导数的几何意义的应用

《导数的几何意义的应用》教学设计

[教材分析]

导数是高中数学学习的重要内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观各地的高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。而其中的切线方面的求法涉及到导数的几何意义的应用，学好了它对其数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在复习时，有必要再对其进行专题复习。

[学生分析]

学生虽然已经学完了导数，也对导数的几何意义有了一定的认识，但由于学生容易忽略对点与曲线位置关系的判断，并对点在曲线外的求解方法还不能熟练掌握。因此有必要对此内容进行专题训练使学生能更好地掌握。

[教学目标]

1.知识与技能：会用导数的几何意义解决数学问题。

2..方法与过程：通过探究导数的几何意义的应用，培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。

3.情感与态度：由导数的几何意义引入问题，利用探究题、开放性题深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。通过学生主动参与，体验导数的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。

[教学重点] 利用导数的几何意义解决数学问题。

[教学难点] 过曲线外一点求曲线的切线方程。

[教学准备] 多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）

[教学方法] 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）

[教学过程] 一、复习导入，构建知识网络：

导入：本节课重点复习——导数的几何意义的应用

设计意图：由于学生回忆以往知识，用实物投影仪以框图的形式给出，让学生对导数有一个全面的了解，形成脑图。引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的认知规律，是高三专题课“整体化”的教学思想的体现。

二、探索研究，引导归纳

活动一：探究求曲线上一点的切线方程的方法

尝试题： 课本P 123例3：已知曲线y=31x 3 上一点 p(2,3

8

)，求点p 处的切线方

程。

分析：关键求切线的斜率)2(f k '=。 解法：由导数的几何意义得y ＇=x 2， 则2|='x y =22=4。

所以，在点p 处的切线方程是y-3

8

=4(x-2) ，即12 x-3y-16=0。

设计意图：通过课本中的例题创造导数几何意义的应用的环境 ，为探究题作铺垫。

活动二：探究过曲线外一点求曲线方程的方法。

探究题：求曲线 C:y=x 3-3x 过点 P(0,16)的切线方程。 分析：要注意到该点在曲线外，解此题的关键是将该问题转化为点在曲线上的问题。

解法一：点斜式（常规法）

设过点A(0,16)且与曲线y=x 3-3x 相切的切点的坐标为（x 0,y 0）， 由导数的几何意义得：y '=3x 2-3得k=f '(x 0)=3x 02-3，

由直线方程的点斜式得 y-16=(3x 02-3)（x-0）又（x 0,y 0）在其上y 0=x 03-3x 0 。 所

以 x 03-3x 0=3x 03

-3x 0=16，

2x 03=-16 ， x 0=-2 ， 故所求切线方程为9x-y+16=0。 解法二：两点斜率（公式法）

设切点坐标为（x 0,y 0）则

016

x y -=3x 02-3，又 y 0=x 03-3x 0 ， 所以 x 03-3x 0-16=3x 03-3x 0 ， 解得x 0=-2。 故所求切线的方程为9x-y+16=0。

设计意图 ：探究题旨在给不同层次的学生留有学习的空间，培养独立思考，善于思考的好习惯。

三．拓展探索，开放思维

开放题：求曲线y=4x 2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。 分析:法一：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。

法二：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。 法三：将问题转化为求二次函数最值问题。 解法一（导数法）：设点（x 0,y 0）即（x 0,4y 0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。

所以，y '|x=x 0=8x 0=2,所以x 0=41 ， y 0=4x 02=4×161=4

1

。

又（41，4

1

）到直线y=2x-1的距离d=

5

|

141

412|--⨯

=5203。 解法二（判别式法）：设过曲线y=4x 2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线

方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)， 由

{

b x y x y +==22

4 得4x 2-2 x-b=0由该直线与曲线相切得△=0，

即△=（-2）2-4×4×（-b ）=0， 4+16b=0，

∴16b=-4， b=-41

，

故切线方程为2x-y-41=0 此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=520

3

。

解法三（公式法）：设曲线y=4x 2上点（x 0,y 0）到直线y=2x-1的距离为d ，则由

到直线的距离公式有d=

5

|

4

3414|5|124|5

|

12|2

02

00+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=+-=

--x x x y x ， ∴当x 0=

41时，d min =520

3

。

设计意图：此开放性题借助数形结合，提供思维想象载体，使问题更直观，利用转化思想通过不同的角度和途径解决一个共同的研究，旨在促进前后知识的融会贯通，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质由师生共同完成。

四、总结转新

先由学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充。

1.利用导数的几何意义，求过一点的曲线的切线方程时，首先要判断点与切线的位置关系，当点不在曲线上时，要注意转化为总在曲线上的求解。

2.在解灵活性较强的问题时，要注意选择适当、最优方法来解决以便于取得最佳效果。

3.导数时高考考查内容，同学们要引起足够的重视。

设计意图：使知识条理化、系统化。

五、布置作业

1.求曲线C：y=x2+x过点p(1,1)点的切线方程。

2.（04 天津）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x 在x= 1处取得极值。

（1）讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。

（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)切线，求此切线方程。

设计意图：巩固和发展所学知识。

六、板书设计

七、教学反思（略）