电动力学的第一章总结
电动力学的第一章总结
第一章 电磁现象的普遍规律本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。
§1. 电荷和静电场一、 库仑定律和电场强度1. 库仑定律一个静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力为:34rrQ Q F o πε'=⑴ 静电学的基本实验定律 （2）两种物理解释超距作用： 一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。
场传递： 相互作用通过场来传递。
对静电情况两者等价。
2. 点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。
它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。
对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。
描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F ，则30()4F Q rE x Q rπε==' 它与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。
3．场的叠加原理（实验定律）n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4nni ii i i i Q r E x E r πε====∑∑。
4．电荷密度分布体密度： ()0limV Q dQx V dVρ∆→∆'==''∆ 面密度： ()0lim S Q dQx S dS σ∆→∆'==''∆ 线密度 ： ()0lim l Q dQx l dl λ∆→∆'==''∆ ()dQ x dV ρ''=()()(),,VSLQ x dV Q x dS Q x dl ρσλ''''''===⎰⎰⎰5．连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx r E x dV r ρπε''=⎰或()30()4S x r E x dS rσπε''=⎰ 或 ()30()4L x rE x dl r λπε''=⎰ 对于场中的一个点电荷，受力F Q E '=仍然成立。
电动力学总结
c) 给定边界条件
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界
面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分
的和，即 0， 0 为已知自由电荷产生
的电势， 不满足 20 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 20
但注意，边值关系还要用 而不能用
Z
0
0
Y(y) Cek2y Dek2y Z(z) Esinkz Fcoskz
2. 柱坐标
2 1 (r) 1 2 2 0 r r r r22 z 2
讨论 (r,) ，令 ( r , ) f( r )g ()
d2g() d2
2g()
0
1 r
d (r dr
df)2
dr r2
面或导体表面上的电荷一般 点电荷时，可以将导体面上感
非均匀分布的，造成电场缺 应电荷分布等效地看作一个或
乏对称性。
几个点电荷来给出尝试解。
3. 电象法概念、适用情况
电象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
注意：
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。
电动力学复习
电动⼒学复习第⼀章电磁现象的基本规律1、描写静电场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静电场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
2、描写静磁场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静磁场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
3、电荷守恒定律的微分形式；欧姆定律的微分形式4、电荷系统单位体积所受电磁场作⽤的⼒密度（即洛伦兹⼒公式）5、1）电介质极化，极化体束缚电荷密度与极化强度的关系，极化⾯电荷密度与极化强度的关系；引⼊辅助量，电位移⽮量，电位移⽮量的定义式；对各向同性线性介质，电位移⽮量的表达式；如：均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体⾃由电荷密度f ρ的)1(0εε--倍。
2）磁介质磁化，引⼊辅助量，磁场强度，磁场强度的定义式；对各向同性⾮铁磁质，磁场强度的表达式6、电磁场边值关系如：1）介电常数分别为ε1和ε2两种绝缘介质的分界⾯上不带⾃由电荷时，分界⾯上电场线的曲折满⾜什么关系2）⽤边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界⾯上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表⾯，在恒定电流的情况下,导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。
