定常系统的预解矩阵。 (sI-A)总是非奇异的，所以(s)必定存在。
例1. 求矩阵A的状态转移矩阵 0 -1
在t=0的值 (0) I
对t的导数 (t) A(t)
逆
必然可逆，且 ((t))1 (t)
传递性 (t2 t1)(t1 t0 ) (t2 t0 )
与传递性相对应的
(t1 t2 ) (t1)(t2 )
乘积 [(t)]k (kt)
积分
A t e A d e At I 0
线性定常系统非 齐次方程的解
1
1
(s
1)
-
(s
1)2
(t )
L1[(sI
A)-1 ]
(1 t)et
tet
tet
(1
t
)et
应用凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理 设矩阵A的特征方程为 h(s) det(sI A) sn an1sn1 a1s a0
于是
h( A) An an1An1 a1A a0I 0
A 1 2
解：adj(sI
A)
s
1
2
1
s
,
sI
A
(s 1)2
s2
(sI
A)-1
(s
1)2
1
(
s
1)2
利用留定理
(s
1 1)2
s
(s 1)2
(sI
A)-1
(s
1 1)
+
(s
1 1)2
1
(s 1)2
利用 1
t k 1et
(s )k (k 1)!
1
(s 1)2
利用状态空间模型 求解线性定常系统
内容提纲
线性定常系统的零输入响应 线性定常系统非齐次方程的解 状态转移矩阵的求解 离散时间状态空间模型
线性定常系统的 零输入响应
零输入响应的定义
零输入响应：线性系统的零输入响应x0u(t)定义为只有初始作
用即x(t0)0, 而无输入作用即u(t)=0时系统的状态响应。 即线性定常系统齐次方程