立体几何-空间向量与立体几何课件
5 3.
a
16
方法二 (1)解 设AB＝1，可得AD＝2， AA1＝4，CF＝1，CE＝12.
连结B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，
易知A1D∥B1C. 由CCEB＝CCCF1＝14，可知EF∥BC1，
故异面直线EF与A1D所成的角即为 BC1与B1C所成的角，即为∠BMC.易知BM＝CM＝12B1C＝ 5， 所以cos ∠BMC＝BM22＋·BCMM·C2－MBC2＝35. 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.
又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
a
10
归纳拓展 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直 线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法， 用向量法更为普遍． (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量 共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方 向向量垂直证明． (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向 量垂直来证明．
1
(2)解 在△CEF 中，由(1)可得 EF＝CF＝ 6， CE＝2 3， 于是有 EF2＋CF2＝CE2，所以 CF⊥EF. 又由(1)知 CF⊥C1E，且 EF∩C1E＝E， 所以 CF⊥平面 C1EF. 又 C1F⊂平面 C1EF，故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E－CF－C1 的平面角． 由(1)知△C1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求 二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
可取 n＝(1， 3，0)．
设二面角 E－CF－C1 的大小为 θ，于是由 θ 为锐角可得 cos θ＝||mm|·|nn||＝ 3×6 2＝ 22，所以 θ＝45°.
即所求二面角 E－CF－C1 的大小为 45°.
a
4
考点整合
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同)．
a
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变式训练 1 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥ AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB.
证明 ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB⊥BC.又 EF∥AB， ∴EF⊥BC.又 EF⊥FB， FB∩BC＝B， ∴EF⊥平面 BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，a ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABC.12
a
6
(3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所 求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可 以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向 量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
在Rt△A1AN中，A1N＝ AN2＋A1A2＝4 530.
连结A1C1，A1F.在Rt△A1C1F中，A1F＝ A1C21＋C1F2＝ 14. 在△A1NF中，cos ∠A1NF＝A1N22＋·AF1NN·2F－NA1F2＝23，
所以sin ∠A1NF＝ 35.
所以二面角A1－ED－F的正弦值为
5 a3 .
又∵GE⊂平面 EDB，HF⊄平面 EDB，∴FH∥平面 EBD.
(2)A→C＝(－2,2,0)，G→E＝(0,0,1)，A→C·G→E＝0，
∴AC⊥GE.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB.
a
13
二、利用向量求空间角 例 2 (2010 ·天津)如图，在长方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1 ＝1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； (2)证明 AF⊥平面 A1ED； (3)求二面角 A1－ED－F 的正弦值．
19
归纳拓展 1.若几何体中含有两两垂直的三条直线，一般要考 虑建立空间直角坐标系，借用空间向量求空间角．恰当建系， 准确写出相关点或向量的坐标是解题的关键． 2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在 平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角 的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
§3 空间向量与立体几何 真题热身
(2011·湖北)如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的
底面边长为 2，侧棱长为 3 2，点 E 在侧棱 AA1 上，点 F 在侧棱 BB1 上，且 AE＝2 2，BF＝ 2.
(1)求证：CF⊥C1E； (2)求二面角 E－CF－C1 的大小．
方法一 (1)证明 由已知可得
CC1＝3 2，CE＝C1F＝ 22＋(2 2)2＝2 3， EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝ 22＋( 2)2＝ 6， 于是有 EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21，
所以 C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又 EF∩CE＝E，所以 C1E⊥平面 CEF.
又 CF⊂平面 CEF，故 CF⊥C1Ea .
则uu··EE→→FD＝＝00，，
即 12－y＋x＋z＝12y0＝，0.
不妨令 x＝1，可得 u＝(1,2，－1)，由(2)可知，A→F为平面 A1ED 为
一个法向量，于是 cos〈u，A→F〉＝|uu|·|A→A→FF|＝23，
从而 sin〈u，A→F〉＝ 35.
所以二面角
A1－ED－F
的正弦值为
5
2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35.
(2)证明 易知A→F＝(1,2,1)，E→A1＝(－1，－32，4)，E→D＝(－1，12， 0)，于是A→F·E→A1＝0，A→F·E→D＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面aA1ED.
15
(3)解 设平面 EFD 的法向量 u＝(x，y，z)，
a
20
变式训练2 (2011·山东)在如图所示的 几何体中,四边形ABCD为平行四边 形,∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD， EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB ＝2EF. (1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE； (2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．
a
a
22
方法二 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，
所以∠EGF＝90°，
△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF，
所以BC＝2FG.
取BC的中点N，连结GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，
所以GN∥FB.
在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连结MN，
a
18
(3)解 连结A1N，FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.
又NF⊂平面ACF，A1N⊂平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.
故∠A1NF为二面角A1－ED－F的平面角． 易知Rt△CNE∽Rt△CBA，所以CBNC＝EACC.
又AC＝ 5，所以CN＝ 55.
在Rt△CNF中，NF＝ CF2＋CN2＝ 530.
∴D→E＝(－2,4,0)，N→C＝(－2,4,0)， ∴D→E＝N→C，
∴DE∥NC，又∵NC⊂平面 ABC， DE⊄平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
a
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(2)B→1F＝(－2,2，－4)， E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)． B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B→1F⊥E→F，B→1F⊥A→F，即 B1F⊥EF，B1F⊥AF，
21
(1)证明 方法一 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB ＝90°， 所以∠EGF＝90°， △ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 连结AF， 由于FG∥BC，FG＝12BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点， 则AM∥BC，且AM＝12BC，因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE.
以 H 为坐标原点，H→B为 x 轴正方向，H→F为 z 轴正方向，建立
如图所示的坐标系．
设 BH＝1，则 A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)， D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)． (1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连结 GE，GH，
则 G(0，－1,0)，∴G→E＝(0,0,1)． 又H→F＝(0,0,1)，∴H→F∥G→E，即 HF∥GE.
