3.2.1对数及其运算(两课时)
课题 §3.2.1 对数及其运算（一） （一）学习目标 知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。 过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。 情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。
（二）重点难点 重点：对数的定义 难点：对数的概念、对数的符号表示
（三）教学内容安排 1．复习引入
细胞分裂x次后，细胞个数为2xy；给定分裂次数x，可求出细胞分裂后的个数y， 分裂次数x 1 2 3 4 5 6 细胞个数y 2 4
实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y，计算分裂的次数x， 分裂次数x … … 细胞个数y … 8 32 64 128 256 …
又如指数式9xy中，已知底数9和幂y的值，求指数x，怎样求呢？ 2．新授内容 在指数函数xya0,1aa中，对实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一
的值y和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一的值x和它对应；我们把幂指数x叫做以a为底 y的对数。 定义：一般地，对于指数式 Nab 0,1aa，我们把数 b叫做以a为底 N的对数，记作 logabN，读作“数 b等于以a为底 N的对数”，a叫做对数的底数，N叫做真数。 学生举例 例如：1642 216log4 ; 1001022100log10
2421 212log4 ; 01.0102201.0log10
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵01loga，1logaa
∵对任意 0a且 1a, 都有 10a ∴01loga 同样易知： 1logaa ⑶对数恒等式 如果把 Nab 中的 b写成 Nalog, 则有 NaNalog
⑷底数的取值范围),1()1,0(；真数的取值范围范围),0(。 ⑸常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN。
例如：5log10简记作lg5 ; 5.3log10简记作lg3.5.
3、讲授范例 例1将下列指数式写成对数式：
（1）45=625 （2）62=641 （3）a3=27 (4) m）（31=5.73 例2 将下列对数式写成指数式： （1）416log21； （2）2log128=-7；
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303 例3计算：（1）12log16； （2）2log128=； （3）lg0.01；
（4） lg100 （５）4.0log1 （６）2log
16
1
例4利用科学计算器求对数（精确到0.0001） lg1112； lg0.668； lg396； lg0.0345 4、课堂练习：巩固练习（课本第95、96页练习A）
5、小结 6、课后作业：课本第95、96页练习B （四）教学资源建议 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它
们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当1,0aa时，NabNbalog．所以
指数式Nab中的底数，指数，幂与对数式bNalog中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：
本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由Nab0,1aa引出，在这个式子中，已知一个数a和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对
数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对Nab的全面认识
（五）教学方法与学习指导策略建议 对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a
和真数N的要求；其次对于对数的性质)1,0(1log,01logaaaaa及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段
课题 §3.2.1 对数及其运算（二） （一）学习目标 知识与技能：理解推导对数运算法则的依据和过程，掌握对数运算法则；能较熟练地运用对数运算法则解决问题 过程与方法：通过对数运算法则的探究及推导过程，培养学生的合情推理能力、演绎归纳的数学思想方法； 情感、态度与价值观：通过合情推理和演绎归纳的思想运用，培养学生相互联系相互转化以及从特殊到一般的辩证唯物主义观点，以及大胆探索、实事求是的科学精神。
（二）重点难点 重点：对数运算法则及推导、应用 难点：对数运算法则的探究与证明.
（三）教学内容安排 1．复习引入 如果看到bNalog这个式子会有何联想? 由学生回答(1)0a (2) 1a (3)0N (4)Nab． 从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．
由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：nmnmaaa，nmnmaaa，mnnmaa)(． 2．新授内容 直接提出课题：若)log(loglog,0,0,1,0NMNMNMaaaa是否成立?
