线性定常系统的状态空间分析与综合
线性定常系统的综合
2 它的列可由 B AB A B 的列的线性组合得到；
其余各分块类同。 所以有： rankMc rankMck
2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入－单输出系统，状态反馈能改变系统的 极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可 能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是 既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的 能控性，所以只能是影响系统的能观性了。
无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。
5.2 极点配置
如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极 点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的 极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。 问题一，闭环极点可任意配置的条件； 问题二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。
能控性矩阵
0 1 M b Ak b 1 0
满秩，状态反馈系统能控； 不满秩，状态反馈系统不能观；
能观性矩阵： N
c 0 1 0 0 cA k
实际上，此时闭环系统的传递函数为：
s 1 0 1 s 1 0 s Gk ( s) 0 1 2 0 1 2 0 s 1 s 0 s 1 s
Qoh 的每一分块的行由 Qo 相应分块的行线性组 与1一样， Qoh 可以看作是 Qo 经初等变换的结果，而初等 合而成， 变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。
例 系统
0 1 0 x= x+ u 1 0 1 y 0 1 x
系统的传递函数为：
s 1 0 G ( s) c ( sI A) b = 0 1 1 1 s s 1 0 1 s 2 0 1 2 s 1 1 s 1 s 1
第十章 线性系统的状态空间分析与综合
第十章 线性系统的状态空间分析与综合10-1 求通过1)0(=x ，2)1(=x ，使下列性能指标为极值的曲线：⎰+=ft t t d xJ 0)1(2 。
解：12+=xL ；0=∂∂x L ，x x L 2=∂∂，x xLt d d 2=∂∂； 欧拉方程为 0=x；通解为 b t a t x +=)(； 所求极值曲线为 1)(+=t t x ，)2(=*J 。
10-2 设)(t x x =，10≤≤t ，求从0)0(=x 到1)1(=x 间的最短曲线。
解：2/122)(t d x d s d +=，⎰⎰+==12/120)1(1t d xs d J s ； 2/12)1(+=xL ；0=∂∂xL，2/12)1(-+=∂∂x x x L ； 欧拉方程为 0=∂∂-∂∂x L t d d x L ，0)1(2/12=+xxt d d ；要求 a x = 为常数，即t a t x =)(； 所求极值曲线为 t t x =)(，)2(=*J 。
10-3 求性能指标⎰+=12)1(t d xJ 在边界条件0)0(=x ，)1(x 是自由情况下的极值曲线。
解：极值曲线需满足欧拉方程、边界条件和横截条件；0=∂∂-∂∂x Lt d d x L ；)1(0)0(x x =；0),,()(T=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂**f tf t t t xx L t x x L ffδδ ； 12+=xL ；0=∂∂x L ；x x L 2=∂∂，x xLt d d 2=∂∂； 0=∂∂ft xL，0=x；即c t x =)(； 考虑边界条件，所求极值曲线为 0)(=t x ， )1(=*J 。
注：直观)1(2+x取最小值，即要求0=x ，满足)1(x 自由。
10-4 求性能指标⎰++=2/0212221)2(πt d x x x x J在边界条件0)0()0(21==x x ，1)2/()2/(21==ππx x 情况下的极值曲线。
线性定常系统的综合
第5章线性定常系统的综合5.1 系统综合的概念1、系统综合系统综合：确定系统控制规律（控制器的结构和参数）。
控制方式：开环/闭环（反馈）控制。
反馈控制综合方法：时域法（状态空间法），复频域法（根轨迹法、对数频率特性法等）。
2、期望极点系统的动态性能与闭环极点和零点都有关，但主要地取决于极点在左半s平面上的位置。
根据系统时域性能指标所确定的综合后系统的极点称为期望闭环极点。
通过系统综合使闭环系统极点分布在期望位置称为极点配置。
◆典型二阶系统222()2nn nG s s s ωζωω=++ 当给定系统的p M 和s t (2%~5%)∆=，可确定系统的期望闭环主导极点为*21,2j j 1d n n λσωζωωζ=±=-±-式中，p M 为最大超调量，s t 为调节时间，ζ为阻尼比，n ω为自然振荡频率。