(2)解 C→E＝(0，－2,2 2)，设平面 CEF 的一个法向量为 m＝(x，
y，z)，
0， ，
即－2y＋2 2z＝0， 3x－y＋ 2z＝0，
解得y＝ 2z， x＝0a.
3
可取 m＝(0， 2，1)．
设侧面 BC1 的一个法向量为 n，由 n⊥C→B，n⊥C→C1， 及C→B＝( 3，－1,0)，C→C1＝(0,0,3 2)，
合集下载
第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
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+ − ＝ − − ，
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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2
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1
+ + ＝－ − + .因为＝
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+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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问题式预习
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问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
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1.2 空间向量基本定理
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问题式预习
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
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AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
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AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第1课时 空间向量与立体几何
(
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
高一数学ppt课件 空间向量与立体几何课件4
→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行 设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
A.90°
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
B.60° C.45°
C)
D.30°
解析 设AC和平面α所成的角为θ,
则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θ=
1 2 3 4 5
2
√,所以θ=45°.
2
3.[2023甘肃永昌高二阶段检测]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,
AA1=1,则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )
21
规律方法
1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条
斜线在平面内的射影所成的角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的
角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.
2.找射影的两种方法
3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺
少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响结论.
√6
A.
3
1 2 3 4 5
√10
B.
2
√15
C.
5
√10
D.
5
解析 以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立
空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),
∴1 =(-2,0,1), =(-2,2,0),易知 为平面 BB1D1D 的一个法向量,
θ=|cos
|CB|2 + |BA|2 + |AS| 2 = √3,
√3
φ|= 3 ,
√3
所成的角的正弦值为 3 .
∴cos<1 , >=
1 ·
|1 || |
∴直线 BC1 与平面
高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.5)ppt课件
2019/8/29
最新中小学教学课件
30
规律方法 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的 方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； ②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； ③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转 化为数量积为零.
3.1.5 空间向量的数量积
15
跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱
④|a·b|≤|a|·|b|
3.1.5 空间向量的数量积
8
预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 空间向量的数量积运算
例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，
E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： (1)B→C·E→D1；(2)B→F·A→B1；(3)E→F·F→C1. 解 如图，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
3.1.5 空间向量的数量积
1234
27
课堂小结
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量 积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向 量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两 个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
3.1.5 空间向量的数量积
28
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间中的点、直线与空间向量
设 AE=BF=x(0<x<a),
∴E(a,x,0),F(a-x,a,0).
∴1 =(-x,a,-a),1 =(a,x-a,-a).
∵1 ·1 =(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
∴1 ⊥ 1 ,即 A1F⊥C1E.
不利用向量的坐标运算能否证明A1F⊥C1E?试证明.
若l∥m,则(
)
A.x1=x2,y1=y2,z1=z2
B.x1=kx2,y1=py2,z1=qz2,k,p,q∈R
C.x1x2+y1y2+z1z2=0
D.x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2,λ∈R
答案:D
探究二
利用空间向量证明线线垂直问题
【例2】 在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动
由1 = 1 ,得 A1(√3,1,√3).
∵1 =(-√3,1,-√3),1 =(√3,-1,-√3),
一、位置向量
1.如果 为已知,那么点P是不是可以确定的?若点A已定呢?
提示:否.点P是确定的.
2.一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以
由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的位置向量.特别地,空间直角
坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯
为
.
答案:0° 45°
90°
;A1B1与BC所成角的大小
;
【思考辨析】
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间直角坐标系Oxyz中,任意一点P都由它的位置向量 唯一确定.
( √ )
∴E(a,x,0),F(a-x,a,0).
∴1 =(-x,a,-a),1 =(a,x-a,-a).
∵1 ·1 =(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,
∴1 ⊥ 1 ,即 A1F⊥C1E.
不利用向量的坐标运算能否证明A1F⊥C1E?试证明.
若l∥m,则(
)
A.x1=x2,y1=y2,z1=z2
B.x1=kx2,y1=py2,z1=qz2,k,p,q∈R
C.x1x2+y1y2+z1z2=0
D.x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2,λ∈R
答案:D
探究二
利用空间向量证明线线垂直问题
【例2】 在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动
由1 = 1 ,得 A1(√3,1,√3).
∵1 =(-√3,1,-√3),1 =(√3,-1,-√3),
一、位置向量
1.如果 为已知,那么点P是不是可以确定的?若点A已定呢?
提示:否.点P是确定的.
2.一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以
由向量 唯一确定,此时, 通常称为点P的位置向量.特别地,空间直角
坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯
为
.
答案:0° 45°
90°
;A1B1与BC所成角的大小
;
【思考辨析】
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间直角坐标系Oxyz中,任意一点P都由它的位置向量 唯一确定.
( √ )
二轮复习通用版专题3第3讲立体几何与空间向量课件(72张)
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专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
设平面 ABD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0， 取 y＝ 3，
则 n＝(3， 3，3)，
又因为
C(－1，0，0)，F0，
43，34，
所以C→F＝1，
43，34，
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专题三 立体几何
4 ．(2022·全国乙卷 ) 如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在 BD 上 ， 当 △AFC 的 面 积 最 小 时 ， 求 CF 与 平 面 ABD所成的角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原 点，建立空间直角坐标系，如图，
由(1)得 AE＝ 2，所以 AA1＝AB＝2，A1B ＝2 2，
所以 BC＝2， 则 A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)， C(2，0，0)， 所以 A1C 的中点 D(1，1，1)，
(1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 (1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别 交于点G、H.
∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝ 5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，
则
VA
－
A1BC
＝
1 3
S△A1BC·h