由学生讨论并举出实例说明其不成立，教师肯定结论的正确，再提出?loglogNMaa 让学生探究有什么规律? 由学生回答应有MNNMaaalogloglog成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意NM,都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．
证明：设qNpMaalog,log则NaMaqp,，由指数运算法则
得NMaaaqpqp qpMNa)(log，
即NMMNaaaloglog)(log． (板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)． (2)能用文字语言叙述这条法则：两个正因数的积的对数等于同一底数的各因数对数的和．
(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得PNMMNPaaaalogloglog)(log． (条件同前)
(4)利用法则完成下面的运算：(1))6432(log2 (2)51log5log33 (3)3log2log66 由学生总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．
提出新问题： )0,,1,0(?logNMaaN
M
a．
可由学生说出NMNMaaalogloglog．得到大家认可后，再让学生完成证明． 证明：设qNpMaalog,log则NaMaqp,，由指数运算法则得NMaaaqpqp NMqpNMaaalogloglog．
教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论? 有的学生可能会提出把NM看成NM1再用法则，但无法解决Na1log计算问题，再引导学生如何
回避Na1log的问题．经思考可以得到如下证法 NMNNNMNMaaaaaaloglogloglogloglog．或证明如下
NNMNNMMaaaaloglog)(loglog，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的
思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．(两个正因数的商的对数等于同一底数的各因数对数的差．)
请学生完成下面的计算： (1)10010lg (2)2lg20lg．
提出新问题： )0,1,0(?logMaaMna学生在说出结论的同时就可给出证明如下：
设,logpMa则,MappnnpnaaM)(，MnManaloglog．如学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究． 将三条法则写在一起，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则 积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
()()()aaaaaaaalog(MN)logMlogN1MloglogMlogN2
N
logMlogM(R)3
(1) 了解法则的由来．(怎么证) (2) 掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述) (3) 法则使用的条件．(使每一个对数都有意义) (4) 法则的功能．(要求能正反使用)
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如110log2log5log101010
③真数的取值范围必须是),0(： )5(log)3(log)5)(3(log222 是不成立的； )10(log2)10(log10210是不成立的 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：
3.2.1对数——对数的概念课件(苏教版)
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分
●教学建议
方 法
析
技
教
1．对数概念的引入
能
学 方
建议教师先让学生阅读教材中的实例，体会数学概念源
当 堂
案
双
设 于生活，再复习指数式，引入对数概念，便于学生接受． 基
计
达
课
2．关于指数式与对数式互化的教学
析
法 技
能
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
【思路探究】 根据对数的定义 ab＝N(a>0，且 a≠1)⇔ 业
课 堂 互 动 探 究
logaN＝b(a>0 且 a≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式 和对数式中的位置．
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分 析
【自主解答】 (1)①由 3－3＝217，得 log3217＝－3.
菜单
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思 想 方 法 技 能
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ ·数学 必修1
思 想 方 法 技 能
数学：3.2.1《对数及其运算》课件(新人教B版必修1)
变式训练 5 (1)log2
求下列各式的值：
1 1 ＋log212－ log26； 24 2
(2)log9 2· 43＋log83)． (log
分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的 这两个质因子的积或幂，所以可运用对数运 算性质直接将原式转化为含log23的式子再化 简即可．或利用题中各对数均为同底的对数， 可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问 题． (2)所含对数底数不同，因此可考虑用对 数换底公式化为同底对数的运算．
(1)解法一：log2
1 1 ＋log212－ log26 24 2
分析：根据对数式的定义求解．
1 解：(1)log3 ＝x； 27 1 1 (3)log5 ＝－ ； 2 5 (5)10－3＝0.001； (4)( 2)4＝4； (6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
评析：明确对数的定义是解题的关 键．指数式与对数式是互逆的，二者能够相 互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对 指数式和对数式的理解，为后面学习对数函 数打下坚实的基础．
分析：利用对数的性质求值，首先要明 确解题目标是化异为同，先使各项底数相同， 才能使用性质，再找真数间的联系，对于复 杂的真数，可以先化简再计算．
解：(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 10 (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg · lg(2×10)＋(lg2)2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)· (lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. 1 log 2· 73 2log log5 2· 79 2 5 log (3)∵ ＝ 1 1 3 log5 · 7 4 －log53·log74 log 3 3 lg2 lg3 · lg5 lg7 3 ＝－ ＝－ ， lg3 1lg4 2 · lg5 3lg7
教学设计3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。
对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。
我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。
即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。
前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。
在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解，对数性质的理解。
四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。
《对数》指数函数与对数函数PPT教学课件(第二课时对数的运算)
第二课时 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
性质 质进行对数的有关计算
了解换底公式，能用换底公式将一般
换底公式
数学运算
对数化为自然对数或常用对数
能灵活运用对数的基本性质、对数的 对数运算的
运算性质及换底公式解决对数运算 综合问题
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意 义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5) 是错误的． 2．换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca_____ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
2. 1 1＋ 1 1＝________． log149 log513 11
解析：log14119＋log11513＝llgg419＋llgg513＝－ －22llgg23＋－ －llgg53＝llgg23＋llgg53＝lg13＝ log310. 答案：log310
)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选 C.log219·log3215·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝ －8log23·log35·log52＝－8.