7、麦克斯韦⽅程组，两个基本假设：感⽣电场和位移电流。
其中位移电流如何产⽣，位移电流与传导电流的共同点与不同点。
8、1）电磁场和电荷系统的能量转化和守恒定律的微分形式；2）电磁场的能量密度和能流密度表达式9、结合场的微分⽅程的数学上的散度、旋度的计算（如P34 习题3）如：已知电位移⽮量z y x e z e y e x D323++=，求电荷密度；已知电极化强度，求极化电荷密度；x e y e B y x+=是否为能表⽰磁感应强度的⽮量函数；若给出磁感强度为，求m 的值；⽮量是否可能是静电场的解第⼆章静电场1、在静电场中，电场强度 E和电位 ? 之间的关系；如：已知电势222z y x -=?，求电场强度；已知电势，求电场强度等2、静电势的微分⽅程和边值关系（注意导体的静电条件）3、⽤电荷密度和电势表⽰的静电场能量（注意只对总能量计算有意义，不能当做能量密度看待），如计算带电量Ｑ﹑半径为a 的导体球的静电场总能量； 4、唯⼀性定理是解静电学问题的理论基础5、分离变量法解拉普拉斯⽅程（球坐标系下通解的形式，以及问题具有轴对称性以及球对)()23(3mzy e z y e x e B z y x +--+=(2)xyzE yz x e xze xye=-++称性下的简化形式）如：P49-51 例题 2 与例题3补充习题：1）真空中半径为R 的带电球⾯，其电荷⾯密度为σ =σ0cos θ（σ0为常数），试⽤分离变量法求球⾯内外的电势分布。
电动力学课件1-4
JP
=
∂P ∂t
(极化电流体密度 )
∇×B
=
µ0J总
=
µ0J + µ0JM
+ µ0JP
+ µ0ε0
∂E ∂t
H=
B
−M
µ0
∴∇×
H
=
J
+
∂D
∂t
各向同性介质 M = χ m H ⇒ B = µH
Maxwell equations (介质中)
∇×E =
∇ × H=
− ∂B
J
∂t + ∂D
第一章 总结
电磁现象的基本规律，从库仑定律及电荷守恒定律，毕奥—沙伐
尔定律出发，研究了静电场、静磁场的基本规律以及电磁场所满
足的基本方程—Maxwell equations.并研究了非连续介质分界面处
所满足的边值关系。
库仑定律：
F
=
Q1Q2
4πε 0r 3
r ，
r
场强：
E=
Q
r
4πε 0r 3
的方向由源点到场点
D = ε0E + P
qp = −∫∫ S P ⋅ dS =∫∫∫ V ρPdV
σP
=−(P2
−
P1
)
⋅
n
∇⋅D = ρf
各向同性介质 P = ε0χeE
D=ε E
2、磁性质
∑
mi
M= i ∆V
IM= ∫ L M ⋅ d=l ∫∫ S JM ⋅ dS
J M = ∇ × M (磁化电流体密度 )
能量密度 δ w = E ⋅δ D + H ⋅δ B
能量变化率
∂w
电动力学-第1章-第1节-电荷和电场
电场线从正电荷发出， 电场线终止于负电荷， 无电荷处，电场线是连续通过的。
(4) 它仅适用于 ρ 连续分布的区域； 在分界面上，一般 ρ 不连续而不能用。 (5) E 有三个分量，仅此方程还不能完全确定它。
r
第一节 电荷和电场 (20)
例题：电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内，求各点场强的 散度和旋度。 解：作半径为 r 的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上 各点的电场强度有相同的数值 E，并沿径向。(选择坐标系 ! ) 当 r > a 时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得
∫ E ⋅ dS = 0 说明总的电通量为零，这时可能是电场线
S
r
r
——这就是高斯定理的积分形式。
适合于求解某种具有对称性的场强。 结论：闭合面的 E 通量只与闭合曲面 S 内的电荷有关，与 曲面 S 外的电荷分布无关。
r E 是由封闭面 S 内、外所有电荷激发的场强的矢量
和。
既有穿出又有穿入的情况。
E
S
r r ∫ E ⋅ dS =
=
∫
S
Qˆ r r r ⋅ dS 2 4πε 0 r 1
Q
dΩ
dS
θ
r
dS ′
为面元 dS 相对于电荷 Q 所张开的立体角元。
r r （θ 是 dS 与 E 的夹角）
Q cos θ dS 4πε 0 ∫S r 2 1
Q
∴
∫ dΩ = 4π
S
高斯定理：
S
∫ E ⋅ dS = ε
第一章 电磁现象的普遍规律
电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律
§1, 电荷和电场 §2, 电流和磁场 §3, 麦克斯韦方程组 §4, 介质的电磁特性 §5, 电磁场边值关系 §6, 电磁场的能量和能流
电动力学概念整理
场：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。
梯度：函数在空间某点的方向导数有无穷多个，其中值为最大的那个定义为梯度。
唯一性定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。
第一章电磁现象的普遍规律静电场：它的方向沿试探电荷受力的方向，大小与试探点电荷无关。
