双曲线的定义及标准方程(1)
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动
P(x,y) 点为P(x,y)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0) 5
注：设两焦点之间的距离
为2c(c>0),
x2 y2 1
9
16
2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5） 的双曲线标准方程。
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[布置作业]
一、复习所学内容；
二、完成练习册P35 甲组:一,二 1, 乙组:一,二 1； 三、预习双曲线的性质。
立体几何课件（十一）
11.4 双曲线的定 义及标准方程
பைடு நூலகம்
[复习] 1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标； 二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件； 四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF1 PF 2 2a
3、椭圆的标准方程有几类？
[两类]
x2 a2
y2 b2
1(焦点在
x轴上 )
x2 b2
y2 a2
1(焦点在y轴上)
调弄出阵阵光钵……紧接着女员工Ｑ．希霓妮婆婆又甩起高大的深紫色细小长号般的胡须，只见她怪异的天青色陀螺造型的五条尾巴中，飘然射出九团天鹰状的圣灵， 随着女员工Ｑ．希霓妮婆婆的甩动，天鹰状的圣灵像人参一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴飞劈过来。紧跟着女员工Ｑ．希霓妮婆婆也疯耍着法宝像骨牌般的怪影一 样朝壮扭公主飞晃过来壮扭公主忽然奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵怪异蜕变扭曲起来……带着田野气息的嘴唇窜出天青色的丝丝软烟……活像蝌蚪般的粗眉毛窜出金 橙色的缕缕仙寒！接着把震地摇天、夯锤一般的金刚大脚摆了摆，只见九道深深的美如标枪般的银雾，突然从奇特古怪的耳朵中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，浓黑 色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的杨露牛舞味在豪华的空气中萦绕。紧接着抖动浑厚的极像波浪一样的肩膀一闪，露出一副美丽的神色，接着扭动无坚不摧的粗 壮手指，像青远山色的灰唇河滩猪般的一嗥，凸凹的浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛骤然伸长了五十倍，熏鹅一样的银剑雪峰服也顷刻膨胀了四十倍……最后摇起神盔 模样的棕褐色短发一哼，威猛地从里面流出一道幻影，她抓住幻影和谐地一甩，一样红晶晶、蓝冰冰的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边摇 晃，一边发出“嘀嘀”的神音。……突然间壮扭公主快速地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出九团摆舞着¤雨光牧童谣→的光点状 的钳子，随着壮扭公主的转动，光点状的钳子像灯管一样在四肢上陶醉地调弄出阵阵光钵……紧接着壮扭公主又摇起如同红苹果样的脸，只见她憨直贪玩、有着各种古 怪想法的圆脑袋中，变态地跳出九组耍舞着¤雨光牧童谣→的铁塔状的陀螺，随着壮扭公主的摇动，铁塔状的陀螺像窗纱一样，朝着女员工Ｑ．希霓妮婆婆深紫色细小 长号般的胡须飞摇过去。紧跟着壮扭公主也疯耍着法宝像骨牌般的怪影一样朝女员工Ｑ．希霓妮婆婆飞旋过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道米黄色 的闪光，地面变成了灰蓝色、景物变成了深灰色、天空变成了暗橙色、四周发出了完美的巨响……壮扭公主圆润光滑的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看女员工Ｑ ．希霓妮婆婆紫罗兰色面条形态的奇发，此时正惨碎成台风样的水蓝色飞沫，狂速射向远方女员工Ｑ．希霓妮婆婆横颤着疯速地跳出界外，快速将紫罗兰色面条形态的 奇发复原，但元气已受损伤晃壮扭公主：“哈哈！这位奇人的说法很不震撼哦！还真没有肥缺性呢！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“啊哈！我要让你们知道什么是神秘派 ！什么是典
9 16
9 16
(C ) y2 x2 1 (D) x2 y2 1或 y2 x2 1
9 16
9 16
9 16
[课堂练习] 求双曲线的方程
1、求a=3,焦点为F1（-5，0）、F2（5，0） 的双曲线标准方程。
解:根据题意可得a=3,c=5, 且焦点在x轴上
又 b2=c2-a2=25-9=16 所求双曲线的方程为:
即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
5
二、根据双曲线的定
义找出P点满足的几
P(x,y)
何条件。
| PF 2 | | PF1| 2a
-5
F2(-c,0)
F1(c,0) 5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
-5
3、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为( )
(A) x2 y2 1 (B) x2 y 2 1
双曲线的定义及标准方程(1)
双曲线的定义及其标准方程
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，
指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
题型二
例2
利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：
(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 ∵圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，
∴|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，
测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方
程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的
准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
2
2
x
y
例2:如果方程
1 表示双曲
2 m m 1
线，求m的取值范围.