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
4．已知
a2＝1861(a>0)，则
log2a＝________． 3
解析：由 a2＝1861(a>0)得 a＝49， 所以 log3249＝log23232＝2. 答案：2
3.2.1对数及其运算1课件人教新课标B版
例题讲授
• 例2 计算下列各式中 x 的值： (1)logx 8 6; (2)lg100 x; (3) ln e2 x; (4)lg1 x.
探究四：对数恒等式
• 求下列各式中 x 的值：
(1)2log2 3 x =3
• 一般地，如果ax N (a 0且a 1)，那么数_x_
叫做以_a_为底_N_的对数，记做 x log a N
a_______. 底数 N
真数
叫做对数的____， 叫做_____.
注意：
a 0且a 1（为什么？）
（1）底数的限制：
log N （2）对数的书写格式： a
探究一：对数的概念
一、导入
口算下列各式：
2x 2 x _1__
2x 4 x __2_ 2x 8 x __3_
2x 16 x _4__
2x 10 x _?__
对数
对数与对数运算
二、探究学习
探究一：对数的概念 • 思考：已知底数和幂的值，怎样求指数
呢？例如：2x 由10 ，x 求 .
探究一：对数的概念
(2)log
8
x
2 3
(3)lg0.1 x (4)4logx 7 7
课后作业
• 完成导学案【模块六：课后作业】
数的对数，把 loge N 记为__ln_N______
例题讲授
• 例1 将下列指数式写成对数式或对数式写成 指数式：
（1）54 625;
（2）log 116 -4;
2
（3）2-6 1 ; 64
(4)lg0.01 -2;
(5) 1 m 5.73; (6)ln10 2.303. 3
3.2.1(一)对数及其运算教案学生版
§3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算(一)【学习要求】1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.【学法指导】通过实例了解对数的概念,通过指数式与对数式的相互转化感受数学变换的思想方法,感知事物都是相互联系的辩证唯物主义的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数的概念在指数函数f(x)＝a x(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应. 幂指数x ,又叫做以a 为底y的对数.一般地,对于指数式a b＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作 log a N ,即b＝log a N(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N2.对数log a N(a>0,且a≠1)的性质(1) 0和负数没有对数,即N>0;(2)1的对数为0,即log a1＝0 ;(3)底的对数等于即log a a＝1 .3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作lg N .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一对数的概念问题1若24＝M,则M等于多少？若2－2＝N,则N等于多少？问题2若2x＝16,则x等于多少？若2x＝14,则x等于多少？问题3满足2x＝3的x的值,我们用log23表示,即x＝log23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16,2x＝14,4x＝8的x的值如何表示？探究点二对数与指数的关系问题1当a>0,且a≠1时,若a x＝N,则x＝log a N,反之成立吗？为什么？问题2在指数式a x＝N和对数式x＝log a N中,a,x,N各自的地位有什么不同？问题3若a b＝N,则b＝log a N,二者组合可得什么等式？问题4当a>0,且a≠1时,log a(－2),log a0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？.问题5根据对数定义,log a1和log a a (a>0,a≠1)的值分别是多少？例1 求log 22, log 21, log 216, log 212.跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73.例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x ＝－23; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x)＝0;(2)log 3(lg x)＝1; (3)log (2－1)13＋22＝x.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是 ( )A.x>－1B.x>－1且x≠0C.x≠0D.x ∈R2.已知log 12x ＝3,则x 13＝________. 3.已知a 12＝49(a>0),则log 23a ＝_________. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b.2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.3.对数恒等式有:a log a N ＝N,log a a n ＝n.4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N.。
高中数学 3.2.1 对数及其运算教案 新人教B版必修1
64第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①(12)4＝？(12)x＝0.125 x ＝？②(1＋8%)x＝2 x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课新知探究提出问题错误!活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1813＝1.01x，则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x ＝log 1.011813.其他的可类似得到，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．实质上，上述对数表达式，不过是指数式N ＝a b的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系：a Nb 指数式a b＝N 底数 幂 指数 对数式log a N ＝b对数的底数真数对数例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；214＝2⇔12＝log 42；10－2＝0.01－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a>0，且a≠1的值.③负数与零有没有对数？④alogaN＝N 与log a a b＝ba>0，且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了：a ＞0，且a≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0，且a≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0. 同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R ，a b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为a b＝N ，所以b ＝log a N ，a b＝alogaN＝N ，即alogaN＝N.因为a b＝a b，所以log a a b＝b.故两个式子都成立．(alog a N ＝N 叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5；log 103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22，log 21，log 216，log 212.解：因为21＝2，所以log 22＝1； 因为20＝1，所以log 21＝0； 因为24＝16，所以log 216＝4； 因为2－1＝12，所以log 212＝－1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算：所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是( )(1)若log 5x ＝3，则x ＝15 (2)若log 25x ＝12，则x ＝5 (3)若log x 5＝0，则x ＝ 5 (4)若log 5x ＝－3，则x ＝1125A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log 5x ＝3，所以x ＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log 25x ＝12，所以x ＝2512＝5，正确；对于(3)，因为log x 5＝0，所以x 0＝5，无解，错误； 对于(4)，因为log 5x ＝－3，所以x ＝5－3＝1125，正确．总之(2)(4)正确．答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算：(1)log 927；(2) 43log 81；(3)log (2＋3)(2－3)；(4) 345log625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则(43)x＝81,43x ＝34，所以x ＝16.