第五章(线性定常系统的综合)
能控。 不能观。
0 rank( N ) rank 0
1 1 0
2、输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性
§5.2 极点配置问题
给出系统的期望极点，确定增益矩阵。 一、采用状态反馈 1、定理 采用状态反馈对系统Σ0（A,b,C）任意配置极点的充要条件是： Σ0完全能控。 2、给定极点，求状态反馈增益K
13 可得 G 40 1 2 s
§5.3 系统的镇定、解耦和状态观测器
一、系统的镇定 系统镇定： Σ0（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系 统为渐近稳定。 系统状态反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过状态反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 系统输出反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过输出反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 二、系统解耦 1、概念 使具有输入和输出个数相同的MIMO系统的每一输出只受一个输入 控制，称为系统的解耦。 2、实现方法 ①使用前馈补偿器 (见 P183 图5-9)
比较有
3 K 2 4 2 K1 6 K 4 0
得
K [ 4
4
1]
注意：当状态空间表达式不同时，结果亦不同。 二、采用输出反馈 定理1： 对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），不能采用输出线 性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理2：对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），通过带动态补偿 器的输出反馈实现闭环系统极点的任意配置的充要条件是： ① Σ0完全能观； ②动态补偿器的阶数为n-1。
. ~
~
其解为： x e ( AGC )t x(0) ①若 x(0) 0 ②若 x(0) 0
~
~
~
则
x(0) 0
~
~
二者初值不相等，但A-GC的特征值均具有负实部，
则 x 将渐近逼近实际状态X ，逼近速度取决于G和A-GC特征值的配 置。 例 见P193例5-9
第五章 结束
设 K [ K0
K1
K2 ] 则
f ( ) I ( A bK ) 0 I 0 0 0 I 0 K0 1 0 2 0 0 0[ K 1 0 3 1 1 0 2 K1 0 K1 K2 ] 1 0 1
0 1 3 K2 K0
2 K1
3 K2
3 (3 K 2 )2 (2 K1 ) K 0
f * ( ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) 3 42 6 4
状态反馈与输出反馈的比较：
① ② ③ ④ H的选择余地不如K（m<n） ； 输出反馈是一种部分状态反馈； 输出反馈的效果不如状态反馈 输出反馈的实现较状态反馈容易。
三、从输出到状态矢量导数反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示状态矢量导数反馈
. x ( A GC)x ( B GD)u y Cx Du
五、闭环系统的能控性与能观性 1、状态反馈不改变受控系统的能控性，但不能保证系统的能观性。
例 试分析系统
. 0 1 0 x 引入状态反馈 x 1uK=[-1 1 0 y [0 1]x
0]后系
统的能控性与能观性 解： 引入状态反馈前
0 rank( M ) rank 1 1 2 0
特别地，D=0，有
. x ( A GC)x Bu y Cx
传递函数阵
WG (s) C[sI ( A GC)]1 B
状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的共性 ① 都不增加状态变量，即维数不变； ② 反馈增益阵都是常矩阵，属于线性反馈； 四、动态补偿器 在受控系统的基础上添加子系统。 1、串联连接
三、采用从输出到 x 反馈 1、定理 . 对系统Σ0（A,b,C）采用从输出到 x 的线性反馈来实现闭环极点任 意配置的充要条件是Σ0 完全能观。 2、给定极点，求从输出到状态矢量导数反馈增益G
步骤：① 将Σ0 化为能观标准Ⅱ型 ② 加入G [G0
G1 Gn1 ]T 并求
.
