第5章_线性定常系统的综合-现代控制理论
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现代控制理论
定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)
V (x) C
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
2) 算
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
《现代控制理论基础》第2版 现代控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等_PPT_第5章
① 定义 有理函数 g(s) 当s 时，
② g(假)设
常n数(s〔) d(s) g(s)〕， 就称为正那么有理函数。
③ g假( 设)那么有理函数。
④
假g(设) 〔 n(s)d(s)
g(〕s) ， 就是 非正那么有理函数。
有理函数阵 G (s) 假设G() 0 ，那G (s么) 是严格正那么有理函数阵〔其每个元均为
G (s) C (sI A )1BD
那么(称A,B,C,D) 是G (s) 的一个实现。
•实现研究的问题
⑴ G (s)可实现为 (A,B,C,D) 的条件问题 ⑵ G (s) 实现的方法
〔5－1〕
•最小实现
如果 (A,B,C,D)是G (s) 的一个实现，那么其所有等价系统也都是其 实现 。 G (s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实 现。它描述了系统的既能控又能观的局部。通常要求的实现 为最小实现。
s 1 s4 s(s1) (s1)s(3) (s1)s(3)
s
1
3
s(s 1 )s( 2 ) (s 1 )s( 2 )s( 3 ) s(s 1 )s( 2 )s( 3 )
G (s) 的特征多项式为：s(s1)s(2)s(3)，deG g(s)4。
⑵ G (s) 可实现为 (A,B,C,D) 的条件
③ 非正那么传递函数〔G() 〕，也存在实现，其实现具有
④ 如下形式
Ex(t)A(xt)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
〔5－9〕
式中 E为奇异阵。这种形式的系统称为广义系统，或奇异 系统。(本书不予讨论，在专门文献中研究)
5.2.2 最小实现的性质
如果将例〔5－5〕的传递函数阵写成
G ( s ) G 1 ( s )G 2 ( s )
现代控制理论5_可控可观
⎡ r11 ⎢ ⎢
L
r1p ⎤ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x&3 x&4
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
λ1 λ4
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
x3 x4
⎥ ⎥ ⎥
+
⎢ ⎢ ⎢
M
⎥
M
⎥u ⎥
⎢ ⎢ ⎢⎣
M x&n
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣
O
⎥⎢ ⎥⎢
M
⎥ ⎥
λn ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢⎣rn1
L
⎥ ⎥ rnp ⎥⎦
例1：
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣
C
A
n
−1
⎥ ⎦
或者
n为矩阵A的维数。
rank [V ] = rank ⎣⎡CT A T CT L ( A T )n−1 CT ⎦⎤ = n
例
⎡ ⎢ ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
A
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
Bu
y = Cx
(1)
A
=
⎡−2
⎢ ⎣
0
0⎤ −1⎥⎦ ,
B
=
⎥⎦
S是一个右下角三角阵，其对角线元素均为1， 故detS≠0，所以系统一定可控。
2.2 对角标准型的可控性判别
特征值互异
x& = Λx+Bu
⎡λ1 0 L 0 ⎤
Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L O
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢ ⎣
0
0
L
线性定常系统
输出信号 是指被控对象中要求按一定规律变 化的物理量，又称被控量，它与输入量之间保 持一定的函数关系。 反馈信号 由系统(或元件)输出端取出并反向送 回系统(或元件)输入端的信号称为反馈信号。 反馈有主反馈和 局部反馈之分。
偏差信号 它是指参考输入与主反馈信号之差。 误差信号 指系统输出量的实际值与期望值之 差，简称误差。 扰动信号 简称扰动或干扰，它与控制作用相 反，是一种不希望的、影响系统输出的不利因 素。扰动信号既可来自系统内部，又可来自系 统外部，前者称内部扰动，后者称外部扰动
如果一个系统具有下列性质： (1)输入x1(t)产生输出 y1(t)； (2)输入x2(t)产生输出y2(t) ； (3)输入c1x1(t)+c2x2(t)产生输出c1y1(t)+ c2y2(t) ； 其中，x1(t) 、x2(t) 是任意输入信号，c1、 c2是任意常数，则系统是线性系统。
220
u
E
电热丝 +
自动温控控制系统构成框图
期望温度 +
u
_
ub
ur
电压放大器
功率放大器
电机、减速器、 调压器
实际温度 炉子
热电偶
控制系统的组成
被控对象 测量元件
控制系统 比较元件 放大元件 执行机构 校正装置 给定元件
控制装置
典型的反馈控制系统的结构
名词术语
输入信号 也叫参考输入，给定量或给定值， 它是控制着输出 量变化规律的指令信号。
二、自动控制系统的构成
温控系统-人工控制
控制目标：要求炉子的温度恒定在期望的数 值上。 控制过程：
输入信号 （期望炉温） 脑 （计算、比较） 放大、执行 （手臂、手） 测量 （眼睛） 被控对象 （电热丝、炉子） 输出信号 （实际炉温）
现代控制理论课后习题答案
绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。
我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。
2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
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ur1
B D 1/s A
xn1
C
+ ym1
nm
G
若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC ) x Bu y Cx
记作： G A GC , B, C
WG ( s ) C sI ( A GC ) B
1
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
当n 1时，Qc1 Qc 2 , rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 2时，Qc1 B
AB I KB AB I 0
Qc 2 B ( A BK ) B B rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 3时 Qc1 B ， B
K k1 k2 kn f ( ) I ( A BK ) n an 1 n 1 a1 a0
③求出希望的闭环系统特征方程。
* * * f ( ) ( i* ) n an1 n1 a1 a0 * i 1 n
1 0 k1 A A BK k 0 2 1 1 k1 k 2 k1 2 k 2 k2 k2
f I A
1 k1
k1
2 3 k1 k 2 1 k1 2 k 2 k1k 2 2 3 k1 k 2 2 2k1 k 2
( 证明：设原系统为 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc1 B AB A2 B An 1B