(3)令x ＝log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1，所以(2＋3)x＝(2＋3)－1，x ＝－1. (4)令x ＝345log625，所以(354)x＝625,x 345＝54，x ＝3.解法二：(1)log 927＝log 933＝log 9932＝32.(2) 43log 81＝43log (43)16＝16.(3)log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(4) 345log625＝345log(354)3＝3.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝19；(7)(14)－2＝16. 解：(1)2＝log 416；(2)0＝log 31；(3)x ＝log 42；(4)x ＝log 20.5；(5)4＝log 5625；(6)－2＝log 319；(7)－2＝log 1416.2．把下列各题的对数式写成指数式：(1)x ＝log 527；(2)x ＝log 87；(3)x ＝log 43；(4)x ＝log 713；(5)log 216＝4；(6) 31log 27＝－3；(7) 3log x ＝6；(8)log x 64＝－6；(9)log 2128＝7；(10)log 327＝a.解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝13；(5)24＝16；(6)(13)－3＝27；(7)(3)6＝x ；(8)x －6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.3．求下列各式中x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x)＝1；(4)log 3(lgx)＝0.解：(1)因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝(23)－23＝23×(－23)＝2－2＝14； (2)因为log x 27＝34，所以43x ＝27＝33，即x ＝(33)34＝34＝81；(3)因为log 2(log 5x)＝1，所以log 5x ＝2，x ＝52＝25； (4)因为log 3(lgx)＝0，所以lgx ＝1，即x ＝101＝10. 4．(1)求log 84的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)设log 84＝x ，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x ＝23，即log 84＝23； (2)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，根据对数的定义有a m＝2，a n＝3， 所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(2)2·3＝4×3＝12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．拓展提升对于a ＞0，a≠1，下列结论正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N (2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N (3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N (4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2A．(1)(3) B．(2)(4)C．(2) D．(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．回想对数的有关规定．对(1)若M＝N，当M为0或负数时log a M≠log a N，因此错误；对(2)根据对数的定义，若log a M＝log a N，则M＝N，正确；对(3)若log a M2＝log a N2，则M＝±N，因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则log a M2与log a N2都不存在，因此错误．综上，(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值． (1)215－＝15；(2) 2log 4＝x ；(3)3x＝127；(4)(14)x＝64；(5)lg0.000 1＝x.解：(1) 215－＝15化为对数式是log 515＝－12；(2)x ＝2log 4化为指数式是(2)x＝4，即22x ＝22，x2＝2，x ＝4；(3)3x＝127化为对数式是x ＝log 3127，因为3x＝(13)3＝3－3，所以x ＝－3；(4)(14)x ＝64化为对数式是x ＝log 1464，因为(14)x ＝64＝43，所以x ＝－3；(5)lg0.000 1＝x 化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x ＝－4. 例2计算3log35＋3log315的值．解：设x ＝log 315，则3x＝15，(312)x ＝21)51(－，所以x ＝3log15. 所以3log 35＋3log 315＝5＋33log15＝5＋15＝655.例3计算a logab·logbc·logcN(a ＞0，b ＞0，c ＞0，N ＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b＝N log a N ＝b. 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式alog a N ＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n＝a mn；ma n＝a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a(MN)＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n，所以m －n ＝log a M N .又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N.所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN，即log a MN＝log a M －log a N.设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n＝mn.所以log a M n＝mn ＝nlog a M ，即log a M n＝nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN)＝log a M ＋log a N ，① log a MN ＝log a M －log a N ，②log a M n＝nlog a M(n∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a (x 3y 5)；(3)log a x yz ；(4)log a x 2y 3z .解：(1)log a xyz ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y ；(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a 21x －(log a y ＋log a z)＝12log a x－log a y －log a z ； (4)log ax2y 3z＝log a (x 221y 31－z)＝log a x 2＋log a 21y ＋log a 31－z＝2log a x＋12log a y －13log a z.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算：(1)lg 5100；(2)lg4＋lg25；(3)(lg2)2＋lg20×lg5.解：(1)lg 5100＝15lg100＝25；(2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；(3)(lg2)2＋lg20×l g5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52. (3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg(33)12＋lg23－3lg(10)12lg3×2210 ＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32. 思路2例1：求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)． 解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x＝25＝52，所以x ＝2； (2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－34232lg＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.