竖曲线高程计算公式推导过程及计算流程
竖曲线高程计算公式推导及计算流程
1.竖曲线介绍
竖曲线是指在纵断面内，两个坡线之间为了延长行车视距或者减小行车的冲击力，而设计的一段曲线。一般可以用圆曲线和抛物线来充当竖曲线。由于圆曲线的计算量较大，所以，通常采用抛物线作为竖曲线，以减少计算量。
2.竖曲线高程计算流程
竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如
下：
a.计算竖曲线的基本要素：竖曲线长L;切线长T;外失距E
b.计算竖曲线起终点的桩号：竖曲线起点的桩号=变坡点的桩号一T
c.计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：切线标高=变坡点的标高±( T-x) i
1 2
y = — x
改正值:
2R
d.计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高=该桩号在切线上的设计标高+ y
某桩号在凸形竖曲线的设计标高=该桩号在切线上的设计标高-y
3.竖曲线高程计算公式推导
已知条件：
第一条直线的坡度为i i，下坡为负值, 第一条直线的坡度为i2，上坡为正值, 变坡点的里程为K,高程为H,
竖曲线的切线长为T二T A二T B,
待求点的里程为K X
曲线半径R
竖曲线特点: 抛物线的对称轴始终保持竖直，即：X轴沿水平方向，Y轴沿竖直方向，从而保证了X代表平距，丫代表高程。
L
竖曲线高程改正数计算公式推导
设抛物线方程为：
2
y i =ax bx c a = 0
设直线方程为：
y2= kx b k = 0
由图可知，抛物线与直线都经过坐标系X2O2%的原点。2 ,所以可得: c = 0; b =0
分别对％、y求导可得：
I
% = 2ax b
I
y2 - k
当x =0时，由图可得：
I
y i =i i =b
I
y2 = i i = k
当x二L时，由图可得：
y i 二i2 二2aL ：；；i i
由上式可得：
i2—h ⑷ 1
a 2-
2L 2L 2R
所以抛物线方程为：
1 2 ■ y1 x i1x
2R
直线方程为：
对于竖曲线上任意一点P,到其切线上Q点处的竖直距离，即高程改正数y为:
1 2 1 2 y =y Q—y p X2 i1X -i1X
X2
Q yp 2R 1 1 2R
竖曲线曲线元素推导竖曲线元素有切线长T、外失距E和竖曲线长L三个元素，推导过程如下: 由图可知:
T ■ ■
tan —
R 2
由于转角??很小，所以可近似认为tan ，因此可得:
2 2
-R灼
T 二---
2
L = R
由图易得：
1 2
丄x2中可得
将切线长T带入到y
2R
T 2
外失距E =一
2R
4.曲线高程计算示例
已知:
某条道路变坡点桩号为K25+460.00,高程为780.72.m ,1 = 0.8 %, i2 = 5%,
竖曲线半径为5000m
问：
(1) 判断凸、凹性；
(2) 计算竖曲线要素；
(3) 计算竖曲线起点、K25+400.00、K25+460.00、K25+500.00、终点的设 计高程。
解：(1)由于，J -i i =5% _0.8% =4.2% 0
所以竖曲线为凹曲线
曲线长 L 二 R = 5000 4.2% = 210m
(3) 起点里程=K25+460.00-105=K25+355
起点至变坡点高程改正数为 y 2 =i 1T = 0.8% 105二0.84m
所以起点高程=780.72-0.84 = 779.88m
因为终点里程=K25+460.00+105=K25+565 终点至变坡点高程改正数为 y ?2丁 =5% 105 = 5.25m
所以终点高程=780.72 5.25 二 785.97m
可以断定D 仁K25+400.00 D2=K25+460.00 D3=K25+500.00三个点都在竖曲线上, 因此分别计算D1、D2点距起点的平距得：
X D 1 =45
X D2 =105
分别计算D1、D2点切线标高及改正值:
已=779.88 0.8% 45 =780.24m
1 2 1 2
y 1 x 45 = 0.2025m
2R 2 5000
H 2 =779.88 0.8% 105 =780.72m
y 2 — x 2 - 1052 = 1.1025m (2)切线长T 号 5000 4.2% 2
= 105m
外失距E = T 亜- 2R 2^5000
= 1.1025m
2R 2 5000
所以H D’ =780.24 0.2025 = 780.4425m
H D =780.72 1.1025 = 781.8225m
D3点距终点的距离为：
X D3 =65m
分别计算D3点切线标高及改正值:
H3=785.97 -5% 6^ 782.72m
y^— x2- 65^ 0.4225m
2R 2 5000
H D3=782.72 +0.4225 =783.1425m