状态反馈后系统 K A BK , B, C
Qc 2 B A BK ) B A BK ) 2 B A BK ) n 1 B
D
u v Hy
vr1
ur1
B
1/s A H
xn1
+
C
+
ym1
x Ax Bu y Cx Du
u v H (Cx Du ) v HCx HDu ( I HD ) 1 (v HCx )
rm
x A B( I HD)1 HC x B( I HD)1 v y C D( I HD)1 HC x D( I HD)1 v
K A BK , B, C
改变了系统的极点。
( （1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。
2 全维状态观测器
设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为
x Ax Bu y Cx
在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如 何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。
5.3 系统镇定问题
1 问题提出
5.3 系统镇定问题
3个定理
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
Ac xc xc 1 x A x B u A PAP 0 c c
引入状态反馈 K [ K1 , K 2 ]
现 代 控 制 理 论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
本章结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 状态观测器 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
n n, rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x x 1 u 0 3 y 1 1 x
C 1 1 rank rank 2n CA 1 5
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
vr1
B
1/s A
ym1
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
其中， v r 1
rm
H
H r m
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Kx
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
0 ：x Ax Bu y Cx Du
vr1
-
ym1
K ：x ( A BK ) x Bv y (C DK ) x Dv
rn
K
若D=0
K ：x ( A BK ) x Bv y Cx
1 2 0 x (A-BK )x Bv x 1 u 0 1 C 1 1 rank rank1 1 1 n C ( A BK )
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系 统零点相对消。 s 1 s 1 反馈后G f ( s) 原系统G0 ( s) ( s 1)( s 1) ( s 1)( s 3)
1
闭环系统传递函数为： Gk ( s ) C sI ( A BK ) B
比较开环系统 0 ( A, B, C ) 与闭环系统 ( A BK , B, C )
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可 通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统 获得所要求的性能。
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
2 采用状态反馈
ur1
vr1
B
1/s A
xn1
C
+
ym1
rn
K
0 ：A, B, C ) (
④计算K
an 1 , ,a1 ,a0 K k1 k2 kn
例题：已知线性定常连续系统的状态空间表达式为
0 1 0 x x 2 u 0 3 y 1 0 x
设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2， 并画出闭环系统的结构图。 解：先判断系统的能控性。
Qc 2 B ( A BK ) B ( A BK ) B
2
AB
2
A2 B
AB BKB
A B ABBK BKAB BKBKB KAB KBKB KB I
I BK B AB A2 B 0 I 0 0 rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
[解]： （1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面， 因此系统不是渐近稳定的。 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值 是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因 此该系统是状态反馈能镇定的。
（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。 此时，只能对能控部分进行极点配置。设 K k1 , k，对 2 能控部分进行极点配置。
2 k 2
k2
期望的特征多项式为：
f 2 j 2 2 j 2 2 4 8
由 f f 得：
3 k1 k 2 4 2 2 k1 k 2 8
解得：
k1 13 k 2 20
所以反馈阵为： K 13 20
5.4 状态观测器
5.5 状态观测器
1 问题提出 状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息，然 而，状态变量并不一定是系统的物理量，选择状态 变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一， 但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量 测；另一方面，有些状态变量即使可测，但所需传 感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题 正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的， 其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构 造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或 重构状态。
若D=0，状态空间表达式为
x ( A BHC ) x Bv y Cx
状态反馈：x ( A BK ) x Bv
如果
HC K
输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du x Ax Gy Bu y Cx Du x ( A GC ) x ( B GD)u y Cx Du
2 状态反馈
ur1
D B 1/s A
xn1
B D 1/s A
xn1
C
+ ym1
nm
G
若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC ) x Bu y Cx
记作： G A GC , B, C
WG ( s ) C sI ( A GC ) B
1
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
当n 1时，Qc1 Qc 2 , rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 2时，Qc1 B
AB I KB AB I 0
Qc 2 B ( A BK ) B B rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
当n 3时 Qc1 B ， B
K k1 k2 kn f ( ) I ( A BK ) n an 1 n 1 a1 a0
③求出希望的闭环系统特征方程。
* * * f ( ) ( i* ) n an1 n1 a1 a0 * i 1 n