解法二：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(1－lg5)2＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg 18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg3－12lg 1810＝12lg2＋lg3－122lg3＋lg2－1＝122lg3＋lg2－12lg3＋lg2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)． 解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2.(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝22.(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2.知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式： (1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y)；(6)log a [y xx －y ]3. 解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z) ＝13log a x －2log a y －log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z. (3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z.(4)log a xy x 2－y 2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)(x －y)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)－log a (x －y)．(5)log a (x ＋y x －y ·y)＝log a x ＋y x －y＋log a y ＝log a (x ＋y)－log a (x －y)＋log a y.(6)log a [y x(x －y)]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y)]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y)．2．已知f(x 6)＝log 2x ，则f(8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f(x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝632＝212，所以f(8)＝log 2212＝12. 另解：因为f(x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f(x)＝16log 2x. 所以f(8)＝16log 28＝16log 223＝12. 答案：D3．若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A4．若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0，n∈N ＋，下列式子正确的个数为( )①(log a x)n ＝nlog a x ②(log a x)n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a n x ⑦log a x n＝nlog a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lgI ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9＝0.6lgI 1，7.8＝0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2－lgI 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32. 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．拓展提升已知x 、y 、z ＞0，且lgx ＋lgy ＋lgz ＝0，求x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz ＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy ＝t ，则lgt ＝(1lgy ＋1lgz )lgx ＋(1lgz ＋1lgx )lgy ＋(1lgx ＋1lgy)lgz ＝lgx lgy ＋lgx lgz ＋lgy lgz ＋lgy lgx ＋lgz lgx ＋lgz lgy ＝lgx ＋lgz lgy ＋lgx ＋lgy lgz ＋lgy ＋lgz lgx＝－lgy lgy ＋－lgz lgz ＋－lgx lgx ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c . 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a 、b 、c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c＝k(k ＞0)，则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c. 证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg3a ＝lg4b ＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以c a ＝lg3lg6＝log 63，c b ＝lg4lg6＝log 64.又2c a ＋c b＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c. 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．(设计者：卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a≠1，c ＞0，且c≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课新知探究提出问题①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？⑦什么是自然对数，如何用计算器计算自然对数？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg3lg2.因此log 23＝lg3lg2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，xlog a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2， 也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b xlog c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a≠1，b ＞0，c ＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg3lg2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数．以e 为底的对数叫做自然对数．logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN ＝lgN lge ≈lgN 0.434 3，即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值： (1)log 89·log 2732的值；(2)ln1.解：(1)log 89·log 2732＝lg9lg8×lg32lg27＝2lg33lg2×5lg23lg3＝23×53＝109. (2)因为e 0＝1，所以ln1＝0.例2 (1)求证：log x ylog y z ＝log x z.证明：因为log x ylog y z ＝log x y log x z log x y ＝log x z ，所以log x ylog y z ＝log x z.(2)求证：log an b n＝log a b.证明：因为log an b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a b nlog a a＝log a b ，所以log an b n ＝log a b. 点评：本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p.所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x 、4y 、6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x 、y 、z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x 、y 、z∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lgk lg3，y ＝lgk lg4，z ＝lgk lg6， 所以1x ＋12y ＝lg3lgk ＋lg42lgk ＝2lg3＋lg42lgk ＝2lg3＋2lg22lgk ＝lg6lgk ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝(3lg3－4lg4)lgk ＝lg64－lg81lg3·lg4lgk ＝lgk·l g 6481lg3·lg4＜0，所以3x ＜4y.