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1
∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, )
4 9
线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2 的面积是多少？
解：(1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．
由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4，
两边平方得 r21＋r22－2r1·
又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13，
62＋42－52
由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝
＝0，
2×6×4
∴三角形 F1PF2 为直角三角形．
1
S△ PF1F2＝ ×6×4＝准方程
复习
双曲线的定义及其标准方程1
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
2、双曲线的图形与标准方程
双曲线定义
m |M 1 M F 2 | 2 a F 2 a F 1 F 2
（ F1、F2 为定点，a为常数
图形
标准方程 焦点坐标
a,b, c 关系
x2 a2
y2 b2
1a0， b0
y2 a2
bx2 2
1a0， b0
F1c， 0 F2c， 0 F10， c F20，c
x2 y2 1
答：在 X 轴。（-5，0）和（5，0）
9 16
y2 x2 1
144 25
答：在 y 轴。（0，-13）和（0，13）
x2 m2
1ym2 2
1
答：在x 轴。（ -1 ，0 ）和（ 1， 0）
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在正的的那个轴上。
例2:
1、a=4，c=5的双曲线标准方程是
y2
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
1(x0)
115600 44400
课堂小结（一）：
1、双曲线的定义： 我们把平面内与两个定点F1、F2 , 的距离之差等 于常数 （小于|F1F2|） 的点的轨迹叫做双曲线。
即 ||M 1| F |M 2| |F 2a（0<a <c）
这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距 离|F1F2|叫做焦距。
双曲线标准方程及几何意义
9 16
焦点（-5，0）和（5，0）.焦距10
y 2 x2 1 在y 轴. a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4
3
焦点（0，-2）和（0，2）.焦距4
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在系数为正的那个轴上。
练习1
判断下列双曲线焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标
x2 y 2 1 X轴（-3，0），（3，0） 45
A1A2叫实轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上) B1B2叫虚轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2c
焦点：F1(0,-c), F2(0,c)
c2 a2 b2
双曲线呢？
看x2、y2
的系数正负
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
双曲线的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0).
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
y2 x2 1(a 0,b 0). a2 b2
中职数学拓展课程
（一）双曲线定义及方程
数学 实验
如图，把一条拉开 一部分的拉链分成一长 一短两支，将拉开的两 头把分笔别尖固放定在在拉头F1和处F，2处随， 着拉链的开合，移动笔 尖M，可画出一支曲线， 再把拉链的长短两端互 换，用同样的方法可画 出另一支曲线，这两支 曲线构成的是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
演示
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义:
平面内与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数2a (小于的F1F2 )
双曲线的定义及标准方程(201911新)
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
一、定型：
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
双曲线的定义及标准方程
·
2、双曲线的标准方程
如图建立直角坐标系， 设M（x ，y）是 双曲线上任意一点，|F1F2|=2c （c＞0）， 则F1（－c，0），F2（c，0）.
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a.