给定Q，它仅是空间点函数，静电场是一个矢量场。
场的叠加原理：电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
电荷守恒定律：封闭系统内的总电荷严格保持不变。
对于开放系统，单位时间流出区域V 的电荷总量等于V内电量的减少率。
电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场。
有极分子：无外场时，正负电荷中心不重合，有分子电偶极矩。
但固有取向无规，不表现宏观电矩。
无极分子：无外场时，正负电荷中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。
分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。
无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。
介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩。
或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列。
极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。
介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。
在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩。
传导电流：介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流。
磁化电流：当介质被磁化后，由于分子电流的不均匀会出现宏观电流，称为磁化电流。
能量：物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。
主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
能量守恒与转化：能量在不同形式之间可以相互转化，但总量保持不变。
能流密度矢量（玻印亭矢量）：它表示单位时间、垂直通过单位面积的能量，用来描述能量的传播。
电动力学-第一章 -2010-9
1773年卡文迪什同心球：2×10－2
描述一个静止点电荷对另一静止点电荷的作用力 给出两电荷之间作用力的大小和方向
10
电 场
如何理解库仑力？
1. 超距作用，即一个电荷把作用力直接施加于另一电荷上。 2. 电场来传递，不是直接的超距作用。 共识： 静电时，两种描述是等价的 电荷运动时，特别是电荷发生迅变时，场传递的观点是正确的
r ρ x Ε dV 3 4πε0 r 对场中任意点电荷受力 F Q' Ε 仍成立
12
高斯定理和静电场的散度方程
1. 高斯定理
Q Q Ε d S 4πε0 d ε0
• 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介 电常数比值； • 它适用求解对称性很高情况下的静电场； • 它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内的关系， 不反应电场的点与点间的关系； • 电场是有源场，源为电荷。
13
dS
n
E
讨论： a.
当区域内的电荷不连续
Q1 Q2 Qi
1 Ε dS ε0 Qi i
b. 当区域内电荷连续分布
QN
1 Ε dS ε0 V dV
c. 如何证明高斯定理
Q Q Ε d S 4πε0 d ε0
利用点电荷验证高斯定理的正确性
I
S
恒定律
SJ dS V t dV
J
S
J 0 t
（电流密度连续性方程）
8
库仑定律: 静电现象基本实验定律
两个点电荷之间相互作用力的规律
F k
QQ '
| r r ' |2 QQ ' ( r r ' ) 3 4 0 | r r ' |
电动力学第一章小结
韦方程 组
������(������′ )������������ ������
������ |������−������′ |������
������������ ������′=
������ ������ 0
磁场旋度和散度的公式的证明：P12-P13 以上公式仅限于稳恒电磁场中成立，有局限性，在变化的电磁场中，有进一 步的麦克斯韦方程。
洛 伦 ������
Part 3
兹 力 公式
所以电荷系统单位体积受到的力密度为：������
= ������������ + ������ × ������ = ������������，所以一个粒子受到电
把电磁作用力公式应用到一个粒子上，由于������ 磁力的作用为：������
= q������ + qv × ������
������
������������ ������ ∙ ������������ = − ∙ ������������ ������ ������������
������������
化为微分形式后得
组
������ × ������ = − ������������
② 位移电流：在恒定电流的情况下 但在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再是闭合的，此 时的电荷守恒定律有：