f ( ) I ( A G C )
有
. x Ax B( I HD) 1 ( HCx υ) 1 y Cx D( I HD) ( HCx υ)
H反馈增益阵
即
. x [ A B( I HD) 1 HC]x B( I HD) 1 υ 1 1 y [C D( I HD) HC]x D( I HD) υ
特别地，D=0，有
. x [ A BHC]x Bυ y Cx
受控系统传递函数阵（D=0）
W0 (s) C(sI A) 1 B
带输出反馈的传递函数阵（D=0）
WH ( s ) C[ sI ( A BHC)]1 B [ I W0 ( s ) H ]1W0 ( s ) W0 ( s )[I HW0 ( s )]1
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 ④ 求G
G To2 G
1
说明：如果系统的维数较低，只要系统能观，也可以不化为能观标准 Ⅱ型，通过直接比较特征多项式系数确定G矩阵。
例 已知 -8。 解:
. 0 s2 1 0 x x u 0 1 1 0 y 1 0x
即
. x ( A BK )x Bυ y (C DK )x Dυ
K状态反馈矩阵（反馈增益矩阵）
二、输出反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
u Hy υ u H (Cx Du) υ u ( I HD) 1 ( HCx υ)
2、反馈连接
. x Ax B ( υ C f x f ) . x f A f x f B f Cx y Cx
状态空间表达式为
BC f x A B x 0 υ B C A f f f x y C 0 x f . .x x f
步骤：① 将Σ0 化为能控标准Ⅰ型
② 加入
K [ K0 K1 Kn1 ]
并求
f ( ) I ( A b K )
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 K ④ 求K
K KTc1
1
若为传递函数， ① ④可以免除。
例 已知
W ( s)
10 s( s 1)(s 2)
引入误差矢量 x x x 可得状态误差方程
x x x Ax Bu [( A GC ) x Gy Bu] Ax [( A GC ) x GCx] ( A GC )(x x)
^ ^ ^ Leabharlann ~ . . ^~^
即
~
x ( A GC ) x
能控。 能观。
0 rank( N ) rank 1
1 2 0
引入状态反馈后 系统的状态空间表达式为：
. 0 1 0 x x u 0 0 1 y [0 1]x
0 rank( M ) rank 1
1 2 0
②使用状态反馈(见 P184 图5-10)
三、状态观测器
1、意义
闭环系统极点的任意配置、系统解耦、最优控制等均离 不开全状态反馈。但是系统的状态变量并不都易于直接检测。 于是提出了“状态观测器。
2、定义 若线性定常系统Σ0（A,B,C）的状态矢量x不能直接检测， 则如果动态系统 以 Σ0的输入u和输出y作为其输入量，能 ^ 产生一组输出量 渐近于 xx
^
即
lim(x x) 0
t
^
。称
为Σ0的一个状态观测器。
^
3、实现方法 ①利用Σ0 的u和y重构 见P191图5-14 存在0—n-1阶微分器，会加剧测量噪声对系统的影 响，无工程价值。 ②开环观测器 见P192图5-15 要求Σ0 与Σo 的初始状态相同，因实际不可能而无 实用价值。 ③渐近观测器
第五章 线性定常系统的综合
要求： 1、理解状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的 概念、意义； 2、掌握极点配置问题解。
§5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
一、状态反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
. x Ax B( Kx υ) y Cx D( Kx υ)
设置状态反馈控制器，使系统的闭环极
点为-2，-1+j, -1-j。 解: 因为传递函数没有零极点对消现象，所以系统能控且能观。 可直接写出他的能控标准I型的实现，系统的状态空间表达式为：
0 x 0 0 y 10
.
0 0 0 1 x 0 u 2 3 1 1 0 0x
. x Ax Bu y Cx . x d Ad x d Bd ( υ y ) u C d x d
状态空间表达式为
A Bd C x y C 0 x d . .x x d BCd x 0 x B υ Ad d d
试选择反馈增益阵G,使系统的闭环极点为-5，
1 0 rank( N ) rank 2 2 0 s
系统能观。
设
G G 0 G1
则
2 f () I ( A GC) 2 G0 s (1 G1 )
而
f * ( ) ( 5)( 8) 2 13 40
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控制工程 第5章 系统的频率特性
解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频 特性分别为
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
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5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
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13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
第一章 控制系统的状态空间表达式
x&(t) f x(t),u(t),t
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之
间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到 时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又
称为状态空间表达式 。一般形式为
c21
c12 c22
cm1 cm2
c1n
c2n
,
cmn
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
d11
D
d21
d12 d22
dm1 dm2
d1r
d2
r
,
dmr
m r维前馈矩阵,又称为直接传递矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
1.1 状态变量及状态空间表达式
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
观测y 反馈控制
被控过程
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器 组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
1、输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵。
由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶 微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选 取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描
述也具有非唯一性。
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之
间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到 时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为
y(t) g x(t),u(t),t
动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又
称为状态空间表达式 。一般形式为
c21
c12 c22
cm1 cm2
c1n
c2n
,
cmn
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
d11
D
d21
d12 d22
dm1 dm2
d1r
d2
r
,
dmr
m r维前馈矩阵,又称为直接传递矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
1.1 状态变量及状态空间表达式
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
u1
y1
u2
x1, x2 , xn
y2
up
yq
观测y 反馈控制
被控过程
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器 组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
1、输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵。
由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶 微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选 取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描
述也具有非唯一性。
线性定常系统的线性变换
2023
线性定常系统的线性 变换
https://
REPORTING
2023
目录
• 线性定常系统概述 • 线性变换的基本概念 • 线性定常系统的线性变换 • 线性变换的应用 • 线性变换的挑战与解决方案 • 线性变换的案例研究
