双曲线的定义及其标准

1
(a0， b0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
学习小结:
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
x2 y2 1 a2 b2
c xa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2a2b2
x2 a2
y2 b2
1(a0,b0)
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双
曲线. | |MF1| - |MF2| | = 2a
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y y
M
y FO1 O O F 2 x xx
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
方法感悟
对双曲线定义的理解 双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏 了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线． 解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉 定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 P A P B3 4 026 8 0 即 2a=680，a=340 AB800
Ao Bx
2c800,c400, b2c2a244400
因8 此0 0 炮 弹P A 爆 炸P 点B 的 6 轨8 0 迹 方0 , 程 为x 0 x2 y2 1(x0) 115600 44400
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
双曲线及其标准方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题：
F 1c,0
Mx,y
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
y2 a2
x2 b2
1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
利用定义法求双曲线的标准方程 1）首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)； 2）然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离 的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a 的值， 3）再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
ห้องสมุดไป่ตู้说明
（1）2a< |F1F2| ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
(xc)2y2(xc)2y22a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.