第5章线性定常系统的综合-现代控制理论1.ppt
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D
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 -
1/s
xn1
C
A
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
rm H
+
ym1
其中，v r 1
H rm
参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Hy
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
vr1 +
D
1/s
xn1
C
A
C rankC(A
BK)
1 rank1
1 1
1
n
状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系
统零点相对消。
原系统 G0
(s)
(s
s 1 1)(s
3)
反馈后G f
(s)
(s
s 1 1)(s 1)
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状 态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、 能观测性、稳定性等)。
而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur1
B
vr1 +
1/s
xn1
A
C
ym1
rn K
0 ：(A, B,C)
K A BK, B,C
改变了系统的极点。
（1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：(A, B,C)任意配置极 点的充要条件是 0 ：(A, B,C) 完全能控。
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
ur1
B
vr1 -
0 ：x Ax Bu
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
y Cx Du
rn K
把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减
形成控制律。
u v Kx
其中，v r 1
闭环系统传递函数为： Gk (s) CsI (A BK ) 1 B
比较开环系统 0 ( A, B, C) 与闭环系统 ( A BK, B,C)
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可
通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统
获得所要求的性能。
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为：
2)加入状态反馈增益阵： 可求得对 的闭环状态空间表达式：
（34） （35） （36）
式中 闭环特征多项式为： 闭环传递函数为：
（37）
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边 于是得：
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数： （39）
现代控制理论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
➢本章结构
✓ 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 ✓ 5.2 极点配置问题 ✓ 5.3 系统镇定问题 ✓ 5.4 状态观测器 ✓ 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
参考输入；
K r n
状态反馈系数阵
对单输入系统，K为n维行向量。
u v Biblioteka Baidux
ur1
B
0 ：x Ax Bu vr1 -
y Cx Du
D
1/s
xn1
C
A
+
ym1
K ：x (A BK)x Bv y (C DK)x Dv
rn
若D=0
K
K ：x (A BK)x Bv y Cx
KB
I
n n, rank(Qc2 ) rank(Qc1)
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x 0 3 x 1 u
y 1 1 x
C
1 1
rankCA rank1 5 2 n
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
1 2 0 x (A-BK )x Bv 0 1 x 1 u
状态反馈：x (A BK)x Bv
如果 H C K 输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du
ur1
B
D
1/s
xn1
C
+ ym1
x Ax Gy Bu y Cx Du
A
nm G
若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC)x (B GD)u y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
记作：G AGC, B,C WG (s) C sI (A GC ) 1 B
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0 ：(A, B,C) ，是能控的。 Qc1 BABA2B An1B
H
rm
+
ym1
u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
x A B(I HD)1 HC x B(I HD)1v y C D(I HD)1 HC x D(I HD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x ( A BHC)x Bv y Cx
AB0I
KB
I
当n 3时，Qc1 B AB A2B Qc2 B ( A BK)B ( A BK)2 B B AB BKB A2B ABBK BKAB BKBKB
I BK
B AB A2B 0 I
0 0
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
KAB KBKB
状态反馈后系统 K A BK, B,C
Qc2 B A BK)B A BK)2 B A BK)n1B
当n 1时，Qc1 Qc2 , rank(Qc2 ) rank(Qc1)
当n 2时，Qc1 B AB Qc2 B (A BK)B B
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
x Ax Bu y Cx Du
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B
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1/s
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C
A
在系统中引入反馈控制律
u v Hy
rm H
+
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其中，v r 1
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参考输入； 输出反馈系数阵
对单输入系统，K为m维行向量。
u v Hy
x Ax Bu y Cx Du
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A
C rankC(A
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1 rank1
1 1
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状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系
统零点相对消。
原系统 G0
(s)
(s
s 1 1)(s
3)
反馈后G f
(s)
(s
s 1 1)(s 1)
定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原 系统的能观性与能控性．
定理5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系 统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系 统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互 转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状 态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、 能观测性、稳定性等)。
而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和 系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某 种期望的性能。
5.2 极点配置问题
1 问题提出
5.2 极点配置问题
2 采用状态反馈
ur1
B
vr1 +
1/s
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A
C
ym1
rn K
0 ：(A, B,C)
K A BK, B,C
改变了系统的极点。
（1）定理5.2-1 采用状态反馈对 0 ：(A, B,C)任意配置极 点的充要条件是 0 ：(A, B,C) 完全能控。
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为 基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计 方法。
2 状态反馈
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B
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0 ：x Ax Bu
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把状态乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减
形成控制律。
u v Kx
其中，v r 1
闭环系统传递函数为： Gk (s) CsI (A BK ) 1 B
比较开环系统 0 ( A, B, C) 与闭环系统 ( A BK, B,C)
可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可
通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统
获得所要求的性能。
3 输出反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入 相减形成控制律。
证明
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立 （31）
式中，
为期望特征多项式。
式中 数极点)。
（32） 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为：
2)加入状态反馈增益阵： 可求得对 的闭环状态空间表达式：
（34） （35） （36）
式中 闭环特征多项式为： 闭环传递函数为：
（37）
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边 于是得：
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数： （39）
现代控制理论
第5章 线性定常系统的综合
第5章 线性定常系统的综合
➢本章结构
✓ 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 ✓ 5.2 极点配置问题 ✓ 5.3 系统镇定问题 ✓ 5.4 状态观测器 ✓ 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
1 问题提出
参考输入；
K r n
状态反馈系数阵
对单输入系统，K为n维行向量。
u v Biblioteka Baidux
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B
0 ：x Ax Bu vr1 -
y Cx Du
D
1/s
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K ：x (A BK)x Bv y (C DK)x Dv
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若D=0
K
K ：x (A BK)x Bv y Cx
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I
n n, rank(Qc2 ) rank(Qc1)
状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明
1 2 0 x 0 3 x 1 u
y 1 1 x
C
1 1
rankCA rank1 5 2 n
原系统可观，设状态反馈阵K=[0 4]
1 2 0 x (A-BK )x Bv 0 1 x 1 u
状态反馈：x (A BK)x Bv
如果 H C K 输出反馈等价于状态反馈
4 从输出到状态微分ẋ反馈
把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分ẋ端
x Ax Bu y Cx Du
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B
D
1/s
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若D=0，状态空间表达式为
x ( A GC)x (B GD)u y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
记作：G AGC, B,C WG (s) C sI (A GC ) 1 B
5 闭环系统的能控与能观性 定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性， 但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统为 0 ：(A, B,C) ，是能控的。 Qc1 BABA2B An1B
H
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u v H (Cx Du) v HCx HDu (I HD)1(v HCx)
x A B(I HD)1 HC x B(I HD)1v y C D(I HD)1 HC x D(I HD)1v
若D=0，状态空间表达式为 x ( A BHC)x Bv y Cx
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当n 3时，Qc1 B AB A2B Qc2 B ( A BK)B ( A BK)2 B B AB BKB A2B ABBK BKAB BKBKB
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0 0
rank(Qc2 ) rank(Qc1)
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状态反馈后系统 K A BK, B,C
Qc2 B A BK)B A BK)2 B A BK)n1B
当n 1时，Qc1 Qc2 , rank(Qc2 ) rank(Qc1)
当n 2时，Qc1 B AB Qc2 B (A BK)B B
rank(Qc2 ) rank(Qc1)