感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律可写为
一般 情况
Part 4
������ ∙ ������������ = −
������
������ ������������
������ ∙ ������������
电动力学章节总结
电动力学章节总结电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、电势等电现象及其相互作用规律。
在电动力学这一章节中，我们主要学习了库仑定律、电场、电势、电场能、电势能、电容、电流、电阻、导体等知识。
下面是对这些知识的总结：库仑定律是电动力学的基础，它描述了两个电荷之间的作用力与电荷的大小和距离的关系。
库仑定律是一个距离的平方反比关系，即两个电荷之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律可以用数学公式表示为：F=k*(q1*q2)/r^2，其中F是两个电荷之间的作用力，q1和q2是两个电荷的大小，r是它们之间的距离，k是一个常数。
电场是电荷在周围空间中产生的一种物理量，它描述了电荷对周围空间的影响。
电场可以用一个矢量表示，其方向与电荷正电荷的排斥方向相同，与电荷负电荷的吸引方向相同。
电场强度可以用电场力单位电荷的大小来描述，表示为E=F/q，其中E是电场强度，F是电场力，q是单位电荷。
在电场中，电荷受到的力是由电场力决定的，这个力为电荷的大小与电场强度的乘积。
电场力的大小可以通过电场力的公式计算：F=q*E，其中F是电场力，q是电荷的大小，E是电场强度。
电势是描述电场中其中一点电势能大小的物理量，它表示单位正电荷在该点处所具有的能量。
电势可以用电势差来表示，电势差是表示两个位置之间电势差异的物理量。
电势差的大小可以通过电势差的公式计算：ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个位置移到另一个位置所作的功，q是电荷的大小。
电场能是电场中储存的能量，它表示电场所具有的能量密度。
电场能的大小可以通过电场能的公式计算：U=(1/2)*ε0*E^2，其中U是电场能，ε0是真空介电常数，E是电场强度。
电势能是指电荷在电场中由于位置产生的能量，它表示电荷所具有的能量密度。
电势能的大小可以通过电势能的公式计算：PE=q*ΔV，其中PE是电势能，q是电荷的大小，ΔV是电势差。
电容是指导体存储电荷的能力，它是电容器的重要参数。
电动力学第一章 电磁现象的普遍规律
0 J ( x ) r ' B dV B d S B dV ' 3 S V 4π V r ' 0 J( x ) r ' ( ) dV dV ' 3 4π V V r
0
证毕
2、磁场的散度方程
B dS 0
第一章第二节
电流与磁场
§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
dI J 两者关系： dS cos dI J cos dS J dS
0 Ir 1 (r )e z 0 J 2 r r 2 π a
S
dV V t
一般情况微分形式
J 0 t
J 0
⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系, ⑵ 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。
二、磁场以及有关的两个定律
磁场：通电导线间有相互作用力。与静电场类比假定 导线周围存在着场，该场与永久磁铁产生的磁场性质 类似，因此称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用 磁感应强度来描述。
S
B dl B dS
L
B 0 J
旋度方程
B 0 J
1）稳恒磁场为有旋场。 2）应用该公式必须在电流连续分布区域， 不连续区只有用环路定理； 3）该方程可直接由毕萨定律推出(看书13页） 4）它只对稳恒电流磁场成立。
2π rB 0 I
0 r a
2
B
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第一章电磁现象的普遍规律本早重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。
§ 1.电荷和静电场一、库仑定律和电场强度1. 库仑定律-QQ* 一个静止点电荷Q对另一静止点电荷Q •的作用力为：F 34 宓o r3⑴ 静电学的基本实验定律（2）两种物理解释超距作用：一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。
场传递：相互作用通过场来传递。
对静电情况两者等价。
2•点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。
它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。
对库仑定律重新解释：描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。
描述电场的函数一一电场强度定义：试探点电荷F，则Q r4二；0 r3它与试探点电荷无关，给定Q，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场—静电场。