由定义可知，双曲线就是集合：
F1
y M
·
· x F2
·
O
MF1 MF2 2a, (a F1 F2 )
y 0且 | x | 5
例2、求适合下列条的双曲线的标准方程
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上；
（2）a= 2 5 ，经过点A(2,-5)，焦点在 y轴上。 （ 5） （3）经过两点 3， 4 3），（2.25，
练习:教材P36 练习1、2 、3
练习：
x2 y2 1 上一点P，到点（5，0） （1）双曲线 16 9
x 变1：将焦点变为 F1(0 ，－5 )，F2(0 ，5 )，y 1 轨迹方程如何？ 9 16
2 2
变2：将题目改为“求到F2 的距离减去到F2的距离的差是6”， 1 x y2 轨迹方程又如何？ 1( x 3) (双曲线右支)
变3：将例题中的6换为10，轨迹方程又如何？
9 16
两条射线
一、复习 定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距. PF1+PF2>F1F2 轨迹是椭圆 PF1+PF2=F1F2 轨迹是线段F1F2 PF1+PF2<F1F2 无轨迹
二、1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等
于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
人教版高二数学选修1-1《双曲线及标准方程、几何性质》
双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。
2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。
(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。
4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。
5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。
【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。
双曲线的标准方程
双曲线定义、标准方程一. 教学内容：双曲线定义、标准方程（一）双曲线的定义1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。
（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|（2）定义重点：①绝对值②小于|F1F2|若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。
（二）双曲线的标准方程（1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简图象特征：［注意］1. 位于标准位置，才能有标准方程；3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。
4. 记住a、b、c的关系：一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。
理解：①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。
③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
（几何意义）2. 焦半径及焦半径公式定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。
（4）等轴双曲线：渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）【典型例题】例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。
解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。
设爆炸点P的坐标为（x，y），则小结：远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。
双曲线及其标准方程
2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.y236－x264＝1B.x264－y236＝1C.x236－y264＝1D.x236－y264＝1或y236－x264＝1答案：D4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点一 求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；[解] (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.求双曲线的标准方程的步骤求双曲线的标准方程通常采用待定系数法，步骤归结如下：1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－（15）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，所以⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.探究点二 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0， 所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积．解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0 所以△PF 1F 2为直角三角形．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．2.(1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点F 2的距离为8，则点P 到它的左焦点F 1的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：(1)选C.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， 所以||PF 1|－8|＝4，所以|PF 1|＝4或12.(2)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16，即4 S△F1MF2＝52－16，所以S△F1MF2＝9.探究点三利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，所以|MC1|－|MC2|＝4.所以点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以所求轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．本例中圆的方程不变，若动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|＝R ＋1，|MC1|＝R＋3，则|MC 1|－|MC 2|＝2.这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)．用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)．(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．3.(1)若动点M 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)(2) 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：(1)选D.由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，所以a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >0)，因此选D.(2)以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.所以a ＝2，c ＝22，b 2＝6，所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >0，y ≠0)．1．对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a 和b ，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定．并且有b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别．(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足c 2＝a 2＋b 2，所以长度分别为a ，b ，c 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c 的线段是斜边，如图所示．2．对双曲线定义的理解设M (x ，y )为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的任意一点，左、右焦点分别为F 1，F 2.若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a .因此得到|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这与椭圆的定义中|MF 1|＋|MF 2|＝2a 是不同的．[注意] 双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．3．双曲线方程的其他形式(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，。
19双曲线定义和标准方程1
Ａ
分析: 由 (2 m)(m 1) 0
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式二:
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m 的范围和焦点坐标。
分析:
m 1 0 m2 2 m 0
x2 y 2 是双曲线 64 36 1 上一点，它到 F (10,0) 的
距离为 21, Q 是 PF 的中点， O 为坐标原点，求 | OQ | 的值.
若把21改成17，则答案是多少？
y2 变式 2：设 F1，F2 分别是双曲线 x 9 1的左、右焦点．若点 P 在 双曲线上，且 PF1 PF2 0 ，则 PF1 PF2 ______．
复习知识点：
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, .c 的关 系
c a b
2
复习知识点：
c, 0 , c
a2 x c
a 2 b2
0, c , c
a2 y c
a 2 b2
c 离心率e (e 1), a b y x a
2
通径为
c a b
2
b x y a
2
2b 2 a
基础训练：
y2 x2 1 16 9