()y t t2∆st p t r t 1maxy pM⨯⨯ImRe01ζ<<*1,2j dλσω=±dωnωσθ◆单变量高阶系统以将闭环系统设计为近似二阶系统的目标，先按照系统的p M 和s t 确定闭环主导极点为*1,2j d λσω=±，再按照*1,2Re[]5Re[]i λλ>的要求确定其他期望闭环极点*(3,4,,)ii n λ=。
若原系统在期望闭环主导极点附近有零点，可有意设置期望极点与其形成偶极子，以保证闭环主导极点的主导性。
ReIm⨯⨯σ5σ⨯⨯⨯⨯⨯闭环主导极点*1,2j dλσω=±◆多变量系统确定期望极点的难度较大。
一般先分别确定各子系统的期望极点，再进行协调。
3、综合的内容动态+稳态5.2 两种比例反馈（取自讲义5.2/5.3）1、输出比例反馈和状态比例反馈对系统0(,,)S A B C ▼输出比例反馈⊗vB⊗⎰ACFyxux图中，r m F ⨯—输出反馈系数矩阵；1r v ⨯—参考输入。
原系统的控制量成为u Fy v =+即u FCx v =+闭环系统(,,)f f S A B C 为()BF x A x C v B =++y Cx =▼状态比例反馈⊗vB⊗⎰ACKyxux图中，r n K ⨯—状态反馈系数矩阵；1r v ⨯—参考输入。
第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析
称 G ( s ) 为系统的传递函数矩阵。G ( s ) 为的一个有理分式 矩阵。当 g ij ( s ) 除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s ) 的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等 的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。
7
§1.1-2 传递函数矩阵 当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实 现的。当且仅当 lim G ( s ) = 零阵 s →∞ G ( s ) 为严格真的， lim G ( s ) =非零常阵 s →∞ 传递函数矩阵为真的。
8
§1.2 线性定常系统的状态空间描述
§1.2-1 状态和状态空间 系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基 础上的。 定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间 域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t ) 称为系统的状态变量，其中t ≥ t0， "， 量 x1 (t ), x2 (t )， t0 为初始时刻。由状态变量 ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥, t ≥ t 构成的列向量 x(t ) = ⎢ # 0 ⎢ ⎥ 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为 状态向量取值的一个向量空间。
15
§1.2-2 动态系统的状态空间描述 离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个 重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时 刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的 因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则 离散时间系统（简称离散系统）的状态方程和输出方程 的最一般形式为：
2
§1.1-1 单变量情形回顾 已知由下列常系数微分方程描述的定常系统
y n + a n −1 y ( n −1) + " + a1 y (1) + a 0 y
第五章线性定常系统的综合
3）求取矩阵K和L，则u=Lv-Kx就是所需的状态 反馈控制规律。
42
例 给定系统
0 0 0 1 0
x
0
0
1
x
0
0 u
1 2 3 0 1
y
1 0
1 0
0 1
x
试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解 耦后的传递函数矩阵。
15
若已知系统要求配置的极点/特征值为1 2
n
那么希望的特征多项式为
f 1 2 n
则由
n an1n1 a1 a0
I A - bK f
对比系数可得：
kn
a n1
an1, kn1
a n2
an2
k1 a0 a0
即得 k ，那么 k k0 k1 … kn1 kTc1
k3 3 4, k2 k3 2 6, k1 4
k1 4 k2 3 k3 1
引入 k 4 3 1 后，系统的模拟结构图为：
v
u
x3
x3
x2
x2 x1
x1
2
1
1
3
y 10
4
21
2） A 为能控标准型
0 1 0
A
步骤：ⅰ、判断能控性；a0 a1
0
1
an1
ⅱ、系统的特征多项式：
g11(s) g12 (s)
G(s)
g21
(s)
g22 (s)
g1p (s)
g2
p
(s
)
g p1(s) g p2 (s)
g pp (s)
其中gij (s)都是严格真的有理分式(或者为零)。令
第5章_线性定常系统的综合
再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。通过举例说明：
受控系统 o：
x
1 0
32x 01u