3 •场的叠加原理（实验定律）n个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量nQ八十冷E i 。
i 4 4• -0 * i =14.电荷密度分布dQ 「x dV Q = V ' x dV,5.连续分布电荷激发的电场强度Mi 爲 dV■或E&）「s 广 AdSs4 兀 ® r对于场中的一个点电荷，受力F 二QE 仍然成立。
若已知'X ,原则上可求出E x ,若积分不可，可近似求解或数值积 分。
但是在许多实际情况，不总是已知的，例如，空间存在导体线介质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般 是不知道或不可测的，它们产生一个附加场E •，总场E 总=E E ，因此要确定空间电场在许多情况下，不能用上式，而需用其他方法。
二、高斯定理与静电场的散度方程1.高斯定理E ，dS =Q Q = x dVLs先 “⑴ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。
⑵ 它适用求解某种具有对称性的场强。
x r 或 E（x ）=dl 4二；0 r 3和，即：E(x)体密度:Q dQ面密度:线密度；I x = lim ' '凶dVQ dQ:x飞叫帀二帚Q dQ沖〒冇Q = X dS, Q = L ■ [x dl1⑶ 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系, 的关系。
⑷ 电场是有源场，源心为电荷。
证明1V * x [V ' x ~x dV dV=Qx 在 V 内(V 在 V 内)丨心 1^ - x dV = 1,V 与V 相交，设V 内电荷Q , V ： x-X'dV=1,”,厂戈戈dV dV丈"1科1二 Vi ，XdV 十2. 静电场的散度方程。
L E dS^ EdV — Jx dV不反应场点与点E — 4二；o「3^rdv了 E dS =1[1S4二；04二；° '、4 dV dV (:龙一丈 r1 )=1 •V 」X V 4-二 x4二；ox -x dV dVd^Q(b)x 不在V 内（V 在V 内）E "010S EdV4由于它对任意V均成立，所以被积函数应相等，即有\ E⑴它又称为静电场高斯定理的微分形式。
⑵ 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的Q无关。
（但要注意：E本身与其它点电荷仍有密切关系），E = 0，但J E dS = 0。
⑶它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况电力线发源于正电荷，「E・0,4电力线终止于负电荷，'、-E ■ 0, T ::: 0无电荷处电力线连续通过，「E = 0, r = 0⑷ 它仅适用于T连续分布的区域，在分界面上，一般T不连续不能用。
⑸ 由于E有三个分量，仅此方程不能确定E，还要知道E的旋度方程。
三、静电场的环路定理与旋度方程1.环路定理Q E d^ =0⑴静电场对任意闭合回路的环量为零。
说明在L回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。
证明（不要求）[E dlV嘖阳屮V]dS三02.旋度方程□ 二.$1 E dS=0 （由于L 任意）•••、' E=0⑴它又称为环路定理的微分形式。
⑵它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
■+⑶ 在分界面上一般E不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变_ 4：-7 ：：-7 E = 0⑷ 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为四、静电场的基本方程B 屮P可汉E =0,可E =—微分形式$0Q 1打E dl =0，H E =—f P（x dV f积分形式巴』S® 名0物理意义：反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。
物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。
［例］:电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。
［解］:它的场强由高斯定理可求出，Q rE 3 r a （与点电荷在r a处产生的场相同）4二；。
r3r :：a求散度：ry —E 社；弧' ；生4昭0a 4昭0a 4兀Q又因为在球内3，所以' E =—4 兀a3%Q ；r a, I E 3= 0 r = 0 ,即 ' E = 0。
4殆°r3Q 4求旋度：r ::: a, E 3、r4 瓏°a3'、r§ 2.电流和静磁场I :单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）J :方向：沿导体内一点电荷流动方向 大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
JAtdScosOI 与J 的关系 I dI J dS ,电荷守恒的实验定律语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。
