大一高数复习资料【全】

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）

(){}

,|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

= 【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦

2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦。当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f

1

-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣

⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10

则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

()()()

()000lim 0

0x x f x g x f x g x →⎧⎪

⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00

lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值2

3

3

lim

9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()

23

333311

lim

lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()23

9

x f x x -=-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()0

2

33323311

lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：9

3

lim 23

--→x x x

【求解示例】3

x →===

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

∵⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∀2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim

0=→x x x 0

000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫

⎪⎝⎭

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

，其中

()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x

【求解示例】

()()

21

1

1

212

1212

2121

1221

22121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞

+→∞

⋅++++⋅⋅+++→∞

+→∞++→∞+++⎛⎫

⎛⎫

⎛

⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎡⎤⎛

⎫⎛⎫

⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥

++⎝⎭

⎝⎭⎣⎦⎡

⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e e e

+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤

⋅+⎢⎥

+⎣⎦

+⎛⎫

⎪

+⎝

⎭

====

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）

1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2

1

2

-

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】

()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

()()()00

0lim lim x x x x f x f x f x -

+→→==

○间断点的分类（P67）（★）

⎩⎨

⎧∞⋯

⋯⎩⎨

⎧）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()⎩

⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00

≥

择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-⋅++⎧===⎪

⎪=+=⎨⎪

=⎪⎩

2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0

∴e a =