y 1 1x
能 观 测 性 判 别 阵:
Qo
C C A
1 1
51，
rankQo 2 n
故受控系统o 能观测。
引入状态反馈，且 取状态反馈阵为：K 0 4
则闭环反
馈
系
统k
：x
(
A
B
K
)
x
B
v
1 0
y 1 1 x
(2)状态不可直接测量：间接实现，通过可测量的输 入和输出变量来估计系统状态——“状态观测器”；
2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理 论研究范畴）。
鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度(增益裕度、相 位裕度等)，允许系统参数误差或摄动出现在模型参数的 一个邻域内，系统仍保持稳定。
3.对外部扰动影响的抑制问题
闭环系统Σk :
受 控 系 统0 的 能 控 性 判 阵：Qc [ BA BAn1B ]
[(A BK)，B]
闭 环系 统k 的 能 控 性 判 阵:Qck [ B ( A B K) B ( A B K)n1B ]
比 较 Qc和 Qck： 第 一 分 块 相 同 ； 第 二 分 块 ： 在 Qck中 ， (A BK)B AB BKB AB B(KB)， 故 (A BK)B
形式来构造。根据反馈信号的不同，可具有如下两种形式：
状态反馈控制 u = K x + v
或：
输出反馈控制 u = H y + v
两种形式均属线性反馈控制律。其中：x和y分别为系统的状 态向量(n维)与输出向量(m维)； v为系统的参考输入，u为作 用于受控系统的控制输入，两者维数相同(r维) 。反馈阵
第五章 线性定常系统的综合
线性定常系统的综合
引言
控制系统的分析与综合 ⑴ 控制系统分析： 在已建立的数学模型基础上研究系统的各种性能及其与系统的结构、 参数和外部作用之间的关系。这里所指的系统性能包括系统响应、可控性、 可观测性、稳定性等。 ⑵ 控制系统综合 寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求 都得到满足。 经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
rank C T
[ = rank [C
[
AT C T
T
... ( AT ) n −1 C T
]
... ( AT − C T H T ) n −1 C T
Байду номын сангаас
= rank C T
( AT − C T H T )C T ( A − HC )T C T
... (( A − HC )T ) n −1 C T
]
]
Gk ( s ) = C ( sI − A + BK ) −1 B
(4 − 283)
因此可用{A-BK,B,C}来表示引入状态反馈后的闭环系统。
加入状态反馈后的系统结构图
ν+
_
u
B
+ +
& x
1 I s A K
x
C
y
⑵ 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了 限制。在此情况下，常采用输出反馈法。输出反馈法的目的首先是 使系统系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系 统性能。 输出反馈有两种形式： ① 将输出反馈至状态微分，图（a）； ② 将输出反馈至参考输入，图（b）。
同理可得
rankQc ≤ rankQck
第九章-线性系统的状态空间综合法PPT课件
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。
④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4
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4）状态可达与系统可达
对系统： x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) t Tt
sI A B 0 1 0 11 00
0 0 1 00 11 0 0 5 22 00
对于 1 有2 ： 0
0 1 0 0 0 1
rank 1I A
B rank 0
0
0 0
1 0 1 0 4 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
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对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
该系统是完全可控的.
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第20页/共82页
③设 为1 5重特征根，有如下约当型
1 1
1 1
AJ
1 1
1 55
B
BB43
B5 5p
结论：只要
B3
B
4
行线性无关,系统状态完全可控。
B5
B3
即
rankB4
行
数
系统状态完全可控。
B5
注：输入的维数p>λi所对应的约当块的块数时，系统可能可控；
当 R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知： R1 R2时,C，1 C2 x1 x2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
iL
R3 R1