时间流出电荷总量等于 V 内电量的减少率。
44e xeye z-■dxczx —x' y —y" z ~z>因为 i r 口=0，所以 I E =0。
此外对单一粒子构成的体系J 」vb) 积分形式：单位时间流出封闭曲面总电量为 Q s J dS （流出为正, 流入为负），闭合曲面内电量的减少率为 dQ _ d_dt _dt _r _r- p所以有：□ J dS = - v 〒dV又••• Q = * ?dV ，dVdQ -dt ，cP dV V若为全空间，总电量不随时间变化，故坐二0，总电荷守恒。
dt1.、电荷守恒定律电流强度和电流密度（矢量）若是一个小面兀，则用dl 表示，dl =J^，JdI=J dScos 日=J dS2.a) 对于开放系统，单位微分形式：••• 17 J 麗=—［帝JdV =「—竺IdVI2s叫建丿而V 是任意的，••• V J 「，或 \ - Ja戲⑴ 反映空间某点 T 与J 之间的变化关系，电流线一般不闭合。
⑵ 若空间各点r 与t 无关，贝y0〉J =0为稳恒电流，4稳恒电流分布无源（流线闭合），r, J 均与t 无关，它产生的场也与 t 无 关。
磁场以及有关的两个定律磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。
假定导线周围存在着一种场， 因它与永久磁铁性质类似， 称为闭合导体：体电流元3.安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律） 线电流元dF IdlB呻 d扌体电流元dF JdV B闭合回路：F 叮泳B 或F 二口/J BdV1. 磁场。
磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度来描述。
2.毕---- 萨定律（电流决定磁场的实验定律）闭合导线：电流元di”1「闭合电流4 二 r 3闭合电流4 [AB - 4■: rr J "-^dVL _V r4. 两电流元之间的相互作用力。
一呻耳,4 . .4 .设两电流兀为jqVpJ z dV?，它们相距r』l r21J1dV1 r12J i dV i在r i2处产生的dB, 0 1彳竺4兀-J2dV2受到的作用力为;J2 J idF12= J2dV2dB,=r i2 3dV,dV2r i2J2dV2在a,处产生的dB2 L0 J2dV2 r12 4 ■:J,dV,受到的作用力为:% J i J2 0 4 ■:3dV i dV2「21在一般情况下，dF12 =dF21因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。
原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。
5. 两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题10）I lf dl i r,2 证明：dF12=l2dl dB, 0—4 兀r i2F12o l 1124 二(dl2 r i2 )dl i —(d〔2 dl i )r；2 』！3ri2J o l i l/4<34dS——0r i2)2-3 22d2L--3ri2-dl i dl2 r,23■ r 21 = -»2- - F 12 = _F 21三、安培环路定理和磁场的旋度方程1.环路定理 心仁％I （ i = J dS 为L 中所环连的电流强度(■、 '、、 AA -1 2A)I i同理可得F 21业(dh dl2 )3 血2—L3 r21证明：］L B dldl（V 为J x 所在区域）4■:v dVp 「J x d 「dl(VxrJ x 二—J '、、1)r4 ■: vdVJ、J2LrdS（斯托克斯公式）F S〔sdS]VdVA 4■:s dS V J 八 T dVS dS v J x -4二 x-x dV("r =°)=% ! ! J X ［X -X dV dS4 44=4。
S J （X ）dS说明：⑴静磁场沿任一闭合回路 L 的环量等于真空磁导率乘以从 L 中穿过的电流强度。
⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系，对于某些具有很4高对称性的问题可求出 B2. 旋度方程' B = %J由口 Bd|・=sB dS - dS因为s 为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明：1）磁场为有旋场，但在无 J 分布区，旋度场为零，不连续区只要用环路定理；2） 该方程可直接由毕萨定律推出（见教材p16— 19） I3）它有三个分量方程，但.' ' B =0,故只有两个独立，它只对稳恒电流成立。
四•磁场的通量和散度方程I1.通量：QB dS = 0证明:r' J x 0 , 厂 0r2. 散度方程：' B =0J 必须是连续函数，J]s BdS = VL B d V W v V 厂二2 dVdVr这里注意其中:证明：口 B ・dg= v 「BdV =0，因为V 任意，所以「B=0，它 可以从毕萨定律直接证明。
说明：1） 静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合； 2） 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。