1 0 k1 A A BK k 0 2 1 1 k1 k 2 k1 2 k 2 k2 k2
f I A
1 k1
k1
2 3 k1 k 2 1 k1 2 k 2 k1k 2 2 3 k1 k 2 2 2k1 k 2
( 证明：设原系统为 0 ：A, B, C ) ，是能控的。
Qc1 B AB A2 B An 1B
状态反馈后系统 K A BK , B, C
Qc 2 B A BK ) B A BK ) 2 B A BK ) n 1 B
D
u v Hy
vr1
ur1
B
1/s A H
xn1
+
C
+
ym1
x Ax Bu y Cx Du
u v H (Cx Du ) v HCx HDu ( I HD ) 1 (v HCx )
rm
x A B( I HD)1 HC x B( I HD)1 v y C D( I HD)1 HC x D( I HD)1 v
K A BK , B, C
改变了系统的极点。
( （1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：A, B, C ) 任意配置极 ( 点的充要条件是 0 ：A, B, C ) 完全能控。
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
（2）采用状态反馈的步骤： ①验证原系统的能控性。 ②定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程。
2 全维状态观测器
设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为
x Ax Bu y Cx
在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如 何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。
5.3 系统镇定问题
1 问题提出
5.3 系统镇定问题
3个定理
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
Ac xc xc 1 x A x B u A PAP 0 c c
引入状态反馈 K [ K1 , K 2 ]
现 代 控 制 理 论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
本章结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 状态观测器 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如 状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性等)。 而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。 在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
n n, rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x x 1 u 0 3 y 1 1 x
C 1 1 rank rank 2n CA 1 5
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
vr1
B
1/s A
ym1
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
其中， v r 1
rm
H
H r m
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Kx
ur1
D B 1/s A
xn1
+
C
0 ：x Ax Bu y Cx Du
vr1
-
ym1
K ：x ( A BK ) x Bv y (C DK ) x Dv
rn
K
若D=0
K ：x ( A BK ) x Bv y Cx
1 2 0 x (A-BK )x Bv x 1 u 0 1 C 1 1 rank rank1 1 1 n C ( A BK )
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系 统零点相对消。 s 1 s 1 反馈后G f ( s) 原系统G0 ( s) ( s 1)( s 1) ( s 1)( s 3)
1
闭环系统传递函数为： Gk ( s ) C sI ( A BK ) B
比较开环系统 0 ( A, B, C ) 与闭环系统 ( A BK , B, C )
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可 通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统 获得所要求的性能。
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
1 问题提出
2 采用状态反馈
ur1
vr1
B
1/s A
xn1
C
+
ym1
rn
K
0 ：A, B, C ) (
④计算K
an 1 , ,a1 ,a0 K k1 k2 kn
例题：已知线性定常连续系统的状态空间表达式为
0 1 0 x x 2 u 0 3 y 1 0 x
设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2， 并画出闭环系统的结构图。 解：先判断系统的能控性。
Qc 2 B ( A BK ) B ( A BK ) B
2
AB
2
A2 B
AB BKB
A B ABBK BKAB BKBKB KAB KBKB KB I
I BK B AB A2 B 0 I 0 0 rank(Qc 2 ) rank(Qc1 )
[解]： （1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面， 因此系统不是渐近稳定的。 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值 是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因 此该系统是状态反馈能镇定的。
（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。 此时，只能对能控部分进行极点配置。设 K k1 , k，对 2 能控部分进行极点配置。
2 k 2
k2
期望的特征多项式为：
f 2 j 2 2 j 2 2 4 8
由 f f 得：
3 k1 k 2 4 2 2 k1 k 2 8
解得：
k1 13 k 2 20
所以反馈阵为： K 13 20
5.4 状态观测器
5.5 状态观测器
1 问题提出 状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息，然 而，状态变量并不一定是系统的物理量，选择状态 变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一， 但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量 测；另一方面，有些状态变量即使可测，但所需传 感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题 正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的， 其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构 造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或 重构状态。
若D=0，状态空间表达式为
x ( A BHC ) x Bv y Cx
状态反馈：x ( A BK ) x Bv
如果
HC K
输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du x Ax Gy Bu y Cx Du x ( A GC ) x ( B GD)u y Cx Du
2 状态反馈
ur1
D B 1/s A
xn1