2023
PART 01
线性定常系统概述
REPORTING
定义
线性变换是一种将系统从一种形式转换为另一种形式的方法，常 用的线性变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
应用
线性变换在控制系统分析和设计中具有广泛应用，如系统函数、传 递函数、频率响应等。
实现
通过数学运算和变换，将系统的形式进行转换，以便于分析和设计。
2023
PART 04
线性变换的应用
REPORTING
解决方案
为了提高计算效率，可以采用一些优化技术，如矩阵分块、稀疏矩阵、并行计算等，来降 低计算复杂度和提高计算速度。同时，也可以采用一些数值计算方法，如近似计算、数值 积分等，来减少计算量。
2023
PART 06
线性变换的案例研究
REPORTING
案例一：控制系统中的状态反馈线性变换
状态反馈线性变换的概念
线性变换的挑战与解决方 案
REPORTING
线性变换的稳定性问题
定义
线性变换的稳定性问题主要关注变换后的系统是否能够保 持稳定，即系统的状态是否能够逐渐收敛到某一平衡点或 周期性振荡。
挑战
在实际应用中，由于系统参数、初始条件、外部干扰等因 素的影响，线性变换后的系统可能会出现不稳定的情况。
解决方案
2023
PART 02
线性变换的基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
线性定常系统的线性 变换
https://
REPORTING
2023
目录
• 线性定常系统概述 • 线性变换的基本概念 • 线性定常系统的线性变换 • 线性变换的应用 • 线性变换的挑战与解决方案 • 线性变换的案例研究
2023
PART 01
线性定常系统概述
REPORTING
定义
线性变换是一种将系统从一种形式转换为另一种形式的方法，常 用的线性变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
应用
线性变换在控制系统分析和设计中具有广泛应用，如系统函数、传 递函数、频率响应等。
实现
通过数学运算和变换，将系统的形式进行转换，以便于分析和设计。
2023
PART 04
线性变换的应用
REPORTING
解决方案
为了提高计算效率，可以采用一些优化技术，如矩阵分块、稀疏矩阵、并行计算等，来降 低计算复杂度和提高计算速度。同时，也可以采用一些数值计算方法，如近似计算、数值 积分等，来减少计算量。
2023
PART 06
线性变换的案例研究
REPORTING
案例一：控制系统中的状态反馈线性变换
状态反馈线性变换的概念
线性变换的挑战与解决方 案
REPORTING
线性变换的稳定性问题
定义
线性变换的稳定性问题主要关注变换后的系统是否能够保 持稳定，即系统的状态是否能够逐渐收敛到某一平衡点或 周期性振荡。
挑战
在实际应用中，由于系统参数、初始条件、外部干扰等因 素的影响，线性变换后的系统可能会出现不稳定的情况。
解决方案
2023
PART 02
线性变换的基本概念
ห้องสมุดไป่ตู้
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
劳斯判据
，统化第 系有 一 统一一列
s 1 112 .7 0
不 稳
个 正
次
系 数
s 0 50
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s)2s44s8250 (s22)5s(21)0
s 1 , s 5j
原 ( s 方 1 ) s ( 1 ) s ( 程 j 5 ) s ( j 5 ) s ( 2 )
1
S3 0
0
2
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c))
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s 5 2 s 4 3 s 3 6 s 2 1 s 0 1 0 5
劳斯行列式：
sn an an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
s0
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
a n6 a n7 b4
bb13aann11aann aa26nn 11aannaann37b,2, an1ana4n1anan5
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7an1b4 b1
,
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
自动控制理论期末复习(知识点总结第四章-第五章)
Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。
因此，可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、动态和稳态性能） 相关术语：*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益：K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。
第五章状态反馈
v
u
3
1 s
k2 k1
2
1 s
x2
x3
1 s
x1
y
10
ko
状态反馈系统结构图
2006-6-29 Page 12 空中交通管理学院 马兰
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置
分析说明： 在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型，从而可以 比较简单地计算出反馈增益矩阵k，对闭环系统进行极点配置。 但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集 的，如果要使设计出来的k能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选 择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现。 比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理。 即 1 1 1 10
（2）导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式
n n 1 f ( ) (a n 1 k n 1 ) (a1 k1 ) (a0 k 0 )
（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式
* * * f * ( ) n a n 1n 1 a1 a0 （4）确定对于可控标准型下的状态变量 x 的反馈增益矩阵 k
n (a n 1 k n 1 )n1 (a1 k1 ) (a0 k 0 )
设闭环系统的期望极点为 1 , 2 , , n ，则系统的期望特征多项式为
n * n 1 * * f * ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) a n 1 a1 a0
只要适当选择 k 0
，就可以任意配置闭环极点。 k1 k n 1
（2）必要性 若受控系统不可控，必有状态变量与u无关，则
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的， 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统， 对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡 对于稳定的线性系统， 态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性 问题。 问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论， 它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 分布参数系统。
5.1 动态系统的外部稳定性
控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 而且必须假定系统的初始条件为零。 而且必须假定系统的初始条件为零。 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统， 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，在任何一 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的， 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就 称该动态系统是外部稳定的，又称为BIBO稳定。 稳定。 称该动态系统是外部稳定的，又称为 稳定 对于单输入单输出线性定常系统而言， 对于单输入单输出线性定常系统而言，在经典控制理论中定 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下， 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统， 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统，具有外部稳定 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于s平面的 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于 平面的 左半边。 左半边。
线性定常系统的状态空间分析与综合2
从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f