又因为4y －6z ＝(4lg4－6lg6)lgk ＝lg36－lg64lg2·lg6lgk ＝lgk·l g 916lg2·lg6＜0， 所以4y ＜6z.所以3x ＜4y ＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知log a x ＝log a c ＋b ，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a logac ＋b ＝a logac ·a b ＝c·a b. 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c＝b ，由对数定义，知x c＝a b ， 所以x ＝c·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c·a b . 所以x ＝c·a b .点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y)＝lgx ＋lgy ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg12.5－lg 58＋lg0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以xlog c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a. 故log a N ＝log c N log c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝alog a N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n＝c mn .两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c≠1，a ＞0且a≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用．前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M. 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a ＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 作业1．已知271log 17＝a ，31log 15＝b ，求log 81175的值． 解：因为271log 17＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a. 又因为31log 15＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝nlog 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料。
3.2.1对数及其运算
2.不查表,求值. 不查表,求值 不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
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1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;
2020年苏教版高一数学必修1课后练习题：3.2.1对数第2课时(含答案)
对数的运算性质练习1．下列四个命题中，是真命题的有__________．①lg 2lg 3＝lg 5；②lg23＝lg 9；③若log a M＋N＝b，则M＋N＝a b；④若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.2．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是__________．①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M ＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.3．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝__________.4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝__________.5．已知log b x－log b y＝a，则log b5x3－log b5y3＝______.6．设a＞0，234=9a，则23log a＝__________.7．已知11.2a＝1 000,1.12b＝1 000，则11a b-＝____.8．已知函数f(x)满足：当x≥4时，1()=2xf x⎛⎫⎪⎝⎭；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.9．若函数y＝x2＋(log2N)x＋log2N有最小值54-，求正数N.10．设p，q满足log9p＝log12q＝log16(p＋q)，求qp的值．11．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出声压级y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？(3)假设某会场内掌声的声压级为90分贝，求声压P.参考答案1．解析：本题易错选①或②或③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是lg 2＋lg 3＝lg 5；②中的lg 23表示(lg 3)2，它与lg 32＝lg 9意义不同；③中的log a M ＋N 表示(log a M )＋N ，它与log a (M ＋N )意义不同；④中等式可化为log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M MN N=，所以M ＝N . 答案：④2．解析：在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以只有②正确．答案：②3．解析：令x 5＝t ，则15x t ==.所以151()=lg =lg 5f t t t ．则f (2)＝15lg 2. 答案：15lg 2 4．解析：log 36＝lg6lg2+lg3==lg3lg3a b b+. 答案：a b b+ 5．解析：原式＝(log b 5＋log b x 3)－(log b 5＋log b y 3)＝3log b x －3log b y ＝3a . 答案：3a6．解析：由条件得33242==93a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23log =3a答案：37．解析：由条件得a ＝log 11.21 000＝3lg11.2，b ＝log 1.121 000＝3lg1.12，从而11a b -＝lg11.2lg1.121=333-. 答案：138．解析：∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23+log 312⎛⎫⎪⎝⎭＝23log 31122⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝111=8324⨯.答案：1249．解：y ＝x 2＋(log 2N )x ＋log 2N ＝(x ＋12log 2N )2－14(log 2N )2＋log 2N .所以x ＝－12log 2N 时，y m in ＝log 2N －14(log 2N )2， 即log 2N －14(log 2N )2＝54-.所以(log 2N ＋1)(log 2N －5)＝0.所以log 2N ＝－1或log 2N ＝5. 从而N ＝12或N ＝32. 10．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是qp的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于q p 的一元二次方程，再由求根公式求得qp的值．解：设log 9p ＝log 12q ＝log 16(p ＋q )＝k ，∴p ＝9k ，q ＝12k ，p ＋q ＝16k .∴16k ＝12k ＋9k.∴169k ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋129k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴243k ⎛⎫ ⎪⎝⎭－43k⎛⎫⎪⎝⎭－1＝0. 设43k⎛⎫ ⎪⎝⎭＝x ，x ＞0，则x 2－x －1＝0，解得1=2x ±.∵x ＞0，∴1=2x .又∵124==93kk k q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1=2q p +.11．分析：(1)由已知条件即可写出声压级y 与声压P 之间的函数关系式；(2)由函数关系式求得当P ＝0.002帕时，声压级y 的值，由此可判断所在区的声音环境；(3)实际上是已知y 的值求P 的值，代入函数关系式，解对数方程可得声压．解：(1)由已知得020l P y gP =(其中P 0＝2×10－5)． (2)当P ＝0.002帕时，50.00220l 210y g -=⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为无害区，环境优良． (3)由题意，得90＝20lg0P P ，则0P P ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。